মনে করি, বাসা থেকে অফিসের দুরত্ব x কিলোমিটার। সকালে 6 কি.মি./ঘণ্টা বেগে x কিলোমিটার যেতে x/6 ঘণ্টা লাগে। বিকেলে 4 কি.মি./ঘণ্টা বেগে x কিলোমিটার যেতে x/4 ঘণ্টা লাগে।
১ কি.মি. = ১০০০ মিটার ৩৬ কি.মি. = (৩৬ × ১০০০) মিটার = ৩৬০০০ মিটার
খুঁটিকে অতিক্রম করতে ট্রেনটিকে নিজের দৈর্ঘ্য অতিক্রম করতে হবে। ৩৬০০০ মিটার অতিক্রম করে = ৩৬০০ সেকেন্ড ১ মিটার অতিক্রম করে = ৩৬০০/৩৬০০০ সেকেন্ড ∴ ৬০ মিটার অতিক্রম করে = (৩৬০০ × ৬০)/৩৬০০০ সেকেন্ড = ৬ সেকেন্ড
গড় গতিবেগ বের করার নিয়ম হচ্ছে (মোট অতিক্রান্ত পথ/মোট অতিবাহিত সময়) এখানে দুভাবেই ধরা যায়।ধরি প্রথম অর্ধেক ১৫ এবং পরের অর্থেক ১৫ কিমি।(৫ এবং ৩ এর ল সা গু) মোট অতিক্রান্ত পথ= ১৫+১৫=৩০ কিমি এবং সময় ১৫/৫=৩ ঘন্টা এবং ১৫/৩=৫ ঘন্টা ৩+৫=৮ ঘন্টা। সুতরাং গড় গতিবেগ =(১৫+১৫)/(৩+৫)=৩০/৮=১৫/৪
ধরি, ট্রেন দুটি কমলাপুর থেকে "ক" কি.মি. দূরে মিলিত হবে। একটি ট্রেন ৩০ কি.মি. যায় ১ ঘণ্টায় ∴ একটি ট্রেন "ক" কি.মি. যায় ক/৩০ ঘণ্টায় আরেকটি ট্রেন ৪০ কি.মি. যায় ১ ঘণ্টায় ∴ আরেকটি ট্রেন "ক" কি.মি. যায় ক/৪০ ঘণ্টায়
∴ (ক/৩০) - ( ক/৪০) = ২ ⟨যেহেতু, ট্রেন দুটির যাত্রা শুরুর সময়ের পার্থক্য ১ ঘণ্টা⟩ ⇒ (৪ক - ৩ক) / ১২০ =২ ⇒ ক/১২০ =২ ∴ ক = ২৪০
- রাজ প্রথমে তার বাড়ি থেকে পূর্ব (East) দিকে ৫ মাইল হাঁটে। - এরপর সে বাম দিকে (অর্থাৎ উত্তর দিকে) ঘুরল এবং ৩ মাইল হাঁটল। - সবশেষে সে আবার বাম দিকে (অর্থাৎ পশ্চিম দিকে) ঘুরল এবং ২ মাইল হাঁটল। - যেহেতু সে সর্বশেষ পশ্চিম দিকে মুখ করে হাঁটছিল, তাই তার মুখ এখন পশ্চিম (West) দিকে।
ফ্রিতে ২ লাখ প্রশ্নের টপিক, সাব-টপিক ভিত্তিক ও ১০০০+ জব শুলুশন্স বিস্তারিতে ব্যাখ্যাসহ পড়তে ও আপনার পড়ার ট্র্যাকিং রাখতে সাইটে লগইন করুন।
- লোকটি শুরুতে পশ্চিম (West) দিকে চলা শুরু করেছিল। - ৩০ মিটার যাওয়ার পর সে ডান দিকে (Right) ঘুরেছে। পশ্চিম দিকে যেতে যেতে ডানে ঘুরলে তার মুখ এখন উত্তর (North) দিকে। - এরপর সে আবার ডান দিকে (Right) ঘুরে ২০ মিটার পথ অতিক্রম করে। উত্তর দিকে যেতে যেতে ডানে ঘুরলে তার মুখ এখন পূর্ব (East) দিকে। - সবশেষে সে বাম দিকে (Left) ঘোরে। পূর্ব দিকে মুখ করে থাকা অবস্থায় বামে ঘুরলে তার মুখ আবার উত্তর (North) দিকে ফিরে আসে। - অর্থাৎ, লোকটির চূড়ান্ত দিক (Final Direction) হলো উত্তর (North)।
