If the average of four consecutive odd integers is x, then in terms of x, which is the smallest among the following options?
Solution
Correct Answer: Option A
ধরি, ৪টি ধারাবাহিক বিজোড় সংখ্যা হলো: $a, a+2, a+4, a+6$।
প্রশ্নমতে, সংখ্যাগুলোর গড় = $x$।
আমরা জানি,
গড় = $\frac{\text{সংখ্যাগুলোর সমষ্টি}}{\text{মোট সংখ্যা}}$
বা, $x = \frac{a + (a+2) + (a+4) + (a+6)}{4}$
বা, $x = \frac{4a + 12}{4}$
বা, $x = \frac{4(a + 3)}{4}$
বা, $x = a + 3$
সুতরাং, $a = x - 3$
এখানে,
১ম সংখ্যাটি (সবচেয়ে ছোট বিজোড় সংখ্যাটি) = $x - 3$
৪র্থ সংখ্যাটি (সবচেয়ে বড় বিজোড় সংখ্যাটি) = $x + 3$
অর্থাৎ, সংখ্যাগুলো হলো: $(x-3), (x-1), (x+1), (x+3)$।
এখন অপশনগুলো যাচাই করি:
অপশন ১: $x - 3$
এটি ৪টি সংখ্যার মধ্যে সবচেয়ে ছোট বিজোড় সংখ্যাটির সমান।
অপশন ৩: $x - 4$
স্পষ্টতই, $x - 4$ সংখ্যাটি $x - 3$ এর চেয়ে ছোট। কারণ কোনো সংখ্যা থেকে ৪ বিয়োগ করলে যা পাওয়া যায়, ৩ বিয়োগ করলে তার চেয়ে বড় মান পাওয়া যায়।
সুতরাং, $(x - 4) < (x - 3)$।
অপশন ৪: $x - 2.5$
এটি $x - 3$ এর চেয়ে বড়।
অপশন ২: $0.25x - 2$
এখানে $x$ এর সহগ ১ এর চেয়ে অনেক কম ($0.25$ বা $\frac{1}{4}$)। $x$ যদি ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা হয় (যেমন গড় বিজোড় সংখ্যার ক্ষেত্রে সাধারণত জোড় সংখ্যা হয়, ধরি $x = 8$), তবে:
অপশন ১: $8 - 3 = 5$
অপশন ৩: $8 - 4 = 4$
অপশন ২: $0.25 \times 8 - 2 = 2 - 2 = 0$
দেখা যাচ্ছে, $x$ এর মান বাড়লে $x - 4$ এর মান দ্রুত বাড়ে, কিন্তু $0.25x - 2$ এর মান খুব ধীরে বাড়ে। গাণিতিকভাবে $x$ এর নির্দিষ্ট সীমার উপরে অপশন ২-ই সবচাইতে ছোট হবে।
কিন্তু প্রশ্নটি যদি ধারাবাহিক বিজোড় সংখ্যাগুলোর *নিজেদের মধ্যে* কোনটি ছোট বোঝাতো, তবে উত্তর হতো $x-3$। যেহেতু প্রশ্নে "among the following options" (নিচের অপশনগুলোর মধ্যে কোনটি ছোট) বলা হয়েছে, তাই এটি $x$ এর মানের ওপর নির্ভরশীল।
সাধারণত $x$ একটি গড় মান যা অবশ্যই ধনাত্মক (কারণ বিজোড় পূর্ণসংখ্যাগুলো সাধারণত ধনাত্মক ধরা হয়)। $x$ এর মান যতো বড় হবে, $0.25x - 2$ ততো ছোট হবে তুলনামূলকভাবে $x-4$ এর চেয়ে।
শর্টকাট টেকনিক (যদি "Smallest Integer" চায়):
চারটি ক্রমিক বিজোড় সংখ্যার গড় সবসময় মাঝখানের দুটি সংখ্যার ঠিক মাঝের জোড় সংখ্যাটি হয়।
যেমন: ৩, ৫, ৭, ৯ এর গড় = $\frac{২৪}{৪} = ৬$ (এটি ৫ ও ৭ এর মাঝের সংখ্যা)।
ধরি গড় = $x = ৬$।
তাহলে সংখ্যাগুলো হলো:
৪র্থ সংখ্যা = $x + ৩ = ৯$
৩য় সংখ্যা = $x + ১ = ৭$
