বৃত্ত

বৃত্তের পরিধির যে কোনো দুই বিন্দুর সংযোজক রেখাকে জ্যা বলে। বৃত্তের বৃহত্তম জ্যা-কে কী বলা হয়?

ক) ব্যাস খ) ব্যাসার্ধ গ) ছেদক ঘ) স্পর্শক

ব্যাখ্যা (Explanation)

বৃত্তের জ্যা ও ব্যাস সম্পর্কিত ধারণা:
- বৃত্তের পরিধির ওপর অবস্থিত যেকোনো দুইটি বিন্দুর সংযোজক সরলরেখাকে জ্যা বা Chord বলা হয়।
- কেন্দ্রগামী জ্যা-কে বৃত্তের ব্যাস বা Diameter বলা হয়।
- কেন্দ্রগামী হওয়ার কারণে ব্যাস বৃত্তের কেন্দ্র দিয়ে যায় এবং এটিই হলো বৃত্তের বৃহত্তম জ্যা।
- ব্যাস সর্বদাই ব্যাসার্ধের দ্বিগুণ (d = 2r)।

শর্টকাট নিয়ম: বৃত্তের কেন্দ্র দিয়ে অতিক্রমকারী রেখাংশই সবচেয়ে বড় হয়, তাই বৃহত্তম জ্যা দেখলেই সরাসরি ব্যাস উত্তর দাগাতে হবে।

যদি কোনো বৃত্তের ব্যাসার্ধ r থেকে বৃদ্ধি করে r+n করা হয়, তবে তার ক্ষেত্রফল কতগুণ বৃদ্ধি পাবে?

ক) (r+n)গুণ খ) n²গুণ গ) 2(r+n)গুণ ঘ) ((r+n)/r)²গুণ

ব্যাখ্যা (Explanation)

প্রাথমিকভাবে, বৃত্তের ব্যাসার্ধ যখন 'r' থাকে, তখন তার ক্ষেত্রফল হয় πr²।

যখন ব্যাসার্ধ বৃদ্ধি পেয়ে 'r+n' হয়, তখন নতুন ক্ষেত্রফল হয় π(r+n)²।

ক্ষেত্রফল কতগুণ বৃদ্ধি পেল তা জানতে, নতুন ক্ষেত্রফলকে প্রাথমিক ক্ষেত্রফল দিয়ে ভাগ করতে হবে:
(π(r+n)²) / (πr²)

এখানে π (পাই) উভয় পাশ থেকে বাদ হয়ে যায়, ফলে দাঁড়ায়:
(r+n)² / r² = ((r+n)/r)²
সুতরাং, ক্ষেত্রফল ((r+n)/r)² গুণ বৃদ্ধি পাবে।

বৃত্তের একই চাপের উপর দণ্ডায়মান বৃত্তস্থ কোণগুলো পরস্পর কীরূপ?

ক) পূরক কোণ খ) সমান গ) সম্পূরক কোণ ঘ) সমকোণ

ব্যাখ্যা (Explanation)

- এটি বৃত্তের একটি উপপাদ্য যে, একই বৃত্তচাপের উপর অবস্থিত সকল বৃত্তস্থ কোণের মান পরস্পর সমান হয়।
- উদাহরণস্বরূপ, যদি একটি বৃত্তের AB চাপের উপর দুইটি কোণ ∠ACB এবং ∠ADB থাকে, তবে তাদের মান সমান হবে।
- বৃত্তের কেন্দ্রস্থ কোণ বৃত্তস্থ কোণের দ্বিগুণ হয়।

বৃত্তের যে কোনো জ্যা-এর লম্বদ্বিখণ্ডক কোন বিন্দুগামী?

ক) পরিধিগামী খ) স্পর্শবিন্দুগামী গ) কেন্দ্রগামী ঘ) জ্যা-এর মধ্যবিন্দুগামী

ব্যাখ্যা (Explanation)

- বৃত্তের যেকোনো জ্যা-এর উপর অঙ্কিত লম্ব সমদ্বিখণ্ডক সর্বদা বৃত্তের কেন্দ্র দিয়ে অতিক্রম করে।
- এর কারণ হলো, বৃত্তের কেন্দ্র থেকে জ্যা-এর উভয় প্রান্তবিন্দুর দূরত্ব সমান (উভয়েই বৃত্তের ব্যাসার্ধ)।
- তাই, কেন্দ্রটি জ্যা-এর লম্বদ্বিখণ্ডকের উপর অবস্থিত থাকে।

বৃত্তের কেন্দ্র থেকে সমদূরবর্তী সকল জ্যা পরস্পর কীরূপ?

