x^2 + y^2 - 6x - 8y - 24 = 0 বৃত্তের ব্যাসার্ধ কত?
Solution
Correct Answer: Option B
চলো এই মজার অঙ্কটা আমরা খুব সহজে ধাপে ধাপে সমাধান করি। এই ধরনের বৃত্তের সমীকরণ থেকে ব্যাসার্ধ বের করার জন্য আমাদের বর্গের সূত্র বা Perfect Square-এর ধারণা ব্যবহার করতে হবে, যা তোমরা বীজগণিতে শিখেছ।
আমাদের দেওয়া সমীকরণটি হলো: $x^2 + y^2 - 6x - 8y - 24 = 0$
প্রথমে আমরা $x$ এবং $y$ এর পদগুলোকে একসাথে সাজাই এবং সংখ্যাটিকে সমীকরণের ডানপাশে নিয়ে যাই:
- $(x^2 - 6x) + (y^2 - 8y) = 24$
এখন আমাদের মূল কাজ হলো ব্র্যাকেটের ভেতরের অংশগুলোকে $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ সূত্রে সাজানো। এর জন্য আমাদের কিছু অতিরিক্ত সংখ্যা যোগ করতে হবে:
- $x$ এর অংশের জন্য: $x^2 - 2 \cdot x \cdot 3$ আছে, তাই সূত্র মেলাতে একটি $3^2$ বা $9$ যোগ করতে হবে।
- $y$ এর অংশের জন্য: $y^2 - 2 \cdot y \cdot 4$ আছে, তাই সূত্র মেলাতে একটি $4^2$ বা $16$ যোগ করতে হবে।
যেহেতু সমীকরণের ব্যালেন্স বা ভারসাম্য ঠিক রাখতে হয়, তাই আমরা বামপাশে যে $9$ এবং $16$ যোগ করেছি, ডানপাশেও ঠিক সেই সংখ্যাগুলো যোগ করে দিব:
- $(x^2 - 6x + 9) + (y^2 - 8y + 16) = 24 + 9 + 16$
এবার আমরা এদেরকে বর্গের সূত্রে লিখে ফেলি:
- $(x - 3)^2 + (y - 4)^2 = 49$
আমরা জানি, একটি বৃত্তের জ্যামিতিক আদর্শ সমীকরণ হলো $(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2$, যেখানে ডানপাশের $r$ হলো বৃত্তের ব্যাসার্ধ।
আমাদের বের করা সমীকরণের সাথে এই আদর্শ সমীকরণটি তুলনা করলে আমরা পাই:
- $r^2 = 49$
- $r = \sqrt{49} = 7$
সুতরাং, এই বৃত্তটির ব্যাসার্ধ হবে ৭। তাই সঠিক উত্তর অপশন 2।
সোর্সঃ খাইরুল বেসিক গণিত।
আমাদের দেওয়া সমীকরণটি হলো: $x^2 + y^2 - 6x - 8y - 24 = 0$
প্রথমে আমরা $x$ এবং $y$ এর পদগুলোকে একসাথে সাজাই এবং সংখ্যাটিকে সমীকরণের ডানপাশে নিয়ে যাই:
- $(x^2 - 6x) + (y^2 - 8y) = 24$
এখন আমাদের মূল কাজ হলো ব্র্যাকেটের ভেতরের অংশগুলোকে $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ সূত্রে সাজানো। এর জন্য আমাদের কিছু অতিরিক্ত সংখ্যা যোগ করতে হবে:
- $x$ এর অংশের জন্য: $x^2 - 2 \cdot x \cdot 3$ আছে, তাই সূত্র মেলাতে একটি $3^2$ বা $9$ যোগ করতে হবে।
- $y$ এর অংশের জন্য: $y^2 - 2 \cdot y \cdot 4$ আছে, তাই সূত্র মেলাতে একটি $4^2$ বা $16$ যোগ করতে হবে।
যেহেতু সমীকরণের ব্যালেন্স বা ভারসাম্য ঠিক রাখতে হয়, তাই আমরা বামপাশে যে $9$ এবং $16$ যোগ করেছি, ডানপাশেও ঠিক সেই সংখ্যাগুলো যোগ করে দিব:
- $(x^2 - 6x + 9) + (y^2 - 8y + 16) = 24 + 9 + 16$
এবার আমরা এদেরকে বর্গের সূত্রে লিখে ফেলি:
- $(x - 3)^2 + (y - 4)^2 = 49$
আমরা জানি, একটি বৃত্তের জ্যামিতিক আদর্শ সমীকরণ হলো $(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2$, যেখানে ডানপাশের $r$ হলো বৃত্তের ব্যাসার্ধ।
আমাদের বের করা সমীকরণের সাথে এই আদর্শ সমীকরণটি তুলনা করলে আমরা পাই:
- $r^2 = 49$
- $r = \sqrt{49} = 7$
সুতরাং, এই বৃত্তটির ব্যাসার্ধ হবে ৭। তাই সঠিক উত্তর অপশন 2।
সোর্সঃ খাইরুল বেসিক গণিত।
অ্যাপ/ওয়েবসাইটে রুটিনভিত্তিক নিয়মিত লাইভ পরীক্ষা হচ্ছে।
Exam - 105
কোর্স নামঃ
ব্যাংক নিয়োগ প্রস্তুতি'র লং কোর্স (২৭৬ দিন)
টপিকসঃ
Bangla
বিভিন্ন সাহিত্যকর্মের পংক্তি ও উদ্ধৃতি।
বাংলা সাহিত্যের যা কিছু প্রথম।
বিভিন্ন সাহিত্যকর্মের পংক্তি ও উদ্ধৃতি।
বাংলা সাহিত্যের যা কিছু প্রথম।
এই রুটিনের সাথে ৩ বার ভোকাবুলারি রিভিশন।
রুটিন দেখুন
পরীক্ষা – ৭৯
কোর্স নামঃ
১৯ তম শিক্ষক নিবন্ধন - লেকচারশীট ভিত্তিক।
টপিকসঃ
বাংলা সাহিত্য
বাংলা সাহিত্যের যা কিছু প্রথম।
বাংলা সাহিত্যের যা কিছু প্রথম।
পরীক্ষা শুরুঃ (৫ম ব্যাচ) শুরু ৫ মে, ২০২৬।
রুটিন দেখুন
পরীক্ষা - ০১
কোর্স নামঃ
১৯তম শিক্ষক নিবন্ধন প্রস্তুতি - সমাজবিজ্ঞান
টপিকসঃ
সমাজবিজ্ঞানের পরিচিতি:
সংজ্ঞা, প্রকৃতি, পরিধি, গুরুত্ব, সমাজবিজ্ঞানের উৎপত্তি ও বিকাশ এবং অন্যান্য সামাজিক বিজ্ঞানের সাথে সমাজবিজ্ঞানের সম্পর্ক।
সংজ্ঞা, প্রকৃতি, পরিধি, গুরুত্ব, সমাজবিজ্ঞানের উৎপত্তি ও বিকাশ এবং অন্যান্য সামাজিক বিজ্ঞানের সাথে সমাজবিজ্ঞানের সম্পর্ক।
পরীক্ষা শুরুঃ ২৬ জুলাই, ২০২৬
রুটিন দেখুন
Practice More Questions on Our App!
Download our app for free and access thousands of MCQ questions with detailed solutions