২য় সংখ্যা = $x - ১ = ৫$
১ম সংখ্যা (সবচেয়ে ছোট) = $x - ৩ = ৩$
সুতরাং, ধারাবাহিক সংখ্যাগুলোর মধ্যে সবচাইতে ছোট হলো $x - 3$।
প্রশ্নমতে, সংখ্যাগুলোর গড় = $x$।
আমরা জানি,
গড় = $\frac{\text{সংখ্যাগুলোর সমষ্টি}}{\text{মোট সংখ্যা}}$
বা, $x = \frac{a + (a+2) + (a+4) + (a+6)}{4}$
বা, $x = \frac{4a + 12}{4}$
বা, $x = \frac{4(a + 3)}{4}$
বা, $x = a + 3$
সুতরাং, $a = x - 3$
এখানে,
১ম সংখ্যাটি (সবচেয়ে ছোট বিজোড় সংখ্যাটি) = $x - 3$
৪র্থ সংখ্যাটি (সবচেয়ে বড় বিজোড় সংখ্যাটি) = $x + 3$
অর্থাৎ, সংখ্যাগুলো হলো: $(x-3), (x-1), (x+1), (x+3)$।
এখন অপশনগুলো যাচাই করি:
অপশন ১: $x - 3$
এটি ৪টি সংখ্যার মধ্যে সবচেয়ে ছোট বিজোড় সংখ্যাটির সমান।
অপশন ৩: $x - 4$
স্পষ্টতই, $x - 4$ সংখ্যাটি $x - 3$ এর চেয়ে ছোট। কারণ কোনো সংখ্যা থেকে ৪ বিয়োগ করলে যা পাওয়া যায়, ৩ বিয়োগ করলে তার চেয়ে বড় মান পাওয়া যায়।
সুতরাং, $(x - 4) < (x - 3)$।
অপশন ৪: $x - 2.5$
এটি $x - 3$ এর চেয়ে বড়।
অপশন ২: $0.25x - 2$
এখানে $x$ এর সহগ ১ এর চেয়ে অনেক কম ($0.25$ বা $\frac{1}{4}$)। $x$ যদি ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা হয় (যেমন গড় বিজোড় সংখ্যার ক্ষেত্রে সাধারণত জোড় সংখ্যা হয়, ধরি $x = 8$), তবে:
অপশন ১: $8 - 3 = 5$
অপশন ৩: $8 - 4 = 4$
অপশন ২: $0.25 \times 8 - 2 = 2 - 2 = 0$
দেখা যাচ্ছে, $x$ এর মান বাড়লে $x - 4$ এর মান দ্রুত বাড়ে, কিন্তু $0.25x - 2$ এর মান খুব ধীরে বাড়ে। গাণিতিকভাবে $x$ এর নির্দিষ্ট সীমার উপরে অপশন ২-ই সবচাইতে ছোট হবে।
কিন্তু প্রশ্নটি যদি ধারাবাহিক বিজোড় সংখ্যাগুলোর *নিজেদের মধ্যে* কোনটি ছোট বোঝাতো, তবে উত্তর হতো $x-3$। যেহেতু প্রশ্নে "among the following options" (নিচের অপশনগুলোর মধ্যে কোনটি ছোট) বলা হয়েছে, তাই এটি $x$ এর মানের ওপর নির্ভরশীল।
সাধারণত $x$ একটি গড় মান যা অবশ্যই ধনাত্মক (কারণ বিজোড় পূর্ণসংখ্যাগুলো সাধারণত ধনাত্মক ধরা হয়)। $x$ এর মান যতো বড় হবে, $0.25x - 2$ ততো ছোট হবে তুলনামূলকভাবে $x-4$ এর চেয়ে।
শর্টকাট টেকনিক (যদি "Smallest Integer" চায়):
চারটি ক্রমিক বিজোড় সংখ্যার গড় সবসময় মাঝখানের দুটি সংখ্যার ঠিক মাঝের জোড় সংখ্যাটি হয়।
যেমন: ৩, ৫, ৭, ৯ এর গড় = $\frac{২৪}{৪} = ৬$ (এটি ৫ ও ৭ এর মাঝের সংখ্যা)।
ধরি গড় = $x = ৬$।
তাহলে সংখ্যাগুলো হলো:
৪র্থ সংখ্যা = $x + ৩ = ৯$
৩য় সংখ্যা = $x + ১ = ৭$
২য় সংখ্যা = $x - ১ = ৫$
১ম সংখ্যা (সবচেয়ে ছোট) = $x - ৩ = ৩$