- এখানে বর্তমান ব্যাখ্যাটি ভুল, কারণ 'সিটি C' 'সিটি B' এর দক্ষিণ-পূর্বে (southeast) অবস্থিত, দক্ষিণে নয়। তাই এটি সরাসরি একটি সমকোণী ত্রিভুজ গঠন করে না। - 'সিটি B', 'সিটি A'-এর ৫ মাইল পূর্বে অবস্থিত। তাই আমরা A-কে মূলবিন্দু (0,0) ধরলে B-এর স্থানাঙ্ক হবে (5, 0)। - 'সিটি C', 'সিটি B' থেকে ১০ মাইল দক্ষিণ-পূর্বে অবস্থিত। দক্ষিণ-পূর্ব দিক মানে পূর্ব দিকের সাথে ৪৫° কোণ করে নিচের দিকে যাওয়া। - কোসাইন সূত্র (Cosine Rule) ব্যবহার করে এই দূরত্ব বের করা যায়। এখানে একটি ত্রিভুজ গঠিত হয় যার দুটি বাহু ৫ মাইল এবং ১০ মাইল এবং তাদের মধ্যবর্তী কোণ ১৩৫° (৯০° + ৪৫°)। - কোসাইন সূত্র অনুযায়ী, $AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2(AB)(BC) \cos(135^\circ)$। - মান বসালে পাই, $AC^2 = 5^2 + 10^2 - 2(5)(10) (-\frac{1}{\sqrt{2}})$ বা $AC^2 = 25 + 100 + 70.7$। - অর্থাৎ, $AC^2 \approx 195.7$। - এর বর্গমূল করলে পাওয়া যায় $AC \approx 13.98$, যা ১৪ মাইলের খুব কাছাকাছি।
সহজে মনে রাখার জন্য একটি কাল্পনিক চিত্র আঁকুন: ১. Z কে মূলবিন্দু ধরুন। Y তার উত্তরে (উপরে)। ২. X, Y-এর পশ্চিমে (বামে)। ৩. M, X-এর দক্ষিণে (নিচে)। চিত্রটি হবে অনেকটা চতুর্ভুজের মতো। Y এবং Z ডানদিকের বাহু, X এবং M বামদিকের বাহু। যেহেতু X-M রেখাটি Y-Z রেখার বামে (পশ্চিমে) অবস্থিত, তাই M অবশ্যই Z-এর West (পশ্চিমে) কোনো এক দিকে থাকবে। পূর্ব (East) দিকে হওয়ার কোনো সুযোগ নেই। সঠিক উত্তর: West (অপশন অনুযায়ী সবচেয়ে গ্রহণযোগ্য)।
চলুন, ধাপে ধাপে দিক নির্ণয় করি: ১. প্রথমে যাত্রা শুরু করি এবং পশ্চিম থেকে দক্ষিণ দিকে 5 km যাই। ২. এরপর বাম দিকে ঘুরে 3 km যাই। (দক্ষিণ দিকে মুখ করে থাকলে বাম দিক হবে পূর্ব দিক)। ৩. তারপর আবার বাম দিকে ঘুরে 5 km যাই। (পূর্ব দিকে মুখ করে থাকলে বাম দিক হবে উত্তর দিক)। লক্ষ্য করলে দেখা যাবে, প্রথমে দক্ষিণ দিকে 5 km গিয়েছিলাম এবং এখন উত্তর দিকে আবার 5 km ফিরে এসেছি। অর্থাৎ, শুরুর অবস্থান থেকে উত্তর-দক্ষিণ বরাবর দূরত্বের পার্থক্য এখন শূন্য। ৪. সবশেষে ডান দিকে ঘুরে 5 km যাই। (উত্তর দিকে মুখ করে থাকলে ডান দিক হবে পূর্ব দিক)। এখন, শুরুর বিন্দু এবং শেষ বিন্দুর মধ্যে মোট দূরত্ব হলো পূর্ব দিকে অতিক্রান্ত মোট দূরত্ব। সুতরাং, নির্ণেয় দূরত্ব = (দ্বিতীয় বারের দূরত্ব + শেষ বারের দূরত্ব) = (3 + 5) km = 8 km
