বৃত্ত (177 টি প্রশ্ন )
 Back to Subject Page   All Topics
প্রাথমিকভাবে, বৃত্তের ব্যাসার্ধ যখন 'r' থাকে, তখন তার ক্ষেত্রফল হয় πr²।

যখন ব্যাসার্ধ বৃদ্ধি পেয়ে 'r+n' হয়, তখন নতুন ক্ষেত্রফল হয় π(r+n)²।

ক্ষেত্রফল কতগুণ বৃদ্ধি পেল তা জানতে, নতুন ক্ষেত্রফলকে প্রাথমিক ক্ষেত্রফল দিয়ে ভাগ করতে হবে:
(π(r+n)²) / (πr²)

এখানে π (পাই) উভয় পাশ থেকে বাদ হয়ে যায়, ফলে দাঁড়ায়:
(r+n)² / r² = ((r+n)/r)²
সুতরাং, ক্ষেত্রফল ((r+n)/r)² গুণ বৃদ্ধি পাবে।
- এটি বৃত্তের একটি উপপাদ্য যে, একই বৃত্তচাপের উপর অবস্থিত সকল বৃত্তস্থ কোণের মান পরস্পর সমান হয়।
- উদাহরণস্বরূপ, যদি একটি বৃত্তের AB চাপের উপর দুইটি কোণ ∠ACB এবং ∠ADB থাকে, তবে তাদের মান সমান হবে।
- বৃত্তের কেন্দ্রস্থ কোণ বৃত্তস্থ কোণের দ্বিগুণ হয়।
- বৃত্তের যেকোনো জ্যা-এর উপর অঙ্কিত লম্ব সমদ্বিখণ্ডক সর্বদা বৃত্তের কেন্দ্র দিয়ে অতিক্রম করে।
- এর কারণ হলো, বৃত্তের কেন্দ্র থেকে জ্যা-এর উভয় প্রান্তবিন্দুর দূরত্ব সমান (উভয়েই বৃত্তের ব্যাসার্ধ)।
- তাই, কেন্দ্রটি জ্যা-এর লম্বদ্বিখণ্ডকের উপর অবস্থিত থাকে।
- এটি বৃত্তের একটি ধর্ম।
- যদি একটি বৃত্তের কেন্দ্র থেকে দুটি বা ততোধিক জ্যা-এর লম্ব দূরত্ব সমান হয়, তাহলে সেই জ্যা-গুলির দৈর্ঘ্যও পরস্পর সমান হবে।
- বিপরীতভাবে বলা যায়, সমান দৈর্ঘ্যের জ্যা-গুলো কেন্দ্র থেকে সমদূরবর্তী হয়।
- বৃত্তের কেন্দ্র থেকে যেকোনো জ্যা-এর উপর একটি লম্ব অঙ্কন করা হলে, সেই লম্ব জ্যা-টিকে সমান দুই ভাগে ভাগ করে।
- অর্থাৎ, যদি O কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তের AB জ্যা-এর উপর OM লম্ব হয়, তবে AM এবং MB-এর দৈর্ঘ্য সমান হবে।
বৃত্তের ব্যাস = 42 সে.মি.
বৃত্তের ব্যাসার্ধ, r = 42/2 = 21 সে.মি.
বৃত্তচাপ দ্বারা কেন্দ্রে উৎপন্ন কোণ, θ = 60° = π/3 রেডিয়ান

∴ বৃত্তচাপের দৈর্ঘ্য, S = rθ
= 21 × (π/3)
= 7π
= 7 × (22/7)
= 22 সে.মি.
আমরা জানি, 
- বৃত্তের একই চাপের উপর দণ্ডায়মান বৃত্তঃস্থ কোণ কেন্দ্রঃস্থ কোণের অর্ধেক। 
- বৃত্তের একই চাপের উপর দণ্ডায়মান কেন্দ্রঃস্থ কোণ বৃত্তঃস্থ কোণের দ্বিগুণ। 

এখন, 
একই চাপের উপর দণ্ডায়মান পরিধিস্থ কোণের পরিমাণ = ৬৫° হলে, 
কেন্দ্রঃস্থ কোণের পরিমাণ হবে = (৬৫° × ২) 
= ১৩০° 

∴ কেন্দ্রঃস্থ কোণের পরিমাণ = ১৩০° ।
দেওয়া আছে
πr + 2r = 72
⇒ r(π + 2) = 72
⇒ r{(22/7) + 2} = 72
⇒ r {(22 + 14)/7} = 72
⇒ r (36/7) = 72
⇒ r/7 = 2
r =14

অর্ধবৃত্তের ক্ষেত্রফল  = (1/2)πr2
= (1/2) × (22/7) × 14 × 14
= 308 বর্গ সে.মি.

