When the positive integers x and y are divided by the positive integer z, they yield remainders 12 and 22, respectively. If (x + y) is divided by z, the remainder is 6. What is the value of z?
Solution
Correct Answer: Option D
প্রশ্নে দেওয়া আছে, $x$ এবং $y$ কে ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা $z$ দিয়ে ভাগ করলে ভাগশেষ যথাক্রমে 12 এবং 22 পাওয়া যায়।
সুতরাং, আমরা $x$ এবং $y$ কে নিচের সমীকরণের মাধ্যমে প্রকাশ করতে পারি:
$x = az + 12$ ......(i)
$y = bz + 22$ ......(ii)
[যেখানে $a$ এবং $b$ হলো ভাগফল]
এখন প্রশ্ন অনুসারে আমাদের $(x + y)$ নির্ণয় করতে হবে। (i) এবং (ii) কে যোগ করে পাই:
$x + y = (az + 12) + (bz + 22)$
বা, $x + y = z(a + b) + (12 + 22)$
বা, $x + y = z(a + b) + 34$
এখন এই $(x + y)$ কে $z$ দিয়ে ভাগ করতে হবে।
এখানে, $z(a + b)$ অংশটি $z$ দ্বারা নিঃশেষে বিভাজ্য হবে। তাই ভাগশেষ নির্ভর করবে শুধুমাত্র ধ্রুবক সংখ্যা 34 এর ওপর।
শর্তমতে, $(x + y)$ কে $z$ দিয়ে ভাগ করলে ভাগশেষ 6 হবে।
অর্থাৎ, 34 কে $z$ দিয়ে ভাগ করলেও ভাগশেষ 6 থাকতে হবে।
তাহলে, $z$ এমন একটি সংখ্যা যা দিয়ে 34 কে ভাগ করলে 6 অবশিষ্ট থাকে।
সুতরাং, $34 - 6 = 28$ সংখ্যাটি অবশ্যই $z$ দ্বারা নিঃশেষে বিভাজ্য হবে।
এখন 28 এর গুণনীয়কগুলো হলো: 1, 2, 4, 7, 14, 28।
কিন্তু একটি গুরুত্বপূর্ণ শর্ত হলো, ভাজক ($z$) অবশ্যই ভাগশেষের চেয়ে বড় হতে হবে।
প্রশ্নে প্রাথমিক ভাগশেষগুলো ছিল 12 এবং 22। তাই $z$ এর মান অবশ্যই 22 এর চেয়ে বড় হতে হবে ($z > 22$)।
28 এর গুণনীয়কগুলোর মধ্যে একমাত্র 28 সংখ্যাটিই 22 এর চেয়ে বড়।
সুতরাং, নির্ণেয় ভাজক $z = 28$।
শর্টকাট টেকনিক:
যদি দুটি সংখ্যাকে $d$ দিয়ে ভাগ করলে ভাগশেষ যথাক্রমে $r_1$ এবং $r_2$ হয় এবং তাদের যোগফলকে $d$ দিয়ে ভাগ করলে ভাগশেষ $r_3$ হয়, তবে ভাজক $d$ বের করার সূত্রটি হলো:
$d = r_1 + r_2 - r_3$
এখানে,
প্রথম ভাগশেষ, $r_1 = 12$
দ্বিতীয় ভাগশেষ, $r_2 = 22$
যোগফলের ভাগশেষ, $r_3 = 6$
ভাজক, $z = ?$
সূত্রে মান বসিয়ে পাই,
$z = 12 + 22 - 6$
বা, $z = 34 - 6$
বা, $z = 28$
সুতরাং, আমরা $x$ এবং $y$ কে নিচের সমীকরণের মাধ্যমে প্রকাশ করতে পারি:
$x = az + 12$ ......(i)
$y = bz + 22$ ......(ii)
[যেখানে $a$ এবং $b$ হলো ভাগফল]
এখন প্রশ্ন অনুসারে আমাদের $(x + y)$ নির্ণয় করতে হবে। (i) এবং (ii) কে যোগ করে পাই:
$x + y = (az + 12) + (bz + 22)$
বা, $x + y = z(a + b) + (12 + 22)$
বা, $x + y = z(a + b) + 34$
এখন এই $(x + y)$ কে $z$ দিয়ে ভাগ করতে হবে।
এখানে, $z(a + b)$ অংশটি $z$ দ্বারা নিঃশেষে বিভাজ্য হবে। তাই ভাগশেষ নির্ভর করবে শুধুমাত্র ধ্রুবক সংখ্যা 34 এর ওপর।
শর্তমতে, $(x + y)$ কে $z$ দিয়ে ভাগ করলে ভাগশেষ 6 হবে।
অর্থাৎ, 34 কে $z$ দিয়ে ভাগ করলেও ভাগশেষ 6 থাকতে হবে।
তাহলে, $z$ এমন একটি সংখ্যা যা দিয়ে 34 কে ভাগ করলে 6 অবশিষ্ট থাকে।
সুতরাং, $34 - 6 = 28$ সংখ্যাটি অবশ্যই $z$ দ্বারা নিঃশেষে বিভাজ্য হবে।
এখন 28 এর গুণনীয়কগুলো হলো: 1, 2, 4, 7, 14, 28।
কিন্তু একটি গুরুত্বপূর্ণ শর্ত হলো, ভাজক ($z$) অবশ্যই ভাগশেষের চেয়ে বড় হতে হবে।
