বীজগাণিতিক সূত্রাবলী এবং প্রয়োগ

৩০৮ টি প্রশ্ন

একই বিষয়ের সব টপিক

a + b = c হলে, a³ + b³ + 3abc এর মান কত?

ক) 3c³ খ) c³ গ) 0 ঘ) c

ব্যাখ্যা (Explanation)

দেওয়া আছে,
a + b = c

প্রদত্ত রাশি = a³ + b³ + 3abc
আমরা জানি, a³ + b³ = (a + b)³ - 3ab(a + b)

এখন, a³ + b³ এর স্থানে সূত্রটি বসিয়ে পাই:
= (a + b)³ - 3ab(a + b) + 3abc
= (c)³ - 3ab(c) + 3abc [যেহেতু a + b = c]
= c³ - 3abc + 3abc
= c³

বিকল্প নিয়ম (উভয়পক্ষকে ঘন করে):
a + b = c
বা, (a + b)³ = c³
বা, a³ + b³ + 3ab(a + b) = c³
বা, a³ + b³ + 3ab(c) = c³
∴ a³ + b³ + 3abc = c³

If a³ - b³ = 56 and a - b = 2, what is the value of a² + b²?

ক) 20 খ) 24 গ) 28 ঘ) 16

ব্যাখ্যা (Explanation)

দেওয়া আছে,
a³ - b³ = 56 ........(i)
a - b = 2 ........(ii)

আমরা জানি, a³ - b³ = (a - b)(a² + ab + b²)
⇒ 56 = 2 × (a² + ab + b²) [মান বসিয়ে]
⇒ a² + ab + b² = 56 / 2
⇒ a² + ab + b² = 28 ........(iii)

আবার, (a - b)² = a² - 2ab + b²
⇒ 2² = a² + b² - 2ab
⇒ 4 = a² + b² - 2ab ........(iv)

এখন, (iii) নং হতে (iv) নং বিয়োগ করে পাই:
(a² + ab + b²) - (a² - 2ab + b²) = 28 - 4
⇒ 3ab = 24
⇒ ab = 8

আমাদের নির্ণয় করতে হবে a² + b² এর মান:
a² + b² = (a - b)² + 2ab
= 2² + 2 × 8
= 4 + 16
= 20

Find the value of (a+b)² - (a-b)² if ab = 15.

ক) 30 খ) 60 গ) 225 ঘ) 90

ব্যাখ্যা (Explanation)

দেওয়া আছে,
ab = 15

প্রদত্ত রাশি = (a+b)² - (a-b)²

আমরা জানি, বীজগণিতের অনুসিদ্ধান্ত অনুযায়ী: (a+b)² - (a-b)² = 4ab

এখন রাশিতে সরাসরি মান বসিয়ে পাই:
= 4 × 15
= 60

If x + (1/x) = 5, then what is the value of x² + (1/x²)?

ক) 25 খ) 27 গ) 23 ঘ) 20

ব্যাখ্যা (Explanation)

দেওয়া আছে,
x + (1/x) = 5

প্রদত্ত রাশি = x² + (1/x²)

আমরা জানি, বর্গের সূত্রানুযায়ী: a² + b² = (a + b)² - 2ab

সূত্র প্রয়োগ করে পাই,
= {x + (1/x)}² - 2 × x × (1/x)
= {x + (1/x)}² - 2

এখন মান বসিয়ে পাই,
= (5)² - 2
= 25 - 2
= 23

যদি a²+ 1/a²= 51 হয় তবে a - 1/a এর মান কত?

ক) ±9 খ) ±7 গ) ±5 ঘ) ±3

Job Solutions শিক্ষক নিবন্ধন

ব্যাখ্যা (Explanation)

দেওয়া আছে,
a²+ 1/a²= 51
⇒ (a - 1/a)²+ 2.a.1/a = 51
⇒ (a - 1/a)²+ 2= 51
⇒ (a - 1/a)²= 49
∴ a - 1/a = ±7

x³ + y³ এর সূত্র কোনটি?

