একই বিষয়ের সব টপিক

• সরল সমীকরণ
• ঘন জ্যামিতি
• পরিমিতি
• এলিগেশন ও মিশ্রণ
• নৌকা ও স্রোত
• ট্রেন
• সরল ও যৌগিক মুনাফা
• রেখা ও কোণ
• বহুভুজ ও পীথাগোরাসের উপপাদ্য
• অসমতা
• সমান্তর ও গুণোওর ধারা
• অন্যান্য
• ত্রিভুজ
• বীজগাণিতিক সূত্রাবলী এবং প্রয়োগ
• বাস্তব সংখ্যা
• সূচক ও লগারিদম
• সম্ভাব্যতা
• পরিমাপ
• সাধারণ সমস্যা
• গড়
• বর্গ ও বর্গমূল
• ঐকিক নিয়ম
• চতুর্ভুজের পরিসীমা ও ক্ষেত্রফল
• ত্রিকোণমিতি ও এর প্রয়োগ
• রম্বস
• বৃত্ত
• চতুর্ভুজ
• দিক ও দূরত্ব
• সরলীকরণ
• সমাধান
• ফাংশন ও অন্বয়
• সেট ও ভেনচিত্র
• বিন্যাস ও সমাবেশ
• অনুপাত ও সমানুপাত
• উৎপাদকে বিশ্লেষণ
• ল সা গু ও গ সা গু
• সময় দূরত্ব ও গতিবেগ
• ধারা
• সুদকষা
• ভগ্নাংশ
• লাভ-ক্ষতি
• শতকরা
• সংখ্যা

১

০, ১, ২ এবং ৩ অংকগুলো একবার মাত্র ব্যবহার করে গঠিত ৪ অঙ্কের ক্ষুদ্রতম সংখ্যা কোনটি?

ক) ১০৩২ খ) ১০২৩ গ) ১২০৩ ঘ) ১২৩০

২

২, ০, ৮ এবং ২ অংকগুলো ব্যবহার করে গঠিত ৪ অঙ্কের বৃহত্তম সংখ্যা কোনটি?

ক) ৮২০২ খ) ৮০২২ গ) ৮২২০ ঘ) ২৮২০

৩

১, ২ এবং ৩ অংকগুলো প্রতিটি একবার ব্যবহার করে ৩ অঙ্কের কতটি ভিন্ন সংখ্যা গঠন করা সম্ভব?

ক) ৩টি খ) ৬টি গ) ৪টি ঘ) ৫টি

৪

'AMERICA' শব্দটির সবগুলো বর্ণ একত্রে নিয়ে কত প্রকারে সাজানো যাবে যাতে দুটি 'A' কখনও পাশাপাশি না থাকে?

ক) ২৫২০ খ) ১৮০০ গ) ৭২০ ঘ) ৩৬০

ব্যাখ্যা (Explanation)

'AMERICA' শব্দটির বর্ণগুলোকে শর্তসাপেক্ষে সাজানোর পদ্ধতি নিচে দেওয়া হলো:
- শব্দটিতে মোট অক্ষরের সংখ্যা: ৭টি (A, M, E, R, I, C, A)
- এর মধ্যে 'A' আছে ২টি এবং বাকি ৫টি বর্ণ ভিন্ন ভিন্ন。

দুটি 'A' একত্রে না রেখে সাজানোর উপায় বের করতে হলে, প্রথমে মোট সাজানোর উপায় থেকে দুটি 'A' সবসময় একত্রে রাখার উপায়টি বাদ দিতে হবে。

- মোট সাজানোর উপায় (Total Permutations):
যেহেতু মোট ৭টি বর্ণ এবং এর মধ্যে ২টি 'A' একই রকম, তাই মোট সাজানোর উপায়:
= 7! / 2!
= (7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1) / 2
= 5040 / 2 = 2520 উপায়ে。

- দুটি 'A' সর্বদা একত্রে রেখে সাজানোর উপায়:
২টি 'A' কে একত্রে ১টি অক্ষর বা ব্লক হিসেবে বিবেচনা করি。
তাহলে বাকি ৫টি বর্ণ (M, E, R, I, C) এবং 'A' এর ১টি ব্লক মিলে মোট বর্ণ হবে ৬টি。
এই ৬টি বর্ণকে সাজানো যায় 6! উপায়ে。
6! = 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 720 উপায়ে。
(উল্লেখ্য, ব্লকের ভেতরের ২টি 'A' একই হওয়ায় এদের নিজেদের মধ্যে সাজানোর উপায় 2!/2! = 1, তাই আলাদা করে গুণ করার প্রয়োজন নেই)।
সুতরাং, দুটি 'A' একত্রে রেখে মোট বিন্যাস সংখ্যা = ৭২০。