ধরি,
বৃত্তের ব্যাসার্ধ OA = 5 সে.মি. 
কেন্দ্র হতে জ্যা এর দূরত্ব OC = 4 সে.মি.

এখন,
OAC সমকোণী ত্রিভুজে,
AC = √(OA2 - OC2)
     = √(52 - 42)
     = √(25 - 16)
     = √9
     = 3 সে.মি. 

বৃত্তের কেন্দ্র থেকে ব্যাস ভিন্ন অন্য কোনো জ্যা এর উপর অঙ্কিত লম্ব ঐ জ্যাকে সমদ্বিখন্ডিত করে।

∴ জ্যা AB = 2 × AC 
             = 2 × 3 সে.মি.
             = 6 সে.মি.

ফ্রিতে ২ লাখ প্রশ্নের টপিক, সাব-টপিক ভিত্তিক ও ১০০০+ জব শুলুশন্স বিস্তারিতে ব্যাখ্যাসহ পড়তে ও আপনার পড়ার ট্র্যাকিং রাখতে সাইটে লগইন করুন।

লগইন করুন
সিলিন্ডারের ব্যাস = 16 সেমি
⇒ ব্যাসার্ধ = 16 ÷ 2 = 8 সেমি
সিলিন্ডারের উচ্চতা = 2 সেমি

সিলিন্ডারের আয়তন (V) = π × r² × h
= π × 8² × 2
= π × 64 × 2
= 128π ঘন সেমি

ধরি, প্রতিটি গোলকের ব্যাসার্ধ = r সেমি
⇒ প্রতিটি গোলকের আয়তন = (4/3)πr³
⇒ 12টি গোলকের আয়তন = 12 × (4/3)πr³ = 16πr³

প্রশ্ন অনুযায়ী,
সিলিন্ডারের আয়তন = ১২টি গোলকের মোট আয়তন
⇒ 128π = 16πr³
⇒ r³ = 128π ÷ 16π = 8
⇒ r = ∛8 = 2
৬০ সেকেন্ডে ঘুরে = ৯০ বার
অতএব ১ সেকেন্ডে ঘুরে ৯০/৬০ বার = ৩/২
চাকাটি একবার ঘুরে অতিক্রম করে ৩৬০º
অতএব, চাকাটি ৩/২ বার ঘুরে অতিক্রম করে ৩৬০º ×(৩/২) = ৫৪০º

বৃত্তের ক্ষেত্রফল এর ব্যাস বা ব্যাসার্ধের বর্গের সমানুপাতে বৃদ্ধি পাবে। সুতরাং বৃত্তের ব্যাস ৪ গুণ বৃদ্ধি করলে এর ক্ষেত্রফল ১৬ গুণ বৃদ্ধি পাবে।



দেওয়া আছে কেন্দ্রস্থ কোণ=108°
আমরা জানি, পরিধস্থ কোণ কেন্দ্রস্থ কোণের অর্ধেক।
অতএব পরিধস্থ কোণ=108/2 =54°
  অতএব ∠A=54°
∠A+∠C=180°
54+∠C=180°  [x=∠C ধরে ]
OR,∠C =180-54
     =126°
অতএব x=126°
১ সেকেন্ডে ঘুড়ে = ৪০ বার
০.৫ বা, (১/২) সেকেন্ডে ঘুড়ে = ৪০ × ০.৫ = ২০ বার



এখানে,

১ বারে ঘুড়ে = ৩৬০° 

২০ বারে ঘুড়ে =৩৬০° × ২০ = ৭২০০°
দেওয়া আছে
সিলিন্ডারের ব্যাসার্ধ, r = ২ সে.মি.
উচ্চতা, h = ৬ সে.মি.

আমরা জানি,
সিলিন্ডারের সমগ্র তলের ক্ষেত্রফল = 2πr(r + h)
= ২π × ২(২ + ৬)
= ২π × ১৬
= ৩২π বর্গ সে.মি.
2x2 + 2y2-4x-12y + 11=0
বা, x2 + y2 -2x -6y+5.5=0
কণিকের সাধারণ সমীকরণ , x2 + y2 + 2gx +2fy + c  
এর সাথে তুলনা করে পাই, g =-1, f = -3 , c = 5.5
ব্যাসার্ধ, r = √ (g2 + f2 - c )
 = √ {(-1) 2 + (-3) 2 - 5.5 }
= √ (1+9-5.5)
= √ 4.5
ধরি, বৃত্তের ব্যাসার্ধ r এবং আয়তক্ষেত্রের উচ্চতা h।

বৃত্তের ব্যাস = 4a
বৃত্তের ব্যাসার্ধ (r) = ব্যাসের অর্ধেক = 4a / 2 = 2a

∴ বৃত্তের ক্ষেত্রফল = πr² = π(2a)² = π(4a²) = 4πa²

আবার,
আয়তক্ষেত্রের ভূমি = 4a
আয়তক্ষেত্রের উচ্চতা = h

∴ আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = ভূমি × উচ্চতা = 4a × h = 4ah

