256 + 128 + 64 + ..... ধারাটির সাধারণ পদ কত?
Solution
Correct Answer: Option D
প্রদত্ত ধারাটি হলো: $256 + 128 + 64 + . . . . . . $
এখানে,
প্রথম পদ, $a = 256$
সাধারণ অনুপাত, $r = \frac{128}{256} = \frac{1}{2}$
যেহেতু এটি একটি গুণোত্তর ধারা, আমরা জানি গুণোত্তর ধারার $n$-তম পদ নির্ণয়ের সূত্র হলো:
$a \cdot r^{(n - 1)}$
এখন মানগুলো বসিয়ে পাই:
$n$-তম পদ = $256 \times (\frac{1}{2})^{(n - 1)}$
আমরা $256$-কে ২-এর সূচক বা power হিসেবে লিখতে পারি। আমরা জানি, $2^8 = 256$।
সুতরাং,
$= 2^8 \times \frac{1}{2^{(n - 1)}}$
$= \frac{2^8}{2^{(n-1)}}$
সূচকের ভাগের নিয়ম অনুসারে ($a^m / a^n = a^{m-n}$), নিচের বেস (base) উপরে নিয়ে গেলে বিয়োগ হয়ে যাবে। অথবা আমরা উপরের বেসটিকে নিচে নিয়ে আসতে পারি। উত্তরের অপশনগুলো যেহেতু $1/$ আকারে আছে, তাই আমরা উপরের $2^8$-কে নিচে নিয়ে আসব।
$= \frac{1}{2^{(n - 1)} \times 2^{-8}}$ [দ্রষ্টব্য: $2^8$ নিচে আসলে $2^{-8}$ হয়ে যায়]
$= \frac{1}{2^{(n - 1 - 8)}}$ [সূচকের গুণন বিধি: $x^a \times x^b = x^{a+b}$]
$= \frac{1}{2^{(n - 9)}}$
সুতরাং, ধারাটির সাধারণ পদ বা $n$-তম পদ হলো $1/2^{(n - 9)}$ ।
শর্টকাট টেকনিক (পরীক্ষার হলের জন্য):
সাধারণ পদ বের করার সবচেয়ে সহজ উপায় হলো $n$-এর মান বসিয়ে প্রথম পদটি মেলানো।
আমাদের ধারার ১ম পদ হলো = $256$। অর্থাৎ, $n=1$ হলে উত্তর $256$ হতে হবে।
আসুন অপশনগুলো চেক করি ($n=1$ বসিয়ে):
১) $1/2^{(1 - 6)} = 1/2^{-5} = 2^5 = 32$ (এটি ২৫৬ নয়, তাই ভুল)
২) ভুল অপশন
৩) $1/2^{(1 - 8)} = 1/2^{-7} = 2^7 = 128$ (এটি ২৫৬ নয়, তাই ভুল)
৪) $1/2^{(1 - 9)} = 1/2^{-8} = 2^8 = 256$ (এটি আমাদের ১ম পদের সাথে মিলে গেছে)
সুতরাং, সঠিক উত্তর হলো $1/2^{(n - 9)}$ ।
এখানে,
প্রথম পদ, $a = 256$
সাধারণ অনুপাত, $r = \frac{128}{256} = \frac{1}{2}$
যেহেতু এটি একটি গুণোত্তর ধারা, আমরা জানি গুণোত্তর ধারার $n$-তম পদ নির্ণয়ের সূত্র হলো:
$a \cdot r^{(n - 1)}$
এখন মানগুলো বসিয়ে পাই:
$n$-তম পদ = $256 \times (\frac{1}{2})^{(n - 1)}$
আমরা $256$-কে ২-এর সূচক বা power হিসেবে লিখতে পারি। আমরা জানি, $2^8 = 256$।
সুতরাং,
$= 2^8 \times \frac{1}{2^{(n - 1)}}$
$= \frac{2^8}{2^{(n-1)}}$
সূচকের ভাগের নিয়ম অনুসারে ($a^m / a^n = a^{m-n}$), নিচের বেস (base) উপরে নিয়ে গেলে বিয়োগ হয়ে যাবে। অথবা আমরা উপরের বেসটিকে নিচে নিয়ে আসতে পারি। উত্তরের অপশনগুলো যেহেতু $1/$ আকারে আছে, তাই আমরা উপরের $2^8$-কে নিচে নিয়ে আসব।
$= \frac{1}{2^{(n - 1)} \times 2^{-8}}$ [দ্রষ্টব্য: $2^8$ নিচে আসলে $2^{-8}$ হয়ে যায়]
$= \frac{1}{2^{(n - 1 - 8)}}$ [সূচকের গুণন বিধি: $x^a \times x^b = x^{a+b}$]
$= \frac{1}{2^{(n - 9)}}$
সুতরাং, ধারাটির সাধারণ পদ বা $n$-তম পদ হলো $1/2^{(n - 9)}$ ।
শর্টকাট টেকনিক (পরীক্ষার হলের জন্য):
সাধারণ পদ বের করার সবচেয়ে সহজ উপায় হলো $n$-এর মান বসিয়ে প্রথম পদটি মেলানো।
আমাদের ধারার ১ম পদ হলো = $256$। অর্থাৎ, $n=1$ হলে উত্তর $256$ হতে হবে।
আসুন অপশনগুলো চেক করি ($n=1$ বসিয়ে):
১) $1/2^{(1 - 6)} = 1/2^{-5} = 2^5 = 32$ (এটি ২৫৬ নয়, তাই ভুল)
২) ভুল অপশন
৩) $1/2^{(1 - 8)} = 1/2^{-7} = 2^7 = 128$ (এটি ২৫৬ নয়, তাই ভুল)
৪) $1/2^{(1 - 9)} = 1/2^{-8} = 2^8 = 256$ (এটি আমাদের ১ম পদের সাথে মিলে গেছে)
সুতরাং, সঠিক উত্তর হলো $1/2^{(n - 9)}$ ।
Practice More Questions on Our App!
Download our app for free and access thousands of MCQ questions with detailed solutions