- দুটি 'A' কখনও পাশাপাশি (একত্রে) না রেখে সাজানোর উপায়:
দুটি 'A' একত্রে না রেখে সাজানোর উপায় = মোট সাজানোর উপায় - দুটি 'A' একত্রে রেখে সাজানোর উপায়
= 2520 - 720 = 1800

অতএব, শব্দটির বর্ণগুলোকে মোট ১৮০০ উপায়ে সাজানো যাবে যাতে দুটি 'A' কখনও পাশাপাশি না থাকে।

৫

'COURTESY' শব্দটির সবগুলো বর্ণকে একত্রে নিয়ে কত উপায়ে সাজানো যায় যাতে স্বরবর্ণগুলো সর্বদা একত্রে থাকবে?

ক) ৭২০ খ) ১৪৪০ গ) ৪৩২০ ঘ) ৫০৪০

ব্যাখ্যা (Explanation)

'COURTESY' শব্দটির বর্ণগুলোকে সাজানোর সহজ সমাধান নিচে দেওয়া হলো:
- শব্দটিতে মোট অক্ষরের সংখ্যা: ৮টি (C, O, U, R, T, E, S, Y)
- স্বরবর্ণ (Vowel) আছে: ৩টি (O, U, E)
- ব্যঞ্জনবর্ণ (Consonant) আছে: ৫টি (C, R, T, S, Y)

স্বরবর্ণগুলো সর্বদা একত্রে রাখার উপায় বের করতে হলে, স্বরবর্ণগুলোকে একটি ব্লক বা একক হিসেবে ধরতে হবে।
- স্বরবর্ণগুলোকে একত্রে রেখে সাজানোর উপায়:
৩টি স্বরবর্ণকে (O, U, E) একত্রে ১টি অক্ষর বা ব্লক হিসেবে বিবেচনা করি।
তাহলে ব্যঞ্জনবর্ণ ৫টি (C, R, T, S, Y) এবং স্বরবর্ণের ১টি ব্লক মিলে মোট বর্ণ বা একক হবে ৬টি。
এই ৬টি একককে নিজেদের মধ্যে সাজানো যায় 6! উপায়ে।
6! = 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 720 উপায়ে।

আবার, ব্লকের ভেতরের ৩টি স্বরবর্ণ নিজেদের মধ্যে সাজানো যায় 3! উপায়ে。
3! = 3 \times 2 \times 1 = 6 উপায়ে。

সুতরাং, স্বরবর্ণগুলোকে সর্বদা একত্রে রেখে মোট বিন্যাস বা সাজানোর সংখ্যা:
= 720 \times 6 = 4320

অতএব, শব্দটির বর্ণগুলোকে মোট ৪৩২০ উপায়ে সাজানো যাবে।

৬

১০ জন ব্যক্তির একটি দল থেকে ৪ জনকে কত উপায়ে নির্বাচন করা যায়?

ক) ১২০ খ) ২১০ গ) ৫৪০ ঘ) ৫০৪০

ব্যাখ্যা (Explanation)

১০ জন ব্যক্তির একটি দল থেকে ৪ জনকে নির্বাচন করার ক্ষেত্রে কোনো ক্রম বা ধারাবাহিকতা বিবেচনা করার প্রয়োজন নেই, তাই এটি একটি সমাবেশ (Combination)-এর সমস্যা।
আমরা জানি, n টি বস্তু থেকে r টি বস্তু নির্বাচন করার সমাবেশের সূত্রটি হলো: ⁿCᵣ = n! / (r! × (n - r)!)

এখানে,
* মোট ব্যক্তির সংখ্যা, n = ১০
* নির্বাচন করতে হবে, r = ৪

অতএব, ১০ জন থেকে ৪ জনকে নির্বাচন করার মোট উপায়ের সংখ্যা:
¹⁰C₄ = ১০! / (৪! × (১০ - ৪)!)
= ১০! / (৪! × ৬!)
= (১০ × ৯ × ৮ × ৭ × ৬!) / ((৪ × ৩ × ২ × ১) × ৬!)
= (১০ × ৯ × ৮ × ৭) / (৪ × ৩ × ২ × ১)
= ৫০৪০ / ২৪
= ২১০

* সহজ হিসাব: নিচে ৪ থাকায় উপরে ১০ থেকে শুরু করে ক্রমান্বয়ে ৪টি সংখ্যা গুণ করতে হবে (১০ × ৯ × ৮ × ৭) এবং নিচে ৪-এর ফ্যাক্টোরিয়াল (৪ × ৩ × ২ × ১) দিয়ে ভাগ করতে হবে। কাটাকাটি করলে সহজে মান পাওয়া যাবে ২১০।
* সঠিক উত্তর: অপশন ২ (২১০)

সোর্সঃ খাইরুল বেসিক গণিত

৭

'AMERICA' শব্দটির সবগুলো বর্ণ একত্রে নিয়ে কতভাবে সাজানো যায়?

