বিন্যাস ও সমাবেশ (190 টি প্রশ্ন )
 Back to Subject Page   All Topics

দুটি ভিন্ন সরলরেখা সর্বাধিক একটি বিন্দুতে ছেদ করতে পারে। সর্বাধিক সংখ্যক ছেদবিন্দু পাওয়ার জন্য, কোনো দুটি রেখা সমান্তরাল হতে পারবে না এবং কোনো তিনটি রেখা একটি সাধারণ বিন্দু দিয়ে যেতে পারবে না।

n সংখ্যক সরলরেখার জন্য সর্বাধিক ছেদবিন্দুর সংখ্যা নির্ণয়ের সূত্রটি হলো:
ছেদবিন্দুর সংখ্যা = n(n-1) / 2

এখানে, n = 7 (সরলরেখার সংখ্যা)।

সুতরাং, সর্বাধিক ছেদবিন্দুর সংখ্যা = 7 * (7-1) / 2
= 7 * 6 / 2
= 42 / 2
= 21

অতএব, ৭টি সরলরেখা সর্বাধিক ২১টি বিন্দুতে ছেদ করতে পারে।
একটি আদর্শ ছক্কায় মোট ৬টি তল থাকে এবং প্রতিটি তলে ১ থেকে ৬ পর্যন্ত সংখ্যাগুলো লেখা থাকে (১, ২, ৩, ৪, ৫, ৬)।

মোট সম্ভাব্য ফলাফল: ছক্কা নিক্ষেপ করলে মোট ৬ ধরনের ফলাফল আসতে পারে।

মৌলিক সংখ্যা: ১ থেকে ৬ এর মধ্যে মৌলিক সংখ্যাগুলো হলো ২, ৩, এবং ৫(উল্লেখ্য, ১ মৌলিক সংখ্যা নয়)। সুতরাং, মৌলিক সংখ্যা ওঠার অনুকূল ফলাফল ৩টি।

সম্ভাবনা নির্ণয়ের সূত্রটি হলো:
সম্ভাবনা = (অনুকূল ফলাফলের সংখ্যা) / (মোট সম্ভাব্য ফলাফলের সংখ্যা)

এই ক্ষেত্রে, সম্ভাবনা = ৩ / ৬ = ১/২।
GOLDEN শব্দটিতে প্রথম অক্ষর G ছাড়া আর বর্ণ আছে ৫ টি এবং প্রত্যেকটি বর্ণই ভিন্ন ভিন্ন।
৫ টি ভিন্ন বর্ণকে সাজানোর উপায় = 5! 
= 120

অর্থাৎ মোট ১২০ উপায়ে সাজানো যাবে।
3 , 5 এবং 7 এই তিনটি সংখ্যা ব্যবহার করে দুই অঙ্কের সংখ্যা তৈরি হতে পারে = 3 × 3 = 9 9 টি দুই অঙ্কের সংখ্যা সৃষ্টি হতে পারে। সংখ্যাগুলো: 33, 35, 37, 53, 55, 57, 73, 75, 77
দলে একজন পুরুষ, দু'জন পুরুষ বা তিনজন পুরুষ থাকতে পারে।
একজন পুরুষ এবং দুইজন মহিলা নিয়ে দলের সংখ্যা = 4C1 × 3C2
= 4 × 3
= 12

দুইজন পুরুষ এবং একজন মহিলা নিয়ে দলের সংখ্যা = 4C2 × 3C1
= 6 × 3
= 18

তিনজন পুরুষ নিয়ে দলের সংখ্যা = 4C3
= 4

∴ মোট দলের সংখ্যা = 12 + 18 + 4 = 34

Consider the 3 girls as one unit. Then we have 4 + 1 = 5 people. They can be arranged in 5! = 120 ways. The 3 girls among themselves can be arranged in 3! = 6 ways.

The number of required arrangements = 120 × 6 = 720 ways.

