১৩ জন খেলোয়াড় হতে ৬ জনকে কত প্রকারে বাছাই করা যায়, যেখানে ৩ জন সর্বদাই অন্তর্ভুক্ত থাকবে?

মোট খেলোয়াড়ের সংখ্যা = ১৩ জন।
বাছাই করতে হবে = ৬ জন।

শর্তমতে, ৩ জন খেলোয়াড় সর্বদাই অন্তর্ভুক্ত থাকবে।
যেহেতু ৩ জন নির্দিষ্ট খেলোয়াড় সর্বদা অন্তর্ভুক্ত থাকবে, তাই ঐ ৩ জন খেলোয়াড়কে ইতিমধ্যে বাছাই করা হয়েছে বলে ধরে নিতে হবে।
সুতরাং, অবশিষ্ট খেলোয়াড়ের সংখ্যা = (১৩ – ৩) জন = ১০ জন।
এবং অবশিষ্ট বাছাই করতে হবে = (৬ – ৩) জন = ৩ জন।
এখন, আমাদের কাজ হলো অবশিষ্ট ১০ জন খেলোয়াড় থেকে ৩ জন খেলোয়াড়কে বাছাই করা।

আমরা জানি, $n$ সংখ্যক ভিন্ন ভিন্ন জিনিস হতে $r$ সংখ্যক জিনিস নিয়ে গঠিত সমাবেশ সংখ্যা = $^{n}C_{r}$
$\therefore$ নির্ণেয় বাছাই সংখ্যা = $^{10}C_{3}$
$= \frac{10!}{3! (10-3)!}$
$= \frac{10 \times 9 \times 8 \times 7!}{3 \times 2 \times 1 \times 7!}$
$= \frac{10 \times 9 \times 8}{3 \times 2 \times 1}$
$= \frac{720}{6}$
$= 120$
$\therefore$ নির্ণেয় উপায় সংখ্যা = ১২০

শর্টকাট টেকনিক:
মোট উপাদান $n$ এবং বাছাই সংখ্যা $r$ হলে, যদি $k$ সংখ্যক বস্তু সর্বদা অন্তর্ভুক্ত থাকে, তবে সূত্রটি হলো: $^{n-k}C_{r-k}$
এখানে,
$n = 13$, $r = 6$, $k = 3$
$\therefore$ উপায় = $^{13-3}C_{6-3}$
$= ^{10}C_{3}$
$= \frac{10 \times 9 \times 8}{3 \times 2 \times 1}$
$= \mathbf{120}$