ক) ৫০৪০ খ) ২৫২০ গ) ১২৬০ ঘ) ৭২০

ব্যাখ্যা (Explanation)

'AMERICA' শব্দটিতে মোট বর্ণ আছে ৭টি ।
এখানে 'A' বর্ণটি আছে ২টি এবং বাকি বর্ণগুলো (M, E, R, I, C) ১টি করে আছে ।
আমরা জানি, মোট n-সংখ্যক উপাদানের মধ্যে p-সংখ্যক উপাদান একই জাতীয় হলে, সবগুলো উপাদান একত্রে নিয়ে বিন্যাস সংখ্যা = n! / p! ।
অতএব, 'AMERICA' শব্দটির সবগুলো বর্ণ একত্রে নিয়ে বিন্যাস সংখ্যা = ৭! / ২!
= (৭ × ৬ × ৫ × ৪ × ৩ × ২ × ১) / (২ × ১)
= ৫০৪০ / ২
= ২৫২০ ।
* সঠিক উত্তর: অপশন ২ (২৫২০)
সোর্সঃ খাইরুল বেসিক গণিত

৮

যদি nC₁₀ = nC₁₂ হয়, তবে n-এর মান কত?

ক) ২ খ) ২২ গ) ১২০ ঘ) ২০

ব্যাখ্যা (Explanation)

দেওয়া আছে, সমীকরণটি হলো: ₙC₁₀ = ₙC₁₂
সমাবেশের (Combination) সূত্র অনুযায়ী, যদি ₙCₓ = ₙCᵧ হয় (যেখানে x ≠ y), তবে n = x + y হয়।

এখানে, x = 10 এবং y = 12।
অতএব, n = 10 + 12 = 22।

* সঠিক উত্তর: অপশন 2: ২২
সোর্সঃ খাইরুল বেসিক গণিত

৯

একটি অনুষ্ঠানে ১২ জন ব্যক্তি উপস্থিত ছিলেন। প্রত্যেকে প্রত্যেকের সাথে করমর্দন (Handshake) করলে মোট কতটি করমর্দন হবে?

ক) ৭২ খ) ৬৬ গ) ১৩২ ঘ) ২৪

ব্যাখ্যা (Explanation)

দেওয়া আছে, অনুষ্ঠানে মোট উপস্থিত ব্যক্তি সংখ্যা n = ১২ জন।
একটি করমর্দন বা হ্যান্ডশেকের (Handshake) জন্য সবসময় ২ জন ব্যক্তির প্রয়োজন হয়।

* সমাবেশ (Combination) সূত্রের সাহায্যে ব্যাখ্যা:
১২ জন ব্যক্তি থেকে যেকোনো ২ জন বেছে নিয়ে গঠিত মোট সমাবেশের সংখ্যাই হলো করমর্দনের সংখ্যা।
করমর্দন নির্ণয়ের সূত্রটি হলো: ⁿC₂ = n × (n - ১) / ২
এখানে n = ১২ বসিয়ে পাই:
মোট করমর্দন সংখ্যা = (১২ × (১২ - ১)) / ২ = (১২ × ১১) / ২ = ১৩২ / ২ = ৬৬

* সহজ শর্টকাট টেকনিক:
যেকোনো করমর্দনের অংকে মোট লোকসংখ্যার সাথে তার ঠিক আগের সংখ্যা গুণ করে ২ দিয়ে ভাগ করলেই উত্তর পাওয়া যায় ।
এখানে ১২ এর ঠিক আগের সংখ্যা হলো ১১।
সুতরাং, মোট করমর্দনের সংখ্যা = (১২ × ১১) / ২ = ৬৬টি।

* সঠিক উত্তর: অপশন ২: ৬৬
সোর্সঃ খাইরুল বেসিক গণিত

১০

'COURAGE' শব্দটির বর্ণগুলো নিয়ে কত প্রকারে সাজানো যায় যাতে স্বরবর্ণগুলো একত্রে থাকে?