Hence, the answer is 720,

মোট খেলা = ৬C২ = ৬!/২!(৬-২)! 

                          = ৬×৫×৪!/২×১×৪! 

                          = ১৫টি 
প্রথম অক্ষর M ধরে নিলে 3-অক্ষরের শব্দ গঠন করার জন্য আরও 2টি অক্ষর বেছে নিতে হবে।

বাকি অক্ষর: 5টি (U, G, D, H, O)

5P2= 5 * 4 = 20

সুতরাং, প্রথমে M স্থির রেখে মোট 20টি ভিন্ন শব্দ গঠন করা যাবে।
CONIC শব্দটিতে অক্ষর রয়েছে 5টি, এর মধ্যে দুইটি C বাকি অক্ষরগুলো ভিন্ন ভিন্ন।

∴ নির্ণেয় বিন্যাস সংখ্যা = 5!/2! = 60

ফ্রিতে ২ লাখ প্রশ্নের টপিক, সাব-টপিক ভিত্তিক ও ১০০০+ জব শুলুশন্স বিস্তারিতে ব্যাখ্যাসহ পড়তে ও আপনার পড়ার ট্র্যাকিং রাখতে সাইটে লগইন করুন।

লগইন করুন
শব্দটি হলো: M I S S I S S I P P I
মোট অক্ষর সংখ্যা (n) = ১১ টি।
অক্ষরগুলোর পুনরাবৃত্তি:
M = ১ বার
I = ৪ বার
S = ৪ বার
P = ২ বার

যেহেতু দুটি 'P' কে একসাথে রাখতে হবে, তাই আমরা 'PP' কে একটি একক ইউনিট বা ব্লক হিসেবে ধরবো।

এখন আমাদের কাছে সাজানোর জন্য আইটেমগুলো হলো: M, I, S, S, I, S, S, I, [PP], I
এই নতুন সেটটিতে মোট আইটেমের সংখ্যা (n') = ১ (M) + ৪ (I) + ৪ (S) + ১ ([PP] ব্লক) = ১০ টি।
নতুন সেটে পুনরাবৃত্তি:

এই ১০টি আইটেমের মধ্যে:
I আছে ৪ বার
S আছে ৪ বার
M আছে ১ বার
[PP] ব্লকটি আছে ১ বার

সজ্জার সংখ্যা = ১০! / (৪! * ৪!)
= ৩,৬২৮,৮০০ / (২৪ * ২৪)
= ৩,৬২৮,৮০০ / ৫৭৬
= ৬,৩০০
মোট বইয়ের সংখ্যা = ৫টি গণিত + ৩টি পদার্থ বিজ্ঞান + ২টি রসায়ন = ১০টি

সুতরাং, মোট বিন্যাস সংখ্যা হবে = 10!/(5!×3!×2!) = 2520
​
৬ জন প্রার্থী থেকে ১ জন নির্বাচন করার উপায় = ⁶C₁ = ৬
৬ জন প্রার্থী থেকে ২ জন নির্বাচন করার উপায় = ⁶C₂ = ১৫
৬ জন প্রার্থী থেকে ৩ জন নির্বাচন করার উপায় = ⁶C₃ = ২০
৬ জন প্রার্থী থেকে ৪ জন নির্বাচন করার উপায় = ⁶C₄ = ১৫

মোট উপায় = ৬ + ১৫ + ২০ + ১৫ = ৫৬

সুতরাং, একজন ভোটদাতা মোট ৫৬ উপায়ে ভোট দিতে পারবেন।
SCIENCE শব্দটিতে মোট অক্ষর আছে 7টি

"C" এবং "E" অক্ষর দুটি দুবার করে আছে।

সাজানোর উপায় = 7!/(2!×2!) = 5040/4 = 1260
এখানে,
কমিটির সদস্য সংখ্যা = 2
অন্তত 1 জন পুরুষ থাকবে
অন্তত 1 জন মহিলা থাকবে