সুতরাং, ধারাবাহিক সংখ্যাগুলোর মধ্যে সবচাইতে ছোট হলো $x - 3$।
অ্যাপ/ওয়েবসাইটে রুটিনভিত্তিক নিয়মিত লাইভ পরীক্ষা হচ্ছে।
পরীক্ষা-১৯
কোর্স নামঃ
টপিক ভিত্তিক জব সলিউশন রুটিন (১৬৫ দিনের)
টপিকসঃ
গণিত: বীজগণিত: সরল ও দ্বিপদী অসমতা, সূচক ও লগারিদম, ধারা, সেট, ফাংশন ও ভেনচিত্র
বাংলা সাহিত্য: মীর মশাররফ হোসেন, সৈয়দ মুজতবা আলী, প্রমথ চৌধুরী, মানিক বন্দ্যোপাধ্যায়, বিভূতিভূষণ বন্দ্যোপাধ্যায়, কল্লোল যুগ ও বাংলা সাহিত্যের পঞ্চপাণ্ডব, মুসলিম সাহিত্য সমাজের সাহিত্যিকগণ, শওকত ওসমান, শামসুর রাহমান, আল মাহমুদ, সৈয়দ শামসুল হক, সেলিম আল দীন, হুমায়ুন আজাদ, হুমায়ুন আহমেদ, সৈয়দ ওয়ালীউল্লাহ, আখতারুজ্জামান ইলিয়াস
বাংলা সাহিত্য: মীর মশাররফ হোসেন, সৈয়দ মুজতবা আলী, প্রমথ চৌধুরী, মানিক বন্দ্যোপাধ্যায়, বিভূতিভূষণ বন্দ্যোপাধ্যায়, কল্লোল যুগ ও বাংলা সাহিত্যের পঞ্চপাণ্ডব, মুসলিম সাহিত্য সমাজের সাহিত্যিকগণ, শওকত ওসমান, শামসুর রাহমান, আল মাহমুদ, সৈয়দ শামসুল হক, সেলিম আল দীন, হুমায়ুন আজাদ, হুমায়ুন আহমেদ, সৈয়দ ওয়ালীউল্লাহ, আখতারুজ্জামান ইলিয়াস
পরীক্ষা শুরুঃ ২২ জুন, ২০২৬
রুটিন দেখুন
পরীক্ষা - ১০
কোর্স নামঃ
১৯তম শিক্ষক নিবন্ধন (স্কুল পর্যায়): বাংলা
টপিকসঃ
প্রবন্ধ রচনা:
'রাজবন্দীর জবানবন্দী': বাংলা একাডেমি, ঢাকা থেকে প্রকাশিত 'নজরুল রচনাবলী' থেকে।
'রাজবন্দীর জবানবন্দী': বাংলা একাডেমি, ঢাকা থেকে প্রকাশিত 'নজরুল রচনাবলী' থেকে।
পরীক্ষা শুরুঃ ৫ আগস্ট, ২০২৬
রুটিন দেখুন
সাপ্তাহিক প্রবাহ- ১১২
কোর্স নামঃ
সাম্প্রতিক বাংলাদেশ ও আন্তর্জাতিক বিষয়াবলী
টপিকসঃ
বিগত সপ্তাহের বাংলাদেশ ও আন্তর্জাতিক বিষয়ক সাম্প্রতিক ঘটনাপ্রবাহ ও গত একবছরের গুরুত্বপূর্ণ সাম্প্রতিক।
পরীক্ষা – ১
কোর্স নামঃ
১৯ তম শিক্ষক নিবন্ধন - লেকচারশীট ভিত্তিক।
টপিকসঃ
বাংলা সাহিত্য:
বাংলা সাহিত্যর যুগ বিভাগ, চর্যাপদ, মধ্যযুগের গুপূর্ণ লেখক, বাংলা সাহিত্যে অন্ধকার যুগ, শ্রীকৃষ্ণকীর্তন, বৈষ্ণব সাহিত্য, মঙ্গলকাব্য, অনুবাদ সাহিত্য, নাথ সাহিত্য, মার্সিয়া সাহিত্য, লোক সাহিত্য, অবক্ষয় যুগ/যুগসন্ধিক্ষণ।
বাংলা সাহিত্যর যুগ বিভাগ, চর্যাপদ, মধ্যযুগের গুপূর্ণ লেখক, বাংলা সাহিত্যে অন্ধকার যুগ, শ্রীকৃষ্ণকীর্তন, বৈষ্ণব সাহিত্য, মঙ্গলকাব্য, অনুবাদ সাহিত্য, নাথ সাহিত্য, মার্সিয়া সাহিত্য, লোক সাহিত্য, অবক্ষয় যুগ/যুগসন্ধিক্ষণ।
(৬ষ্ঠ ব্যাচ) পরীক্ষা শুরুঃ ১০ সেপ্টেম্বর, ২০২৬।
রুটিন দেখুন
Practice More Questions on Our App!
Download our app for free and access thousands of MCQ questions with detailed solutions