বীজগাণিতিক সূত্রাবলী এবং প্রয়োগ (307 টি প্রশ্ন )
 Back to Subject Page   All Topics
i
ব্যাখ্যা (Explanation):
দেওয়া আছে,
a³ - b³ = 56 ........(i)
a - b = 2 ........(ii)

আমরা জানি, a³ - b³ = (a - b)(a² + ab + b²)
⇒ 56 = 2 × (a² + ab + b²) [মান বসিয়ে]
⇒ a² + ab + b² = 56 / 2
⇒ a² + ab + b² = 28 ........(iii)

আবার, (a - b)² = a² - 2ab + b²
⇒ 2² = a² + b² - 2ab
⇒ 4 = a² + b² - 2ab ........(iv)

এখন, (iii) নং হতে (iv) নং বিয়োগ করে পাই:
(a² + ab + b²) - (a² - 2ab + b²) = 28 - 4
⇒ 3ab = 24
⇒ ab = 8

আমাদের নির্ণয় করতে হবে a² + b² এর মান:
a² + b² = (a - b)² + 2ab
= 2² + 2 × 8
= 4 + 16
= 20
i
ব্যাখ্যা (Explanation):
দেওয়া আছে,
ab = 15

প্রদত্ত রাশি = (a+b)² - (a-b)²

আমরা জানি, বীজগণিতের অনুসিদ্ধান্ত অনুযায়ী: (a+b)² - (a-b)² = 4ab

এখন রাশিতে সরাসরি মান বসিয়ে পাই:
= 4 × 15
= 60
i
ব্যাখ্যা (Explanation):
দেওয়া আছে,
x + (1/x) = 5

প্রদত্ত রাশি = x² + (1/x²)

আমরা জানি, বর্গের সূত্রানুযায়ী: a² + b² = (a + b)² - 2ab

সূত্র প্রয়োগ করে পাই,
= {x + (1/x)}² - 2 × x × (1/x)
= {x + (1/x)}² - 2

এখন মান বসিয়ে পাই,
= (5)² - 2
= 25 - 2
= 23
i
ব্যাখ্যা (Explanation):

দেওয়া আছে,
    a2 + 1/a2= 51
⇒ (a - 1/a)2 + 2.a.1/a = 51
⇒ (a - 1/a)2 + 2= 51
⇒ (a - 1/a)2= 49
∴ a - 1/a = ±7
i
ব্যাখ্যা (Explanation):
আমরা জানি, ঘনের উৎপাদকে বিশ্লেষণের সূত্র হলো:
x³ + y³ = (x + y)(x² - xy + y²)

সূত্রটি যেভাবে প্রতিপাদন করা যায়:

আমরা জানি,
(x + y)³ = x³ + y³ + 3xy(x + y)
বা, x³ + y³ = (x + y)³ - 3xy(x + y) [পক্ষান্তর করে]
বা, x³ + y³ = (x + y){(x + y)² - 3xy} [(x + y) কমন নিয়ে]
বা, x³ + y³ = (x + y)(x² + 2xy + y² - 3xy) [সূত্র ভেঙে]
বা, x³ + y³ = (x + y)(x² - xy + y²)

সুতরাং, নির্ণেয় সূত্রটি: x³ + y³ = (x + y)(x² - xy + y²)

উল্লেখ্য: অপশন 1 হলো x³ - y³ এর সূত্র।

মনে রাখার কৌশল:
যেই চিহ্নের সূত্র হবে (প্লাস বা মাইনাস), প্রথম উৎপাদকটি সেই চিহ্নেরই হবে। কিন্তু দ্বিতীয় উৎপাদকটির মাঝের পদটি বিপরীত চিহ্নের হবে।
x³ + y³ এর ক্ষেত্রে: (x + y) হবে, কিন্তু পরের অংশে মাইনাস (-xy) হবে।
x³ - y³ এর ক্ষেত্রে: (x - y) হবে, কিন্তু পরের অংশে প্লাস (+xy) হবে।
i
ব্যাখ্যা (Explanation):