ক) ১৪৪ খ) ৫৭৬ গ) ৭২০ ঘ) ৫০৪০

ব্যাখ্যা (Explanation)

COURAGE শব্দটিতে মোট বর্ণ আছে ৭টি (C, O, U, R, A, G, E)।
এর মধ্যে স্বরবর্ণ (Vowels) রয়েছে ৪টি (O, U, A, E) এবং ব্যঞ্জনবর্ণ (Consonants) রয়েছে ৩টি (C, R, G)।
স্বরবর্ণ ৪টিকে একত্রে একটি একক বর্ণ হিসেবে বিবেচনা করলে, মোট বর্ণ সংখ্যা হয়: ৩টি ব্যঞ্জনবর্ণ + ১টি (স্বরবর্ণের গুচ্ছ) = ৪টি।
এই ৪টি বর্ণকে নিজেদের মধ্যে সাজানো যায়: 4! = 4 × 3 × 2 × 1 = 24 প্রকারে।
আবার, একত্রে থাকা ৪টি স্বরবর্ণ (O, U, A, E) নিজেদের মধ্যে সাজানো যায়: 4! = 4 × 3 × 2 × 1 = 24 প্রকারে।
অতএব, নির্ণেয় মোট সাজানোর উপায় = 24 × 24 = ৫৭৬ প্রকারে।
সঠিক উত্তর: ৫৭৬ (অপশন 2)
সোর্সঃ খাইরুল বেসিক গণিত

১১

যদি ⁿC₈ = ⁿC₁₂ হয়, তবে n-এর মান কত?

ক) 4 খ) 20 গ) 96 ঘ) 12

ব্যাখ্যা (Explanation)

দেওয়া আছে, সমীকরণটি হলো: ⁿC₈ = ⁿC₁₂ ।
সমাবেশের সূত্রানুযায়ী, যদি ⁿCₓ = ⁿCᵧ হয়, তবে x = y অথবা n = x + y হবে ।
এখানে, x = 8 এবং y = 12 ।
যেহেতু 8 ≠ 12, তাই n-এর মান নির্ণয়ের জন্য n = x + y সূত্রটি প্রয়োগ করতে হবে ।
সুতরাং, n = 8 + 12 = 20 ।
অতএব, নির্ণেয় মান n = 20 ।
* সঠিক উত্তর: অপশন 2: 20
সোর্সঃ খাইরুল বেসিক গণিত

১২

যদি ⁿC₁₂ = ⁿC₈ হয়, তবে ²²Cₙ এর মান কত?

ক) 210 খ) 231 গ) 253 ঘ) 462

ব্যাখ্যা (Explanation)

দেওয়া আছে, ⁿC₁₂ = ⁿC₈
আমরা জানি, সমাবেশের নিয়ম অনুযায়ী ⁿCₓ = ⁿCᵧ (যেখানে x ≠ y) হলে, n = x + y হয়।
সুতরাং, n = 12 + 8 = 20

এখন, আমাদের ²²Cₙ এর মান বের করতে হবে। n = 20 বসিয়ে পাই:
²²Cₙ = ²²C₂₀

পূরক সমাবেশের সূত্র অনুযায়ী, ⁿCᵣ = ⁿCₙ₋ᵣ।
অতএব, ²²C₂₀ = ²²C₂₂₋₂₀ = ²²C₂
²²C₂ = (22 × 21)/(2 × 1) = 462/2 = 231

* নির্ণেয় মান: 231
* সঠিক উত্তর: অপশন 2 (231)
সোর্সঃ খাইরুল বেসিক গণিত

১৩

'MILLENNIUM' শব্দটির অক্ষরগুলি কত প্রকারে সাজানো যায়? এদের মধ্যে কতগুলিতে প্রথমে এবং শেষে M থাকবে?

ক) 5140 খ) 5050 গ) 5040 ঘ) 5240

ব্যাখ্যা (Explanation)

প্রথম অংশ: 'MILLENNIUM' শব্দটির অক্ষরগুলি কত প্রকারে সাজানো যায়?

'MILLENNIUM' শব্দটিতে মোট ১০টি অক্ষর আছে।

এদের মধ্যে পুনরাবৃত্ত অক্ষরগুলো হলো:

• M আছে ২ বার

• I আছে ২ বার

• L আছে ২ বার

• N আছে ২ বার

• E আছে ১ বার

• U আছে ১ বার

পুনরাবৃত্তিসহ বিন্যাসের সূত্রটি হলো: n! / (p! * q! * r! ...), যেখানে n হলো মোট অক্ষরের সংখ্যা এবং p, q, r ইত্যাদি হলো প্রতিটি পুনরাবৃত্ত অক্ষরের সংখ্যা।

এই সূত্র অনুযায়ী, মোট বিন্যাস সংখ্যা হবে:
= ১০! / (২! × ২! × ২! × ২!)
= (১০ × ৯ × ৮ × ৭ × ৬ × ৫ × ৪ × ৩ × ২ × ১) / ((২ × ১) × (২ × ১) × (২ × ১) × (২ × ১))
= ৩৬২৮৮০০ / (২ × ২ × ২ × ২)
= ৩৬২৮৮০০ / ১৬
= ২২৬৮০০

সুতরাং, 'MILLENNIUM' শব্দটির অক্ষরগুলিকে মোট ২২৬,৮০০ প্রকারে সাজানো যায়।

দ্বিতীয় অংশ: এদের মধ্যে কতগুলিতে প্রথমে এবং শেষে M থাকবে?