ক) (x - y)(x² + xy + y²) খ) (x + y)(x² - xy + y²) গ) (x + y)³ - 3xy ঘ) (x + y)(x² + y²)

ব্যাখ্যা (Explanation)

আমরা জানি, ঘনের উৎপাদকে বিশ্লেষণের সূত্র হলো:
x³ + y³ = (x + y)(x² - xy + y²)

সূত্রটি যেভাবে প্রতিপাদন করা যায়:

আমরা জানি,
(x + y)³ = x³ + y³ + 3xy(x + y)
বা, x³ + y³ = (x + y)³ - 3xy(x + y) [পক্ষান্তর করে]
বা, x³ + y³ = (x + y){(x + y)² - 3xy} [(x + y) কমন নিয়ে]
বা, x³ + y³ = (x + y)(x² + 2xy + y² - 3xy) [সূত্র ভেঙে]
বা, x³ + y³ = (x + y)(x² - xy + y²)

সুতরাং, নির্ণেয় সূত্রটি: x³ + y³ = (x + y)(x² - xy + y²)

উল্লেখ্য: অপশন 1 হলো x³ - y³ এর সূত্র।

মনে রাখার কৌশল:
যেই চিহ্নের সূত্র হবে (প্লাস বা মাইনাস), প্রথম উৎপাদকটি সেই চিহ্নেরই হবে। কিন্তু দ্বিতীয় উৎপাদকটির মাঝের পদটি বিপরীত চিহ্নের হবে।
x³ + y³ এর ক্ষেত্রে: (x + y) হবে, কিন্তু পরের অংশে মাইনাস (-xy) হবে।
x³ - y³ এর ক্ষেত্রে: (x - y) হবে, কিন্তু পরের অংশে প্লাস (+xy) হবে।

x³ - 2x² + 1 বহুপদীর একটি উৎপাদক (x - 1) হলে, অপর উৎপাদকটি কত?

ক) x² - x + 1 খ) x² - x - 1 গ) x² + x - 1 ঘ) x² - 2x + 1

ব্যাখ্যা (Explanation)

যেহেতু (x - 1) বহুপদীটির একটি উৎপাদক, তাই (x - 1) দ্বারা বহুপদীটিকে ভাগ করলে ভাগশেষ শূন্য হবে এবং ভাগফলটি হবে অপর উৎপাদক।

ভাগ প্রক্রিয়া:

x² - x - 1
________________
x - 1 | x³ - 2x² + 0x + 1
-(x³ - x²)
___________
-x² + 0x
-(-x² + x)
__________
-x + 1
-(-x + 1)
_________
0

ভাগ করে আমরা ভাগফল পাই (x² - x - 1)।

সুতরাং, অপর উৎপাদকটি হলো (x² - x - 1)।

a + 3 + 1/a = 0 হলে, a³ + 1/a³ = কত?

ক) 18 খ) 20 গ) -18 ঘ) -20

Job Solutions

ব্যাখ্যা (Explanation)

a + 3 + 1/a =0

=> a + 1/a = -3

∴ a³ + 1/a³ = ( a + 1/a )³ - 3 . a. 1/a ( a + 1/a )

= (-3)³ - 3.(-3)

= -27 + 9

= -18

a⁴ - 51a² + 1 = 0 হলে a - 1/a এর মান কত?

