3^2x-2 - 5.3^x-2 - 66=0 হলে, x এর মান কত?

দেওয়া আছে,
$3^{2x-2} - 5 \cdot 3^{x-2} - 66 = 0$
বা, $\frac{3^{2x}}{3^2} - 5 \cdot \frac{3^x}{3^2} - 66 = 0$ [সূচকের নিয়ম ব্যবহার করে]
বা, $\frac{(3^x)^2}{9} - \frac{5 \cdot 3^x}{9} - 66 = 0$

ধরি, $3^x = a$
বা, $\frac{a^2}{9} - \frac{5a}{9} - 66 = 0$
বা, $\frac{a^2 - 5a - 594}{9} = 0$ [লসাগু করে]
বা, $a^2 - 5a - 594 = 0$
বা, $a^2 - 27a + 22a - 594 = 0$ [মিডল টার্ম ব্রেক করে]
বা, $a(a - 27) + 22(a - 27) = 0$
বা, $(a - 27)(a + 22) = 0$

হয়,
$a - 27 = 0$
বা, $a = 27$
বা, $3^x = 3^3$ [$3^x = a$ মান বসিয়ে]
বা, $x = 3$ (কিন্তু প্রদত্ত সমীকরণে x=3 বসালে বামপক্ষ শূন্য হয় না, সম্ভবত প্রশ্নে কোন টাইপিং ভুল আছে অথবা উত্তরে ভুল আছে। নিচের নোট দেখুন*)

সংশোধন:
আপনার প্রদত্ত প্রশ্নটিতে একটি ছোট ভুল থাকতে পারে অথবা আপনার দেওয়া সঠিক উত্তরে ভুল আছে। প্রচলিত প্রশ্নের ধরণ অনুযায়ী সাধারণত প্রশ্নটি হয়ে থাকে: $3^{2x} - 5 \cdot 3^{x} - 66 = 0$ অথবা $3^{2x+2} - 5 \cdot 3^{x+1} - 66 = 0$ এমন কিছু।

তবে, প্রদত্ত প্রশ্নটি $3^{2x-2} - 5 \cdot 3^{x-2} - 66 = 0$ হিসেবে সমাধান করলে সঠিক মান পাওয়া যায় x = 4।
আসুন x=4 দিয়ে শুদ্ধি পরীক্ষা করি:
বামপক্ষ = $3^{2(4)-2} - 5 \cdot 3^{4-2} - 66$
= $3^{8-2} - 5 \cdot 3^2 - 66$
= $3^6 - 45 - 66$
= $729 - 111$
= $618 \neq 0$

সঠিক উত্তর নিয়ে বিভ্রান্তি:
যদি সমীকরণটি $3^{2x} - 5 \cdot 3^x - 36 = 0$ (বা কাছাকাছি কোনো ফরম্যাট) না হয়, তবে এই নির্দিষ্ট প্রশ্নটি সঠিক উত্তর দিচ্ছে না।
কিন্তু যদি প্রশ্নটি হয়: $3^{2x} - 5 \cdot 3^x - 66 = 0$, তবে $x$ এর মান দশমিকে আসবে।
সাধারণত এই ধরনের প্রশ্নে x=3 বা x=4 উত্তর মেলাতে চাইলে প্রশ্নটি হতে হবে:
যদি উত্তর x = 4 হতে হয় তবে সমীকরণ হতে হবে: $3^x - 5 \cdot 3^{x-2} - 66 = 0$ (пример)
যদি উত্তর x = 3 হতে হয় তবে সমীকরণটি হতে পারে: $3^{2x} - 82 \cdot 3^x + 81 = 0$ ধরণের।

বিকল্প শর্টকাট টেকনিক (Back Calculation):
পরীক্ষার হলে এই ধরনের অঙ্ক সমাধানের সবচেয়ে সহজ উপায় হলো অপশন টেস্ট করা।

অপশন ৩ (x = 3) দিয়ে চেষ্টা করি:
সমীকরণ: $3^{2x-2} - 5 \cdot 3^{x-2} - 66$
x = 3 বসালে,
$= 3^{2(3)-2} - 5 \cdot 3^{3-2} - 66$
$= 3^{6-2} - 5 \cdot 3^1 - 66$
$= 3^4 - 15 - 66$
$= 81 - 81$
$= 0$
অতএব, সঠিক উত্তরটি তখনই মিলবে যদি প্রশ্নটি হয় "3^2x-2 - 5.3^x-2 - 66 = 0" এর সমাধানের ক্ষেত্রে আমার আগের বিস্তারিত ক্যালকুলেশনে কোথাও মান বসাতে ভুল হয়েছে। আবার চেক করা যাক।

পুনরায় চেক:
$3^{2(3)-2} = 3^4 = 81$
$5 \cdot 3^{3-2} = 5 \cdot 3^1 = 15$
$81 - 15 - 66 = 0$ (হ্যাঁ! সঠিক উত্তর মিলেছে!)

সঠিক ব্যাখ্যা (পূর্বের ভুল সংশোধন করে):
দেওয়া আছে,
$3^{2x-2} - 5 \cdot 3^{x-2} - 66 = 0$
বা, $\frac{3^{2x}}{3^2} - 5 \cdot \frac{3^x}{3^2} - 66 = 0$
বা, $\frac{(3^x)^2}{9} - \frac{5 \cdot 3^x}{9} - 66 = 0$

ধরি, $3^x = a$
বা, $\frac{a^2 - 5a - 594}{9} = 0$
বা, $a^2 - 5a - 594 = 0$
বা, $a^2 - 27a + 22a - 594 = 0$
বা, $a(a - 27) + 22(a - 27) = 0$
বা, $(a - 27)(a + 22) = 0$
হয়, $a - 27 = 0$ অথবা, $a + 22 = 0$
বা, $a = 27$
বা, $3^x = 3^3$
$\therefore$ x = 3
অথবা, $a = -22$ (গ্রহণযোগ্য নয়, কারণ সূচকীয় রাশির মান ঋণাত্মক হতে পারে না)

শর্টকাট টেকনিক (অপশন টেস্ট):
প্রশ্নে প্রদত্ত সমীকরণে অপশনগুলো থেকে মান বসিয়ে যাচাই করাই সবথেকে দ্রুত পদ্ধতি।
প্রদত্ত সমীকরণ: $3^{2x-2} - 5 \cdot 3^{x-2} - 66 = 0$
অপশন ৩: x = 3 বসিয়ে পাই,
বামপক্ষ = $3^{2(3)-2} - 5 \cdot 3^{3-2} - 66$
$= 3^{6-2} - 5 \cdot 3^1 - 66$
$= 3^4 - 15 - 66$
$= 81 - 81$
= 0 (ডানপক্ষ মিলে গেছে)