৪৫তম বিসিএস, প্রাইমারি শিক্ষক নিয়োগ, সরকারি চাকরি, ব্যাংক প্রস্তুতি

বৃত্ত (153 টি প্রশ্ন )

ক) স্পর্শবিন্দু অসমান হবে

খ) ব্যাসার্ধ একই হবে না

গ) কেন্দ্রদ্বয় একীভূত হবে

ঘ) কেন্দ্রদ্বয় ও স্পর্শবিন্দু সমরেখ হবে

বৃত্ত সম্পর্কিত উপপাদ্য ও অনুসিদ্ধান্ত:
- বৃত্তের ভিতরে অবস্থিত কোনো বিন্দু থেকে বৃত্তের স্পর্শক আঁকা যায় না।
- একটি বিন্দু যদি বৃত্তের ওপর থাকে তাহলে উক্ত বিন্দুতে বৃত্তের একটিমাত্র স্পর্শক অঙ্কন করা যায়।
- স্পর্শকটি বর্ণিত বিন্দুতে অঙ্কিত ব্যাসার্ধের উপর লম্ব হয়।
- দুটি বৃত্ত পরস্পর স্পর্শ করলে তাদের কেন্দ্রদ্বয় ও স্পর্শবিন্দু সমরেখ হবে।
- একটি বিন্দু বৃত্তের বাইরে অবস্থিত হলে তা থেকে বৃত্তে দুইটি স্পর্শক আঁকা যাবে।
- বৃত্তের বহিঃস্থ কোনো বিন্দু থেকে ঐ বৃত্তে দুইটি ও কেবল দুইটি স্পর্শক আঁকা যায়।
- একটি ত্রিভুজে তিনটি বহির্বৃত্ত আঁকা যায়।

Q2. বৃত্তের স্পর্শক আঁকা যায় না কখন?

ক) বৃত্তের বাহিরে বিন্দুর অবস্থান হলে

খ) বৃত্তের ভেতরে বিন্দুর অবস্থান হলে

গ) বৃত্তের ওপরে বিন্দুর অবস্থান হলে

ঘ) কখনোই না

বৃত্ত সম্পর্কিত উপপাদ্য ও অনুসিদ্ধান্ত:
- বৃত্তের ভিতরে অবস্থিত কোনো বিন্দু থেকে বৃত্তের স্পর্শক আঁকা যায় না।
- একটি বিন্দু যদি বৃত্তের ওপর থাকে তাহলে উক্ত বিন্দুতে বৃত্তের একটিমাত্র স্পর্শক অঙ্কন করা যায়।
- স্পর্শকটি বর্ণিত বিন্দুতে অঙ্কিত ব্যাসার্ধের উপর লম্ব হয়।
- একটি বিন্দু বৃত্তের বাইরে অবস্থিত হলে তা থেকে বৃত্তে দুইটি স্পর্শক আঁকা যাবে।
- বৃত্তের বহিঃস্থ কোনো বিন্দু থেকে ঐ বৃত্তে দুইটি ও কেবল দুইটি স্পর্শক আঁকা যায়।
- একটি ত্রিভুজে তিনটি বহির্বৃত্ত আঁকা যায়।

Q3. একটি ত্রিভুজে কয়টি বহির্বৃত্ত আঁকা যায়?

ক) ১টি

খ) ২টি

গ) ৩টি

ঘ) ৪টি

বৃত্ত সম্পর্কিত উপপাদ্য ও অনুসিদ্ধান্ত:
- বৃত্তের ভিতরে অবস্থিত কোনো বিন্দু থেকে বৃত্তের স্পর্শক আঁকা যায় না।
- একটি বিন্দু যদি বৃত্তের ওপর থাকে তাহলে উক্ত বিন্দুতে বৃত্তের একটিমাত্র স্পর্শক অঙ্কন করা যায়।
- স্পর্শকটি বর্ণিত বিন্দুতে অঙ্কিত ব্যাসার্ধের উপর লম্ব হয়।
- একটি বিন্দু বৃত্তের বাইরে অবস্থিত হলে তা থেকে বৃত্তে দুইটি স্পর্শক আঁকা যাবে।
- বৃত্তের বহিঃস্থ কোনো বিন্দু থেকে ঐ বৃত্তে দুইটি ও কেবল দুইটি স্পর্শক আঁকা যায়।
- একটি ত্রিভুজে তিনটি বহির্বৃত্ত আঁকা যায়।

