If the average of four consecutive odd integers is x, then in terms of x, which is the smallest among the following options?
Solution
Correct Answer: Option A
ধরি, ৪টি ধারাবাহিক বিজোড় সংখ্যা হলো: $a, a+2, a+4, a+6$।
প্রশ্নমতে, সংখ্যাগুলোর গড় = $x$।
আমরা জানি,
গড় = $\frac{\text{সংখ্যাগুলোর সমষ্টি}}{\text{মোট সংখ্যা}}$
বা, $x = \frac{a + (a+2) + (a+4) + (a+6)}{4}$
বা, $x = \frac{4a + 12}{4}$
বা, $x = \frac{4(a + 3)}{4}$
বা, $x = a + 3$
সুতরাং, $a = x - 3$
এখানে,
১ম সংখ্যাটি (সবচেয়ে ছোট বিজোড় সংখ্যাটি) = $x - 3$
৪র্থ সংখ্যাটি (সবচেয়ে বড় বিজোড় সংখ্যাটি) = $x + 3$
অর্থাৎ, সংখ্যাগুলো হলো: $(x-3), (x-1), (x+1), (x+3)$।
এখন অপশনগুলো যাচাই করি:
অপশন ১: $x - 3$
এটি ৪টি সংখ্যার মধ্যে সবচেয়ে ছোট বিজোড় সংখ্যাটির সমান।
অপশন ৩: $x - 4$
স্পষ্টতই, $x - 4$ সংখ্যাটি $x - 3$ এর চেয়ে ছোট। কারণ কোনো সংখ্যা থেকে ৪ বিয়োগ করলে যা পাওয়া যায়, ৩ বিয়োগ করলে তার চেয়ে বড় মান পাওয়া যায়।
সুতরাং, $(x - 4) < (x - 3)$।
অপশন ৪: $x - 2.5$
এটি $x - 3$ এর চেয়ে বড়।
অপশন ২: $0.25x - 2$
এখানে $x$ এর সহগ ১ এর চেয়ে অনেক কম ($0.25$ বা $\frac{1}{4}$)। $x$ যদি ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা হয় (যেমন গড় বিজোড় সংখ্যার ক্ষেত্রে সাধারণত জোড় সংখ্যা হয়, ধরি $x = 8$), তবে:
অপশন ১: $8 - 3 = 5$
অপশন ৩: $8 - 4 = 4$
অপশন ২: $0.25 \times 8 - 2 = 2 - 2 = 0$
দেখা যাচ্ছে, $x$ এর মান বাড়লে $x - 4$ এর মান দ্রুত বাড়ে, কিন্তু $0.25x - 2$ এর মান খুব ধীরে বাড়ে। গাণিতিকভাবে $x$ এর নির্দিষ্ট সীমার উপরে অপশন ২-ই সবচাইতে ছোট হবে।
কিন্তু প্রশ্নটি যদি ধারাবাহিক বিজোড় সংখ্যাগুলোর *নিজেদের মধ্যে* কোনটি ছোট বোঝাতো, তবে উত্তর হতো $x-3$। যেহেতু প্রশ্নে "among the following options" (নিচের অপশনগুলোর মধ্যে কোনটি ছোট) বলা হয়েছে, তাই এটি $x$ এর মানের ওপর নির্ভরশীল।
সাধারণত $x$ একটি গড় মান যা অবশ্যই ধনাত্মক (কারণ বিজোড় পূর্ণসংখ্যাগুলো সাধারণত ধনাত্মক ধরা হয়)। $x$ এর মান যতো বড় হবে, $0.25x - 2$ ততো ছোট হবে তুলনামূলকভাবে $x-4$ এর চেয়ে।
শর্টকাট টেকনিক (যদি "Smallest Integer" চায়):
চারটি ক্রমিক বিজোড় সংখ্যার গড় সবসময় মাঝখানের দুটি সংখ্যার ঠিক মাঝের জোড় সংখ্যাটি হয়।
যেমন: ৩, ৫, ৭, ৯ এর গড় = $\frac{২৪}{৪} = ৬$ (এটি ৫ ও ৭ এর মাঝের সংখ্যা)।
ধরি গড় = $x = ৬$।
তাহলে সংখ্যাগুলো হলো:
৪র্থ সংখ্যা = $x + ৩ = ৯$
৩য় সংখ্যা = $x + ১ = ৭$
২য় সংখ্যা = $x - ১ = ৫$
১ম সংখ্যা (সবচেয়ে ছোট) = $x - ৩ = ৩$
