When the positive integers x and y are divided by the positive integer z, they yield remainders 12 and 22, respectively. If (x + y) is divided by z, the remainder is 6. What is the value of z?
Solution
Correct Answer: Option D
প্রশ্নে দেওয়া আছে, $x$ এবং $y$ কে ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা $z$ দিয়ে ভাগ করলে ভাগশেষ যথাক্রমে 12 এবং 22 পাওয়া যায়।
সুতরাং, আমরা $x$ এবং $y$ কে নিচের সমীকরণের মাধ্যমে প্রকাশ করতে পারি:
$x = az + 12$ ......(i)
$y = bz + 22$ ......(ii)
[যেখানে $a$ এবং $b$ হলো ভাগফল]
এখন প্রশ্ন অনুসারে আমাদের $(x + y)$ নির্ণয় করতে হবে। (i) এবং (ii) কে যোগ করে পাই:
$x + y = (az + 12) + (bz + 22)$
বা, $x + y = z(a + b) + (12 + 22)$
বা, $x + y = z(a + b) + 34$
এখন এই $(x + y)$ কে $z$ দিয়ে ভাগ করতে হবে।
এখানে, $z(a + b)$ অংশটি $z$ দ্বারা নিঃশেষে বিভাজ্য হবে। তাই ভাগশেষ নির্ভর করবে শুধুমাত্র ধ্রুবক সংখ্যা 34 এর ওপর।
শর্তমতে, $(x + y)$ কে $z$ দিয়ে ভাগ করলে ভাগশেষ 6 হবে।
অর্থাৎ, 34 কে $z$ দিয়ে ভাগ করলেও ভাগশেষ 6 থাকতে হবে।
তাহলে, $z$ এমন একটি সংখ্যা যা দিয়ে 34 কে ভাগ করলে 6 অবশিষ্ট থাকে।
সুতরাং, $34 - 6 = 28$ সংখ্যাটি অবশ্যই $z$ দ্বারা নিঃশেষে বিভাজ্য হবে।
এখন 28 এর গুণনীয়কগুলো হলো: 1, 2, 4, 7, 14, 28।
কিন্তু একটি গুরুত্বপূর্ণ শর্ত হলো, ভাজক ($z$) অবশ্যই ভাগশেষের চেয়ে বড় হতে হবে।
প্রশ্নে প্রাথমিক ভাগশেষগুলো ছিল 12 এবং 22। তাই $z$ এর মান অবশ্যই 22 এর চেয়ে বড় হতে হবে ($z > 22$)।
28 এর গুণনীয়কগুলোর মধ্যে একমাত্র 28 সংখ্যাটিই 22 এর চেয়ে বড়।
সুতরাং, নির্ণেয় ভাজক $z = 28$।
শর্টকাট টেকনিক:
যদি দুটি সংখ্যাকে $d$ দিয়ে ভাগ করলে ভাগশেষ যথাক্রমে $r_1$ এবং $r_2$ হয় এবং তাদের যোগফলকে $d$ দিয়ে ভাগ করলে ভাগশেষ $r_3$ হয়, তবে ভাজক $d$ বের করার সূত্রটি হলো:
$d = r_1 + r_2 - r_3$
এখানে,
প্রথম ভাগশেষ, $r_1 = 12$
দ্বিতীয় ভাগশেষ, $r_2 = 22$
যোগফলের ভাগশেষ, $r_3 = 6$
ভাজক, $z = ?$
সূত্রে মান বসিয়ে পাই,
$z = 12 + 22 - 6$
বা, $z = 34 - 6$
বা, $z = 28$
সুতরাং, আমরা $x$ এবং $y$ কে নিচের সমীকরণের মাধ্যমে প্রকাশ করতে পারি:
$x = az + 12$ ......(i)
$y = bz + 22$ ......(ii)
[যেখানে $a$ এবং $b$ হলো ভাগফল]
এখন প্রশ্ন অনুসারে আমাদের $(x + y)$ নির্ণয় করতে হবে। (i) এবং (ii) কে যোগ করে পাই:
$x + y = (az + 12) + (bz + 22)$
বা, $x + y = z(a + b) + (12 + 22)$
বা, $x + y = z(a + b) + 34$
এখন এই $(x + y)$ কে $z$ দিয়ে ভাগ করতে হবে।
এখানে, $z(a + b)$ অংশটি $z$ দ্বারা নিঃশেষে বিভাজ্য হবে। তাই ভাগশেষ নির্ভর করবে শুধুমাত্র ধ্রুবক সংখ্যা 34 এর ওপর।
শর্তমতে, $(x + y)$ কে $z$ দিয়ে ভাগ করলে ভাগশেষ 6 হবে।
অর্থাৎ, 34 কে $z$ দিয়ে ভাগ করলেও ভাগশেষ 6 থাকতে হবে।
তাহলে, $z$ এমন একটি সংখ্যা যা দিয়ে 34 কে ভাগ করলে 6 অবশিষ্ট থাকে।
সুতরাং, $34 - 6 = 28$ সংখ্যাটি অবশ্যই $z$ দ্বারা নিঃশেষে বিভাজ্য হবে।
এখন 28 এর গুণনীয়কগুলো হলো: 1, 2, 4, 7, 14, 28।
কিন্তু একটি গুরুত্বপূর্ণ শর্ত হলো, ভাজক ($z$) অবশ্যই ভাগশেষের চেয়ে বড় হতে হবে।
প্রশ্নে প্রাথমিক ভাগশেষগুলো ছিল 12 এবং 22। তাই $z$ এর মান অবশ্যই 22 এর চেয়ে বড় হতে হবে ($z > 22$)।
28 এর গুণনীয়কগুলোর মধ্যে একমাত্র 28 সংখ্যাটিই 22 এর চেয়ে বড়।
সুতরাং, নির্ণেয় ভাজক $z = 28$।
শর্টকাট টেকনিক:
যদি দুটি সংখ্যাকে $d$ দিয়ে ভাগ করলে ভাগশেষ যথাক্রমে $r_1$ এবং $r_2$ হয় এবং তাদের যোগফলকে $d$ দিয়ে ভাগ করলে ভাগশেষ $r_3$ হয়, তবে ভাজক $d$ বের করার সূত্রটি হলো:
$d = r_1 + r_2 - r_3$
এখানে,
প্রথম ভাগশেষ, $r_1 = 12$
দ্বিতীয় ভাগশেষ, $r_2 = 22$
যোগফলের ভাগশেষ, $r_3 = 6$
ভাজক, $z = ?$
সূত্রে মান বসিয়ে পাই,
$z = 12 + 22 - 6$
বা, $z = 34 - 6$
বা, $z = 28$
Practice More Questions on Our App!
Download our app for free and access thousands of MCQ questions with detailed solutions