পুরুষ নির্বাচনের উপায় = ³C₁ = 3টি
মহিলা নির্বাচনের উপায় = ³C₁ = 3টি


মোট উপায় = পুরুষ নির্বাচনের উপায় × মহিলা নির্বাচনের উপায়

= 3 × 3 = 9

সুতরাং, 9 ভাবে কমিটি গঠন করা যাবে।
2টি পুস্তক সর্বদা অন্তর্ভুক্ত থাকলে 10 - 2 = 8টি পুস্তক হতে 5 - 2 = 3টি পুস্তক বাছাই করতে হবে।

মোট বাছাই সংখ্যা = 8C3 = 56
৯ জন ব্যক্তি ৯টি গোলটেবিলের চতুর্দিকে বসতে পারে (n - ১)! উপায়ে
= (৯-১)!
= ৮!
= ৪০৩২০ 
MANGO এর বিন্যাস সংখ্যা = 5! = 120
HEAT এর বিন্যাস সংখ্যা = 4! = 24

এখন, 120/24 = 5 গুণ
বিহুভূজের বাহু n = 6

কর্ণের সংখ্যা = 6C2 - 6
= 15 - 6
= 9
মোট ব্যক্তি ৬ জন আর হ্যান্ডশেক করবে ২ জন করে । 

∴ মোট হ্যান্ডশেক সংখ্যা = 6C2 
 
                               = 6×5×4! / 2!×(6-2)!

                               = 6×5×4! / 2×1×4!

                                = 15 .

ফ্রিতে ২ লাখ প্রশ্নের টপিক, সাব-টপিক ভিত্তিক ও ১০০০+ জব শুলুশন্স বিস্তারিতে ব্যাখ্যাসহ পড়তে ও আপনার পড়ার ট্র্যাকিং রাখতে সাইটে লগইন করুন।

লগইন করুন
নির্দিষ্ট দুইটি বই সর্বদা বাদ থাকে, অতএব (১০ - ২) বা ৮ টি থেকে ৪ টি বাছাই করতে হবে।

∴ বাছাই করার উপায় = 8C4
= 8!/(4! 4!)
= 70
8Pr = 1680
⇒ 8!/(8 - r)! = 1680
⇒ (8 - r)! = 8!/1680
⇒ (8 - r)! = 24
⇒ (8 - r)! = 4!
⇒ (8 - r) = 4
⇒ r = 8 - 4 = 4
GEOGRAPHY' শব্দটিতে 9টি অক্ষর রয়েছে। এতে E, O, A স্বরবর্ণ রয়েছে এবং এই 3টি স্বরবর্ণকে সর্বদা একত্রে রাখতে হবে।
তাই এই 3টি স্বরবর্ণকে গোষ্ঠীবদ্ধ করা যেতে পারে এবং একটি একক অক্ষর হিসাবে বিবেচনা করা যেতে পারে; অর্থাৎ, GGRPHY(EOA)।

মনে করি
এই শব্দে 7টি অক্ষর আছে কিন্তু এই 7টি অক্ষরে 2 বার 'G' আসলেও বাকি অক্ষরগুলো ভিন্ন।
এখন, এই অক্ষর সাজানোর উপায় সংখ্যা = 7!/2! = 7 × 6 × 5 × 4 × 3 = 2520

3টি স্বরবর্ণ (EOA)-তে, সকল স্বরবর্ণ আলাদা এই স্বরবর্ণগুলি সাজানোর উপায় সংখ্যা = 3! = 3 × 2 × 1 = 6

এখন, উপায়ের সংখ্যা = 2520 × 6 = 15120
APPLE শব্দে 5টি বর্ণ আছে।
যার মধ্যে 2টি P আছে।
∴ শব্দটির বিন্যাস সংখ্যা = 5!/2!
= 120/2
= 60 উপায়ে