যেহেতু (x - 1) বহুপদীটির একটি উৎপাদক, তাই (x - 1) দ্বারা বহুপদীটিকে ভাগ করলে ভাগশেষ শূন্য হবে এবং ভাগফলটি হবে অপর উৎপাদক।

ভাগ প্রক্রিয়া:

x² - x - 1
________________
x - 1 | x³ - 2x² + 0x + 1
-(x³ - x²)
___________
-x² + 0x
-(-x² + x)
__________
-x + 1
-(-x + 1)
_________
     0

ভাগ করে আমরা ভাগফল পাই (x² - x - 1)।

সুতরাং, অপর উৎপাদকটি হলো (x² - x - 1)।
i
ব্যাখ্যা (Explanation):
a + 3 + 1/a =0 

=> a + 1/a = -3 

∴ a3 + 1/a3 = ( a + 1/a )3 - 3 . a. 1/a ( a + 1/a ) 

                  = (-3)3 - 3.(-3) 
    
                  = -27 + 9 
 
                  = -18 
i
ব্যাখ্যা (Explanation):
a4 - 51a2 + 1 = 0 
(a⁴ - 51a² + 1) / a² = 0 / a²
a² - 51 + 1/a² = 0
a² + 1/a² = 51
(a - 1/a)² = a² - 2.a.(1/a) + (1/a)² 
(a - 1/a)² = a² - 2 + 1/a²
(a - 1/a)² = (a² + 1/a²) - 2
(a - 1/a)² = 51 - 2  [(a² + 1/a²) এর মান (51) পেয়েছি। সেই মানটি এখানে বসাই]
(a - 1/a)² = 49
a - 1/a = ±√49
a - 1/a = ±7

সুতরাং, (a - 1/a) এর মান হলো ±7।
i
ব্যাখ্যা (Explanation):
আমরা জানি,
(x + y + z)² = x² + y² + z² + 2(xy + yz + zx)

এখানে, আমাদের কাছে x² + y² + z² = 5 এবং x + y + z = 3 এর মান দেওয়া আছে। এই মানগুলো সূত্রে বসিয়ে পাই:
(3)² = 5 + 2(xy + yz + zx)
9 = 5 + 2(xy + yz + zx)
9 - 5 = 2(xy + yz + zx)
4 = 2(xy + yz + zx)
xy + yz + zx = 4 / 2
সুতরাং, xy + yz + zx = 2

অতএব, yz + zx + xy এর মান হলো 2।

এখানে প্রথম ৩০টি প্রশ্নের ব্যাখ্যা দেখতে পারবেন, বাকি সব প্রশ্নের সম্পূর্ণ ব্যাখ্যা পেতে এখনই অ্যাপ ইন্সটল করুন।

Install App
i
ব্যাখ্যা (Explanation):

(x² + 1)² = 3x²
⇒ x⁴ + 2x² + 1 = 3x²
⇒ x⁴ - x² + 1 = 0

ধরি, y = x² + 1/x²
তাহলে, x⁴ + 1 = y·x²

এখন, x⁴ - x² + 1 = 0 ⇒ (x⁴ + 1) - x² = 0
⇒ y·x² - x² = 0
⇒ (y - 1)x² = 0
⇒ y = 1

এখন, x³ + 1/x³ = (x + 1/x)(x² - 1 + 1/x²)
= (x + 1/x)(y - 1)
= (x + 1/x)(1 - 1)
= (x + 1/x) × 0
= 0
i
ব্যাখ্যা (Explanation):
প্রথমত, আমরা প্রদত্ত সমীকরণটি সমাধান করে x-এর মান বের করব।
x + 1/x = 2

সমীকরণটির উভয় পক্ষকে x দ্বারা গুণ করে পাই:
x² + 1 = 2x

সবকিছুকে একপাশে নিয়ে এলে একটি দ্বিঘাত সমীকরণ (quadratic equation) পাওয়া যায়:
x² - 2x + 1 = 0

এটি (a - b)² = a² - 2ab + b² সূত্রের রূপে আছে।
সুতরাং, আমরা লিখতে পারি:
(x - 1)² = 0