Q4. একটি বৃত্তের ব্যাসার্ধ ৫ সেমি হলে কেন্দ্র থেকে ৩ সেমি দূরত্বে অবস্থিত জ্যা এর দৈর্ঘ্য কত?

ক) ৪ সে.মি.

খ) ৭ সে.মি.

গ) ৮ সে.মি.

ঘ) ১২ সে.মি.

আমরা জানি, বৃত্তের কেন্দ্র থেকে জ্যা এর উপর লম্ব জ্যা কে সমদ্বিখণ্ডিত করে।
এই ক্ষেত্রে, কেন্দ্র থেকে জ্যা এর দূরত্ব ৩ সেমি এবং বৃত্তের ব্যাসার্ধ ৫ সেমি।

সুতরাং, একটি সমকোণী ত্রিভুজ তৈরি হয় যার অতিভুজ ৫ সেমি এবং একটি বাহু ৩ সেমি।

এখন, পিথাগোরাসের উপপাদ্য ব্যবহার করে অন্য বাহুর দৈর্ঘ্য নির্ণয় করা যায়:

অন্য বাহু = √(৫^২ - ৩^২) = √(২৫ - ৯) = √১৬ = ৪ সেমি

যেহেতু লম্ব জ্যা কে সমদ্বিখণ্ডিত করে, তাই জ্যা এর দৈর্ঘ্য হবে এই বাহুর দ্বিগুণ,

জ্যা এর দৈর্ঘ্য = ২ × ৪ সেমি = ৮ সেমি

সুতরাং, নির্ণেয় জ্যা এর দৈর্ঘ্য ৮ সেমি।

Q5. ৪ সে.মি. ব্যাসার্ধ বিশিষ্ট একটি বৃত্তের ক্ষেত্রফল ও ব্যাসের অনুপাত কত সে.মি.?

ক) ২২/৭

খ) ১১

গ) ৪৪/৭

ঘ) ৪৪

এখানে, ব্যাসার্ধ, r = 7
ব্যাস, 2r = 8
বৃত্তের ক্ষেত্রফল = πr²

প্রশ্নমতে,
ক্ষেত্রফল : ব্যাস
= πr² : 2r
= πr : 2
= πr/2
= 4π/2
= 2π
= 44/7

Q6. স্পর্শক আঁকা যায় না কখন?

ক) একটি বিন্দু বৃত্তের বাহিরে হলে

খ) একটি বিন্দু বৃত্তের ভিতরে অবস্থিত হলে

গ) একটি বিন্দু বৃত্তের পরিধিতে অবস্থিত হলে

ঘ) একটিও না

বৃত্ত সম্পর্কিত উপপাদ্য ও অনুসিদ্ধান্ত:
- বৃত্তের ভিতরে অবস্থিত কোনো বিন্দু থেকে বৃত্তের স্পর্শক আঁকা যায় না।
- একটি বিন্দু যদি বৃত্তের ওপর থাকে তাহলে উক্ত বিন্দুতে বৃত্তের একটিমাত্র স্পর্শক অঙ্কন করা যায়।
- স্পর্শকটি বর্ণিত বিন্দুতে অঙ্কিত ব্যাসার্ধের উপর লম্ব হয়।
- একটি বিন্দু বৃত্তের বাইরে অবস্থিত হলে তা থেকে বৃত্তে দুইটি স্পর্শক আঁকা যাবে।
- বৃত্তের বহিঃস্থ কোনো বিন্দু থেকে ঐ বৃত্তে দুইটি ও কেবল দুইটি স্পর্শক আঁকা যায়।
- একটি ত্রিভুজে তিনটি বহির্বৃত্ত আঁকা যায়।

Q7. একটি চাকার পরিধি ৭৫ সেন্টিমিটার হলে ১৫ কিলোমিটার পথ যেতে চাকাটি কতবার ঘুরবে?

