বীজগাণিতিক সূত্রাবলী এবং প্রয়োগ (327 টি প্রশ্ন )
 Back to Subject Page   All Topics
i
ব্যাখ্যা (Explanation):

যেহেতু (x - 1) বহুপদীটির একটি উৎপাদক, তাই (x - 1) দ্বারা বহুপদীটিকে ভাগ করলে ভাগশেষ শূন্য হবে এবং ভাগফলটি হবে অপর উৎপাদক।

ভাগ প্রক্রিয়া:

x² - x - 1
________________
x - 1 | x³ - 2x² + 0x + 1
-(x³ - x²)
___________
-x² + 0x
-(-x² + x)
__________
-x + 1
-(-x + 1)
_________
     0

ভাগ করে আমরা ভাগফল পাই (x² - x - 1)।

সুতরাং, অপর উৎপাদকটি হলো (x² - x - 1)।
i
ব্যাখ্যা (Explanation):
a + 3 + 1/a =0 

=> a + 1/a = -3 

∴ a3 + 1/a3 = ( a + 1/a )3 - 3 . a. 1/a ( a + 1/a ) 

                  = (-3)3 - 3.(-3) 
    
                  = -27 + 9 
 
                  = -18 
i
ব্যাখ্যা (Explanation):
a4 - 51a2 + 1 = 0 
(a⁴ - 51a² + 1) / a² = 0 / a²
a² - 51 + 1/a² = 0
a² + 1/a² = 51
(a - 1/a)² = a² - 2.a.(1/a) + (1/a)² 
(a - 1/a)² = a² - 2 + 1/a²
(a - 1/a)² = (a² + 1/a²) - 2
(a - 1/a)² = 51 - 2  [(a² + 1/a²) এর মান (51) পেয়েছি। সেই মানটি এখানে বসাই]
(a - 1/a)² = 49
a - 1/a = ±√49
a - 1/a = ±7

সুতরাং, (a - 1/a) এর মান হলো ±7।
i
ব্যাখ্যা (Explanation):
আমরা জানি,
(x + y + z)² = x² + y² + z² + 2(xy + yz + zx)

এখানে, আমাদের কাছে x² + y² + z² = 5 এবং x + y + z = 3 এর মান দেওয়া আছে। এই মানগুলো সূত্রে বসিয়ে পাই:
(3)² = 5 + 2(xy + yz + zx)
9 = 5 + 2(xy + yz + zx)
9 - 5 = 2(xy + yz + zx)
4 = 2(xy + yz + zx)
xy + yz + zx = 4 / 2
সুতরাং, xy + yz + zx = 2

অতএব, yz + zx + xy এর মান হলো 2।
i
ব্যাখ্যা (Explanation):
2x2 + 350 = 12x + 340 
⇒ 2x2 - 12x + 350 - 340 = 0
⇒ 2x2 - 12x + 10 =0 
⇒ 2(x2 - 6x + 5) = 0
⇒ x2 - 6x + 5 = 0
⇒ x2 - 5x - x + 5 = 0
⇒ x(x - 5) - 1(x - 5) = 0
(x - 5)(x - 1) = 0

হয়,
x - 5 = 0
x = 5

অথবা, 
x - 1 = 0
x = 1
i
ব্যাখ্যা (Explanation):

(x² + 1)² = 3x²
⇒ x⁴ + 2x² + 1 = 3x²
⇒ x⁴ - x² + 1 = 0

ধরি, y = x² + 1/x²
তাহলে, x⁴ + 1 = y·x²

এখন, x⁴ - x² + 1 = 0 ⇒ (x⁴ + 1) - x² = 0
⇒ y·x² - x² = 0
⇒ (y - 1)x² = 0
⇒ y = 1

এখন, x³ + 1/x³ = (x + 1/x)(x² - 1 + 1/x²)
= (x + 1/x)(y - 1)
= (x + 1/x)(1 - 1)
= (x + 1/x) × 0
= 0
i
ব্যাখ্যা (Explanation):
যেকোনো দ্বিঘাত সমীকরণ Ax² + Bx + C = 0 এর ক্ষেত্রে,
মূলদ্বয়ের যোগফল = -B/A
মূলদ্বয়ের গুণফল = C/A

প্রদত্ত সমীকরণটি হলো ax² - 8x + 9 = 0।
এখানে, A = a, B = -8, এবং C = 9।

১. সূত্র অনুযায়ী, মূলদ্বয়ের যোগফল হবে -(-8)/a = 8/a।
২. প্রশ্ন অনুযায়ী, মূলদ্বয়ের যোগফল হলো 1/2।

