বীজগাণিতিক সূত্রাবলী এবং প্রয়োগ (277 টি প্রশ্ন )
 Back to Subject Page   All Topics


দেওয়া আছে, 
a+b = 5......(i)
a-b = 3......(ii)
(i)+(ii) ⇒
2a = 8
⇒a = 4
(i)⇒
b = 5-4
=1
ab= 4.1 = 4
দেওয়া আছে,
x + (1/x) = 2
⇒ (x + 1/x)² = 2²
⇒ x² + 2 * x * 1/x + (1/x²) = 4
⇒ x² + 2 + (1/x²) = 4
⇒ x² + (1/x²) = 4 - 2
⇒ x² + (1/x²) = 2

আবার,
y - (1/y) = 3
⇒ (y - 1/y)² = 3²
⇒ y² - 2 * y * 1/y + (1/y²) = 9
⇒ y² - 2 + (1/y²) = 9
⇒ y² + (1/y²) = 9 + 2
⇒ y² + (1/y²) = 11

এখন,
x² + y² + (1/x²) + (1/y²) = x² + (1/x²) + y² + (1/y²)
= 2 + 11
= 13
দেওয়া আছে, a + b = 10 এবং ab = 21

আমরা জানি, a³ + b³ = (a + b)³ - 3ab(a + b)
a³ + b³ = (10)³ - 3(21)(10)
= 1000 - 630
= 370

সুতরাং, a³ + b³ এর মান হলো 370
দেওয়া আছে,
x² + y² + z² = 5 ... (1)
x + y - z = 3 ... (2)

সমীকরণ (2) কে বর্গ করে,
(x + y - z)² = 3²
⇒ x² + y² + z² + 2xy - 2xz - 2yz = 9 ... (3)

সমীকরণ (1) থেকে x² + y² + z² = 5 কে সমীকরণ (3) এ বসিয়ে,
5 + 2xy - 2xz - 2yz = 9
⇒ 2xy - 2xz - 2yz = 4
⇒ 2(xy - xz - yz) = 4
⇒ xy - xz - yz = 2
⇒ -(yz + zx - xy) = 2
⇒ yz + zx - xy = -2 
|x+2| = |x-1|
⇒ |x+2|2 = |x-1|2
⇒ x2 + 4x + 4 = x2 - 2x + 1
⇒ 6x = -3
⇒ x = -3/6
⇒ x = -1/2 
x√2 + x√2
= 2x√2

এখন বর্গ করে পাই-
= (2x√2)2
= 22.x2.2
= 8x2
দেওয়া আছে, a = √3 + √2
∴ (1/a) = 1/(√3 + √2)
= (√3 - √2)/(√3 + √2)(√3 - √2)
= (√3 - √2)/(3 - 2)
= √3 - √2

∴ a - (1/a) = √3 + √2 - √3 + √2 = 2√2

এখন, (a6 -1)/a3 = (a6/a3) - (1/a3)
= a3 - (1/a3)
= {a - (1/a)}3 + 3 ⋅ a ⋅ (1/a){a - (1/a)}
= (2√2)3 + 3 ⋅ 2√2
= 8 ⋅ 2√2 + 6√2
= 22√2
দেওয়া আছে,
2a + 3b = 13
ab = 6

এখন,
8a3 + 27b3
= (2a)3 + (3b)3
= (2a + 3b)3 - 3 ⋅ 2a ⋅ 3b(2a + 3b)
= (2a + 3b)3 - 18ab(2a + 3b)
= 133 - (18 ⋅ 6 ⋅ 13)
= 2197 - 1404
= 793

∴ 8a3 + 27b3 এর মান 793
দেওয়া আছে,
ab + bc + ca = 31
a2 + b2 + c2 = 19

এখন,
(a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ca
বা, (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2(ab + bc + ca)
বা, (a + b + c)2 = 19 + (2 × 31)
বা, (a + b + c)2 = 19 + 62
বা, (a + b + c)2 = 81
বা, a + b + c = √81
∴ a + b + c = 9
(√5 + 1)y + 4 = 4√5
⇒ (√5 + 1)y = 4√5 - 4
⇒ (√5 + 1)y = 4(√5 - 1)
⇒ y = {4(√5 - 1)}/(√5 + 1)
⇒ y = {4(√5 - 1) (√5 - 1)}/{(√5 + 1) (√5 - 1)}
⇒ y = 4{(√5)2 - 2√5 + 1}/{(√5)2 - 1}
⇒ y = {4(6 - 2√5)}/4
∴ y = 6 - 2√5
(x - 1) (x + 2) = (x + 4) (x - 2)
⇒ x2 - x + 2x - 2 = x2 + 4x - 2x - 8
⇒ x - 2 = 2x - 8
⇒ 2x - x = 8 - 2
∴ x = 6
xa2 - 144xb2 
= x (a2 - 144b2)
= x {a2 - (12b)2}
= x (a + 12b) (a - 12b)

