একটি ত্রিভুজের বাহুগুলোর অনুপাত 1 : 2√2 : 3 হলে এর বৃহত্তম কোণটির মান কত?
Solution
Correct Answer: Option C
মনে করি, ত্রিভুজটির বাহুগুলোর দৈর্ঘ্য যথাক্রমে $a = x$, $b = 2\sqrt{2}x$ এবং $c = 3x$ (যেখানে x > 0)।
আমরা জানি, ত্রিভুজের বৃহত্তম বাহুর বিপরীত কোণটিই বৃহত্তম কোণ। এখানে বাহুগুলোর অনুপাত লক্ষ্য করলে দেখা যায়, $3x$ বাহুটি অন্য দুটি বাহুর চেয়ে বড়। (কারণ $\sqrt{1} = 1$, $2\sqrt{2} \approx 2.828$, এবং $3 = 3$)।
সুতরাং, বৃহত্তম বাহু c = 3x এর বিপরীত কোণটিই হবে বৃহত্তম কোণ। ধরি, এই কোণটি C.
বাহুগুলোর বর্গের মান বের করে পাই,
a² = (x)² = x²
b² = (2√2x)² = 4 × 2 × x² = 8x²
c² = (3x)² = 9x²
এখন, পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুসারে বা বাহুগুলোর বর্গের সম্পর্ক যাচাই করে দেখি:
a² + b² = x² + 8x² = 9x²
আবার, c² = 9x²
∴ a² + b² = c²
যেহেতু একটি বাহুর বর্গ অপর দুই বাহুর বর্গের সমষ্টির সমান, তাই এটি একটি সমকোণী ত্রিভুজ এবং বৃহত্তম বাহু (c) হলো অতিভুজ।
আমরা জানি, সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজের বিপরীত কোণ সমকোণ বা 90°।
সুতরাং, ত্রিভুজটির বৃহত্তম কোণটির মান 90°।
বিকল্প পদ্ধতি (কোসাইন সূত্র ব্যবহার করে):
আমরা জানি, কোসাইন সূত্র অনুসারে,
cos C = (a² + b² - c²) / 2ab
বা, cos C = {x² + (2√2x)² - (3x)²} / {2 × x × 2√2x}
বা, cos C = (x² + 8x² - 9x²) / 4√2x²
বা, cos C = (9x² - 9x²) / 4√2x²
বা, cos C = 0 / 4√2x²
বা, cos C = 0
বা, cos C = cos 90°
∴ C = 90°
শর্টকাট টেকনিক:
অনুপাতগুলোতে বাহুগুলোর বর্গ মুখে মুখে বের করুন:
1² = 1
(2√2)² = 4 × 2 = 8
3² = 9
লক্ষ্য করুন, ছোট দুটির বর্গের যোগফল (1 + 8) = 9, যা বড়টির বর্গের সমান। পিথাগোরাসের সূত্র (a² + b² = c²) মিলে গেলেই বুঝবেন এটি সমকোণী ত্রিভুজ এবং বৃহত্তম কোণটি অবশ্যই 90°।
আমরা জানি, ত্রিভুজের বৃহত্তম বাহুর বিপরীত কোণটিই বৃহত্তম কোণ। এখানে বাহুগুলোর অনুপাত লক্ষ্য করলে দেখা যায়, $3x$ বাহুটি অন্য দুটি বাহুর চেয়ে বড়। (কারণ $\sqrt{1} = 1$, $2\sqrt{2} \approx 2.828$, এবং $3 = 3$)।
সুতরাং, বৃহত্তম বাহু c = 3x এর বিপরীত কোণটিই হবে বৃহত্তম কোণ। ধরি, এই কোণটি C.
