∆ABC -এ cos A = 4/5, cosB = 5/13 নিচের কোনটি সঠিক?
Solution
Correct Answer: Option A
দেওয়া আছে, $\triangle ABC$-এ
$\cos A = \frac{4}{5}$
আমরা জানি, $\sin^2 A + \cos^2 A = 1$
বা, $\sin A = \sqrt{1 - \cos^2 A}$
বা, $\sin A = \sqrt{1 - (\frac{4}{5})^2}$
বা, $\sin A = \sqrt{1 - \frac{16}{25}}$
বা, $\sin A = \sqrt{\frac{9}{25}}$
$\therefore \sin A = \frac{3}{5}$
আবার, $\cos B = \frac{5}{13}$
বা, $\sin B = \sqrt{1 - (\frac{5}{13})^2}$
বা, $\sin B = \sqrt{1 - \frac{25}{169}}$
বা, $\sin B = \sqrt{\frac{144}{169}}$
$\therefore \sin B = \frac{12}{13}$
যেহেতু এটি একটি ত্রিভুজ, তাই তিনটি কোণের সমষ্টি $A + B + C = 180^\circ$ বা $\pi$।
সুতরাং, $C = 180^\circ - (A+B)$
এখন, $C$ কোণটির প্রকৃতি জানতে আমরা $\cos C$ এর মান বের করতে পারি।
$\cos C = \cos \{180^\circ - (A+B)\}$
$= -\cos(A+B)$ [যেহেতু ২য় চতুর্ভাগে $\cos$ ঋণাত্মক]
$= -(\cos A \cos B - \sin A \sin B)$
$= -(\frac{4}{5} \times \frac{5}{13} - \frac{3}{5} \times \frac{12}{13})$
$= -(\frac{20}{65} - \frac{36}{65})$
$= -(\frac{20 - 36}{65})$
$= -(\frac{-16}{65})$
$= \frac{16}{65}$
এখানে লক্ষ্য করুন:
$\cos A = \frac{4}{5}$ (ধনাত্মক, তাই $A$ সূক্ষ্মকোণ)
$\cos B = \frac{5}{13}$ (ধনাত্মক, তাই $B$ সূক্ষ্মকোণ)
$\cos C = \frac{16}{65}$ (ধনাত্মক, তাই $C$ ও একটি সূক্ষ্মকোণ)
যেহেতু ত্রিভুজের তিনটি কোণই ($A, B, C$) সূক্ষ্মকোণ, সুতরাং $\triangle ABC$ অবশ্যই একটি সূক্ষ্মকোণী ত্রিভুজ।
$\cos A = \frac{4}{5}$
আমরা জানি, $\sin^2 A + \cos^2 A = 1$
বা, $\sin A = \sqrt{1 - \cos^2 A}$
বা, $\sin A = \sqrt{1 - (\frac{4}{5})^2}$
বা, $\sin A = \sqrt{1 - \frac{16}{25}}$
বা, $\sin A = \sqrt{\frac{9}{25}}$
$\therefore \sin A = \frac{3}{5}$
আবার, $\cos B = \frac{5}{13}$
বা, $\sin B = \sqrt{1 - (\frac{5}{13})^2}$
বা, $\sin B = \sqrt{1 - \frac{25}{169}}$
বা, $\sin B = \sqrt{\frac{144}{169}}$
$\therefore \sin B = \frac{12}{13}$
যেহেতু এটি একটি ত্রিভুজ, তাই তিনটি কোণের সমষ্টি $A + B + C = 180^\circ$ বা $\pi$।
সুতরাং, $C = 180^\circ - (A+B)$
এখন, $C$ কোণটির প্রকৃতি জানতে আমরা $\cos C$ এর মান বের করতে পারি।
$\cos C = \cos \{180^\circ - (A+B)\}$
$= -\cos(A+B)$ [যেহেতু ২য় চতুর্ভাগে $\cos$ ঋণাত্মক]
$= -(\cos A \cos B - \sin A \sin B)$
$= -(\frac{4}{5} \times \frac{5}{13} - \frac{3}{5} \times \frac{12}{13})$
$= -(\frac{20}{65} - \frac{36}{65})$
$= -(\frac{20 - 36}{65})$
$= -(\frac{-16}{65})$
$= \frac{16}{65}$
এখানে লক্ষ্য করুন:
$\cos A = \frac{4}{5}$ (ধনাত্মক, তাই $A$ সূক্ষ্মকোণ)
$\cos B = \frac{5}{13}$ (ধনাত্মক, তাই $B$ সূক্ষ্মকোণ)
$\cos C = \frac{16}{65}$ (ধনাত্মক, তাই $C$ ও একটি সূক্ষ্মকোণ)
যেহেতু ত্রিভুজের তিনটি কোণই ($A, B, C$) সূক্ষ্মকোণ, সুতরাং $\triangle ABC$ অবশ্যই একটি সূক্ষ্মকোণী ত্রিভুজ।
Practice More Questions on Our App!
Download our app for free and access thousands of MCQ questions with detailed solutions