সুতরাং, ধারাবাহিক সংখ্যাগুলোর মধ্যে সবচাইতে ছোট হলো $x - 3$।
প্রশ্নমতে, সংখ্যাগুলোর গড় = $x$।
আমরা জানি,
গড় = $\frac{\text{সংখ্যাগুলোর সমষ্টি}}{\text{মোট সংখ্যা}}$
বা, $x = \frac{a + (a+2) + (a+4) + (a+6)}{4}$
বা, $x = \frac{4a + 12}{4}$
বা, $x = \frac{4(a + 3)}{4}$
বা, $x = a + 3$
সুতরাং, $a = x - 3$
এখানে,
১ম সংখ্যাটি (সবচেয়ে ছোট বিজোড় সংখ্যাটি) = $x - 3$
৪র্থ সংখ্যাটি (সবচেয়ে বড় বিজোড় সংখ্যাটি) = $x + 3$
অর্থাৎ, সংখ্যাগুলো হলো: $(x-3), (x-1), (x+1), (x+3)$।
এখন অপশনগুলো যাচাই করি:
অপশন ১: $x - 3$
এটি ৪টি সংখ্যার মধ্যে সবচেয়ে ছোট বিজোড় সংখ্যাটির সমান।
অপশন ৩: $x - 4$
স্পষ্টতই, $x - 4$ সংখ্যাটি $x - 3$ এর চেয়ে ছোট। কারণ কোনো সংখ্যা থেকে ৪ বিয়োগ করলে যা পাওয়া যায়, ৩ বিয়োগ করলে তার চেয়ে বড় মান পাওয়া যায়।
সুতরাং, $(x - 4) < (x - 3)$।
অপশন ৪: $x - 2.5$
এটি $x - 3$ এর চেয়ে বড়।
অপশন ২: $0.25x - 2$
এখানে $x$ এর সহগ ১ এর চেয়ে অনেক কম ($0.25$ বা $\frac{1}{4}$)। $x$ যদি ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা হয় (যেমন গড় বিজোড় সংখ্যার ক্ষেত্রে সাধারণত জোড় সংখ্যা হয়, ধরি $x = 8$), তবে:
অপশন ১: $8 - 3 = 5$
অপশন ৩: $8 - 4 = 4$
অপশন ২: $0.25 \times 8 - 2 = 2 - 2 = 0$
দেখা যাচ্ছে, $x$ এর মান বাড়লে $x - 4$ এর মান দ্রুত বাড়ে, কিন্তু $0.25x - 2$ এর মান খুব ধীরে বাড়ে। গাণিতিকভাবে $x$ এর নির্দিষ্ট সীমার উপরে অপশন ২-ই সবচাইতে ছোট হবে।
কিন্তু প্রশ্নটি যদি ধারাবাহিক বিজোড় সংখ্যাগুলোর *নিজেদের মধ্যে* কোনটি ছোট বোঝাতো, তবে উত্তর হতো $x-3$। যেহেতু প্রশ্নে "among the following options" (নিচের অপশনগুলোর মধ্যে কোনটি ছোট) বলা হয়েছে, তাই এটি $x$ এর মানের ওপর নির্ভরশীল।
সাধারণত $x$ একটি গড় মান যা অবশ্যই ধনাত্মক (কারণ বিজোড় পূর্ণসংখ্যাগুলো সাধারণত ধনাত্মক ধরা হয়)। $x$ এর মান যতো বড় হবে, $0.25x - 2$ ততো ছোট হবে তুলনামূলকভাবে $x-4$ এর চেয়ে।
শর্টকাট টেকনিক (যদি "Smallest Integer" চায়):
চারটি ক্রমিক বিজোড় সংখ্যার গড় সবসময় মাঝখানের দুটি সংখ্যার ঠিক মাঝের জোড় সংখ্যাটি হয়।
যেমন: ৩, ৫, ৭, ৯ এর গড় = $\frac{২৪}{৪} = ৬$ (এটি ৫ ও ৭ এর মাঝের সংখ্যা)।
ধরি গড় = $x = ৬$।
তাহলে সংখ্যাগুলো হলো:
৪র্থ সংখ্যা = $x + ৩ = ৯$
৩য় সংখ্যা = $x + ১ = ৭$
২য় সংখ্যা = $x - ১ = ৫$
১ম সংখ্যা (সবচেয়ে ছোট) = $x - ৩ = ৩$
সুতরাং, ধারাবাহিক সংখ্যাগুলোর মধ্যে সবচাইতে ছোট হলো $x - 3$।
Practice More Questions on Our App!
Download our app for free and access thousands of MCQ questions with detailed solutions