ক) ১৮০০০ বার

খ) ২১০০০ বার

গ) ২০০০০ বার

ঘ) ২৪০০০ বার

গাড়ীর চাকার পরিধি = ৭৫ সেন্টিমিটার = ০.৭৫ মিটার
১৫ কিলোমিটার = (১০০০ × ১৫) মিটার
= ১৫০০০মিটার

০.৭৫ মিটার যেতে গাড়ির চাকা ঘুরে ১ বার
১ মিটার যেতে গাড়ির চাকা ঘুরে ১/০.৭৫ বার
১৫০০০ মিটার যেতে গাড়ির চাকা ঘুরে ১৫০০০/০.৭৫ বার
= ২০০০০ বার

Q8. দুইটি বৃত্ত পরস্পরকে বহিঃস্পর্শ করলে, স্পর্শবিন্দু ছাড়া প্রত্যেক বৃত্তের অন্য সকল বিন্দু অপর বৃত্তের কোথায় থাকে?

ক) উপরে

খ) কেন্দ্রে

গ) বাইরে

ঘ) অভ্যন্তরে

• দুইটি বৃত্ত পরস্পরকে বহিঃস্পর্শ করলে, স্পর্শবিন্দু ছাড়া প্রত্যেক বৃত্তের অন্য সকল বিন্দু অপর বৃত্তের বাইরে থাকবে।

• দুইটি বৃত্ত পরস্পরকে অন্তঃস্পর্শ করলে, স্পর্শবিন্দু ছাড়া ছােট বৃত্তের অন্য সকল বিন্দু বড় বৃত্তটির অভ্যন্তরে থাকবে।

Q9. পরিবৃত্তের কেন্দ্র কোনটি?

ক) ভরকেন্দ্র

খ) পরিকেন্দ্র

গ) লম্বকেন্দ্র

ঘ) অন্তঃকেন্দ্র

পরিবৃত্ত হচ্ছে ত্রিভুজের তিন শীর্ষবিন্দু দিয়ে অতিক্রান্ত বৃত্ত।আর পরিবৃত্তের কেন্দ্রই হচ্ছে পরিকেন্দ্র।

Q10. নিচের চিত্রে ∠POR = 150° যেখানে O বৃত্তের কেন্দ্র, তাহলে ∠PQR কত?

ক) 105°

খ) 115°

গ) 135°

ঘ) 100°

একটি জ্যামিতিক উপপাদ্য যা বলে যে চতুর্ভুজের বিপরীত কোণের সমষ্টি সর্বদা ১৮০° হয়।

∠POR = 2 × ∠PSR

⇒ ∠PSR = 150°/2 = 75°

⇒ ∠PQR + ∠PSR = 180°

⇒ ∠PQR + 75° = 180°

⇒ ∠PQR = 105°

∴ The correct answer is 105°

Q11. কোন বৃত্তের ১২ মিটার দীর্ঘ একটি জ্যা কেন্দ্র থেকে ৮ মিটার দূরে অবস্থিত হলে বৃত্তটির ব্যাস কত মিটার হবে ?

ক) ১০

খ) ১৫

গ) ১৮

ঘ) ২০

0 কেন্দ্র বিশিষ্ট ABC বৃত্তে AB = BD. কিন্তু AD = ১২

AB = ৬

কারণ, কেন্দ্র থেকে অঙ্কিত লম্ব জ্যা কে সমদ্বিখণ্ডিত করে ।

দেওয়া আছে, OB = ৮

পিথাগোরাসের সূত্র অনুসারে, (AO)² = AB² + OB²

AO² = ৬^২ + ৮^২ = ৩৬ + ৬৪ = ১০০

AO = √১০০ = ১০

অর্থাৎ ব্যাসার্ধ, AO = ১০ মিটার

ব্যাস, AC = ১০×২ = ২০ মিটার

Q12. O কেন্দ্র বিশিষ্ট বৃত্তের AB জ্যা এর মধ্যবিন্দু C হলে কোনটি সত্য?