ক) সমান্তরাল খ) লম্ব গ) অসমান ঘ) সমান

ব্যাখ্যা (Explanation)

- এটি বৃত্তের একটি ধর্ম।
- যদি একটি বৃত্তের কেন্দ্র থেকে দুটি বা ততোধিক জ্যা-এর লম্ব দূরত্ব সমান হয়, তাহলে সেই জ্যা-গুলির দৈর্ঘ্যও পরস্পর সমান হবে।
- বিপরীতভাবে বলা যায়, সমান দৈর্ঘ্যের জ্যা-গুলো কেন্দ্র থেকে সমদূরবর্তী হয়।

বৃত্তের কেন্দ্র হতে কোন জ্যা-এর উপর অঙ্কিত লম্ব উক্ত জ্যা-কে কী করে?

ক) সমকোণে বিভক্ত করে খ) সমদ্বিখণ্ডিত করে গ) সমান্তরাল করে ঘ) লম্বভাবে স্পর্শ করে

ব্যাখ্যা (Explanation)

- বৃত্তের কেন্দ্র থেকে যেকোনো জ্যা-এর উপর একটি লম্ব অঙ্কন করা হলে, সেই লম্ব জ্যা-টিকে সমান দুই ভাগে ভাগ করে।
- অর্থাৎ, যদি O কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তের AB জ্যা-এর উপর OM লম্ব হয়, তবে AM এবং MB-এর দৈর্ঘ্য সমান হবে।

একটি বৃত্তচাপ কেন্দ্রে 60° কোণ উৎপন্ন করে। বৃত্তের ব্যাস 42 সে.মি. হলে, বৃত্তচাপের দৈর্ঘ্য কত?

ক) ২২ সে.মি. খ) ২০ সে.মি. গ) ২৪ সে.মি. ঘ) ২৬ সে.মি.

ব্যাখ্যা (Explanation)

বৃত্তের ব্যাস = 42 সে.মি.
বৃত্তের ব্যাসার্ধ, r = 42/2 = 21 সে.মি.
বৃত্তচাপ দ্বারা কেন্দ্রে উৎপন্ন কোণ, θ = 60° = π/3 রেডিয়ান

∴ বৃত্তচাপের দৈর্ঘ্য, S = rθ
= 21 × (π/3)
= 7π
= 7 × (22/7)
= 22 সে.মি.

একই চাপের উপর দণ্ডায়মান পরিধিস্থ কোণের পরিমাণ ৬৫° হলে, কেন্দ্রঃস্থ কোণের পরিমাণ কত হবে?

ক) ৩২.৫° খ) ১৩০° গ) ১১৫° ঘ) ২৫০°

Job Solutions

ব্যাখ্যা (Explanation)

আমরা জানি,
- বৃত্তের একই চাপের উপর দণ্ডায়মান বৃত্তঃস্থ কোণ কেন্দ্রঃস্থ কোণের অর্ধেক।
- বৃত্তের একই চাপের উপর দণ্ডায়মান কেন্দ্রঃস্থ কোণ বৃত্তঃস্থ কোণের দ্বিগুণ।

এখন,
একই চাপের উপর দণ্ডায়মান পরিধিস্থ কোণের পরিমাণ = ৬৫° হলে,
কেন্দ্রঃস্থ কোণের পরিমাণ হবে = (৬৫° × ২)
= ১৩০°

∴ কেন্দ্রঃস্থ কোণের পরিমাণ = ১৩০° ।

If the given circle below has center O and circumference 18π, then the perimeter of sector RSTO isIf the given circle below has center O and circumference 18π, then the perimeter of sector RSTO is

ক) 3 π+9 খ) 3 π+18 গ) 6π+9 ঘ) 6π+18

72 সে.মি. পরিসীমা বিশিষ্ট একটি অর্ধবৃত্তের ক্ষেত্রফল কত?

ক) 144 বর্গ সে.মি. খ) 308 বর্গ সে.মি. গ) 288 বর্গ সে.মি. ঘ) 360 বর্গ সে.মি.