সুতরাং, আমরা লিখতে পারি:
8/a = 1/2
৩. এই সমীকরণটি সমাধান করে পাই, a = 8 * 2 = 16।
৪. এখন, মূলদ্বয়ের গুণফল নির্ণয়ের সূত্রটি হলো C/A = 9/a।
৫. এখানে a-এর মান 16 বসালে আমরা পাই, মূলদ্বয়ের গুণফল = 9/16।
i
ব্যাখ্যা (Explanation):
প্রথমত, আমরা প্রদত্ত সমীকরণটি সমাধান করে x-এর মান বের করব।
x + 1/x = 2

সমীকরণটির উভয় পক্ষকে x দ্বারা গুণ করে পাই:
x² + 1 = 2x

সবকিছুকে একপাশে নিয়ে এলে একটি দ্বিঘাত সমীকরণ (quadratic equation) পাওয়া যায়:
x² - 2x + 1 = 0

এটি (a - b)² = a² - 2ab + b² সূত্রের রূপে আছে।
সুতরাং, আমরা লিখতে পারি:
(x - 1)² = 0

এর থেকে পাওয়া যায়:
x - 1 = 0
অর্থাৎ, x = 1

এখন, আমরা x-এর এই মানটি মূল রাশিতে বসিয়ে দেব:
x⁵ + 1/x⁵
= (1)⁵ + 1/(1)⁵
= 1 + 1/1
= 1 + 1
= 2

সুতরাং, x⁵ + 1/x⁵ এর মান হলো 2।
i
ব্যাখ্যা (Explanation):
a3 - 21a - 20
= a3 + a2 - a2 - a - 20a - 20
= a2(a +1) - a (a + 1) - 20 (a + 1)
= (a + 1)(a2 - a - 20) 
= (a + 1)(a2 - 5a + 4a − 20)
= (a + 1){a (a - 5) + 4 (a − 5)}
= (a + 1)(a - 5) (a + 4)


∴ (a + 2), a3 - 21a - 20 রাশিটির উৎপাদক নয়।

ফ্রিতে ২ লাখ প্রশ্নের টপিক, সাব-টপিক ভিত্তিক ও ১০০০+ জব শুলুশন্স বিস্তারিতে ব্যাখ্যাসহ পড়তে ও আপনার পড়ার ট্র্যাকিং রাখতে সাইটে লগইন করুন।

লগইন করুন
i
ব্যাখ্যা (Explanation):
 2n C r = 2n C r + 2  
বা, 2n = r + r + 2  [ n c 5 = n C 7   হলে n = 5 + 7]
বা, r + r = 2n - 2
বা, 2r = 2(n - 1) 
বা, r = 2(n - 1)/2
∴ r = (n - 1)
i
ব্যাখ্যা (Explanation):
প্রদত্ত রাশি = 16x2 - 40xy + 25y2
= (4x)2 - 2.4x.5y + (5y)2 
= (4x - 5y)2
= {(4 x 7) - (5 x 6)}2   [x ও y এর মান বসিয়ে]
= (28 - 30)2
= (-2)2
= 4
i
ব্যাখ্যা (Explanation):

প্রথমে আমাদের (x + 1/x) এর মান বের করতে হবে। আমরা জানি:
(a + b)² = a² + 2ab + b²

এই সূত্র অনুযায়ী,
(x + 1/x)² = x² + 2 * x * (1/x) + (1/x)²
(x + 1/x)² = x² + 2 + 1/x²
(x + 1/x)² = (x² + 1/x²) + 2

প্রশ্নে দেওয়া আছে, x² + 1/x² = 98। এই মানটি উপরের সমীকরণে বসিয়ে পাই:
(x + 1/x)² = 98 + 2
(x + 1/x)² = 100
সুতরাং, x + 1/x = √100 = 10

এখন আমাদের (x + 1/x)³ এর মান বের করতে হবে:
(x + 1/x)³ = (10)³ = 1000
i
ব্যাখ্যা (Explanation):
দেওয়া আছে, x - 1/x = 7
⇒ (x - 1/x)2 = 72
⇒ x2 + 1/x2 - 2.x.(1/x) = 49
⇒ x2 + 1/x2 = 51
⇒ (x2 + 1/x2 )2 = (51)2
⇒ x4 + 1/x4 + 2.x2 .(1/x2 ) = 2601
∴ x4 + 1/x4 = 2599
i
ব্যাখ্যা (Explanation):
দেওয়া আছে,
x3 = 24 - 15√3
বা, x3 = 30 + 15√3 - 6 - 30√3 [এই অংশটি জটিল। আমাদের ডানপক্ষকে (a-b)³ আকারে সাজাতে হবে।]
এখানে আমাদের লক্ষ্য হলো, ডানপক্ষকে কিছু একটা ঘনফল (cube) আকারে প্রকাশ করা যাতে উভয় পক্ষ থেকে ঘন (cube) বাদ দেওয়া যায়।
সাধারণত, a - b√3 আকারে থাকলে আমরা (a - √3)3 বা এমন আকারে চিন্তা করি।

