$y = x^{x}$ হলে $\frac{dy}{dx}$ কত ?
Solution
Correct Answer: Option C
দেওয়া আছে, $y = x^x$
যেহেতু ভিত্তি (base) এবং সূচক (power) উভয়ই চলক, তাই সমাধানের জন্য উভয় পাশে প্রাকৃতিক লগারিদম (ln) নিতে হবে।
উভয়পাশে $\ln$ নিয়ে পাই:
$\ln y = \ln(x^x)$
$\Rightarrow \ln y = x \ln x$ (লগারিদমের নিয়ম অনুযায়ী সূচক সামনে চলে আসে)
এখন উভয়পাশে $x$ এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ (Differentiation) করে পাই:
$\frac{d}{dx}(\ln y) = \frac{d}{dx}(x \ln x)$
$\Rightarrow \frac{1}{y} \cdot \frac{dy}{dx} = x \cdot \frac{d}{dx}(\ln x) + \ln x \cdot \frac{d}{dx}(x)$ (গুণের সূত্র: $uv$ rule প্রয়োগ করে)
$\Rightarrow \frac{1}{y} \cdot \frac{dy}{dx} = x \cdot \frac{1}{x} + \ln x \cdot 1$
$\Rightarrow \frac{1}{y} \cdot \frac{dy}{dx} = 1 + \ln x$
$\Rightarrow \frac{dy}{dx} = y(1 + \ln x)$
অবশেষে $y$ এর মান ($x^x$) বসিয়ে পাই:
$\frac{dy}{dx} = x^x(1 + \ln x)$
যেহেতু ভিত্তি (base) এবং সূচক (power) উভয়ই চলক, তাই সমাধানের জন্য উভয় পাশে প্রাকৃতিক লগারিদম (ln) নিতে হবে।
উভয়পাশে $\ln$ নিয়ে পাই:
$\ln y = \ln(x^x)$
$\Rightarrow \ln y = x \ln x$ (লগারিদমের নিয়ম অনুযায়ী সূচক সামনে চলে আসে)
এখন উভয়পাশে $x$ এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ (Differentiation) করে পাই:
$\frac{d}{dx}(\ln y) = \frac{d}{dx}(x \ln x)$
$\Rightarrow \frac{1}{y} \cdot \frac{dy}{dx} = x \cdot \frac{d}{dx}(\ln x) + \ln x \cdot \frac{d}{dx}(x)$ (গুণের সূত্র: $uv$ rule প্রয়োগ করে)
$\Rightarrow \frac{1}{y} \cdot \frac{dy}{dx} = x \cdot \frac{1}{x} + \ln x \cdot 1$
$\Rightarrow \frac{1}{y} \cdot \frac{dy}{dx} = 1 + \ln x$
$\Rightarrow \frac{dy}{dx} = y(1 + \ln x)$
অবশেষে $y$ এর মান ($x^x$) বসিয়ে পাই:
$\frac{dy}{dx} = x^x(1 + \ln x)$
অ্যাপ/ওয়েবসাইটে রুটিনভিত্তিক নিয়মিত লাইভ পরীক্ষা হচ্ছে।
Exam - 78
কোর্স নামঃ
ব্যাংক নিয়োগ প্রস্তুতি'র লং কোর্স (২৭৬ দিন)
টপিকসঃ
Math
Probability, Permutation and Combination
Probability, Permutation and Combination
এই রুটিনের সাথে ৩ বার ভোকাবুলারি রিভিশন।
রুটিন দেখুন
পরীক্ষা-৬৭
কোর্স নামঃ
৫১ তম বিসিএস প্রস্ততি - ২৩৬ দিনে সম্পূর্ণ সিলিবাস।
টপিকসঃ
বাংলাদেশ বিষয়াবলী
বাংলাদেশের জাতি, গোষ্ঠী ও উপজাতি, বাংলাদেশের জাতীয় অর্জন, গুরুত্বপূর্ণ ব্যক্তি, প্রতিষ্ঠান ও স্থাপনাসমূহ, জাতীয় পুরস্কার, বাংলাদেশের খেলাধুলাসহ চলচ্চিত্র এবং গণমাধ্যম।
বাংলাদেশের জাতি, গোষ্ঠী ও উপজাতি, বাংলাদেশের জাতীয় অর্জন, গুরুত্বপূর্ণ ব্যক্তি, প্রতিষ্ঠান ও স্থাপনাসমূহ, জাতীয় পুরস্কার, বাংলাদেশের খেলাধুলাসহ চলচ্চিত্র এবং গণমাধ্যম।
১০ ফেব্রুয়ারি, ২০২৬
রুটিন দেখুন
পরীক্ষা – ১৩
কোর্স নামঃ
১৯ তম শিক্ষক নিবন্ধন - লেকচারশীট ভিত্তিক।
টপিকসঃ
গণিত
ভগ্নাংশ
ভগ্নাংশ
পরীক্ষা শুরুঃ (৫ম ব্যাচ) শুরু ৫ মে, ২০২৬।
রুটিন দেখুন
Practice More Questions on Our App!
Download our app for free and access thousands of MCQ questions with detailed solutions