ব্যাখ্যা (Explanation)

দেওয়া আছে
πr + 2r = 72
⇒ r(π + 2) = 72
⇒ r{(22/7) + 2} = 72
⇒ r {(22 + 14)/7} = 72
⇒ r (36/7) = 72
⇒ r/7 = 2
r =14

অর্ধবৃত্তের ক্ষেত্রফল = (1/2)πr²
= (1/2) × (22/7) × 14 × 14
= 308 বর্গ সে.মি.

5 সে.মি. ব্যাসার্ধবিশিষ্ট বৃত্তের কেন্দ্র থেকে 4 সে.মি. দূরবর্তী জ্যা এর দৈর্ঘ্য কত সে.মি.?

ক) 4 খ) 5 গ) 6 ঘ) 7

Job Solutions শিক্ষক নিবন্ধন

ব্যাখ্যা (Explanation)

ধরি,
বৃত্তের ব্যাসার্ধ OA = 5 সে.মি.
কেন্দ্র হতে জ্যা এর দূরত্ব OC = 4 সে.মি.

এখন,
OAC সমকোণী ত্রিভুজে,
AC = √(OA² - OC²)
= √(5² - 4²)
= √(25 - 16)
= √9
= 3 সে.মি.

বৃত্তের কেন্দ্র থেকে ব্যাস ভিন্ন অন্য কোনো জ্যা এর উপর অঙ্কিত লম্ব ঐ জ্যাকে সমদ্বিখন্ডিত করে।

∴ জ্যা AB = 2 × AC
= 2 × 3 সে.মি.
= 6 সে.মি.

অর্ধবৃত্তস্থ কোণের মান কত?

ক) ৪০ ডিগ্রি খ) ৬০ ডিগ্রি গ) ৪৫ ডিগ্রি ঘ) ৯০ ডিগ্রি

Job Solutions শিক্ষক নিবন্ধন

ব্যাখ্যা (Explanation)

- যদি কোনো কোণ অর্ধবৃত্তে অবস্থান করে, তবে সেটি সর্বদা একটি সমকোণ হয়।
- অর্থাৎ, অর্ধবৃত্তস্থ কোণের মান = ৯০ ডিগ্রি।

বৃত্তের ব্যাস চারগুণ বৃদ্ধি করলে ক্ষেত্রফল কতগুণ বৃদ্ধি পাবে?

ক) ৪ খ) ৮ গ) ১২ ঘ) ১৬

Job Solutions বিসিএস

ব্যাখ্যা (Explanation)

বৃত্তের ক্ষেত্রফল এর ব্যাস বা ব্যাসার্ধের বর্গের সমানুপাতে বৃদ্ধি পাবে। সুতরাং বৃত্তের ব্যাস ৪ গুণ বৃদ্ধি করলে এর ক্ষেত্রফল ১৬ গুণ বৃদ্ধি পাবে।

O কেন্দ্র বিশিষ্ট বৃত্তে x কোণের মান কত?

ক) 54º খ) 72º গ) 108º ঘ) 126º

বিসিএস

ব্যাখ্যা (Explanation)

দেওয়া আছে কেন্দ্রস্থ কোণ=108°
আমরা জানি, পরিধস্থ কোণ কেন্দ্রস্থ কোণের অর্ধেক।
অতএব পরিধস্থ কোণ=108/2 =54°
অতএব ∠A=54°
∠A+∠C=180°
54+∠C=180° [x=∠C ধরে ]
OR,∠C =180-54
=126°
অতএব x=126°

4 সেমি বাহুবিশিষ্ট বর্গক্ষেত্রে পরিলিখিত বৃত্তের ক্ষেত্রফল কত?

ক) 8π বর্গসেমি খ) 6π বর্গসেমি গ) 4π বর্গসেমি ঘ) 2√2 π বর্গসেমি

বিসিএস

ব্যাখ্যা (Explanation)

বর্গক্ষেত্রের বাহুর দৈর্ঘ্য 4 সেমি
বর্গের কর্ণের দৈর্ঘ্য = √2 × বাহু
= 4√2 সেমি

প্রশ্নমতে, বৃত্তের ব্যাস = বর্গের কর্ণের দৈর্ঘ্য বৃত্তের ব্যাস = 4√2 [যেহেতু বর্গক্ষেত্রটি বৃত্তে পরিলিখিত]

বৃত্তের ব্যাসার্ধ, r = 4√2/2 = 2√2 সে.মি.

