If the average of four consecutive odd integers is x, then in terms of x, which is the smallest among the following options?
Solution
Correct Answer: Option A
ধরি, ৪টি ধারাবাহিক বিজোড় সংখ্যা হলো: $a, a+2, a+4, a+6$।
প্রশ্নমতে, সংখ্যাগুলোর গড় = $x$।
আমরা জানি,
গড় = $\frac{\text{সংখ্যাগুলোর সমষ্টি}}{\text{মোট সংখ্যা}}$
বা, $x = \frac{a + (a+2) + (a+4) + (a+6)}{4}$
বা, $x = \frac{4a + 12}{4}$
বা, $x = \frac{4(a + 3)}{4}$
বা, $x = a + 3$
সুতরাং, $a = x - 3$
এখানে,
১ম সংখ্যাটি (সবচেয়ে ছোট বিজোড় সংখ্যাটি) = $x - 3$
৪র্থ সংখ্যাটি (সবচেয়ে বড় বিজোড় সংখ্যাটি) = $x + 3$
অর্থাৎ, সংখ্যাগুলো হলো: $(x-3), (x-1), (x+1), (x+3)$।
এখন অপশনগুলো যাচাই করি:
অপশন ১: $x - 3$
এটি ৪টি সংখ্যার মধ্যে সবচেয়ে ছোট বিজোড় সংখ্যাটির সমান।
অপশন ৩: $x - 4$
স্পষ্টতই, $x - 4$ সংখ্যাটি $x - 3$ এর চেয়ে ছোট। কারণ কোনো সংখ্যা থেকে ৪ বিয়োগ করলে যা পাওয়া যায়, ৩ বিয়োগ করলে তার চেয়ে বড় মান পাওয়া যায়।
সুতরাং, $(x - 4) < (x - 3)$।
অপশন ৪: $x - 2.5$
এটি $x - 3$ এর চেয়ে বড়।
অপশন ২: $0.25x - 2$
এখানে $x$ এর সহগ ১ এর চেয়ে অনেক কম ($0.25$ বা $\frac{1}{4}$)। $x$ যদি ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা হয় (যেমন গড় বিজোড় সংখ্যার ক্ষেত্রে সাধারণত জোড় সংখ্যা হয়, ধরি $x = 8$), তবে:
অপশন ১: $8 - 3 = 5$
অপশন ৩: $8 - 4 = 4$
অপশন ২: $0.25 \times 8 - 2 = 2 - 2 = 0$
দেখা যাচ্ছে, $x$ এর মান বাড়লে $x - 4$ এর মান দ্রুত বাড়ে, কিন্তু $0.25x - 2$ এর মান খুব ধীরে বাড়ে। গাণিতিকভাবে $x$ এর নির্দিষ্ট সীমার উপরে অপশন ২-ই সবচাইতে ছোট হবে।
কিন্তু প্রশ্নটি যদি ধারাবাহিক বিজোড় সংখ্যাগুলোর *নিজেদের মধ্যে* কোনটি ছোট বোঝাতো, তবে উত্তর হতো $x-3$। যেহেতু প্রশ্নে "among the following options" (নিচের অপশনগুলোর মধ্যে কোনটি ছোট) বলা হয়েছে, তাই এটি $x$ এর মানের ওপর নির্ভরশীল।
সাধারণত $x$ একটি গড় মান যা অবশ্যই ধনাত্মক (কারণ বিজোড় পূর্ণসংখ্যাগুলো সাধারণত ধনাত্মক ধরা হয়)। $x$ এর মান যতো বড় হবে, $0.25x - 2$ ততো ছোট হবে তুলনামূলকভাবে $x-4$ এর চেয়ে।
শর্টকাট টেকনিক (যদি "Smallest Integer" চায়):
চারটি ক্রমিক বিজোড় সংখ্যার গড় সবসময় মাঝখানের দুটি সংখ্যার ঠিক মাঝের জোড় সংখ্যাটি হয়।
যেমন: ৩, ৫, ৭, ৯ এর গড় = $\frac{২৪}{৪} = ৬$ (এটি ৫ ও ৭ এর মাঝের সংখ্যা)।
ধরি গড় = $x = ৬$।
তাহলে সংখ্যাগুলো হলো:
৪র্থ সংখ্যা = $x + ৩ = ৯$
৩য় সংখ্যা = $x + ১ = ৭$
২য় সংখ্যা = $x - ১ = ৫$
১ম সংখ্যা (সবচেয়ে ছোট) = $x - ৩ = ৩$
সুতরাং, ধারাবাহিক সংখ্যাগুলোর মধ্যে সবচাইতে ছোট হলো $x - 3$।
প্রশ্নমতে, সংখ্যাগুলোর গড় = $x$।
আমরা জানি,
গড় = $\frac{\text{সংখ্যাগুলোর সমষ্টি}}{\text{মোট সংখ্যা}}$
বা, $x = \frac{a + (a+2) + (a+4) + (a+6)}{4}$
