সম্ভাব্যতা (161 টি প্রশ্ন )
একটি মুদ্রাকে দুইবার নিক্ষেপ করলে চারটি সম্ভাব্য ফলাফল হতে পারে:
(HH), (HT), (TH), (TT)

এই চারটি ফলাফলের মধ্যে তিনটি ক্ষেত্রে অন্তত একটি হেড রয়েছে: HH, HT, TH।

সুতরাং, একটি মুদ্রাকে দুইবার নিক্ষেপ করলে অন্তত একটি হেড পাওয়ার সম্ভাবনা হলো ৩/৪।
যোগফল ৭ পাওয়ার উপায়গুলো: (1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1)
মোট সম্ভাব্য ফলাফল = 6 × 6 = 36টি
যোগফল ৭ পাওয়ার উপায় = 6টি
সম্ভাবনা = 6/36 = 1/6
- একটি প্যাকেটে মোট তাসের সংখ্যা = ৫২টি।
- এর মধ্যে লাল ও কালো তাসের সংখ্যা = ২৬টি করে।
- রুইতন, হরতন, ইস্কাপন ও চিরাতন ১৩টি করে।
- টেক্কা, রাজা, রানি ও জ্যাক ৪টি করে।
- নম্বর যুক্ত তাস ৩৬টি।
- ছবিযুক্ত তাস ১২টি (রাজা, রানি ও জ্যাক ৪টি করে)।

নম্বরযুক্ত তাস বের করলে মোট তাস থাকে = ৫২ - ৩৬ = ১৬

তাসটি টেক্কা হবার সম্ভাবনা = ৪/১৬ = ১/৪

∴ তাসটি টেক্কা না হবার সম্ভাবনা = ১ - (১/৪) = ৩/৪
- সম্ভাব্যতার মান সর্বদা 0 থেকে 1 এর মধ্যে থাকে
- 1 হল সর্বোচ্চ সম্ভাব্যতা যা নিশ্চিত ঘটনাকে বোঝায়
- 0 হল সবনিম্ন সম্ভাব্যতা যা অসম্ভব ঘটনাকে বোঝায়
৫ থেকে ৩০ পর্যন্ত সংখ্যা = ২৬টি
মৌলিক সংখ্যা = ৫, ৭, ১১, ১৩, ১৭, ১৯, ২৩, ২৯ = ৮টি
৫ থেকে ৩০ পর্যন্ত ৫ এর গুণিতক = ৫, ১০, ১৫, ২০, ২৫, ৩০ = ৬টি

৫ থেকে ৩০ পর্যন্ত মৌলিক অথবা ৫ এর গুণিতক সংখ্যার তালিকা : ৫, ৭, ১০, ১১, ১৩, ১৫, ১৭, ১৯, ২০, ২৩, ২৫, ২৯, ৩০। মোট ১৩টি

সংখ্যাটি মৌলিক বা ৫ এর গুণিতক হওয়ার সম্ভাবনা = ১৩/২৬
                                                              = ১/২
একটি নিরপেক্ষ ছক্কা ও একটি মুদ্রা একবার নিক্ষেপ করা হলে নমুনা ক্ষেত্র গুলো
{1H, 1T, 2H, 2T, 3H, 3T, 4H, 4T, 5H, 5T, 6H, 6T} = 12টি

মুদ্রায় হেড এবং ছক্কায় জোড় সংখ্যা আসার অনুকূল ফলাফল ={2H,4H,6H} = 3টি

∴ নির্ণেয় সম্ভাবনা = 3/12 = 1/4
দেওয়া আছে,
লাল বল = ৮টি
কালো বল = ৯টি
সাদা বল = ৭টি

∴ মোট বল = ৮ + ৯ + ৭ = ২৪টি

আবার,
বলটি লাল হওয়ার সম্ভাবনা = ৮/২৪ = ১/৩
বলটি কালো হওয়ার সম্ভাবনা = ৯/২৪ = ৩/৮

∴ বলটি লাল বা কালো হওয়ার সম্ভাবনা = (১/৩) + (৩/৮)
= (৮ + ৯)/২৪
= ১৭/২৪
১ থেকে ১৫ পর্যন্ত মোট সংখ্যা = ১৫ টি
১ থেকে ১৫ পর্যন্ত মৌলিক সংখ্যা = ২, ৩, ৫, ৭, ১১, ১৩ = ৬ টি
তাহলে ১ থেকে ১৫ পর্যন্ত সংখ্যার মধ্যে মৌলিক সংখ্যা হওয়ার সম্ভাবনা = ৬/১৫ = ২/৫   
১ থেকে ১৫ পর্যন্ত মোট সংখ্যা ১৫ টি।
১ থেকে ১৫ পর্যন্ত মৌলিক সংখ্যা ৬ টি।
যথা- ২, ৩, ৫, ৭, ১১, ১৩