আমরা জানি, বৃত্তের ক্ষেত্রফল = πr² = π(2√2)² = 8π বর্গসেমি

2x² + 2y²-4x-12y + 11=0 বৃত্তটির ব্যাসার্ধ কত?

ক) √29 খ) √15.5 গ) √4.5 ঘ) √10.5

ব্যাখ্যা (Explanation)

2x² + 2y²-4x-12y + 11=0
বা, x² + y² -2x -6y+5.5=0
কণিকের সাধারণ সমীকরণ , x² + y² + 2gx +2fy + c
এর সাথে তুলনা করে পাই, g =-1, f = -3 , c = 5.5
ব্যাসার্ধ, r = √ (g² + f² - c )
= √ {(-1)² + (-3)² - 5.5 }
= √ (1+9-5.5)
= √ 4.5

4a ব্যাস বিশিষ্ট বৃত্তের ক্ষেত্রফল 4a ভূমি বিশিষ্ট আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফলের সমান হলে আয়তক্ষেত্রের উচ্চতা কত?

ক) πa খ) πa² গ) 2πa ঘ) 2πa²

Job Solutions

ব্যাখ্যা (Explanation)

ধরি, বৃত্তের ব্যাসার্ধ r এবং আয়তক্ষেত্রের উচ্চতা h।

বৃত্তের ব্যাস = 4a
বৃত্তের ব্যাসার্ধ (r) = ব্যাসের অর্ধেক = 4a / 2 = 2a

∴ বৃত্তের ক্ষেত্রফল = πr² = π(2a)² = π(4a²) = 4πa²

আবার,
আয়তক্ষেত্রের ভূমি = 4a
আয়তক্ষেত্রের উচ্চতা = h

∴ আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = ভূমি × উচ্চতা = 4a × h = 4ah

প্রশ্নানুসারে, বৃত্তের ক্ষেত্রফল আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফলের সমান।
সুতরাং, 4πa² = 4ah

⇒ h = (4πa²) / (4a)

⇒ h = (4/4) × (π) × (a²/a)

⇒ h = 1 × π × a

⇒ h = πa

সুতরাং, আয়তক্ষেত্রের উচ্চতা πa।

একটি পিজ্জা বৃত্তাকার এবং এর ব্যাস 30 সেমি। পিজ্জাটিকে 8টি সমান অংশে ভাগ করা হলে প্রতিটি অংশের ক্ষেত্রফল কত হবে?

ক) 44 বর্গসেমি খ) 88.36 বর্গসেমি গ) 44.36 বর্গসেমি ঘ) 88 বর্গসেমি

ব্যাখ্যা (Explanation)

পিজ্জার ব্যাস ৩০ সেমি হলে তার ব্যাসার্ধ হবে ৩০/২=১৫ সেমি। এখন, বৃত্তের ক্ষেত্রফল নির্ণয় করা হয় π গুণ ব্যাসার্ধের বর্গফল দিয়ে, অর্থাৎ,

ক্ষেত্রফল = π × (১৫)² = 225π

π এর মান আনুমানিক ৩.১৪ নেওয়া হলে, মোট ক্ষেত্রফল হবে 225 × ৩.১৪ ≈ 706.5 বর্গসেমি।

এখন, পিজ্জাটিকে ৮টি সমান ভাগে ভাগ করলে, প্রতিটি অংশের ক্ষেত্রফল হবে মোট ক্ষেত্রফলকে ৮ দ্বারা ভাগ করলে, অর্থাৎ

প্রতিটি অংশের ক্ষেত্রফল = 706.5 ÷ ৮ ≈ 88.31 বর্গসেমি

এখানে, প্রায় হিসেব অনুযায়ী 88.36 বর্গসেমি আসছে, যা অপশনের সাথে মিলে (উত্তরঃ 88.36 বর্গসেমি)।

একটি বৃত্তের ব্যাসার্ধকে যদি r থেকে বৃদ্ধি করে r+n করা হয়, তবে তার ক্ষেত্রফল দ্বিগুণ হয় । r এর মান কত ?

