$\frac{১}{৩},\frac{১}{\sqrt{৩}},১$ ধারাটির কোন পদে ৯ হবে?
Solution
Correct Answer: Option B
প্রদত্ত ধারাটি: $\frac{১}{৩}, \frac{১}{\sqrt{৩}}, ১, \dots$
এখানে,
১ম পদ, $a = \frac{১}{৩}$
২য় পদ = $\frac{১}{\sqrt{৩}}$
সাধারণ অনুপাত, $r = \frac{২য় পদ}{১ম পদ}$
$= \frac{\frac{১}{\sqrt{৩}}}{\frac{১}{৩}}$
$= \frac{১}{\sqrt{৩}} \times \frac{৩}{১}$
$= \frac{(\sqrt{৩})^২}{\sqrt{৩}}$
$= \sqrt{৩}$
যেহেতু পাশাপাশি দুটি পদের অনুপাত সমান, তাই এটি একটি গুণোত্তর ধারা।
আমরা জানি, গুণোত্তর ধারার $n$-তম পদ = $ar^{n-1}$
ধরি, ধারাটির $n$-তম পদ = $৯$
শর্তমতে,
$ar^{n-1} = ৯$
বা, $\frac{১}{৩} \times (\sqrt{৩})^{n-1} = ৯$ [a ও r এর মান বসিয়ে]
বা, $(\sqrt{৩})^{n-1} = ৯ \times ৩$
বা, $(\sqrt{৩})^{n-1} = ২৭$
বা, $(\sqrt{৩})^{n-1} = ৩^৩$
বা, $(\sqrt{৩})^{n-1} = (\sqrt{৩})^{২ \times ৩}$ [যেহেতু $৩ = (\sqrt{৩})^২$]
বা, $(\sqrt{৩})^{n-1} = (\sqrt{৩})^৬$
বা, $n - ১ = ৬$ [উভয়পক্ষের ভিত্তি $\sqrt{৩}$ বাদ দিয়ে]
বা, $n = ৬ + ১$
$\therefore n = ৭$
সুতরাং, ধারাটির ৭ম পদ হবে $৯$।
শর্টকাট টেকনিক:
এই ধরনের ধারার ক্ষেত্রে সাধারণ অনুপাতটি ($r$) বের করে পরবর্তী পদগুলো গুণ করে সহজেই কাঙ্ক্ষিত পদে পৌঁছানো যায়।
এখানে, $r = \sqrt{৩}$ এবং ৩য় পদ = $১$
৪র্থ পদ = $১ \times \sqrt{৩} = \sqrt{৩}$
৫ম পদ = $\sqrt{৩} \times \sqrt{৩} = ৩$
৬ষ্ঠ পদ = $৩ \times \sqrt{৩} = ৩\sqrt{৩}$
৭ম পদ = $৩\sqrt{৩} \times \sqrt{৩} = ৩ \times ৩ = ৯$
সুতরাং, ৭ম পদটি হলো $৯$।
এখানে,
১ম পদ, $a = \frac{১}{৩}$
২য় পদ = $\frac{১}{\sqrt{৩}}$
সাধারণ অনুপাত, $r = \frac{২য় পদ}{১ম পদ}$
$= \frac{\frac{১}{\sqrt{৩}}}{\frac{১}{৩}}$
$= \frac{১}{\sqrt{৩}} \times \frac{৩}{১}$
$= \frac{(\sqrt{৩})^২}{\sqrt{৩}}$
$= \sqrt{৩}$
যেহেতু পাশাপাশি দুটি পদের অনুপাত সমান, তাই এটি একটি গুণোত্তর ধারা।
আমরা জানি, গুণোত্তর ধারার $n$-তম পদ = $ar^{n-1}$
ধরি, ধারাটির $n$-তম পদ = $৯$
শর্তমতে,
$ar^{n-1} = ৯$
বা, $\frac{১}{৩} \times (\sqrt{৩})^{n-1} = ৯$ [a ও r এর মান বসিয়ে]