মৌলিক সংখ্যা হওয়ার সম্ভব্যতা = মৌলিক সংখ্যা / সর্বমোট সংখ্যা
= ৬/১৫
= ২/৫
জোড় সংখ্যা আসার সম্ভাবনা = 3/6 = 1/2
বিজোড় সংখ্যা আসার সম্ভাবনা = 3/6 = 1/2
দুটি ঘটনা স্বাধীন, তাই যৌগিক সম্ভাবনা = 1/2 × 1/2 = 1/4
- একটি প্যাকেটে মোট তাসের সংখ্যা = ৫২টি।
- এর মধ্যে লাল ও কালো তাসের সংখ্যা = ২৬টি করে।
- রুইতন, হরতন, ইস্কাপন ও চিরাতন ১৩টি করে।
- টেক্কা, রাজা, রানি ও জ্যাক ৪টি করে।
- নম্বর যুক্ত তাস ৩৬টি।
- ছবিযুক্ত তাস ১২টি (রাজা, রানি ও জ্যাক ৪টি করে)।

ছবিযুক্ত তাস বের করলে মোট তাস থাকে = ৫২ - ১২ = ৪০

তাসটি কালো হবার সম্ভাবনা = ২৬/৪০ = ১৩/২০

∴ তাসটি কালো না হবার সম্ভাবনা = ১ - (১৩/২০) = ৭/২০
মোট কর্মচারী = ১০০%
দেওয়া আছে, যানবাহনে যাতায়ত করে = ৬০%
৬০% এর মধ্যে ট্রেনে যাতায়ত করে = ২৫%

∴ ট্রেনে যাতায়ত করে = ৬০ এর ২৫%
= ৬০ × (২৫/১০০)
= ১৫ জন

অর্থাৎ, ট্রেনে যাতায়তের সম্ভাব্যতা = ১৫/১০০
= ০.১৫
৫২টি কার্ডের মধ্যে রাজা ও রানী আছে মোট ৮টি

∴ কার্ডটি রাজা বা রানী হওয়ার সম্ভাবনা = ৮/৫২
= ২/১৩
ঝুড়িতে মোট ফল আছে = ৭ + ৯ + ৫ + ৪ = ২৫ টি
মাল্টা আছে = ৫ টি
∴ দৈবভাবে একটি ফল নেওয়া হলে, ফলটি মাল্টা হওয়ার সম্ভাবনা = ৫/২৫
= ১/৫

∴ ফলটি মাল্টা না হওয়ার সম্ভাবনা = ১ - (১/৫)
= (৫ - ১)/৫
= ৪/৫
দুইবার ছক্কা নিক্ষেপে মোট ঘটনার সংখ্যা = ৬ × ৬ = ৩৬টি

যোগফল ৬ আসার অনুকূল ঘটনা = (১ + ৫), (২ + ৪), (৩ + ৩), (৪ + ২), (৫ + ১) = ৫টি

∴ যোগফল ছয় আসার সম্ভাবনা = ৫/৩৬
ধরি,
প্লামবিং কাজের চুক্তি পাওয়ার সম্ভাব্যতা = P(A)
ইলেক্ট্রিক কাজের চুক্তি পাওয়ার সম্ভাব্যতা = P(B)
কমপক্ষে একটি কাজের চুক্তি পাওয়ার সম্ভাব্যতা = P(A∪B)
উভয় কাজের চুক্তি পাওয়ার সম্ভাব্যতা = P(A∩B)

প্রশ্নমতে,
P(A) = ২/৩
P(B) = ১ - (৫/৯) = ৪/৯ 
P(A∪B) = ৪/৫
P(A∩B) = ? 

আমরা জানি, 
P(A∪B) = P(A) + P(B) - P(A∩B)
⇒ P(A∩B) = P(A) + P(B) - P(A∪B)
           = (২/৩) + (৪/৯) - (৪/৫)   
           = (৩০ + ২০ - ৩৬)/৪৫
           = ১৪/৪৫


৪০ হতে ৫০ পর্যন্ত মোট সংখ্যা ১১ টি এবং মৌলিক সংখ্যা ৩ টি (৪১,৪৩,৪৭)

