$y = x^{x}$ হলে $\frac{dy}{dx}$ কত ?

দেওয়া আছে, $y = x^x$

যেহেতু ভিত্তি (base) এবং সূচক (power) উভয়ই চলক, তাই সমাধানের জন্য উভয় পাশে প্রাকৃতিক লগারিদম (ln) নিতে হবে।
উভয়পাশে $\ln$ নিয়ে পাই:
$\ln y = \ln(x^x)$
$\Rightarrow \ln y = x \ln x$ (লগারিদমের নিয়ম অনুযায়ী সূচক সামনে চলে আসে)

এখন উভয়পাশে $x$ এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ (Differentiation) করে পাই:
$\frac{d}{dx}(\ln y) = \frac{d}{dx}(x \ln x)$
$\Rightarrow \frac{1}{y} \cdot \frac{dy}{dx} = x \cdot \frac{d}{dx}(\ln x) + \ln x \cdot \frac{d}{dx}(x)$ (গুণের সূত্র: $uv$ rule প্রয়োগ করে)
$\Rightarrow \frac{1}{y} \cdot \frac{dy}{dx} = x \cdot \frac{1}{x} + \ln x \cdot 1$
$\Rightarrow \frac{1}{y} \cdot \frac{dy}{dx} = 1 + \ln x$
$\Rightarrow \frac{dy}{dx} = y(1 + \ln x)$

অবশেষে $y$ এর মান ($x^x$) বসিয়ে পাই:
$\frac{dy}{dx} = x^x(1 + \ln x)$