বা, $(\sqrt{৩})^{n-1} = ৯ \times ৩$
বা, $(\sqrt{৩})^{n-1} = ২৭$
বা, $(\sqrt{৩})^{n-1} = ৩^৩$
বা, $(\sqrt{৩})^{n-1} = (\sqrt{৩})^{২ \times ৩}$ [যেহেতু $৩ = (\sqrt{৩})^২$]
বা, $(\sqrt{৩})^{n-1} = (\sqrt{৩})^৬$
বা, $n - ১ = ৬$ [উভয়পক্ষের ভিত্তি $\sqrt{৩}$ বাদ দিয়ে]
বা, $n = ৬ + ১$
$\therefore n = ৭$
সুতরাং, ধারাটির ৭ম পদ হবে $৯$।
শর্টকাট টেকনিক:
এই ধরনের ধারার ক্ষেত্রে সাধারণ অনুপাতটি ($r$) বের করে পরবর্তী পদগুলো গুণ করে সহজেই কাঙ্ক্ষিত পদে পৌঁছানো যায়।
এখানে, $r = \sqrt{৩}$ এবং ৩য় পদ = $১$
৪র্থ পদ = $১ \times \sqrt{৩} = \sqrt{৩}$
৫ম পদ = $\sqrt{৩} \times \sqrt{৩} = ৩$
৬ষ্ঠ পদ = $৩ \times \sqrt{৩} = ৩\sqrt{৩}$
৭ম পদ = $৩\sqrt{৩} \times \sqrt{৩} = ৩ \times ৩ = ৯$
সুতরাং, ৭ম পদটি হলো $৯$।
অ্যাপ/ওয়েবসাইটে রুটিনভিত্তিক নিয়মিত লাইভ পরীক্ষা হচ্ছে।
Exam - 105
কোর্স নামঃ
ব্যাংক নিয়োগ প্রস্তুতি'র লং কোর্স (২৭৬ দিন)
টপিকসঃ
Bangla
বিভিন্ন সাহিত্যকর্মের পংক্তি ও উদ্ধৃতি।
বাংলা সাহিত্যের যা কিছু প্রথম।
বিভিন্ন সাহিত্যকর্মের পংক্তি ও উদ্ধৃতি।
বাংলা সাহিত্যের যা কিছু প্রথম।
এই রুটিনের সাথে ৩ বার ভোকাবুলারি রিভিশন।
রুটিন দেখুন
পরীক্ষা – ৭৯
কোর্স নামঃ
১৯ তম শিক্ষক নিবন্ধন - লেকচারশীট ভিত্তিক।
টপিকসঃ
বাংলা সাহিত্য
বাংলা সাহিত্যের যা কিছু প্রথম।
বাংলা সাহিত্যের যা কিছু প্রথম।
পরীক্ষা শুরুঃ (৫ম ব্যাচ) শুরু ৫ মে, ২০২৬।
রুটিন দেখুন
পরীক্ষা - ০১
কোর্স নামঃ
১৯তম শিক্ষক নিবন্ধন প্রস্তুতি - সমাজবিজ্ঞান
টপিকসঃ
সমাজবিজ্ঞানের পরিচিতি:
সংজ্ঞা, প্রকৃতি, পরিধি, গুরুত্ব, সমাজবিজ্ঞানের উৎপত্তি ও বিকাশ এবং অন্যান্য সামাজিক বিজ্ঞানের সাথে সমাজবিজ্ঞানের সম্পর্ক।
সংজ্ঞা, প্রকৃতি, পরিধি, গুরুত্ব, সমাজবিজ্ঞানের উৎপত্তি ও বিকাশ এবং অন্যান্য সামাজিক বিজ্ঞানের সাথে সমাজবিজ্ঞানের সম্পর্ক।
পরীক্ষা শুরুঃ ২৬ জুলাই, ২০২৬
রুটিন দেখুন
Practice More Questions on Our App!
Download our app for free and access thousands of MCQ questions with detailed solutions