x^2 + y^2 - 6x - 8y - 24 = 0 বৃত্তের ব্যাসার্ধ কত?
Solution
Correct Answer: Option B
চলো এই মজার অঙ্কটা আমরা খুব সহজে ধাপে ধাপে সমাধান করি। এই ধরনের বৃত্তের সমীকরণ থেকে ব্যাসার্ধ বের করার জন্য আমাদের বর্গের সূত্র বা Perfect Square-এর ধারণা ব্যবহার করতে হবে, যা তোমরা বীজগণিতে শিখেছ।
আমাদের দেওয়া সমীকরণটি হলো: $x^2 + y^2 - 6x - 8y - 24 = 0$
প্রথমে আমরা $x$ এবং $y$ এর পদগুলোকে একসাথে সাজাই এবং সংখ্যাটিকে সমীকরণের ডানপাশে নিয়ে যাই:
- $(x^2 - 6x) + (y^2 - 8y) = 24$
এখন আমাদের মূল কাজ হলো ব্র্যাকেটের ভেতরের অংশগুলোকে $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ সূত্রে সাজানো। এর জন্য আমাদের কিছু অতিরিক্ত সংখ্যা যোগ করতে হবে:
- $x$ এর অংশের জন্য: $x^2 - 2 \cdot x \cdot 3$ আছে, তাই সূত্র মেলাতে একটি $3^2$ বা $9$ যোগ করতে হবে।
- $y$ এর অংশের জন্য: $y^2 - 2 \cdot y \cdot 4$ আছে, তাই সূত্র মেলাতে একটি $4^2$ বা $16$ যোগ করতে হবে।
যেহেতু সমীকরণের ব্যালেন্স বা ভারসাম্য ঠিক রাখতে হয়, তাই আমরা বামপাশে যে $9$ এবং $16$ যোগ করেছি, ডানপাশেও ঠিক সেই সংখ্যাগুলো যোগ করে দিব:
- $(x^2 - 6x + 9) + (y^2 - 8y + 16) = 24 + 9 + 16$
এবার আমরা এদেরকে বর্গের সূত্রে লিখে ফেলি:
- $(x - 3)^2 + (y - 4)^2 = 49$
আমরা জানি, একটি বৃত্তের জ্যামিতিক আদর্শ সমীকরণ হলো $(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2$, যেখানে ডানপাশের $r$ হলো বৃত্তের ব্যাসার্ধ।
আমাদের বের করা সমীকরণের সাথে এই আদর্শ সমীকরণটি তুলনা করলে আমরা পাই:
- $r^2 = 49$
- $r = \sqrt{49} = 7$
সুতরাং, এই বৃত্তটির ব্যাসার্ধ হবে ৭। তাই সঠিক উত্তর অপশন 2।
সোর্সঃ খাইরুল বেসিক গণিত।
আমাদের দেওয়া সমীকরণটি হলো: $x^2 + y^2 - 6x - 8y - 24 = 0$
প্রথমে আমরা $x$ এবং $y$ এর পদগুলোকে একসাথে সাজাই এবং সংখ্যাটিকে সমীকরণের ডানপাশে নিয়ে যাই:
- $(x^2 - 6x) + (y^2 - 8y) = 24$
এখন আমাদের মূল কাজ হলো ব্র্যাকেটের ভেতরের অংশগুলোকে $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ সূত্রে সাজানো। এর জন্য আমাদের কিছু অতিরিক্ত সংখ্যা যোগ করতে হবে:
- $x$ এর অংশের জন্য: $x^2 - 2 \cdot x \cdot 3$ আছে, তাই সূত্র মেলাতে একটি $3^2$ বা $9$ যোগ করতে হবে।
- $y$ এর অংশের জন্য: $y^2 - 2 \cdot y \cdot 4$ আছে, তাই সূত্র মেলাতে একটি $4^2$ বা $16$ যোগ করতে হবে।
যেহেতু সমীকরণের ব্যালেন্স বা ভারসাম্য ঠিক রাখতে হয়, তাই আমরা বামপাশে যে $9$ এবং $16$ যোগ করেছি, ডানপাশেও ঠিক সেই সংখ্যাগুলো যোগ করে দিব:
- $(x^2 - 6x + 9) + (y^2 - 8y + 16) = 24 + 9 + 16$
এবার আমরা এদেরকে বর্গের সূত্রে লিখে ফেলি:
- $(x - 3)^2 + (y - 4)^2 = 49$
আমরা জানি, একটি বৃত্তের জ্যামিতিক আদর্শ সমীকরণ হলো $(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2$, যেখানে ডানপাশের $r$ হলো বৃত্তের ব্যাসার্ধ।