ক) AC=BC

খ) AC=OC

গ) BC=OC

ঘ) AC>BC

AB জ্যা এর মধ্যবিন্দু C হওয়ায় AC = BC

Q13. কোন বৃত্তের অন্তর্লিখিত বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল কত, যদি বৃত্তের ব্যাস ১৪ সে.মি. হয়?

ক) ১৯৬ বর্গ সে.মি.

খ) ৯৮ বর্গ সে.মি.

গ) ৪৯ বর্গ সে.মি.

ঘ) কোনটিই নয়

দেওয়া আছে, বৃত্তের ব্যাস = ১৪ সে.মি.
আমরা জানি, বর্গের কর্ণ = √২.a
বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = a^২
যেহেতু, বর্গক্ষেত্রটি বৃত্তে অন্তর্লিখিত
তাহলে,
√২.a = ১৪ সে.মি.
⇒ a = ১৪/√২
⇒ a^২ = (১৪/√২)^২
⇒ a^২ = ১৯৬/২ = ৯৮
∴ বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল ৯৮ বর্গ সে.মি.

Q14. O কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তে AB ব্যাস ভিন্ন একটি জ্যা। D, AB এর মধ্যবিন্দু। <OAD=40° হলে, <AOB=কত?

ক) ৮০°

খ) ৯০°

গ) ১০০°

ঘ) ১১০°

এখানে, <OAD=40°

সুতরাং <OBD=40°

এখন, <AOB = 180° - (40+40)°
= 180° - 80°
= 100°

Q15. দুইটি বৃত্তের ব্যাসের অনুপাত ১ : ৩। এদের পরিধির অনুপাত কত?

ক) ১ : ৯

খ) ২ : ৩

গ) ১ : ৩

ঘ) ৪ : ৯

দুইটি বৃত্তের ব্যাসের অনুপাত ১ : ৩।
ধরি, ব্যসদ্বয় ক, ৩ক

প্রথম বৃত্তের পরিধি = πক
দ্বিতীয় বৃত্তের পরিধি = ৩πক

এদের পরিধির অনুপাত = πক : ৩πক
= ১ : ৩

Q16. একটি বৃত্তের ব্যাস r/2 হলে, বৃত্তটির ক্ষেত্রফল হলো-

ক) πr²/4

খ) πr²/8

গ) πr²

ঘ) πr²/16

বৃত্তের ব্যাস = r/2
∴ ব্যাসার্ধ = r/4

∴ ক্ষেত্রফল = π(r/4)²
= πr²/16

Q17. ১৬ সে.মি. ব্যাস ও ১০ সে.মি. ব্যাসার্ধ বিশিষ্ট দুইটি বৃত্ত পরস্পরকে বহিঃস্পর্শ করলে বৃত্তদুটির কেন্দ্রদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব কত?

ক) ২৬ সে.মি.

খ) ১৮ সে.মি.

গ) ১৩ সে.মি.

ঘ) ৩৬ সে.মি.

আমরা জানি,
দুইটি বৃত্ত পরস্পরকে বহিঃস্পর্শ করলে কেন্দ্রদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব বৃত্ত দুইটির ব্যাসার্ধের যোগফলের সমান।

এখানে ১ম বৃত্তের ব্যাসার্ধ = ১৬/২ = ৮ সে.মি.

২য় বৃত্তের ব্যাসার্ধ = ১০ সে.মি.
∴ কেন্দ্রদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব = (৮ + ১০) সে.মি.
= ১৮ সে.মি.