ক) n/√(2-1) খ) n+√2 গ) √2n ঘ) n(√2+1)

Job Solutions বিসিএস

ব্যাখ্যা (Explanation)

ব্যাসার্ধ r হলে বৃত্তের ক্ষেত্রফল = πr²

ব্যাসার্ধ (n+r) হলে বৃত্তের ক্ষেত্রফল = π(n+r)²

∴2×πr² = π(n+r)²
⇒ 2×r² = (n+r)²
⇒ √2r = n+r
⇒ √2r-r = n
⇒ r(√2-1) = n
⇒ r = n/(√2-1)
⇒ r = n(√2+1)/(√2-1)(√2+1)
⇒ r =  n(√2+1)/2-1
⇒ r =  n(√2+1)/1
∴ r =  n(√2+1)

দুটি বৃত্ত পরস্পর স্পর্শ করলে তাদের

ক) স্পর্শবিন্দু অসমান হবে খ) ব্যাসার্ধ একই হবে না গ) কেন্দ্রদ্বয় একীভূত হবে ঘ) কেন্দ্রদ্বয় ও স্পর্শবিন্দু সমরেখ হবে

প্রাইমারি

ব্যাখ্যা (Explanation)

বৃত্ত সম্পর্কিত উপপাদ্য ও অনুসিদ্ধান্ত:
- বৃত্তের ভিতরে অবস্থিত কোনো বিন্দু থেকে বৃত্তের স্পর্শক আঁকা যায় না।
- একটি বিন্দু যদি বৃত্তের ওপর থাকে তাহলে উক্ত বিন্দুতে বৃত্তের একটিমাত্র স্পর্শক অঙ্কন করা যায়।
- স্পর্শকটি বর্ণিত বিন্দুতে অঙ্কিত ব্যাসার্ধের উপর লম্ব হয়।
- দুটি বৃত্ত পরস্পর স্পর্শ করলে তাদের কেন্দ্রদ্বয় ও স্পর্শবিন্দু সমরেখ হবে।
- একটি বিন্দু বৃত্তের বাইরে অবস্থিত হলে তা থেকে বৃত্তে দুইটি স্পর্শক আঁকা যাবে।
- বৃত্তের বহিঃস্থ কোনো বিন্দু থেকে ঐ বৃত্তে দুইটি ও কেবল দুইটি স্পর্শক আঁকা যায়।
- একটি ত্রিভুজে তিনটি বহির্বৃত্ত আঁকা যায়।

বৃত্তের স্পর্শক আঁকা যায় না কখন?

ক) বৃত্তের বাহিরে বিন্দুর অবস্থান হলে খ) বৃত্তের ভেতরে বিন্দুর অবস্থান হলে গ) বৃত্তের ওপরে বিন্দুর অবস্থান হলে ঘ) কখনোই না

ব্যাখ্যা (Explanation)

বৃত্ত সম্পর্কিত উপপাদ্য ও অনুসিদ্ধান্ত:
- বৃত্তের ভিতরে অবস্থিত কোনো বিন্দু থেকে বৃত্তের স্পর্শক আঁকা যায় না।
- একটি বিন্দু যদি বৃত্তের ওপর থাকে তাহলে উক্ত বিন্দুতে বৃত্তের একটিমাত্র স্পর্শক অঙ্কন করা যায়।
- স্পর্শকটি বর্ণিত বিন্দুতে অঙ্কিত ব্যাসার্ধের উপর লম্ব হয়।
- একটি বিন্দু বৃত্তের বাইরে অবস্থিত হলে তা থেকে বৃত্তে দুইটি স্পর্শক আঁকা যাবে।
- বৃত্তের বহিঃস্থ কোনো বিন্দু থেকে ঐ বৃত্তে দুইটি ও কেবল দুইটি স্পর্শক আঁকা যায়।
- একটি ত্রিভুজে তিনটি বহির্বৃত্ত আঁকা যায়।

একটি ত্রিভুজে কয়টি বহির্বৃত্ত আঁকা যায়?

ক) ১টি খ) ২টি গ) ৩টি ঘ) ৪টি

Job Solutions

ব্যাখ্যা (Explanation)

বৃত্ত সম্পর্কিত উপপাদ্য ও অনুসিদ্ধান্ত:
- বৃত্তের ভিতরে অবস্থিত কোনো বিন্দু থেকে বৃত্তের স্পর্শক আঁকা যায় না।
- একটি বিন্দু যদি বৃত্তের ওপর থাকে তাহলে উক্ত বিন্দুতে বৃত্তের একটিমাত্র স্পর্শক অঙ্কন করা যায়।
- স্পর্শকটি বর্ণিত বিন্দুতে অঙ্কিত ব্যাসার্ধের উপর লম্ব হয়।
- একটি বিন্দু বৃত্তের বাইরে অবস্থিত হলে তা থেকে বৃত্তে দুইটি স্পর্শক আঁকা যাবে।
- বৃত্তের বহিঃস্থ কোনো বিন্দু থেকে ঐ বৃত্তে দুইটি ও কেবল দুইটি স্পর্শক আঁকা যায়।
- একটি ত্রিভুজে তিনটি বহির্বৃত্ত আঁকা যায়।