শর্টকাট টেকনিক (পরীক্ষার জন্য): পূর্ব ও পশ্চিম এবং উত্তর ও দক্ষিণ একে অপরের বিপরীত। - দক্ষিণ (South): 5 km - বামে (পূর্ব/East): 3 km - আবার বামে (উত্তর/North): 5 km - ডানে (পূর্ব/East): 5 km এখানে, দক্ষিণ 5 km এবং উত্তর 5 km পরস্পরকে 'Cancel' বা বাতিল করে দেয় (যেহেতু দূরত্ব সমান এবং দিক বিপরীত)। অবশিষ্ট থাকে শুধু পূর্ব দিকের দূরত্বগুলো। মোট দূরত্ব = প্রথম পূর্বের 3 km + শেষের পূর্বের 5 km = 8 km
মনে করি, দুইজন ব্যক্তির যাত্রার শুরুর বিন্দু হলো O। যেহেতু তারা বিপরীত দিকে যাত্রা শুরু করেছে, ধরি একজন উত্তর দিকে এবং অন্যজন দক্ষিণ দিকে গিয়েছে (অথবা পূর্ব ও পশ্চিম ধরা যেতে পারে, ফলাফল একই হবে)।
১ম ব্যক্তি: প্রথমে O বিন্দু থেকে পশ্চিম দিকে 4 meters গিয়ে A বিন্দুতে পৌঁছাল। এরপর বাম দিকে মোড় নিয়ে (পশ্চিমের বাম দিক মানে দক্ষিণ দিক) 3 meters গিয়ে B বিন্দুতে থামল। এখন, পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুযায়ী শুরুর বিন্দু O থেকে ১ম ব্যক্তির বর্তমান অবস্থান B এর দূরত্ব: OB² = OA² + AB² বা, OB² = 4² + 3² বা, OB² = 16 + 9 বা, OB = √25 বা, OB = 5 meters
২য় ব্যক্তি: একই সময়ে O বিন্দু থেকে ৩য় ব্যক্তি পূর্ব দিকে (বিপরীত দিক) 4 meters গিয়ে C বিন্দুতে পৌঁছাল। এরপর বাম দিকে মোড় নিয়ে (পূর্বের বাম দিক মানে উত্তর দিক) 3 meters গিয়ে D বিন্দুতে থামল। এখানেও, পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুযায়ী শুরুর বিন্দু O থেকে ২য় ব্যক্তির বর্তমান অবস্থান D এর দূরত্ব: OD² = OC² + CD² বা, OD² = 4² + 3² বা, OD² = 16 + 9 বা, OD = √25 বা, OD = 5 meters এখন, লক্ষ্য করি যে, ১ম ব্যক্তি মূল বিন্দুর দক্ষিণে এবং ২য় ব্যক্তি মূল বিন্দুর উত্তরে অবস্থান করছে। তাদের মধ্যবর্তী সরলরৈখিক দূরত্ব বের করতে হলে আমাদের একটু জ্যামিতিক কল্পনা করতে হবে। আসলে, দুই ব্যক্তি একে অপরের ঠিক বিপরীত দিকে সরে গেছে এবং তাদের পথের আকৃতি অনেকটা একটি সরলরেখার দুই প্রান্তে দুইটি ত্রিভুজের অতিভুজের মতো।
সহজ ভাবে চিন্তা করলে, ১ম ব্যক্তি অনুভূমিকভাবে (Horizontal) সরেছে = 4 মি. এবং উলম্বভাবে (Vertical) সরেছে = 3 মি. ২য় ব্যক্তি অনুভূমিকভাবে (বিপরীত দিকে) সরেছে = 4 মি. এবং উলম্বভাবে (বিপরীত দিকে) সরেছে = 3 মি. তাদের মোট অনুভূমিক দূরত্ব (Total Horizontal Distance) = 4 + 4 = 8 meters তাদের মোট উলম্ব দূরত্ব (Total Vertical Distance) = 3 + 3 = 6 meters (কারণ একজন উত্তরে, অন্যজন দক্ষিণে)