দেওয়া আছে ,
4a2 + 1/a2 = 2
⇒ (2a)2 + (1/a)2 = 2
⇒ (2a + 1/a)2 - 2.2a.1/a = 2
⇒ (2a + 1/a)2 = 2 + 4
⇒ (2a + 1/a)2 = 6  ∴ 2a + 1/a =√6

এখন, 
8a3 + 1/a3 = (2a)3 + (1/a)3
= (2a + 1/a)3 - 3.2a.1/a (2a +1/a)
= (√6)3 - 6.√6
= 6√6 - 6√6
= 0
দেওয়া আছে, x2 + √2x + 1 = 0
⇒ x - √2 + 1/x = 0
[x দ্বারা উভয় পক্ষকে ভাগ করে]
⇒ x + 1/x = √2

∴ x12 + 1/x6 = x12/x6 + 1/x6
= x6 + 1/x6 = (x3)2 + (1/x3)2
= (x3 + 1/x3)2 - 2.x3.1/x3
= {(x + 1/x)3 - 3x.1/x (x + 1/x)}2 - 2
= {(√2)3 - 3.√2}2 - 2
= (2√2 - 3√2)2 -2
= (-√2)2 - 2
= 2 - 2
= 0


ধরি,
গাছটির উচ্চতা, AB = h মিটার
ছায়ার দৈর্ঘ্য BC = 10 মিটার
C বিন্দুতে উন্নতি কোণ = 60°

এখন,
ΔABC এ
tan∠ACB = AB/BC
⇒ tan60° = h/10
⇒ √3 = h/10
⇒ h = 10√3
⇒ h = 10 × 1.7320
∴ h = 17.32

∴ গাছটির উচ্চতা 17.32 মিটার।
x3 + 2x2 - 1 
= (-1)3 + 2.(-1)2 - 1
= - 1 + 2 - 1
= 2 - 2
= 0 
x2 + y2 = 4
⇒ (x + y)2 - 2xy = 4
⇒ 22 - 2xy = 4
⇒ 2xy = 4-4
∴ xy = 0

∴ x3 + y3 = (x + y)3 - 3xy (x + y)
              = (2)3 - 3 × 0 × 2
              = 8
114x + 12 = 54x + 12
⇒ (11/5)4x + 12 = (11/5)0
⇒ 4x + 12 = 0 
⇒ 4x = - 12
⇒ x = - 3 
দেওয়া আছে, 
a + (4/a) = 4
⇒ a2 + 4 - 4a = 0 
⇒ (a - 2)2 =  0
⇒ a = 2 
এখন, 
a/(a2 + a - 2) = 2/(22 + 2 - 2) = 2/4 = 1/2 
 (x + 3) (x - 3) - (x² - 6)
= x² - 9 - x² + 6
= -3
ধরি, p(x) = x4 - 5x3 + 7x2 - a

বহুপদীর একটি উৎপাদক ( x - 2 ) হলে p(x) = 0 হয় ।

সুতরাং ( x - 2 ) = 0

∴ x = 2

অতএব, p(x) = x4 - 5x3 + 7x2 - a

p(2) = 24 - (5×23) + (7×22) - a

⇒ 0 = 16 - (5 × 8 ) + ( 7×4 ) - a

⇒ 0 = 16 - 40 + 28 - a

∴ a = 44 - 40 = 4
4x2 - 2
= (2x)2 - 2.2x.(1/2x) + (1/2x)2 - (1/2x)2

= (2x - 1/2x)2- 1/4x2

সুতরাং, 4x2 - 2 হতে -1/4x2 বিয়োগ করলে রাশিটি পূর্ণবর্গ হবে।
(a-1)-1
= (1/a)-1
= (1/1)/a
= a
2x-6 = 1/64
⇒ 2x-6 = 1/26
⇒ 2x-6 = 2-6
⇒ x - 6 = -6
∴ x = 0
x/a + x/b = 1
⇒ x ( 1/a + 1/b) = 1
⇒  x {(a + b)/(ab)} = 1
⇒  x = ab/a +b
y = x + 3
y = -x - 3

প্রথম সমীকরণে y-এর মান দ্বিতীয় সমীকরণে প্রতিস্থাপন করলে,
x + 3 = -x - 3
2x = -6
x = -3

x-এর মান প্রথম সমীকরণে প্রতিস্থাপন করলে,
y = -3 + 3
y = 0

x ও y= (-3, 0)
 ab = ba

or, Inab = In ba [In নিয়ে]

or, bIna = aInb

or, Ina = (a/b)Inb

or, Ina = Inb(a/b)

or, a = b(a/b)

or, a = b(2b/b)

or, a = b2

or, b2 = 2b [a=2b]

or, b(b - 2) = 0

or, b = 2

∴ a = 2b
     = 2 x 2
     = 4

∴ (a,b)=(4,2)
x2 - 1/x2 = x2 - (1/x)2
=  (x+ 1/x) (x - 1/x) 
∴ (x+ 1/x) - (x - 1/x) = 2/x
আবার,
(x - 1/x) (x + 1/x) 
= (x - 1/x) - (x + 1/x)= - 2/x
সঠিক উত্তর: 0 | ভুল উত্তর: 0