একটি বৃত্তের ব্যাসার্ধ ৫ সেমি হলে কেন্দ্র থেকে ৩ সেমি দূরত্বে অবস্থিত জ্যা এর দৈর্ঘ্য কত?

ক) ৪ সে.মি. খ) ৭ সে.মি. গ) ৮ সে.মি. ঘ) ১২ সে.মি.

ব্যাখ্যা (Explanation)

আমরা জানি, বৃত্তের কেন্দ্র থেকে জ্যা এর উপর লম্ব জ্যা কে সমদ্বিখণ্ডিত করে।
এই ক্ষেত্রে, কেন্দ্র থেকে জ্যা এর দূরত্ব ৩ সেমি এবং বৃত্তের ব্যাসার্ধ ৫ সেমি।

সুতরাং, একটি সমকোণী ত্রিভুজ তৈরি হয় যার অতিভুজ ৫ সেমি এবং একটি বাহু ৩ সেমি।

এখন, পিথাগোরাসের উপপাদ্য ব্যবহার করে অন্য বাহুর দৈর্ঘ্য নির্ণয় করা যায়:

অন্য বাহু = √(৫^২ - ৩^২) = √(২৫ - ৯) = √১৬ = ৪ সেমি

যেহেতু লম্ব জ্যা কে সমদ্বিখণ্ডিত করে, তাই জ্যা এর দৈর্ঘ্য হবে এই বাহুর দ্বিগুণ,

জ্যা এর দৈর্ঘ্য = ২ × ৪ সেমি = ৮ সেমি

সুতরাং, নির্ণেয় জ্যা এর দৈর্ঘ্য ৮ সেমি।

৪ সে.মি. ব্যাসার্ধ বিশিষ্ট একটি বৃত্তের ক্ষেত্রফল ও ব্যাসের অনুপাত কত সে.মি.?

ক) ২২/৭ খ) ১১ গ) ৪৪/৭ ঘ) ৪৪

ব্যাখ্যা (Explanation)

এখানে, ব্যাসার্ধ, r = 7
ব্যাস, 2r = 8
বৃত্তের ক্ষেত্রফল = πr²

প্রশ্নমতে,
ক্ষেত্রফল : ব্যাস
= πr² : 2r
= πr : 2
= πr/2
= 4π/2
= 2π
= 44/7

স্পর্শক আঁকা যায় না কখন?

ক) একটি বিন্দু বৃত্তের বাহিরে হলে খ) একটি বিন্দু বৃত্তের ভিতরে অবস্থিত হলে গ) একটি বিন্দু বৃত্তের পরিধিতে অবস্থিত হলে ঘ) একটিও না

ব্যাখ্যা (Explanation)

বৃত্ত সম্পর্কিত উপপাদ্য ও অনুসিদ্ধান্ত:
- বৃত্তের ভিতরে অবস্থিত কোনো বিন্দু থেকে বৃত্তের স্পর্শক আঁকা যায় না।
- একটি বিন্দু যদি বৃত্তের ওপর থাকে তাহলে উক্ত বিন্দুতে বৃত্তের একটিমাত্র স্পর্শক অঙ্কন করা যায়।
- স্পর্শকটি বর্ণিত বিন্দুতে অঙ্কিত ব্যাসার্ধের উপর লম্ব হয়।
- একটি বিন্দু বৃত্তের বাইরে অবস্থিত হলে তা থেকে বৃত্তে দুইটি স্পর্শক আঁকা যাবে।
- বৃত্তের বহিঃস্থ কোনো বিন্দু থেকে ঐ বৃত্তে দুইটি ও কেবল দুইটি স্পর্শক আঁকা যায়।
- একটি ত্রিভুজে তিনটি বহির্বৃত্ত আঁকা যায়।

একটি চাকার পরিধি ৭৫ সেন্টিমিটার হলে ১৫ কিলোমিটার পথ যেতে চাকাটি কতবার ঘুরবে?