ক) ±9 খ) ±7 গ) ±5 ঘ) ±3

Job Solutions

ব্যাখ্যা (Explanation)

a⁴ - 51a² + 1 = 0
(a⁴ - 51a² + 1) / a² = 0 / a²
a² - 51 + 1/a² = 0
a² + 1/a² = 51
(a - 1/a)² = a² - 2.a.(1/a) + (1/a)²
(a - 1/a)² = a² - 2 + 1/a²
(a - 1/a)² = (a² + 1/a²) - 2
(a - 1/a)² = 51 - 2 [(a² + 1/a²) এর মান (51) পেয়েছি। সেই মানটি এখানে বসাই]
(a - 1/a)² = 49
a - 1/a = ±√49
a - 1/a = ±7

সুতরাং, (a - 1/a) এর মান হলো ±7।

প্রথম ৩০টি প্রশ্নের ব্যাখ্যা ওয়েবসাইটে; সবগুলোর সম্পূর্ণ ব্যাখ্যা পেতে অ্যাপ ইন্সটল করুন।

অ্যাপ ইন্সটল করুন

x² + y² + z² = 5 এবং x + y + z = 3 হলে yz + zx + xy এর মান কত?

ক) -5 খ) -4 গ) -3 ঘ) 2

Job Solutions

ব্যাখ্যা (Explanation)

আমরা জানি,
(x + y + z)² = x² + y² + z² + 2(xy + yz + zx)

এখানে, আমাদের কাছে x² + y² + z² = 5 এবং x + y + z = 3 এর মান দেওয়া আছে। এই মানগুলো সূত্রে বসিয়ে পাই:
(3)² = 5 + 2(xy + yz + zx)
9 = 5 + 2(xy + yz + zx)
9 - 5 = 2(xy + yz + zx)
4 = 2(xy + yz + zx)
xy + yz + zx = 4 / 2
সুতরাং, xy + yz + zx = 2

অতএব, yz + zx + xy এর মান হলো 2।

(x² + 1)² = 3x² হলে x³ + 1/x³ এর মান কত?

ক) √3 খ) 3√3 গ) 0 ঘ) 1

Job Solutions

ব্যাখ্যা (Explanation)

(x² + 1)² = 3x²
⇒ x⁴ + 2x² + 1 = 3x²
⇒ x⁴ - x² + 1 = 0

ধরি, y = x² + 1/x²
তাহলে, x⁴ + 1 = y·x²

এখন, x⁴ - x² + 1 = 0 ⇒ (x⁴ + 1) - x² = 0
⇒ y·x² - x² = 0
⇒ (y - 1)x² = 0
⇒ y = 1

এখন, x³ + 1/x³ = (x + 1/x)(x² - 1 + 1/x²)
= (x + 1/x)(y - 1)
= (x + 1/x)(1 - 1)
= (x + 1/x) × 0
= 0

x + 1/x = 2 হলে, x⁵ + 1/x⁵ = ?

ক) 2 খ) 4 গ) 64 ঘ) 128

ব্যাখ্যা (Explanation)

প্রথমত, আমরা প্রদত্ত সমীকরণটি সমাধান করে x-এর মান বের করব।
x + 1/x = 2

সমীকরণটির উভয় পক্ষকে x দ্বারা গুণ করে পাই:
x² + 1 = 2x

সবকিছুকে একপাশে নিয়ে এলে একটি দ্বিঘাত সমীকরণ (quadratic equation) পাওয়া যায়:
x² - 2x + 1 = 0

এটি (a - b)² = a² - 2ab + b² সূত্রের রূপে আছে।
সুতরাং, আমরা লিখতে পারি:
(x - 1)² = 0

এর থেকে পাওয়া যায়:
x - 1 = 0
অর্থাৎ, x = 1

এখন, আমরা x-এর এই মানটি মূল রাশিতে বসিয়ে দেব:
x⁵ + 1/x⁵
= (1)⁵ + 1/(1)⁵
= 1 + 1/1
= 1 + 1
= 2

সুতরাং, x⁵ + 1/x⁵ এর মান হলো 2।

a³ - 21a - 20 রাশিটির উৎপাদক নয় কোনটি?

ক) (a - 5) খ) (a + 1) গ) (a + 4) ঘ) (a + 2)

ব্যাখ্যা (Explanation)

a3 - 21a - 20
= a3 + a2 - a2 - a - 20a - 20
= a2(a +1) - a (a + 1) - 20 (a + 1)
= (a + 1)(a2 - a - 20)
= (a + 1)(a2 - 5a + 4a − 20)
= (a + 1){a (a - 5) + 4 (a − 5)}
= (a + 1)(a - 5) (a + 4)

∴ (a + 2), a3 - 21a - 20 রাশিটির উৎপাদক নয়।

²ⁿC_r = ²ⁿC_{r + 2} হলে r এর মান কত?