এই ক্ষেত্রে, দুটি 'M' অক্ষরের স্থান নির্দিষ্ট করে দেওয়া হয়েছে—একটি শুরুতে এবং অন্যটি শেষে।

M _ _ _ _ _ _ _ _ M

এখন আমাদের কাজ হলো বাকি ৮টি অক্ষরকে মাঝখানের ৮টি শূন্যস্থানে সাজানো।

দুটি 'M' বাদ দেওয়ার পর অবশিষ্ট অক্ষরগুলি হলো:
I, L, L, E, N, N, I, U
অর্থাৎ, মোট ৮টি অক্ষর।

এই ৮টি অক্ষরের মধ্যে পুনরাবৃত্ত অক্ষরগুলো হলো:

• I আছে ২ বার

• L আছে ২ বার

• N আছে ২ বার

এখন এই ৮টি অক্ষরকে সাজানোর উপায় সংখ্যা হবে:
= ৮! / (২! × ২! × ২!)
= (৮ × ৭ × ৬ × ৫ × ৪ × ৩ × ২ × ১) / ((২ × ১) × (২ × ১) × (২ × ১))
= ৪০৩২০ / (২ × ২ × ২)
= ৪০৩২০ / ৮
= ৫০৪০

সুতরাং, যে বিন্যাসগুলিতে প্রথমে এবং শেষে 'M' থাকবে, তাদের সংখ্যা হলো ৫০৪০। এটি আপনার প্রদত্ত উত্তরের সাথে মিলে যায়।

১৪

৭টি সরলরেখার সর্বাধিক কতগুলো ছেদবিন্দু থাকতে পারে?

ক) ২১ খ) ২৮ গ) ৩৫ ঘ) ১৫

ব্যাখ্যা (Explanation)

দুটি ভিন্ন সরলরেখা সর্বাধিক একটি বিন্দুতে ছেদ করতে পারে। সর্বাধিক সংখ্যক ছেদবিন্দু পাওয়ার জন্য, কোনো দুটি রেখা সমান্তরাল হতে পারবে না এবং কোনো তিনটি রেখা একটি সাধারণ বিন্দু দিয়ে যেতে পারবে না।

n সংখ্যক সরলরেখার জন্য সর্বাধিক ছেদবিন্দুর সংখ্যা নির্ণয়ের সূত্রটি হলো:
ছেদবিন্দুর সংখ্যা = n(n-1) / 2

এখানে, n = 7 (সরলরেখার সংখ্যা)।

সুতরাং, সর্বাধিক ছেদবিন্দুর সংখ্যা = 7 * (7-1) / 2
= 7 * 6 / 2
= 42 / 2
= 21

অতএব, ৭টি সরলরেখা সর্বাধিক ২১টি বিন্দুতে ছেদ করতে পারে।

১৫

একটি ছক্কা একবার নিক্ষেপ করা হলে, মৌলিক সংখ্যা ওঠার সম্ভাবনা কত?

ক) ১/৩ খ) ২/৩ গ) ১/৬ ঘ) ১/২

ব্যাখ্যা (Explanation)

একটি আদর্শ ছক্কায় মোট ৬টি তল থাকে এবং প্রতিটি তলে ১ থেকে ৬ পর্যন্ত সংখ্যাগুলো লেখা থাকে (১, ২, ৩, ৪, ৫, ৬)।

মোট সম্ভাব্য ফলাফল: ছক্কা নিক্ষেপ করলে মোট ৬ ধরনের ফলাফল আসতে পারে।

মৌলিক সংখ্যা: ১ থেকে ৬ এর মধ্যে মৌলিক সংখ্যাগুলো হলো ২, ৩, এবং ৫(উল্লেখ্য, ১ মৌলিক সংখ্যা নয়)। সুতরাং, মৌলিক সংখ্যা ওঠার অনুকূল ফলাফল ৩টি।

সম্ভাবনা নির্ণয়ের সূত্রটি হলো:
সম্ভাবনা = (অনুকূল ফলাফলের সংখ্যা) / (মোট সম্ভাব্য ফলাফলের সংখ্যা)

এই ক্ষেত্রে, সম্ভাবনা = ৩ / ৬ = ১/২।

১৬

GOLDEN শব্দের অক্ষর গুলোকে কত উপায়ে সাজানো যাবে যাতে G সবসময় প্রথম অক্ষর থাকে?