এখন তাদের একে অপরের সরাসরি দূরত্ব বের করতে পিথাগোরাসের সুত্র ব্যবহার করব: নির্ণেয় দূরত্ব = √{(মোট অনুভূমিক দূরত্ব)² + (মোট উলম্ব দূরত্ব)²} = √(8² + 6²) = √(64 + 36) = √100 = 10 meters
শর্টকাট টেকনিক: এ ধরণের অঙ্কে যখন দুইজন ব্যক্তি একই বিন্দু থেকে বিপরীত দিকে যাত্রা করে এবং একই দূরত্ব অতিক্রম করে একই দিকে (যেমন উভয়েই বামে বা ডানে) মোড় নেয়, তখন তাদের গতিপথের জ্যামিতিক চিত্রটি প্রতিসম (Symmetrical) হয়। সহজ উপায় হলো একজনের অতিক্রান্ত দূরত্বের অতিভুজ (Hypotenuse) বের করে তাকে দ্বিগুণ করে দেওয়া। এখানে একজনের ক্ষেত্রে অতিভুজ = √(4² + 3²) = √(16 + 9) = √25 = 5 meters. যেহেতু দুইজন বিপরীত দিকে গিয়েছে, তাই মোট দূরত্ব = 5 × 2 = 10 meters.
ধরি, City A এর অবস্থান মূলবিন্দু $(0, 0)$ তে। প্রশ্নানুসারে, City B, City A থেকে $5$ মাইল পূর্বে অবস্থিত। সুতরাং, City B এর স্থানাঙ্ক হবে $(5, 0)$।
আবার, City C, City B থেকে $10$ মাইল দক্ষিণ-পূর্বে (Southeast) অবস্থিত। দক্ষিণ-পূর্ব দিক মানে হলো পূর্ব দিকের সাথে $-45^{\circ}$ বা ঘড়ির কাঁটার দিকে $45^{\circ}$ কোণ। এখানে City B এর অবস্থানকে মূলবিন্দু ধরলে City C এর স্থানাঙ্ক নির্ণয়ের জন্য আমাদের ত্রিভুজমিতির সাহায্য নিতে হবে।
City B থেকে City C এর অনুভূমিক দূরত্ব (x-axis বরাবর পরিবর্তন) = $10 \times \cos(45^{\circ})$ $ = 10 \times \frac{1}{\sqrt{2}}$ $ = 10 \times 0.707$ $ = 7.07$ মাইল (প্রায়)
City B থেকে City C এর উল্লম্ব দূরত্ব (y-axis বরাবর পরিবর্তন নিচের দিকে) = $10 \times \sin(45^{\circ})$ $ = 10 \times \frac{1}{\sqrt{2}}$ $ = 7.07$ মাইল (প্রায়)
যেহেতু City B এর আগের স্থানাঙ্ক $(5, 0)$, তাই: City C এর x-স্থানাঙ্ক = $5 + 7.07 = 12.07$ City C এর y-স্থানাঙ্ক = $0 - 7.07 = -7.07$ (যেহেতু দক্ষিণ দিকে তাই বিয়োগ হবে)
এখন, City A $(0,0)$ থেকে City C $(12.07, -7.07)$ এর দূরত্ব নির্ণয়ের সূত্র: দূরত্ব $AC = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$ $ = \sqrt{(12.07 - 0)^2 + (-7.07 - 0)^2}$ $ = \sqrt{(12.07)^2 + (-7.07)^2}$ $ = \sqrt{145.68 + 49.98}$ $ = \sqrt{195.66}$ $ \approx 13.98$ মাইল
যা প্রায় 14 miles এর সমান। সুতরাং, সঠিক উত্তর হবে 14 miles.