COPPER শব্দে 6টি বর্ণ আছে।
যার মধ্যে 1টি C, 2টি P, 1টি O, 1টি E এবং 1টি R আছে।
∴ শব্দটির বিন্যাস সংখ্যা = 6!/2!
= 720/2
= 360 উপায়ে
= 6 × 60 উপায়ে
বাছাই এর সংখ্যা :
= ৬C২
= (৬ × ৫)/( ১ × ২)
= ৩০/২
= ১৫
যে ট্রেনে যাবে সে ট্রেন ছাড়া অন্য ট্রেনগুলোতে ফিরতে হবে।
দেওয়া আছে,
ঢাকা থেকে চট্টগ্রামে যাওয়ার উপায় 5টি।

1টি ট্রেনে গিয়ে ফিরতে পারবে (5-1) = 4 প্রকারে

∴ 5টি ট্রেনে গিয়ে ফিরতে পারবে = (5 x 4) = 20 প্রকারে 
M সংখ্যক স্বতন্ত্র বস্তু হতে R সংখ্যক এবং N সংখ্যক স্বতন্ত্র বস্তু হতে S সংখ্যক বস্তু নিয়ে যতগুলো বিন্যাস সৃষ্টি করা যায় তার সংখ্যা = MCR x NCS x (R + S)!
∴ নির্ণেয় শব্দ গঠন সংখ্যা = 7C3 x 3C2 x 5! = 35 x 3 x 120 = 12600 
মনে করি, সভায় উপস্থিত লোক সংখ্যা n জন। করমর্দনের জন্য 2 জন লোকের প্রয়োজন।
করমর্দনের সংখ্যা = nC2 
প্রশ্নমতে,
nC2 = 66
⇒ n!/{2!(n-2)!} = 66
⇒ n(n-1)(n-2)!/{2!(n-2)!} = 66
⇒ n(n-1) = 132
⇒ n2 - n = 132 
⇒ n2 - n - 132 = 0
⇒ n2 - 12n +11n - 132 = 0
⇒ (n-12) (n+11) = 0 
∴ n = 12, -11
যেহেতু, n = -11 গ্রহণযোগ্য নয়, সুতরাং, n = 12
∴ সভায় 12 জন লোক উপস্থিত ছিল। 
মনে করি,
প্রতিযোগিতায় অংশগ্রহণকারী দলের সংখ্যা x এবং একটি খেলা সংঘটিত হতে ২টি দলের প্রয়োজন।

∴ xc2=153

⇒ (x!)/{2!(x-2)}=153
⇒ {x(x-1)(x-2)!}/{2(x-2)!}=153
⇒ x² - x = 306
⇒ x² - x -306 = 0
⇒ x² - 18x + 17x - 306 = 0
⇒ x(x - 18) + 17(x - 18) = 0
⇒ (x - 18) (x + 17) = 0
⇒ x = 18
"APPLIED" শব্দটিতে মোট বর্ণ আছে 7 টি,যার মাঝে p আছে  2 টি।
সাজানোর উপায়= 7!/2!
                    = (7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2!)/(2!)
                    = 2520

ফ্রিতে ২ লাখ প্রশ্নের টপিক, সাব-টপিক ভিত্তিক ও ১০০০+ জব শুলুশন্স বিস্তারিতে ব্যাখ্যাসহ পড়তে ও আপনার পড়ার ট্র্যাকিং রাখতে সাইটে লগইন করুন।

লগইন করুন
প্রথম ৫টি থেকে ৪ টি বাছাই করার উপায় = ৫C৪
বাকি (১২ -৫) বা, ৭টি থেকে ২ টি বাছাই করার উপায় = ৭C2
∴ মোট উপায় = ৫C৪ × ৭C2
                 ={(৫ × ৪ × ৩ × ২ / ১ × ২ × ৩ × ৪) × ( ৭ × ৬ / ১ × ২)}
                 = ৫ × ২১
                 =  ১০৫
সঠিক উত্তর: 0 | ভুল উত্তর: 0