ক) ১২০ উপায়ে খ) ৭২০ উপায়ে গ) ২৪ উপায়ে ঘ) ৬০০ উপায়ে

ব্যাখ্যা (Explanation)

GOLDEN শব্দটিতে প্রথম অক্ষর G ছাড়া আর বর্ণ আছে ৫ টি এবং প্রত্যেকটি বর্ণই ভিন্ন ভিন্ন।
৫ টি ভিন্ন বর্ণকে সাজানোর উপায় = 5! 
= 120

অর্থাৎ মোট ১২০ উপায়ে সাজানো যাবে।

১৭

3, 5 এবং 7 ব্যবহার করে (পুনরাবৃত্তি অনুমতিসহ) কতটি দুই অঙ্কের সংখ্যা গঠন করা যাবে?

ক) 9 খ) 6 গ) 12 ঘ) 8

ব্যাখ্যা (Explanation)

3 , 5 এবং 7 এই তিনটি সংখ্যা ব্যবহার করে দুই অঙ্কের সংখ্যা তৈরি হতে পারে = 3 × 3 = 9 9 টি দুই অঙ্কের সংখ্যা সৃষ্টি হতে পারে। সংখ্যাগুলো: 33, 35, 37, 53, 55, 57, 73, 75, 77

১৮

4 জন মহিলা ও 6 জন পুরুষের মধ্য থেকে 4 সদস্যবিশিষ্ট একটি উপ-কমিটি গঠন করতে হবে যাতে 1 জন নির্দিষ্ট পুরুষ সর্বদাই উপস্থিত থাকেন। কত প্রকারে ঐ কমিটি গঠন করা যেতে পারে?

ক) 210 খ) 304 গ) 84 ঘ) 120

ব্যাখ্যা (Explanation)

যেহেতু 1 জন নির্দিষ্ট পুরুষ সর্বদাই উপস্থিত থাকবে সেহেতু অবশিষ্ট 5 জন পুরুষ ও 4 জন মহিলা হতে 3 সদস্যবিশিষ্ট উপ-কমটি গঠন করা যায় = (5+4)⌄C⌄3 উপায়ে 

           = 9⌄C⌄3 

           = 9!/3!(9-3)! 

           = 9!/3!6! 

           = 9×8×7×6!/3×2×1×6! 

            = 84 উপায়ে 

১৯

৩ জন বালক ও ৩ জন বালিকাকে ৬টি আসনে কত উপায়ে বসানো যায়, যেন বালকেরা অবশ্যই বিজোড়তম আসনে থাকবে?

ক) ১২ খ) ২৪ গ) ৩৬ ঘ) ৪৮

ব্যাখ্যা (Explanation)

মোট আসন সংখ্যা ৬টি। এর মধ্যে বিজোড় অবস্থানের আসনগুলো হলো: ১ম, ৩য় এবং ৫ম (মোট ৩টি আসন)।

ধাপ-১:
শর্তমতে, বালকদের বিজোড় আসনে বসতে হবে।
৩ জন বালককে ৩টি বিজোড় আসনে সাজানো বা বসানো যায় 3! উপায়ে।
= 3 × 2 × 1
= 6 উপায়ে।

ধাপ-২:
বালকদের বসানোর পর অবশিষ্ট আসন থাকে ৩টি (২য়, ৪র্থ ও ৬ষ্ঠ, যা জোড় আসন)।
এই ৩টি খালি আসনে ৩ জন বালিকাকে সাজানো বা বসানো যায় 3! উপায়ে।
= 3 × 2 × 1
= 6 উপায়ে।

গণনার গুণন বিধি অনুসারে,
মোট সাজানোর উপায় = (বালকদের সাজানোর উপায়) × (বালিকাদের সাজানোর উপায়)
= 6 × 6
= 36

২০

কমপক্ষে একজন পুরুষকে নিয়ে 3 সদস্য বিশিষ্ট একটি দল নির্বাচন করতে হবে। যদি সেখানে মোট 4 জন পুরুষ এবং 3 জন মহিলা থাকে, তাহলে কতগুলি দল গঠন করা যায়?

ক) ৩৪ খ) ৩২ গ) ৩৬ ঘ) ৩৮

ব্যাখ্যা (Explanation)

দলে একজন পুরুষ, দু'জন পুরুষ বা তিনজন পুরুষ থাকতে পারে।
একজন পুরুষ এবং দুইজন মহিলা নিয়ে দলের সংখ্যা = ⁴C₁ × ³C₂
= 4 × 3
= 12

দুইজন পুরুষ এবং একজন মহিলা নিয়ে দলের সংখ্যা = ⁴C₂ × ³C₁
= 6 × 3
= 18

তিনজন পুরুষ নিয়ে দলের সংখ্যা = ⁴C₃
= 4

∴ মোট দলের সংখ্যা = 12 + 18 + 4 = 34

২১

3 Girls and 4 boys are to be seated in a row on 7 chairs in such a way that all the three girls always sit together. In how many different ways can it be done?