বিকল্প পদ্ধতি ( কোসাইন সূত্র বা Law of Cosines ব্যবহার করে): আমরা যদি চিত্রটি কল্পনা করি, তবে একটি ত্রিভুজ $ABC$ গঠিত হয়। এখানে, $AB = 5$ মাইল এবং $BC = 10$ মাইল। City B থেকে পূর্ব দিকের সাথে City C এর সৃষ্ট কোণ $45^{\circ}$ (নিচের দিকে)। কিন্তু ত্রিভুজের ভেতরের কোণটি হবে $\angle ABC = 180^{\circ} - 45^{\circ} = 135^{\circ}$।
পরীক্ষার হলে সহজে উত্তর দেওয়ার শর্টকাট টেকনিক: এক্ষেত্রে সঠিক অংক না কষেও অনুমান বা লজিক ব্যবহার করা যায়। ত্রিভুজের একটি গুরুত্বপূর্ণ ধর্ম হলো- "ত্রিভুজের যে কোনো দুই বাহুর সমষ্টি তৃতীয় বাহু অপেক্ষা বৃহত্তর।"
এখানে একটি বাহু $5$ এবং অন্যটি $10$। তাহলে তৃতীয় বাহু (দূরত্ব) অবশ্যই এমন হবে: দূরত্ব < $5 + 10$ বা, দূরত্ব < $15$
এবং "ত্রিভুজের যে কোনো দুই বাহুর অন্তর অপেক্ষা তৃতীয় বাহু বৃহত্তর।" দূরত্ব > $10 - 5$ বা, দূরত্ব > $5$
অর্থাৎ উত্তরটি $5$ ও $15$ এর মাঝে হবে। কিন্তু কোণটি $45^{\circ}$ হওয়ার কারণে বাহুটি $135^{\circ}$ কোণের বিপরীতে আছে। $135^{\circ}$ একটি স্থূল কোণ, তাই বিপরীত বাহুটি অনেক বড় হবে, যা $15$ এর খুব কাছাকাছি হবে। অপশনগুলোর মধ্যে সবচেয়ে বড় এবং $15$ এর নিকটবর্তী সংখ্যাটি হলো $14$। তাই 14 miles উত্তর হওয়ার সম্ভাবনাই সবচেয়ে বেশি।
গণিতের জ্যামিতি অংশ অনুসারে, সমতলে অবস্থিত দুটি সরলরেখা যদি পরস্পরের সমান্তরাল হয়, তবে তারা একে অপরকে কখনোই ছেদ করবে না, যতই তাদের উভয় দিকে বর্ধিত করা হোক না কেন। সমান্তরাল সরলরেখাগুলোর মধ্যবর্তী লম্ব দূরত্ব সর্বদা সমান থাকে।
যেমন, রেললাইনের দুটি পাত কখনোই একে অপরের সাথে মিশে যায় না বা ছেদ করে না। সুতরাং, দুটি সমান্তরাল রেখার ছেদবিন্দু সংখ্যা ০ (শূন্য)। যেহেতু প্রশ্নে সঠিক অপশন নেই, তাই এটি একটি ভুল প্রশ্ন বা অপশনে ভুল আছে। তবে জ্যামিতিক সংজ্ঞা অনুযায়ী ছেদ বিন্দুর সংখ্যা ০।
শর্টকাট টেকনিক: পরীক্ষার হলে মনে রাখার উপায়: সমান্তরাল রেখা মানে = ট্রেনের লাইন। ট্রেনের দুই চাকা যেমন কোনো দিন এক হয় না বা ছেদ করে না, তেমনি সমান্তরাল রেখাও ছেদ করে না। তাই ছেদবিন্দু ০।
✅চাকরি পরীক্ষার আপডেট ============================= ১। ২৩ তারিখের অফিসার জেনারেল পিছিয়ে ৩১ তারিখ বিকাল হবে ৩-৪টা।