বাহুগুলোর বর্গের মান বের করে পাই,
a² = (x)² = x²
b² = (2√2x)² = 4 × 2 × x² = 8x²
c² = (3x)² = 9x²
এখন, পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুসারে বা বাহুগুলোর বর্গের সম্পর্ক যাচাই করে দেখি:
a² + b² = x² + 8x² = 9x²
আবার, c² = 9x²
∴ a² + b² = c²
যেহেতু একটি বাহুর বর্গ অপর দুই বাহুর বর্গের সমষ্টির সমান, তাই এটি একটি সমকোণী ত্রিভুজ এবং বৃহত্তম বাহু (c) হলো অতিভুজ।
আমরা জানি, সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজের বিপরীত কোণ সমকোণ বা 90°।
সুতরাং, ত্রিভুজটির বৃহত্তম কোণটির মান 90°।
বিকল্প পদ্ধতি (কোসাইন সূত্র ব্যবহার করে):
আমরা জানি, কোসাইন সূত্র অনুসারে,
cos C = (a² + b² - c²) / 2ab
বা, cos C = {x² + (2√2x)² - (3x)²} / {2 × x × 2√2x}
বা, cos C = (x² + 8x² - 9x²) / 4√2x²
বা, cos C = (9x² - 9x²) / 4√2x²
বা, cos C = 0 / 4√2x²
বা, cos C = 0
বা, cos C = cos 90°
∴ C = 90°
শর্টকাট টেকনিক:
অনুপাতগুলোতে বাহুগুলোর বর্গ মুখে মুখে বের করুন:
1² = 1
(2√2)² = 4 × 2 = 8
3² = 9
লক্ষ্য করুন, ছোট দুটির বর্গের যোগফল (1 + 8) = 9, যা বড়টির বর্গের সমান। পিথাগোরাসের সূত্র (a² + b² = c²) মিলে গেলেই বুঝবেন এটি সমকোণী ত্রিভুজ এবং বৃহত্তম কোণটি অবশ্যই 90°।
অ্যাপ/ওয়েবসাইটে রুটিনভিত্তিক নিয়মিত লাইভ পরীক্ষা হচ্ছে।
পরীক্ষা – ১১৩
কোর্স নামঃ
১৯ তম শিক্ষক নিবন্ধন - লেকচারশীট ভিত্তিক।
টপিকসঃ
গণিত
বৃত্ত ও ঘনবস্তু
বৃত্ত ও ঘনবস্তু
পরীক্ষা শুরুঃ ৩য় ব্যাচ শুরু ৫ নভেম্বর, ২০২৫।
রুটিন দেখুন
ব্যাচ-১/পরীক্ষা- ৫১
কোর্স নামঃ
সাধারণ জ্ঞান ৭০ মার্ক বেসিক ভিউ বই থেকে
টপিকসঃ
বাংলাদেশ বিষয়াবলি
বাংলাদেশের শিল্প ও বাণিজ্য: basic Terms of Trade, বাংলাদেশের অর্থনীতির সাথে জড়িত আন্তর্জাতিক সম্প্রদায়, বাণিজ্য মন্ত্রণালয়, আমদানি-রপ্তানি, BEZA, বিনিয়োগ তথ্য (পেইজ: ৭৯০-৮০২)
বাংলাদেশের শিল্প ও বাণিজ্য: basic Terms of Trade, বাংলাদেশের অর্থনীতির সাথে জড়িত আন্তর্জাতিক সম্প্রদায়, বাণিজ্য মন্ত্রণালয়, আমদানি-রপ্তানি, BEZA, বিনিয়োগ তথ্য (পেইজ: ৭৯০-৮০২)
৯০০ পেইজের সম্পূর্ণ বই শেষ করা হবে।
রুটিন দেখুন
পরীক্ষা – ৩৯
কোর্স নামঃ
প্রাইমারি প্রধান শিক্ষক নিয়োগ প্রস্তুতি (২য় ব্যাচ)
টপিকসঃ
বাংলা সাহিত্য সম্পূর্ণ সিলেবাস (১০০ মার্ক)
৫ ফেব্রুয়ারি থেকে শুরু।
রুটিন দেখুন
পরীক্ষা-২৫
কোর্স নামঃ
৫১ তম বিসিএস প্রস্ততি - ২৩৬ দিনে সম্পূর্ণ সিলিবাস।
টপিকসঃ
পরীক্ষা-২৩ ও পরীক্ষা-২৪ এর সিলেবাস থেকে (৫০টি প্রশ্ন)
১০ ফেব্রুয়ারি, ২০২৬
রুটিন দেখুন
Practice More Questions on Our App!
Download our app for free and access thousands of MCQ questions with detailed solutions