একটি আয়তক্ষেত্র এবং বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা সমান। ক্ষেত্রফলের বিচারে নিম্নের কোনটি সঠিক?

ধরি, একটি আয়তক্ষেত্র এবং একটি বর্গক্ষেত্র উভয়েরই পরিসীমা ১৬ মিটার।

১. বর্গক্ষেত্রের হিসাব:
বর্গক্ষেত্রের ৪টি বাহুর দৈর্ঘ্য সমান।
সুতরাং, বর্গক্ষেত্রের এক বাহুর দৈর্ঘ্য = ১৬ ÷ ৪ = ৪ মিটার।
বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = (বাহু)² = ৪² = ১৬ বর্গমিটার।

২. আয়তক্ষেত্রের হিসাব:
ধরি, আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য = ৫ মিটার এবং প্রস্থ = ৩ মিটার।
আয়তক্ষেত্রের পরিসীমা = ২ × (দৈর্ঘ্য + প্রস্থ) = ২ × (৫ + ৩) = ১৬ মিটার (যা বর্গক্ষেত্রের পরিসীমার সমান)।
আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = দৈর্ঘ্য × প্রস্থ = ৫ × ৩ = ১৫ বর্গমিটার।

৩. বীজগণিতীয় ব্যাখ্যা:
ধরি, বর্গক্ষেত্রের এক বাহুর দৈর্ঘ্য a এবং আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য x ও প্রস্থ y (যেখানে x ≠ y)।
প্রশ্নমতে, ৪a = ২(x + y) বা, a = (x + y)/২।
বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = a² = ((x + y)/২)² = (x + y)²/৪ = (x² + ২xy + y²)/৪।
আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = xy = ৪xy/৪।
বর্গক্ষেত্র ও আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফলের পার্থক্য = (x² + ২xy + y²)/৪ - ৪xy/৪ = (x² - ২xy + y²)/৪ = (x - y)²/৪।
যেহেতু যেকোনো বাস্তব সংখ্যার বর্গ (x - y)² সর্বদাই একটি ধনাত্মক মান নির্দেশ করে, তাই বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল সর্বদাই আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল অপেক্ষা বড় হয় ।

অতএব, সমপরিসীমাবিশিষ্ট আয়তক্ষেত্র ও বর্গক্ষেত্রের মধ্যে বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল বেশি হয়, অর্থাৎ আয়তক্ষেত্র < বর্গক্ষেত্র।
* সঠিক উত্তর: অপশন ৩ (আয়তক্ষেত্র < বর্গক্ষেত্র)
সোর্সঃ খাইরুল বেসিক গণিত