এর থেকে পাওয়া যায়:
x - 1 = 0
অর্থাৎ, x = 1

এখন, আমরা x-এর এই মানটি মূল রাশিতে বসিয়ে দেব:
x⁵ + 1/x⁵
= (1)⁵ + 1/(1)⁵
= 1 + 1/1
= 1 + 1
= 2

সুতরাং, x⁵ + 1/x⁵ এর মান হলো 2।
i
ব্যাখ্যা (Explanation):
a3 - 21a - 20
= a3 + a2 - a2 - a - 20a - 20
= a2(a +1) - a (a + 1) - 20 (a + 1)
= (a + 1)(a2 - a - 20) 
= (a + 1)(a2 - 5a + 4a − 20)
= (a + 1){a (a - 5) + 4 (a − 5)}
= (a + 1)(a - 5) (a + 4)


∴ (a + 2), a3 - 21a - 20 রাশিটির উৎপাদক নয়।
i
ব্যাখ্যা (Explanation):
 2n C r = 2n C r + 2  
বা, 2n = r + r + 2  [ n c 5 = n C 7   হলে n = 5 + 7]
বা, r + r = 2n - 2
বা, 2r = 2(n - 1) 
বা, r = 2(n - 1)/2
∴ r = (n - 1)
i
ব্যাখ্যা (Explanation):
প্রদত্ত রাশি = 16x2 - 40xy + 25y2
= (4x)2 - 2.4x.5y + (5y)2 
= (4x - 5y)2
= {(4 x 7) - (5 x 6)}2   [x ও y এর মান বসিয়ে]
= (28 - 30)2
= (-2)2
= 4
i
ব্যাখ্যা (Explanation):

প্রথমে আমাদের (x + 1/x) এর মান বের করতে হবে। আমরা জানি:
(a + b)² = a² + 2ab + b²

এই সূত্র অনুযায়ী,
(x + 1/x)² = x² + 2 * x * (1/x) + (1/x)²
(x + 1/x)² = x² + 2 + 1/x²
(x + 1/x)² = (x² + 1/x²) + 2

প্রশ্নে দেওয়া আছে, x² + 1/x² = 98। এই মানটি উপরের সমীকরণে বসিয়ে পাই:
(x + 1/x)² = 98 + 2
(x + 1/x)² = 100
সুতরাং, x + 1/x = √100 = 10

এখন আমাদের (x + 1/x)³ এর মান বের করতে হবে:
(x + 1/x)³ = (10)³ = 1000
i
ব্যাখ্যা (Explanation):
দেওয়া আছে, x - 1/x = 7
⇒ (x - 1/x)2 = 72
⇒ x2 + 1/x2 - 2.x.(1/x) = 49
⇒ x2 + 1/x2 = 51
⇒ (x2 + 1/x2 )2 = (51)2
⇒ x4 + 1/x4 + 2.x2 .(1/x2 ) = 2601
∴ x4 + 1/x4 = 2599
i
ব্যাখ্যা (Explanation):
দেওয়া আছে
x + y = a
x - y = b

আমরা জানি
4xy = (x + y)2 - (x - y)2
4xy = a2 - b2
4xy/2 = (a2 - b2)/2
2xy = (a2 - b2)/2
i
ব্যাখ্যা (Explanation):
দেওয়া আছে, 
a3 - b3 = 612
বা, (a -b)3 + 3ab (a - b) = 612 
বা, (3)3 + 3ab × 3 = 612
বা, 27 + 9ab = 612 
বা, 9ab = 612 - 27 
বা, 9ab = 585
বা, ab = 585/9 
∴ ab = 65
i
ব্যাখ্যা (Explanation):
এখানে, 62 + 52 = 36 + 25 = 61
এবং 62 - 52 = 36 - 25 = 11
.: অপশন অনুযায়ী সঠিক উত্তর (ঘ)

এখানে প্রথম ৩০টি প্রশ্নের ব্যাখ্যা দেখতে পারবেন, বাকি সব প্রশ্নের সম্পূর্ণ ব্যাখ্যা পেতে এখনই অ্যাপ ইন্সটল করুন।