আমাদের বের করা সমীকরণের সাথে এই আদর্শ সমীকরণটি তুলনা করলে আমরা পাই:
- $r^2 = 49$
- $r = \sqrt{49} = 7$
সুতরাং, এই বৃত্তটির ব্যাসার্ধ হবে ৭। তাই সঠিক উত্তর অপশন 2।
সোর্সঃ খাইরুল বেসিক গণিত।
অ্যাপ/ওয়েবসাইটে রুটিনভিত্তিক নিয়মিত লাইভ পরীক্ষা হচ্ছে।
পরীক্ষা-১৯
কোর্স নামঃ
টপিক ভিত্তিক জব সলিউশন রুটিন (১৬৫ দিনের)
টপিকসঃ
গণিত: বীজগণিত: সরল ও দ্বিপদী অসমতা, সূচক ও লগারিদম, ধারা, সেট, ফাংশন ও ভেনচিত্র
বাংলা সাহিত্য: মীর মশাররফ হোসেন, সৈয়দ মুজতবা আলী, প্রমথ চৌধুরী, মানিক বন্দ্যোপাধ্যায়, বিভূতিভূষণ বন্দ্যোপাধ্যায়, কল্লোল যুগ ও বাংলা সাহিত্যের পঞ্চপাণ্ডব, মুসলিম সাহিত্য সমাজের সাহিত্যিকগণ, শওকত ওসমান, শামসুর রাহমান, আল মাহমুদ, সৈয়দ শামসুল হক, সেলিম আল দীন, হুমায়ুন আজাদ, হুমায়ুন আহমেদ, সৈয়দ ওয়ালীউল্লাহ, আখতারুজ্জামান ইলিয়াস
বাংলা সাহিত্য: মীর মশাররফ হোসেন, সৈয়দ মুজতবা আলী, প্রমথ চৌধুরী, মানিক বন্দ্যোপাধ্যায়, বিভূতিভূষণ বন্দ্যোপাধ্যায়, কল্লোল যুগ ও বাংলা সাহিত্যের পঞ্চপাণ্ডব, মুসলিম সাহিত্য সমাজের সাহিত্যিকগণ, শওকত ওসমান, শামসুর রাহমান, আল মাহমুদ, সৈয়দ শামসুল হক, সেলিম আল দীন, হুমায়ুন আজাদ, হুমায়ুন আহমেদ, সৈয়দ ওয়ালীউল্লাহ, আখতারুজ্জামান ইলিয়াস
পরীক্ষা শুরুঃ ২২ জুন, ২০২৬
রুটিন দেখুন
পরীক্ষা - ১০
কোর্স নামঃ
১৯তম শিক্ষক নিবন্ধন (স্কুল পর্যায়): বাংলা
টপিকসঃ
প্রবন্ধ রচনা:
'রাজবন্দীর জবানবন্দী': বাংলা একাডেমি, ঢাকা থেকে প্রকাশিত 'নজরুল রচনাবলী' থেকে।
'রাজবন্দীর জবানবন্দী': বাংলা একাডেমি, ঢাকা থেকে প্রকাশিত 'নজরুল রচনাবলী' থেকে।
পরীক্ষা শুরুঃ ৫ আগস্ট, ২০২৬
রুটিন দেখুন
সাপ্তাহিক প্রবাহ- ১১২
কোর্স নামঃ
সাম্প্রতিক বাংলাদেশ ও আন্তর্জাতিক বিষয়াবলী
টপিকসঃ
বিগত সপ্তাহের বাংলাদেশ ও আন্তর্জাতিক বিষয়ক সাম্প্রতিক ঘটনাপ্রবাহ ও গত একবছরের গুরুত্বপূর্ণ সাম্প্রতিক।
পরীক্ষা – ১
কোর্স নামঃ
১৯ তম শিক্ষক নিবন্ধন - লেকচারশীট ভিত্তিক।
টপিকসঃ
বাংলা সাহিত্য:
বাংলা সাহিত্যর যুগ বিভাগ, চর্যাপদ, মধ্যযুগের গুপূর্ণ লেখক, বাংলা সাহিত্যে অন্ধকার যুগ, শ্রীকৃষ্ণকীর্তন, বৈষ্ণব সাহিত্য, মঙ্গলকাব্য, অনুবাদ সাহিত্য, নাথ সাহিত্য, মার্সিয়া সাহিত্য, লোক সাহিত্য, অবক্ষয় যুগ/যুগসন্ধিক্ষণ।
বাংলা সাহিত্যর যুগ বিভাগ, চর্যাপদ, মধ্যযুগের গুপূর্ণ লেখক, বাংলা সাহিত্যে অন্ধকার যুগ, শ্রীকৃষ্ণকীর্তন, বৈষ্ণব সাহিত্য, মঙ্গলকাব্য, অনুবাদ সাহিত্য, নাথ সাহিত্য, মার্সিয়া সাহিত্য, লোক সাহিত্য, অবক্ষয় যুগ/যুগসন্ধিক্ষণ।
(৬ষ্ঠ ব্যাচ) পরীক্ষা শুরুঃ ১০ সেপ্টেম্বর, ২০২৬।
রুটিন দেখুন
Practice More Questions on Our App!
Download our app for free and access thousands of MCQ questions with detailed solutions