প্রশ্নে প্রাথমিক ভাগশেষগুলো ছিল 12 এবং 22। তাই $z$ এর মান অবশ্যই 22 এর চেয়ে বড় হতে হবে ($z > 22$)।
28 এর গুণনীয়কগুলোর মধ্যে একমাত্র 28 সংখ্যাটিই 22 এর চেয়ে বড়।
সুতরাং, নির্ণেয় ভাজক $z = 28$।
শর্টকাট টেকনিক:
যদি দুটি সংখ্যাকে $d$ দিয়ে ভাগ করলে ভাগশেষ যথাক্রমে $r_1$ এবং $r_2$ হয় এবং তাদের যোগফলকে $d$ দিয়ে ভাগ করলে ভাগশেষ $r_3$ হয়, তবে ভাজক $d$ বের করার সূত্রটি হলো:
$d = r_1 + r_2 - r_3$
এখানে,
প্রথম ভাগশেষ, $r_1 = 12$
দ্বিতীয় ভাগশেষ, $r_2 = 22$
যোগফলের ভাগশেষ, $r_3 = 6$
ভাজক, $z = ?$
সূত্রে মান বসিয়ে পাই,
$z = 12 + 22 - 6$
বা, $z = 34 - 6$
বা, $z = 28$
অ্যাপ/ওয়েবসাইটে রুটিনভিত্তিক নিয়মিত লাইভ পরীক্ষা হচ্ছে।
পরীক্ষা-১৯
কোর্স নামঃ
টপিক ভিত্তিক জব সলিউশন রুটিন (১৬৫ দিনের)
টপিকসঃ
গণিত: বীজগণিত: সরল ও দ্বিপদী অসমতা, সূচক ও লগারিদম, ধারা, সেট, ফাংশন ও ভেনচিত্র
বাংলা সাহিত্য: মীর মশাররফ হোসেন, সৈয়দ মুজতবা আলী, প্রমথ চৌধুরী, মানিক বন্দ্যোপাধ্যায়, বিভূতিভূষণ বন্দ্যোপাধ্যায়, কল্লোল যুগ ও বাংলা সাহিত্যের পঞ্চপাণ্ডব, মুসলিম সাহিত্য সমাজের সাহিত্যিকগণ, শওকত ওসমান, শামসুর রাহমান, আল মাহমুদ, সৈয়দ শামসুল হক, সেলিম আল দীন, হুমায়ুন আজাদ, হুমায়ুন আহমেদ, সৈয়দ ওয়ালীউল্লাহ, আখতারুজ্জামান ইলিয়াস
বাংলা সাহিত্য: মীর মশাররফ হোসেন, সৈয়দ মুজতবা আলী, প্রমথ চৌধুরী, মানিক বন্দ্যোপাধ্যায়, বিভূতিভূষণ বন্দ্যোপাধ্যায়, কল্লোল যুগ ও বাংলা সাহিত্যের পঞ্চপাণ্ডব, মুসলিম সাহিত্য সমাজের সাহিত্যিকগণ, শওকত ওসমান, শামসুর রাহমান, আল মাহমুদ, সৈয়দ শামসুল হক, সেলিম আল দীন, হুমায়ুন আজাদ, হুমায়ুন আহমেদ, সৈয়দ ওয়ালীউল্লাহ, আখতারুজ্জামান ইলিয়াস
পরীক্ষা শুরুঃ ২২ জুন, ২০২৬
রুটিন দেখুন
পরীক্ষা - ১০
কোর্স নামঃ
১৯তম শিক্ষক নিবন্ধন (স্কুল পর্যায়): বাংলা
টপিকসঃ
প্রবন্ধ রচনা:
'রাজবন্দীর জবানবন্দী': বাংলা একাডেমি, ঢাকা থেকে প্রকাশিত 'নজরুল রচনাবলী' থেকে।
'রাজবন্দীর জবানবন্দী': বাংলা একাডেমি, ঢাকা থেকে প্রকাশিত 'নজরুল রচনাবলী' থেকে।
পরীক্ষা শুরুঃ ৫ আগস্ট, ২০২৬
রুটিন দেখুন
সাপ্তাহিক প্রবাহ- ১১২
কোর্স নামঃ
সাম্প্রতিক বাংলাদেশ ও আন্তর্জাতিক বিষয়াবলী
টপিকসঃ
বিগত সপ্তাহের বাংলাদেশ ও আন্তর্জাতিক বিষয়ক সাম্প্রতিক ঘটনাপ্রবাহ ও গত একবছরের গুরুত্বপূর্ণ সাম্প্রতিক।
পরীক্ষা – ১
কোর্স নামঃ
১৯ তম শিক্ষক নিবন্ধন - লেকচারশীট ভিত্তিক।
টপিকসঃ
বাংলা সাহিত্য:
বাংলা সাহিত্যর যুগ বিভাগ, চর্যাপদ, মধ্যযুগের গুপূর্ণ লেখক, বাংলা সাহিত্যে অন্ধকার যুগ, শ্রীকৃষ্ণকীর্তন, বৈষ্ণব সাহিত্য, মঙ্গলকাব্য, অনুবাদ সাহিত্য, নাথ সাহিত্য, মার্সিয়া সাহিত্য, লোক সাহিত্য, অবক্ষয় যুগ/যুগসন্ধিক্ষণ।
বাংলা সাহিত্যর যুগ বিভাগ, চর্যাপদ, মধ্যযুগের গুপূর্ণ লেখক, বাংলা সাহিত্যে অন্ধকার যুগ, শ্রীকৃষ্ণকীর্তন, বৈষ্ণব সাহিত্য, মঙ্গলকাব্য, অনুবাদ সাহিত্য, নাথ সাহিত্য, মার্সিয়া সাহিত্য, লোক সাহিত্য, অবক্ষয় যুগ/যুগসন্ধিক্ষণ।
(৬ষ্ঠ ব্যাচ) পরীক্ষা শুরুঃ ১০ সেপ্টেম্বর, ২০২৬।
রুটিন দেখুন
Practice More Questions on Our App!
Download our app for free and access thousands of MCQ questions with detailed solutions