একটি ত্রিভুজের বাহুগুলোর অনুপাত 1 : 2√2 : 3 হলে এর বৃহত্তম কোণটির মান কত?
Solution
Correct Answer: Option C
মনে করি, ত্রিভুজটির বাহুগুলোর দৈর্ঘ্য যথাক্রমে $a = x$, $b = 2\sqrt{2}x$ এবং $c = 3x$ (যেখানে x > 0)।
আমরা জানি, ত্রিভুজের বৃহত্তম বাহুর বিপরীত কোণটিই বৃহত্তম কোণ। এখানে বাহুগুলোর অনুপাত লক্ষ্য করলে দেখা যায়, $3x$ বাহুটি অন্য দুটি বাহুর চেয়ে বড়। (কারণ $\sqrt{1} = 1$, $2\sqrt{2} \approx 2.828$, এবং $3 = 3$)।
সুতরাং, বৃহত্তম বাহু c = 3x এর বিপরীত কোণটিই হবে বৃহত্তম কোণ। ধরি, এই কোণটি C.
বাহুগুলোর বর্গের মান বের করে পাই,
a² = (x)² = x²
b² = (2√2x)² = 4 × 2 × x² = 8x²
c² = (3x)² = 9x²
এখন, পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুসারে বা বাহুগুলোর বর্গের সম্পর্ক যাচাই করে দেখি:
a² + b² = x² + 8x² = 9x²
আবার, c² = 9x²
∴ a² + b² = c²
যেহেতু একটি বাহুর বর্গ অপর দুই বাহুর বর্গের সমষ্টির সমান, তাই এটি একটি সমকোণী ত্রিভুজ এবং বৃহত্তম বাহু (c) হলো অতিভুজ।
আমরা জানি, সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজের বিপরীত কোণ সমকোণ বা 90°।
সুতরাং, ত্রিভুজটির বৃহত্তম কোণটির মান 90°।
বিকল্প পদ্ধতি (কোসাইন সূত্র ব্যবহার করে):
আমরা জানি, কোসাইন সূত্র অনুসারে,
cos C = (a² + b² - c²) / 2ab
বা, cos C = {x² + (2√2x)² - (3x)²} / {2 × x × 2√2x}
বা, cos C = (x² + 8x² - 9x²) / 4√2x²
বা, cos C = (9x² - 9x²) / 4√2x²
বা, cos C = 0 / 4√2x²
বা, cos C = 0
বা, cos C = cos 90°
∴ C = 90°
শর্টকাট টেকনিক:
অনুপাতগুলোতে বাহুগুলোর বর্গ মুখে মুখে বের করুন:
1² = 1
(2√2)² = 4 × 2 = 8
3² = 9
লক্ষ্য করুন, ছোট দুটির বর্গের যোগফল (1 + 8) = 9, যা বড়টির বর্গের সমান। পিথাগোরাসের সূত্র (a² + b² = c²) মিলে গেলেই বুঝবেন এটি সমকোণী ত্রিভুজ এবং বৃহত্তম কোণটি অবশ্যই 90°।
আমরা জানি, ত্রিভুজের বৃহত্তম বাহুর বিপরীত কোণটিই বৃহত্তম কোণ। এখানে বাহুগুলোর অনুপাত লক্ষ্য করলে দেখা যায়, $3x$ বাহুটি অন্য দুটি বাহুর চেয়ে বড়। (কারণ $\sqrt{1} = 1$, $2\sqrt{2} \approx 2.828$, এবং $3 = 3$)।
সুতরাং, বৃহত্তম বাহু c = 3x এর বিপরীত কোণটিই হবে বৃহত্তম কোণ। ধরি, এই কোণটি C.
বাহুগুলোর বর্গের মান বের করে পাই,
a² = (x)² = x²
b² = (2√2x)² = 4 × 2 × x² = 8x²
c² = (3x)² = 9x²
এখন, পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুসারে বা বাহুগুলোর বর্গের সম্পর্ক যাচাই করে দেখি:
a² + b² = x² + 8x² = 9x²
আবার, c² = 9x²
∴ a² + b² = c²
যেহেতু একটি বাহুর বর্গ অপর দুই বাহুর বর্গের সমষ্টির সমান, তাই এটি একটি সমকোণী ত্রিভুজ এবং বৃহত্তম বাহু (c) হলো অতিভুজ।
আমরা জানি, সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজের বিপরীত কোণ সমকোণ বা 90°।
সুতরাং, ত্রিভুজটির বৃহত্তম কোণটির মান 90°।
বিকল্প পদ্ধতি (কোসাইন সূত্র ব্যবহার করে):
আমরা জানি, কোসাইন সূত্র অনুসারে,
cos C = (a² + b² - c²) / 2ab
বা, cos C = {x² + (2√2x)² - (3x)²} / {2 × x × 2√2x}
বা, cos C = (x² + 8x² - 9x²) / 4√2x²
বা, cos C = (9x² - 9x²) / 4√2x²
বা, cos C = 0 / 4√2x²
বা, cos C = 0
বা, cos C = cos 90°
∴ C = 90°
শর্টকাট টেকনিক:
অনুপাতগুলোতে বাহুগুলোর বর্গ মুখে মুখে বের করুন:
1² = 1
(2√2)² = 4 × 2 = 8
3² = 9
লক্ষ্য করুন, ছোট দুটির বর্গের যোগফল (1 + 8) = 9, যা বড়টির বর্গের সমান। পিথাগোরাসের সূত্র (a² + b² = c²) মিলে গেলেই বুঝবেন এটি সমকোণী ত্রিভুজ এবং বৃহত্তম কোণটি অবশ্যই 90°।
Practice More Questions on Our App!
Download our app for free and access thousands of MCQ questions with detailed solutions