সহজ উপায়ে ভাবলে, যদি আমরা x = a - √3 ধরি এবং দেখি মেলে কিনা:
(2 - √3)3 = 23 - 3⋅22⋅√3 + 3⋅2⋅(√3)2 - (√3)3
= 8 - 12√3 + 18 - 3√3
= 26 - 15√3
এটি মূল প্রশ্নের সাথে (24-15√3) মিলছে না।
আসলে এই প্রশ্নটিতে একটি প্রিন্টিং মিস্টেক বা টাইপিং ভুল থাকার সম্ভাবনা প্রবল। সাধারণত প্রশ্নটি হয় x3 = 26 - 15√3। তাহলে x = 2 - √3 হয়। অথবা x = 2 - √3 হলে x2 + 1/x2 = 14 হয়।
যেহেতু উত্তর 14 বলা হয়েছে, তাই অবশ্যই x এর মান (2 - √3) আসবে।
ধরে নেই, সঠিক সমীকরণটি থেকে আমরা পাই,
x = 2 - √3
অতএব, 1/x = 1/(2 - √3)
লব ও হরকে (2 + √3) দ্বারা গুণ করে পাই,
= (2 + √3) / {(2 - √3)(2 + √3)}
= (2 + √3) / (22 - (√3)2)
= (2 + √3) / (4 - 3)
= 2 + √3

এখন,
x + 1/x = (2 - √3) + (2 + √3)
= 4

প্রদত্ত রাশি,
x2 + 1/x2
= (x + 1/x)2 - 2⋅x⋅(1/x) [সূত্র: a2 + b2 = (a + b)2 - 2ab]
= (4)2 - 2
= 16 - 2
= 14


বিকল্প বা শর্টকাট টেকনিক:
সাধারণত এই ধরনের অংকে x এর মান a ± √b আকারে আসে।
যদি দেখেন উত্তরে 14 আছে এবং রাশিটি বর্গের যোগফল (sqaure sum), তবে মনে রাখবেন x + 1/x এর মান অবশ্যই 4 হতে হবে। কারণ 42 - 2 = 14।
আবার x + 1/x = 4 হতে হলে x এর মান সাধারনত (2 ± √3) হয়।
যদি প্রশ্নের ফরম্যাট x3 = ... বা x = ... থাকে এবং উত্তর 14 এর আশেপাশে হয়, তবে অধিকাংশ ক্ষেত্রে x + 1/x = 4 ধরে নিয়ে দ্রুত সমাধান করা যায়।

শর্টকাট সূত্র: x + 1/x = n হলে, x2 + 1/x2 = n2 - 2.
এখানে n = 4, তাই 42 - 2 = 14.
i
ব্যাখ্যা (Explanation):
দেওয়া আছে
x + y = a
x - y = b

আমরা জানি
4xy = (x + y)2 - (x - y)2
4xy = a2 - b2
4xy/2 = (a2 - b2)/2
2xy = (a2 - b2)/2
i
ব্যাখ্যা (Explanation):

(√3 – 1/√3)2

= (√3)2 + (1/√3)2 - 2 x √3 x 1/√3

= 3 + (1/3) - 2

= 1 + 1/3

= 4/3
i
ব্যাখ্যা (Explanation):
দেওয়া আছে, 
a3 - b3 = 612
বা, (a -b)3 + 3ab (a - b) = 612 
বা, (3)3 + 3ab × 3 = 612
বা, 27 + 9ab = 612 
বা, 9ab = 612 - 27 
বা, 9ab = 585
বা, ab = 585/9 
∴ ab = 65
i
ব্যাখ্যা (Explanation):
(1/a + a)² = (1/a)² + 2(1/a)(a) + a²
⇒ (1/a + a)² = 1/a² + 2 + a²
⇒ 1/a² + 2 + a² = 10
⇒ 1/a² + a² = 10 - 2
⇒ 1/a² + a² = 8
i
ব্যাখ্যা (Explanation):

দেয়া আছে:
x - 1/x = 3√5

আমাদের বের করতে হবে:
x³ + 1/x³

Step 1: প্রথমে দুই পাশে বর্গ করি
(x - 1/x)² = (3√5)²
⇒ x² - 2 + 1/x² = 45
⇒ x² + 1/x² = 47

Step 2: এখন (x + 1/x)² বের করি
(x + 1/x)² = x² + 2.x.1/x + 1/x²
⇒ = 47 + 2 = 49
⇒ x + 1/x = √49 = 7 (পজিটিভ নিই কারণ x - 1/x পজিটিভ)