ক) ১৮০০০ বার খ) ২১০০০ বার গ) ২০০০০ বার ঘ) ২৪০০০ বার

ব্যাখ্যা (Explanation)

গাড়ীর চাকার পরিধি = ৭৫ সেন্টিমিটার = ০.৭৫ মিটার
১৫ কিলোমিটার = (১০০০ × ১৫) মিটার
= ১৫০০০মিটার

০.৭৫ মিটার যেতে গাড়ির চাকা ঘুরে ১ বার
১ মিটার যেতে গাড়ির চাকা ঘুরে ১/০.৭৫ বার
১৫০০০ মিটার যেতে গাড়ির চাকা ঘুরে ১৫০০০/০.৭৫ বার
= ২০০০০ বার

দুইটি বৃত্ত পরস্পরকে বহিঃস্পর্শ করলে, স্পর্শবিন্দু ছাড়া প্রত্যেক বৃত্তের অন্য সকল বিন্দু অপর বৃত্তের কোথায় থাকে?

ক) উপরে খ) কেন্দ্রে গ) বাইরে ঘ) অভ্যন্তরে

ব্যাখ্যা (Explanation)

• দুইটি বৃত্ত পরস্পরকে বহিঃস্পর্শ করলে, স্পর্শবিন্দু ছাড়া প্রত্যেক বৃত্তের অন্য সকল বিন্দু অপর বৃত্তের বাইরে থাকবে।

• দুইটি বৃত্ত পরস্পরকে অন্তঃস্পর্শ করলে, স্পর্শবিন্দু ছাড়া ছােট বৃত্তের অন্য সকল বিন্দু বড় বৃত্তটির অভ্যন্তরে থাকবে।

পরিবৃত্তের কেন্দ্র কোনটি?

ক) ভরকেন্দ্র খ) পরিকেন্দ্র গ) লম্বকেন্দ্র ঘ) অন্তঃকেন্দ্র

ব্যাখ্যা (Explanation)

পরিবৃত্ত হচ্ছে ত্রিভুজের তিন শীর্ষবিন্দু দিয়ে অতিক্রান্ত বৃত্ত।আর পরিবৃত্তের কেন্দ্রই হচ্ছে পরিকেন্দ্র।

৩১৪ সে.মি. দৈর্ঘ্যের একটি লোহার তারকে একটি গোলাকার চাকায় রূপান্তরিত করা হলে চাকার ব্যাস কত হবে?

ক) ৫০ সে.মি. খ) ৫০π সে.মি. গ) ১০০π সে.মি.

ঘ) ১০০ সে.মি.

ব্যাখ্যা (Explanation)

ধরি,
চাকার ব্যাস ২r সে.মি.

এখানে,
চাকার পরিধি = লোহার তারের দৈর্ঘ্য
বা, ২πr = ৩১৪
বা, ২r = ৩১৪/π
বা, ২r = ৩১৪/৩.১৪
বা, ২r = (৩১৪ × ১০০)/৩১৪
∴ ২r = ১০০

∴ চাকার ব্যাস ১০০ সে.মি.

নিচের চিত্রে ∠POR = 150° যেখানে O বৃত্তের কেন্দ্র, তাহলে ∠PQR কত?

ক) 105° খ) 115° গ) 135° ঘ) 100°

ব্যাখ্যা (Explanation)

একটি জ্যামিতিক উপপাদ্য যা বলে যে চতুর্ভুজের বিপরীত কোণের সমষ্টি সর্বদা ১৮০° হয়।

∠POR = 2 × ∠PSR

⇒ ∠PSR = 150°/2 = 75°

⇒ ∠PQR + ∠PSR = 180°

⇒ ∠PQR + 75° = 180°

⇒ ∠PQR = 105°

∴ The correct answer is 105°

প্রথম ৩০টি প্রশ্নের ব্যাখ্যা ওয়েবসাইটে; সবগুলোর সম্পূর্ণ ব্যাখ্যা পেতে অ্যাপ ইন্সটল করুন।

নিজের প্রস্তুতি যাচাই করুন — অ্যাপে লাইভ পরীক্ষা দিয়ে মেরিট লিস্টে নিজের অবস্থান দেখুন।

এই টপিকের সব প্রশ্ন ব্যাখ্যাসহ, ভুল-সঠিক-বুকমার্ক আলাদা করে রিভিশন — অ্যাপে।