বা, $x = \frac{4a + 12}{4}$
বা, $x = \frac{4(a + 3)}{4}$
বা, $x = a + 3$
সুতরাং, $a = x - 3$
এখানে,
১ম সংখ্যাটি (সবচেয়ে ছোট বিজোড় সংখ্যাটি) = $x - 3$
৪র্থ সংখ্যাটি (সবচেয়ে বড় বিজোড় সংখ্যাটি) = $x + 3$
অর্থাৎ, সংখ্যাগুলো হলো: $(x-3), (x-1), (x+1), (x+3)$।
এখন অপশনগুলো যাচাই করি:
অপশন ১: $x - 3$
এটি ৪টি সংখ্যার মধ্যে সবচেয়ে ছোট বিজোড় সংখ্যাটির সমান।
অপশন ৩: $x - 4$
স্পষ্টতই, $x - 4$ সংখ্যাটি $x - 3$ এর চেয়ে ছোট। কারণ কোনো সংখ্যা থেকে ৪ বিয়োগ করলে যা পাওয়া যায়, ৩ বিয়োগ করলে তার চেয়ে বড় মান পাওয়া যায়।
সুতরাং, $(x - 4) < (x - 3)$।
অপশন ৪: $x - 2.5$
এটি $x - 3$ এর চেয়ে বড়।
অপশন ২: $0.25x - 2$
এখানে $x$ এর সহগ ১ এর চেয়ে অনেক কম ($0.25$ বা $\frac{1}{4}$)। $x$ যদি ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা হয় (যেমন গড় বিজোড় সংখ্যার ক্ষেত্রে সাধারণত জোড় সংখ্যা হয়, ধরি $x = 8$), তবে:
অপশন ১: $8 - 3 = 5$
অপশন ৩: $8 - 4 = 4$
অপশন ২: $0.25 \times 8 - 2 = 2 - 2 = 0$
দেখা যাচ্ছে, $x$ এর মান বাড়লে $x - 4$ এর মান দ্রুত বাড়ে, কিন্তু $0.25x - 2$ এর মান খুব ধীরে বাড়ে। গাণিতিকভাবে $x$ এর নির্দিষ্ট সীমার উপরে অপশন ২-ই সবচাইতে ছোট হবে।
কিন্তু প্রশ্নটি যদি ধারাবাহিক বিজোড় সংখ্যাগুলোর *নিজেদের মধ্যে* কোনটি ছোট বোঝাতো, তবে উত্তর হতো $x-3$। যেহেতু প্রশ্নে "among the following options" (নিচের অপশনগুলোর মধ্যে কোনটি ছোট) বলা হয়েছে, তাই এটি $x$ এর মানের ওপর নির্ভরশীল।
সাধারণত $x$ একটি গড় মান যা অবশ্যই ধনাত্মক (কারণ বিজোড় পূর্ণসংখ্যাগুলো সাধারণত ধনাত্মক ধরা হয়)। $x$ এর মান যতো বড় হবে, $0.25x - 2$ ততো ছোট হবে তুলনামূলকভাবে $x-4$ এর চেয়ে।
শর্টকাট টেকনিক (যদি "Smallest Integer" চায়):
চারটি ক্রমিক বিজোড় সংখ্যার গড় সবসময় মাঝখানের দুটি সংখ্যার ঠিক মাঝের জোড় সংখ্যাটি হয়।
যেমন: ৩, ৫, ৭, ৯ এর গড় = $\frac{২৪}{৪} = ৬$ (এটি ৫ ও ৭ এর মাঝের সংখ্যা)।
ধরি গড় = $x = ৬$।
তাহলে সংখ্যাগুলো হলো:
৪র্থ সংখ্যা = $x + ৩ = ৯$
৩য় সংখ্যা = $x + ১ = ৭$
২য় সংখ্যা = $x - ১ = ৫$
১ম সংখ্যা (সবচেয়ে ছোট) = $x - ৩ = ৩$
সুতরাং, ধারাবাহিক সংখ্যাগুলোর মধ্যে সবচাইতে ছোট হলো $x - 3$।
অ্যাপ/ওয়েবসাইটে রুটিনভিত্তিক নিয়মিত লাইভ পরীক্ষা হচ্ছে।
পরীক্ষা – ৩২
কোর্স নামঃ
১৯ তম শিক্ষক নিবন্ধন - লেকচারশীট ভিত্তিক।
টপিকসঃ
বাংলা ব্যকরণ
সমার্থক ও বিপরীতার্থক শব্দ
সমার্থক ও বিপরীতার্থক শব্দ
পরীক্ষা শুরুঃ (৫ম ব্যাচ) শুরু ৫ মে, ২০২৬।
রুটিন দেখুন
পরীক্ষা – ১২
কোর্স নামঃ
১৯তম শিক্ষক নিবন্ধন (কলেজ পর্যায়)- হিসাববিজ্ঞান
টপিকসঃ
করবিধি (Taxation)
১২ মে, ২০২৬ থেকে পরীক্ষা শুরু।
রুটিন দেখুন
Practice More Questions on Our App!
Download our app for free and access thousands of MCQ questions with detailed solutions