✅ ১৯তারিখ থেকে ৫০তম বিসিএস ফুল মডলে টেস্ট ১০টি নেওয়া হবে।
✅প্রাইমারী, নিবন্ধন বা ১১তম-২০তম গ্রেডের যেকোনো চাকরি জন্য প্রশ্ন ব্যাংক লেগে থেকে শেষ করুন। অ্যাপ এর প্রশ্ন ব্যাংক থেকে ১০০% কমন আসবে। বাকি চাকরি পরীক্ষা জন্য ৭০%-৮০% কমন আসবে। আপনার চর্চার সময় আপনার ভুল প্রশ্ন, বুকমার্ক প্রশ্ন সব ডাটাবেজে জমা থাকে। মনে করুন বাংলা সাহিত্য ৪০০০ প্রশ্ন আছে, আপনি একবার ভালো করে পড়বেন, এর মধ্যে দেখবেন ৪০% প্রশ্ন আপনার জানা, যেগুলো কখনও ভুল হবে না, বাকি আছে ৬০%, এই প্রশ্নগুলো আলাদা বাটনে জমা হয়, যেগুলো আপনি ভুল করছেন, এখন এইগুলো ভালো করে রিভিশন দিন। এতে সহজে কম সময় প্রস্তুতি শেষ হবে। যারা একেবারে নতুন তারা জব শুলুশন্স বাটন দিয়ে শুরু করতে পারেন।
✅ব্যাংক নিয়োগ প্রস্তুতি'র লং কোর্স (রুটিনের জন্য পিডিএফ বাটন দেখুন) - পরীক্ষা শুরুঃ ১০ নভেম্বর। - মোট পরীক্ষাঃ ১২৮টি, - টপিক ভিত্তিকঃ ১১২টি, - রিভিশন পরীক্ষাঃ ২২টি, - Vocabulary রিভিশনঃ ৩বার
অ্যাপ এর হোম screen -এ পিডিএফ বাটন ক্লিক করুন, এখান থেকে রুটিন ডাউনলোড করতে পারবেন। রুটিনের তারিখ অনুযায়ী পরীক্ষা রাত ১২ থেকে ২৪ ঘণ্টার মধ্যে যেকোন সময় দিতে পারবেন, ফলাফল সাথে সাথে বিস্তারিত ব্যাখ্যাসহ দেওয়া হয়। missed পরীক্ষাগুলো আর্কাইভ থেকে দিতে পারবেন, তবে মেরিট লিস্ট আসবে না, মেরিট লিস্টে থাকতে হলে রুটিন অনুযায়ী নির্দিষ্ট তারিখে দিতে হবে। আর্কাইভ থেকে পরীক্ষা দিতে হলে ভিজিট করুনঃ অ্যাপ এর হোম স্ক্রীনে 'পরীক্ষার সেকশন' বাটনে ক্লিক করুন -> বিসিএস বাটন -> [ফ্রি কোর্স] ৫০তম বিসিএস প্রিলি ২২০ দিনের সেকশনের All Exam বাটন ক্লিক করুন -> এখান Upcoming, Expired ট্যাব পাবেন।
✅ প্রধান শিক্ষক প্রস্তুতি - লেকচারশীট ভিত্তিকঃ রুটিন আপলোড করা হয়েছে। পরীক্ষা শুরুঃ ১৫ আগস্ট। মোট পরীক্ষাঃ ৫৮টি
✅ আপকামিং রুটিনঃ
- ১০০ দিনের বিসিএস বিষয়ভিত্তিক প্রস্তুতি। - অগ্রদূত বাংলা বই অনুসারে বাংলা সাহিত্য ও ভাষা রুটিনে টপিক ও বইয়ের পৃষ্ঠা নম্বর উল্লেখ থাকবে।। - English মাস্টার বই অনুসারে রুটিনে টপিক ও বইয়ের পৃষ্ঠা নম্বর উল্লেখ থাকবে।