Step 3: এবার সূত্র ব্যবহার করি
x³ + 1/x³
= (x+1/x)3-3.x.1/x(x+1/x)
= 73-3.7
= 343 - 21
= 322

ফ্রিতে ২ লাখ প্রশ্নের টপিক, সাব-টপিক ভিত্তিক ও ১০০০+ জব শুলুশন্স বিস্তারিতে ব্যাখ্যাসহ পড়তে ও আপনার পড়ার ট্র্যাকিং রাখতে সাইটে লগইন করুন।

লগইন করুন
i
ব্যাখ্যা (Explanation):
দেওয়া আছে,
       p + q = 5
এবং p - q = 3
: p2 + q2 = (p + q)2 + (p - q)2/2
                 =52 + 32/2
              = 25 + 9 / 2
              =34 / 2
              =17 
i
ব্যাখ্যা (Explanation):

x²-2x+1 = 0  

=> (x-1)2 = 0 

=> x - 1 = 0 

         x = 1 

 এখন, (x⁴+2x²+1)/x² = {(x2)2 + 2.x2.1 + (1)2} /x2  

                                = {(x2+1)2}/x2 

                                = {(1)2 + 1}2/(1)2 

                                = (1+1)2/ 1 

                                = 4
i
ব্যাখ্যা (Explanation):
a + b = 12
ab = 35 

a² + b² = (a + b)2 - 2ab
⇒ a² + b² = (12)² − 2 × 35
⇒ a² + b² = 144 − 70
⇒ a² + b² = 74
i
ব্যাখ্যা (Explanation):
দেয়া আছে, a + 1/a = 4

a2+1/a2= (a + 1/a)2 – 2 a.1/a
            = (4)2  - 2
            = 16 – 2
            = 14
i
ব্যাখ্যা (Explanation):
a3+1/3
=(a+1/3)3-3.a.1/a(a+1/a)
=(4)3-3(4)
=64-12
=52
i
ব্যাখ্যা (Explanation):
দেওয়া আছে,
এবং ab = 35
.: a2 + b2 = (a + b)2 - 2ab
               = 12² - 2.35
               = 144-70
               = 74
i
ব্যাখ্যা (Explanation):
a/b=4
a=4b
এখন, a+2b=12
বা , 4b+2b=12
বা 6b=12
∴b=2
∴a=4×2=8
i
ব্যাখ্যা (Explanation):

xy = {(x + y)² - (x - y)²}/4

বা, xy = {(12)² - (2)²}/4

বা, xy = (144 - 4)/4

বা, xy = 140/4

∴ xy = 35
i
ব্যাখ্যা (Explanation):
দেওয়া আছে, 
x + y = 12
x - y = 2

আমরা জানি
4xy = (x + y)2 - (x - y)2
বা, 4xy = (12)2 - 22
বা, 4xy = 144 - 4
বা, 4xy = 140
∴ xy = 35
i
ব্যাখ্যা (Explanation):
দেওয়া আছে,
a + b = 5
এবং a - b = 3

আমরা জানি,
4ab = (a + b)² - (a - b)²
বা, 4ab = (5)² - (3)² [মান বসিয়ে]
বা, 4ab = 25 - 9
বা, 4ab = 16
বা, ab = 16 / 4
বা, ab = 4
∴ ab = 4

বিকল্প পদ্ধতি (শর্টকাট):
প্রশ্নমতে, a + b = 5 এবং a - b = 3
এখানে দুটি সমীকরণ যোগ করলে পাই,
(a + b) + (a - b) = 5 + 3
বা, 2a = 8
বা, a = 4

এখন যেকোনো একটি সমীকরণে a এর মান বসালে পাই,
4 + b = 5
বা, b = 5 - 4
বা, b = 1

তাহলে, ab = 4 × 1 = 4
উত্তর: 4

ফ্রিতে ২ লাখ প্রশ্নের টপিক, সাব-টপিক ভিত্তিক ও ১০০০+ জব শুলুশন্স বিস্তারিতে ব্যাখ্যাসহ পড়তে ও আপনার পড়ার ট্র্যাকিং রাখতে সাইটে লগইন করুন।

লগইন করুন
i
ব্যাখ্যা (Explanation):
x =√3 + √2

=> 1/x = 1/√3+√2 

           = (√3+√2)/(√3+√2)(√3-√2) 

           = √3 - √2/ (√3)2 - (√2)2 

           = √3 - √2 

∴ x + 1/x = √3 + √2 + √3 -√2 

               = 2√3 

∴ x2 + 1/x2 = (x+1/x )2 - 2.x.1/x 

                 = (2√3)2 - 2 

                 = 12 - 2 
 
                 = 10
সঠিক উত্তর: 0 | ভুল উত্তর: 0