Install App
i
ব্যাখ্যা (Explanation):
আমরা জানি,
(a - 1/a)² = a² - 2(a)(1/a) + 1/a²
বা, (a - 1/a)² = a² - 2 + 1/a²
বা, (a - 1/a)² = (a² + 1/a²) - 2
বা, (a - 1/a)² = 0
বা, a - 1/a = 0
i
ব্যাখ্যা (Explanation):
(1/a + a)² = (1/a)² + 2(1/a)(a) + a²
⇒ (1/a + a)² = 1/a² + 2 + a²
⇒ 1/a² + 2 + a² = 10
⇒ 1/a² + a² = 10 - 2
⇒ 1/a² + a² = 8
i
ব্যাখ্যা (Explanation):

দেয়া আছে:
x - 1/x = 3√5

আমাদের বের করতে হবে:
x³ + 1/x³

Step 1: প্রথমে দুই পাশে বর্গ করি
(x - 1/x)² = (3√5)²
⇒ x² - 2 + 1/x² = 45
⇒ x² + 1/x² = 47

Step 2: এখন (x + 1/x)² বের করি
(x + 1/x)² = x² + 2.x.1/x + 1/x²
⇒ = 47 + 2 = 49
⇒ x + 1/x = √49 = 7 (পজিটিভ নিই কারণ x - 1/x পজিটিভ)

Step 3: এবার সূত্র ব্যবহার করি
x³ + 1/x³
= (x+1/x)3-3.x.1/x(x+1/x)
= 73-3.7
= 343 - 21
= 322
i
ব্যাখ্যা (Explanation):
দেওয়া আছে,
       p + q = 5
এবং p - q = 3
: p2 + q2 = (p + q)2 + (p - q)2/2
                 =52 + 32/2
              = 25 + 9 / 2
              =34 / 2
              =17 
i
ব্যাখ্যা (Explanation):
a + b = 12
ab = 35 

a² + b² = (a + b)2 - 2ab
⇒ a² + b² = (12)² − 2 × 35
⇒ a² + b² = 144 − 70
⇒ a² + b² = 74
i
ব্যাখ্যা (Explanation):
দেয়া আছে, a + 1/a = 4

a2+1/a2= (a + 1/a)2 – 2 a.1/a
            = (4)2  - 2
            = 16 – 2
            = 14
i
ব্যাখ্যা (Explanation):
a3+1/3
=(a+1/3)3-3.a.1/a(a+1/a)
=(4)3-3(4)
=64-12
=52
i
ব্যাখ্যা (Explanation):
দেওয়া আছে,
এবং ab = 35
.: a2 + b2 = (a + b)2 - 2ab
               = 12² - 2.35
               = 144-70
               = 74
i
ব্যাখ্যা (Explanation):
4x2-20x
= (2x)2 - 2.2x.5 + (5)2-25
= (2x-5)2-25
i
ব্যাখ্যা (Explanation):
দেওয়া আছে,
8ab(a2+b2)
=4ab.2(a2+b2)
={(a+b)2- (a-b)2} {(a+b)2+(a-b)2}
={(√3)2 -(√2)2}
=(3-2)(3+2)
=5.1
=5

এখানে প্রথম ৩০টি প্রশ্নের ব্যাখ্যা দেখতে পারবেন, বাকি সব প্রশ্নের সম্পূর্ণ ব্যাখ্যা পেতে এখনই অ্যাপ ইন্সটল করুন।

Install App
i
ব্যাখ্যা (Explanation):
দেওয়া আছে, 
a + b  + c = 15 
a2+b2+c2 = 83

আমরা জানি, 
 (a + b + c)2 = a2+b2+c2 + 2(ab + bc + ca)
বা, 152= 83 + 2(ab + bc + ca)
বা, 225 = 83 + 2(ab + bc + ca)
বা, 2(ab + bc + ca) = 225 - 83
বা, 2(ab + bc + ca) = 142
বা, (ab + bc + ca) = 142/2
বা, (ab + bc + ca) = 71
সঠিক উত্তর: 0 | ভুল উত্তর: 0