৫২ টি কার্ডের একটি স্ট্যান্ডার্ড ডেক থেকে কয়টি কার্ড নির্বাচন করতে হবে, যাতে নিশ্চিতভাবেই একই স্যুটের কমপক্ষে তিনটি কার্ড বেছে নেওয়া যায়?
Solution
Correct Answer: Option A
আমরা জানি, ৫২টি কার্ডের প্যাকে মোট ৪টি স্যুট থাকে। যথা: ডায়মন্ড (Diamond), হার্ট (Heart), ক্লাব (Club) এবং স্পেড (Spade)।
ধরি, আমরা এমনভাবে কার্ডগুলো নির্বাচন করছি যাতে কোনো স্যুটেরই ৩টি কার্ড না আসে। অর্থাৎ, আমরা চেষ্টা করব প্রতিটি স্যুটের সর্বোচ্চ ২টি করে কার্ড নিতে।
যদি আমরা সবচেয়ে খারাপ পরিস্থিতি (Worst Case Scenario) বিবেচনা করি:
প্রথম স্যুটের (যেমন: ডায়মন্ডের) ২টি কার্ড নিলাম।
দ্বিতীয় স্যুটের (যেমন: হার্টের) ২টি কার্ড নিলাম।
তৃতীয় স্যুটের (যেমন: ক্লাবের) ২টি কার্ড নিলাম।
চতুর্থ স্যুটের (যেমন: স্পেডের) ২টি কার্ড নিলাম।
এই অবস্থায় মোট কার্ড সংখ্যা = ২ + ২ + ২ + ২ = ৮টি।
এখন, আমাদের হাতে ৮টি কার্ড আছে এবং প্রতিটি স্যুটের ঠিক ২টি করে কার্ড আছে। এই অবস্থায় এখনো নিশ্চিতভাবে কোনো স্যুটের ৩টি কার্ড নেই।
এখন যদি আমরা আর ১টি কার্ড নির্বাচন করি, তবে সেই কার্ডটি অবশ্যই উক্ত ৪টি স্যুটের যেকোনো একটির হবে। ফলে সেই স্যুটের কার্ড সংখ্যা হয়ে যাবে (২ + ১) = ৩টি
সুতরাং, নিশ্চিতভাবে একই স্যুটের কমপক্ষে তিনটি কার্ড পেতে হলে ৯টি কার্ড নির্বাচন করতে হবে।
অতএব, নির্ণেয় কার্ড সংখ্যা = (৪ × ২) + ১ = ৮ + ১ = ৯টি।
শর্টকাট টেকনিক:
এই ধরনের অঙ্ক Pigeonhole Principle বা পায়রা খোপ নীতি মেনে চলে।
সূত্র: (স্যুট সংখ্যা × (প্রয়োজনীয় কার্ড সংখ্যা - ১)) + ১
এখানে,
স্যুট সংখ্যা = ৪
প্রয়োজনীয় কার্ড সংখ্যা = ৩
অতএব, কার্ড নির্বাচন করতে হবে = {৪ × (৩ - ১)} + ১
= (৪ × ২) + ১
= ৮ + ১
= ৯টি।
ধরি, আমরা এমনভাবে কার্ডগুলো নির্বাচন করছি যাতে কোনো স্যুটেরই ৩টি কার্ড না আসে। অর্থাৎ, আমরা চেষ্টা করব প্রতিটি স্যুটের সর্বোচ্চ ২টি করে কার্ড নিতে।
যদি আমরা সবচেয়ে খারাপ পরিস্থিতি (Worst Case Scenario) বিবেচনা করি:
প্রথম স্যুটের (যেমন: ডায়মন্ডের) ২টি কার্ড নিলাম।
দ্বিতীয় স্যুটের (যেমন: হার্টের) ২টি কার্ড নিলাম।
তৃতীয় স্যুটের (যেমন: ক্লাবের) ২টি কার্ড নিলাম।
চতুর্থ স্যুটের (যেমন: স্পেডের) ২টি কার্ড নিলাম।
এই অবস্থায় মোট কার্ড সংখ্যা = ২ + ২ + ২ + ২ = ৮টি।
এখন, আমাদের হাতে ৮টি কার্ড আছে এবং প্রতিটি স্যুটের ঠিক ২টি করে কার্ড আছে। এই অবস্থায় এখনো নিশ্চিতভাবে কোনো স্যুটের ৩টি কার্ড নেই।
এখন যদি আমরা আর ১টি কার্ড নির্বাচন করি, তবে সেই কার্ডটি অবশ্যই উক্ত ৪টি স্যুটের যেকোনো একটির হবে। ফলে সেই স্যুটের কার্ড সংখ্যা হয়ে যাবে (২ + ১) = ৩টি
সুতরাং, নিশ্চিতভাবে একই স্যুটের কমপক্ষে তিনটি কার্ড পেতে হলে ৯টি কার্ড নির্বাচন করতে হবে।
অতএব, নির্ণেয় কার্ড সংখ্যা = (৪ × ২) + ১ = ৮ + ১ = ৯টি।
শর্টকাট টেকনিক:
এই ধরনের অঙ্ক Pigeonhole Principle বা পায়রা খোপ নীতি মেনে চলে।
সূত্র: (স্যুট সংখ্যা × (প্রয়োজনীয় কার্ড সংখ্যা - ১)) + ১
এখানে,
স্যুট সংখ্যা = ৪
প্রয়োজনীয় কার্ড সংখ্যা = ৩
অতএব, কার্ড নির্বাচন করতে হবে = {৪ × (৩ - ১)} + ১
= (৪ × ২) + ১
= ৮ + ১
= ৯টি।
Practice More Questions on Our App!
Download our app for free and access thousands of MCQ questions with detailed solutions