∴ মৌলিক সংখ্যা হওয়ার সম্ভাবনা = ৩/১১

∴ মৌলিক সংখ্যা না হওয়ার সম্ভাবনা = ১ - ৩/১১
                                            = ১১ - ৩/১১
                                            = ৮/১১
একটি মুদ্রাকে ২বার নিক্ষেপে প্রাপ্ত ঘটনা সমূহ HH,HT,TH,TT অর্থাৎ ৪ টি
অতএব, ২ বার নিক্ষেপ অন্তত ১ বার Head পড়ে ৩ বার
(HH,HT,TH) তাহলে নির্ণেয় সম্ভাবনা =৩/৪
৪ জন মহিলা থেকে ২ জন নির্বাচন করার উপায় = 4C2 = 4!/(2! × 2!) = 6
৮ জন লোক থেকে ২ জন নির্বাচন করার উপায় = 8C2 = 8!/(2! × 6!) = 28

∴ সম্ভাবনা = 6/28 = 3/14
২ক2 – ১৬ক + ৮ = ০ 
    => ক2- ৮ক + ৪ = ০ 
   ক⌄১ + ক⌄২ = -(-৮)/১ = ৮    [বহুপদী সূত্র ব্যবহার করে ] 

10 টি প্রশ্ন থেকে 7টি প্রশ্ন দেওয়ার মোট উপায় হলো = 10C7
10C7 
= 10! / (7! * 3!)
= (10 * 9 * 8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1) / (7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1 * 3 * 2 * 1)
= 120

∴ 120 টি উপায়ে সে প্রশ্নগুলির উত্তর দিতে পারবে। 

(- ৩) = ৯
(- ১) = ১
0 = 0
= ১
= ৯

একটি ঘটনা ছাড়া বাকি ৪ টিতেই শুন্য থেকে বড় সংখ্যা পাওয়া যাবে।

সম্ভাব্যতা = ৪/৫
মোট ঘটনা ৪ টি = {HH, HT, TH, TT}
কমপক্ষে একটি টেল (T) আসে এমন অনুকূল ঘটনা ৩টি = { HT, TH, TT}

কমপক্ষে একটি টেল (T) পাবার সম্ভাবনা = ৩/৪
২য় সপ্তাহে মোট   ৭ দিন
২য় সপ্তাহে বজ্রপাত হয়েছে ২ দিন
২য় সপ্তাহে বজ্রপাত হয় নি  ৫ দিন
বজ্রপাত না হবার সম্ভাবনা = ৫/৭
দুইটি মুদ্রা একসাথে নিক্ষেপ করা হলে যে ঘটনাগুলো ঘটে সেগুলো হলো {HH, HT, TH, TT}
এখানে মোট ঘটনা = 4

∴ প্রথম মুদ্রায় H এবং ২য় মুদ্রায় T আসার সম্ভাবনা = অনুকূল ঘটনা/মোট ঘটনা
= 1/4
অন্তত একটি খেলা খেলে, n(C ∪ F) = 50 - 8 = 42
ক্রিকেট খেলে, n(C) = 30
হকি খেলে, n(F) = 15

আমরা জানি,
n(C ∪ F) = n(C) + n(F) - n(C ∩ F)
⇒ 42 = 30 + 15 - n(C ∩ F)
⇒ 45 - n(C ∩ F) = 42
⇒ - n(C ∩ F) = 42 - 45
⇒ - n(C ∩ F) = - 3
∴ n(C ∩ F) = 3

∴ উভয়টি খেলে 3 জন।
নীল বল ১০টি 
সাদা বল ১৪টি
কালো বল ১৬টি
মোট বল =(১০ + ১৪ + ১৬)টি = ৪০টি 

সাদা হওয়ার  সম্ভাবনা = ১৪/৪০ = ৭/২০

সাদা না হওয়ার  সম্ভাবনা = ১ - ৭/২০ = (২০ - ৭)/২০ = ১৩/২০
১০ থেকে ৩০ পর্যন্ত সংখ্যা = ২১টি
মৌলিক সংখ্যা = ১১,১৩,১৭,১৯,২৩,২৯ = ৬টি
১০ থেকে ৩০ পর্যন্ত ৫ এর গুণিতক = ১০, ১৫, ২০, ২৫, ৩০ = ৫টি

সংখ্যাটি মৌলিক বা ৫ এর গুণিতক হওয়ার সম্ভাবনা = (৬/২১) + (৫/২১) 
= (৬ + ৫)/২১
= ১১/২১
মোট বল = ৪ + ৫ = ৯ 
৫টি বলই কালো হওয়ার সম্ভাবনা = (৫/৯) x {(৫-১)/(৯-১)} x {(৫-২)/(৯-২)} 
                                        = (৫/৩) x (১/২) x (১/৭) 
                                        = ৫/৪২ 
একটি মুদ্রা নিক্ষেপে নমুনা বিন্দু 4টি (HH, HT, TH, TT)
একটি হেড উঠার অনুকূল ফলাফল 2টি (HT, TH)  
∴ নির্ণেয় সম্ভাবনা = 2/4 = 1/2 = 0.5 
সঠিক উত্তর: 0 | ভুল উত্তর: 0