ক) n খ) n - 1 গ) n + 1 ঘ) 2n - 1

Job Solutions

ব্যাখ্যা (Explanation)

2n C_r = 2n C _{r + 2}
বা, 2n = r + r + 2 [ n c ₅ = n C ₇ হলে n = 5 + 7]
বা, r + r = 2n - 2
বা, 2r = 2(n - 1)
বা, r = 2(n - 1)/2
∴ r = (n - 1)

x = 7 এবং y = 6 হলে, 16x² - 40xy + 25y² এর মান নির্ণয় করুন।

ক) 4 খ) 16 গ) 58 ঘ) -4

Job Solutions

ব্যাখ্যা (Explanation)

প্রদত্ত রাশি = 16x² - 40xy + 25y²
= (4x)² - 2.4x.5y + (5y)²
= (4x - 5y)²
= {(4 x 7) - (5 x 6)}² [x ও y এর মান বসিয়ে]
= (28 - 30)²
= (-2)²
= 4

x² + 1/x² = 98 হলে (x + 1/x)³ = ?

ক) 1000 খ) 970 গ) 980 ঘ) 990

ব্যাখ্যা (Explanation)

প্রথমে আমাদের (x + 1/x) এর মান বের করতে হবে। আমরা জানি:
(a + b)² = a² + 2ab + b²

এই সূত্র অনুযায়ী,
(x + 1/x)² = x² + 2 * x * (1/x) + (1/x)²
(x + 1/x)² = x² + 2 + 1/x²
(x + 1/x)² = (x² + 1/x²) + 2

প্রশ্নে দেওয়া আছে, x² + 1/x² = 98। এই মানটি উপরের সমীকরণে বসিয়ে পাই:
(x + 1/x)² = 98 + 2
(x + 1/x)² = 100
সুতরাং, x + 1/x = √100 = 10

এখন আমাদের (x + 1/x)³ এর মান বের করতে হবে:
(x + 1/x)³ = (10)³ = 1000

যদি x − 1/x = 7, তবে x^4 + 1/x^4 এর মান কত?

ক) 2500 খ) 2599 গ) 2401 ঘ) 2601

ব্যাখ্যা (Explanation)

দেওয়া আছে, x - 1/x = 7
⇒ (x - 1/x)² = 7²
⇒ x² + 1/x² - 2.x.(1/x) = 49
⇒ x² + 1/x² = 51
⇒ (x² + 1/x² )² = (51)²
⇒ x⁴ + 1/x⁴ + 2.x² .(1/x² ) = 2601
∴ x⁴ + 1/x⁴ = 2599

যদি x + y = a, x - y = b হয়, তাহলে 2xy = কত?

ক) (a + b)/2 খ) 2x + y গ) (a² - b²)/2 ঘ) (a - b)/(x - y)

Job Solutions

ব্যাখ্যা (Explanation)

দেওয়া আছে
x + y = a
x - y = b

আমরা জানি
4xy = (x + y)2 - (x - y)2
4xy = a² - b²
4xy/2 = (a² - b²)/2
2xy = (a² - b²)/2

যদি a³ - b³ = 612 এবং a - b = 3 হয়, তবে ab এর মান কত?

ক) ৬১ খ) ৬৩ গ) ৬৫ ঘ) ৬৭

ব্যাখ্যা (Explanation)

দেওয়া আছে,
a³ - b³ = 612
বা, (a -b)³ + 3ab (a - b) = 612
বা, (3)³ + 3ab × 3 = 612
বা, 27 + 9ab = 612
বা, 9ab = 612 - 27
বা, 9ab = 585
বা, ab = 585/9
∴ ab = 65