ক) 820 খ) 720 গ) 284 ঘ) 496 ঙ) None of these

ব্যাখ্যা (Explanation)

প্রশ্নমতে, ৩ জন বালিকা এবং ৪ জন বালককে এক সারিতে বসাতে হবে যেন বালিকারা সবসময় একত্রে বসে।
যেহেতু ৩ জন বালিকা সবসময় একত্রে বসবে, তাই প্রথমে এই ৩ জন বালিকাকে একটি 'একক সত্তা' বা একটি প্যাকেট হিসেবে বিবেচনা করতে হবে।
এই ১টি প্যাকেট (বালিকাদের দল) এবং বাকি ৪ জন বালক মিলে মোট সাজানোর উপাদান হয় = (১ + ৪)টি = ৫টি।
এই ৫ জনকে নিজেদের মধ্যে সাজানো যায় ⁵P₅ বা 5! উপায়ে।
আবার, বালিকাদের ওই প্যাকেটের ভেতরে ৩ জন বালিকা নিজেদের মধ্যে স্থান পরিবর্তন করতে পারে ³P₃ বা 3! উপায়ে।
সুতরাং, নির্ণেয় মোট বিন্যাস সংখ্যা বা সাজানোর উপায়
= 5! × 3!
= (5 × 4 × 3 × 2 × 1) × (3 × 2 × 1)
= 120 × 6
= 720

শর্টকাট টেকনিক (পরীক্ষার হলের জন্য):
যখনই বলা হবে নির্দিষ্ট কিছু ব্যক্তি বা বস্তু "একত্রে থাকবে" (sit together), তখন তাদেরকে ১টি বস্তু ধরে মোট সংখ্যা বের করতে হবে। তারপর সেই গ্রুপের ভেতরের বিন্যাস গুণ করতে হবে।
এখানে,
বালক সংখ্যা = ৪ জন
বালিকা সংখ্যা = ৩ জন (এরা ১টি ইউনিট)

ধাপ ১: মোট ইউনিট = ৪ (বালক) + ১ (বালিকা গ্রুপ) = ৫ টি। এদের বিন্যাস = 5!
ধাপ ২: বালিকারা নিজেদের মধ্যে সাজতে পারে = 3!
ধাপ ৩: মোট উপায় = 5! × 3! = 120 × 6 = 720

২২

একটি দাবা প্রতিযোগিতায় ৬ জন প্রতিযোগী একে অপরের সাথে ১ বার করে খেলবে। প্রতিযোগিতা মোট কতটি খেলা অনুষ্ঠিত হবে?

ক) ১২ খ) ৩০ গ) ১৫ ঘ) ১৮

Job Solutions

ব্যাখ্যা (Explanation)

মোট খেলা = ^৬C_২ = ৬!/২!(৬-২)! 

                          = ৬×৫×৪!/২×১×৪! 

                          = ১৫টি 

২৩

"MUGDHO" শব্দটির অক্ষর দিয়ে এমন কয়টি 3-অক্ষরের শব্দ গঠন করা যাবে, যেগুলোর শুরুতে অবশ্যই 'M' থাকবে?

ক) 15 খ) 20 গ) 30 ঘ) 36

ব্যাখ্যা (Explanation)

প্রথম অক্ষর M ধরে নিলে 3-অক্ষরের শব্দ গঠন করার জন্য আরও 2টি অক্ষর বেছে নিতে হবে।

বাকি অক্ষর: 5টি (U, G, D, H, O)

⁵P₂= 5 * 4 = 20

সুতরাং, প্রথমে M স্থির রেখে মোট 20টি ভিন্ন শব্দ গঠন করা যাবে।

২৪

৯ জন খেলোয়াড়ের একটি দল থেকে ৬ জন খেলোয়াড় কতভাবে নির্বাচন করা যাবে?

ক) ৬৪ খ) ৭২ গ) ৮০ ঘ) ৮৪

Job Solutions

ব্যাখ্যা (Explanation)

9 জন খেলোয়াড় থেকে 6 জনকে নির্বাচন করা যায়
= ⁹C₆ উপায়ে
= 9!/3!6!
= 9.8.7.6!/3.2.1.6!
= 84 উপায়ে

২৫

CONIC শব্দটির অক্ষরগুলো নিয়ে গঠিত বিন্যাস সংখ্যা কত?

ক) 24 খ) 40 গ) 60 ঘ) 120

বিসিএস

ব্যাখ্যা (Explanation)

CONIC শব্দটিতে অক্ষর রয়েছে 5টি, এর মধ্যে দুইটি C বাকি অক্ষরগুলো ভিন্ন ভিন্ন।

∴ নির্ণেয় বিন্যাস সংখ্যা = 5!/2! = 60

২৬

একটি সভায় ১৫ জন লোক রয়েছে এবং তারা সকলেই সভা শেষে একে অপরের সাথে করমর্দন করে। মোট কতটি করমর্দন হবে?

ক) ২১০ খ) ১০৫ গ) ২২৫ ঘ) ১৯৬

বিসিএস

ব্যাখ্যা (Explanation)

= ^১৫C_২  
= ১৫!/{২!(১৫-২!)}
= (১৫×১৪×১৩!)/(২!×১৩!)
= (১৫×১৪)/২
= ১০৫ 

২৭

MISSISSIPPI শব্দটির অক্ষরগুলো মোট কত প্রকারে সাজালে দুটি P একসাথে থাকবে?

ক) ৫১০০ খ) ৫৯৫০ গ) ৬৩০০ ঘ) ৬৩৭০

ব্যাখ্যা (Explanation)

শব্দটি হলো: M I S S I S S I P P I
মোট অক্ষর সংখ্যা (n) = ১১ টি।
অক্ষরগুলোর পুনরাবৃত্তি:
M = ১ বার
I = ৪ বার
S = ৪ বার
P = ২ বার

যেহেতু দুটি 'P' কে একসাথে রাখতে হবে, তাই আমরা 'PP' কে একটি একক ইউনিট বা ব্লক হিসেবে ধরবো।

এখন আমাদের কাছে সাজানোর জন্য আইটেমগুলো হলো: M, I, S, S, I, S, S, I, [PP], I
এই নতুন সেটটিতে মোট আইটেমের সংখ্যা (n') = ১ (M) + ৪ (I) + ৪ (S) + ১ ([PP] ব্লক) = ১০ টি।
নতুন সেটে পুনরাবৃত্তি:

এই ১০টি আইটেমের মধ্যে:
I আছে ৪ বার
S আছে ৪ বার
M আছে ১ বার
[PP] ব্লকটি আছে ১ বার

সজ্জার সংখ্যা = ১০! / (৪! * ৪!)
= ৩,৬২৮,৮০০ / (২৪ * ২৪)
= ৩,৬২৮,৮০০ / ৫৭৬
= ৬,৩০০

২৮

৫টি গণিত, ৩টি পদার্থ বিজ্ঞান, ২টি রসায়ন বই নিয়ে মোট বিন্যাস সংখ্যা কত?

ক) ১৬১০ খ) ২৬২০ গ) ২৪৩০ ঘ) ২৫২০

ব্যাখ্যা (Explanation)

মোট বইয়ের সংখ্যা = ৫টি গণিত + ৩টি পদার্থ বিজ্ঞান + ২টি রসায়ন = ১০টি

সুতরাং, মোট বিন্যাস সংখ্যা হবে = 10!/(5!×3!×2!) = 2520
​

২৯

একটি নির্বাচনে 6 জন প্রার্থী আছে। এই 6 জন প্রার্থীর 4 জন সদস্য নির্বাচন করতে হবে। একজন ভোটদাতার যতজন সদস্য নির্বাচন করতে হবে তার সমান বা তার চেয়ে কম প্রার্থীকে ভোট দিতে হবে। ভোটদাতা কত উপায়ে ভোট দিতে পারে?

ক) 48 খ) 52 গ) 56 ঘ) 72

ব্যাখ্যা (Explanation)

৬ জন প্রার্থী থেকে ১ জন নির্বাচন করার উপায় = ⁶C₁ = ৬
৬ জন প্রার্থী থেকে ২ জন নির্বাচন করার উপায় = ⁶C₂ = ১৫
৬ জন প্রার্থী থেকে ৩ জন নির্বাচন করার উপায় = ⁶C₃ = ২০
৬ জন প্রার্থী থেকে ৪ জন নির্বাচন করার উপায় = ⁶C₄ = ১৫

মোট উপায় = ৬ + ১৫ + ২০ + ১৫ = ৫৬

সুতরাং, একজন ভোটদাতা মোট ৫৬ উপায়ে ভোট দিতে পারবেন।

৩০

'Science' শব্দের অক্ষরগুলোকে কতভাবে সাজানো যাবে?

ক) 360 খ) 720 গ) 1260 ঘ) 3600

Job Solutions

ব্যাখ্যা (Explanation)

SCIENCE শব্দটিতে মোট অক্ষর আছে 7টি

"C" এবং "E" অক্ষর দুটি দুবার করে আছে।

সাজানোর উপায় = 7!/(2!×2!) = 5040/4 = 1260