প্রশ্নানুসারে, বৃত্তের ক্ষেত্রফল আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফলের সমান।
সুতরাং, 4πa² = 4ah

⇒ h = (4πa²) / (4a)

⇒ h = (4/4) × (π) × (a²/a)

⇒ h = 1 × π × a

⇒ h = πa

সুতরাং, আয়তক্ষেত্রের উচ্চতা πa।

পিজ্জার ব্যাস ৩০ সেমি হলে তার ব্যাসার্ধ হবে ৩০/২=১৫ সেমি। এখন, বৃত্তের ক্ষেত্রফল নির্ণয় করা হয় π গুণ ব্যাসার্ধের বর্গফল দিয়ে, অর্থাৎ,

  ক্ষেত্রফল = π × (১৫)² = 225π

π এর মান আনুমানিক ৩.১৪ নেওয়া হলে, মোট ক্ষেত্রফল হবে 225 × ৩.১৪ ≈ 706.5 বর্গসেমি।

এখন, পিজ্জাটিকে ৮টি সমান ভাগে ভাগ করলে, প্রতিটি অংশের ক্ষেত্রফল হবে মোট ক্ষেত্রফলকে ৮ দ্বারা ভাগ করলে, অর্থাৎ

  প্রতিটি অংশের ক্ষেত্রফল = 706.5 ÷ ৮ ≈ 88.31 বর্গসেমি

এখানে, প্রায় হিসেব অনুযায়ী 88.36 বর্গসেমি আসছে, যা অপশনের সাথে মিলে (উত্তরঃ 88.36 বর্গসেমি)।

ব্যাসার্ধ r হলে বৃত্তের ক্ষেত্রফল = πr² 

ব্যাসার্ধ (n+r) হলে বৃত্তের ক্ষেত্রফল = π(n+r)² 

∴2×πr² = π(n+r)² 
⇒ 2×r² = (n+r)² 
⇒ √2r = n+r 
⇒ √2r-r = n 
⇒ r(√2-1) = n 
⇒ r = n/(√2-1)
⇒ r = n(√2+1)/(√2-1)(√2+1)
⇒ r =  n(√2+1)/2-1
⇒ r =  n(√2+1)/1
∴ r =  n(√2+1)

ফ্রিতে ২ লাখ প্রশ্নের টপিক, সাব-টপিক ভিত্তিক ও ১০০০+ জব শুলুশন্স বিস্তারিতে ব্যাখ্যাসহ পড়তে ও আপনার পড়ার ট্র্যাকিং রাখতে সাইটে লগইন করুন।

লগইন করুন
বৃত্ত সম্পর্কিত উপপাদ্য ও অনুসিদ্ধান্ত:
- বৃত্তের ভিতরে অবস্থিত কোনো বিন্দু থেকে বৃত্তের স্পর্শক আঁকা যায় না।
- একটি বিন্দু যদি বৃত্তের ওপর থাকে তাহলে উক্ত বিন্দুতে বৃত্তের একটিমাত্র স্পর্শক অঙ্কন করা যায়।
- স্পর্শকটি বর্ণিত বিন্দুতে অঙ্কিত ব্যাসার্ধের উপর লম্ব হয়।
- দুটি বৃত্ত পরস্পর স্পর্শ করলে তাদের কেন্দ্রদ্বয় ও স্পর্শবিন্দু সমরেখ হবে।
- একটি বিন্দু বৃত্তের বাইরে অবস্থিত হলে তা থেকে বৃত্তে দুইটি স্পর্শক আঁকা যাবে।
- বৃত্তের বহিঃস্থ কোনো বিন্দু থেকে ঐ বৃত্তে দুইটি ও কেবল দুইটি স্পর্শক আঁকা যায়।
- একটি ত্রিভুজে তিনটি বহির্বৃত্ত আঁকা যায়।
বৃত্ত সম্পর্কিত উপপাদ্য ও অনুসিদ্ধান্ত:
- বৃত্তের ভিতরে অবস্থিত কোনো বিন্দু থেকে বৃত্তের স্পর্শক আঁকা যায় না।
- একটি বিন্দু যদি বৃত্তের ওপর থাকে তাহলে উক্ত বিন্দুতে বৃত্তের একটিমাত্র স্পর্শক অঙ্কন করা যায়।
- স্পর্শকটি বর্ণিত বিন্দুতে অঙ্কিত ব্যাসার্ধের উপর লম্ব হয়।
- একটি বিন্দু বৃত্তের বাইরে অবস্থিত হলে তা থেকে বৃত্তে দুইটি স্পর্শক আঁকা যাবে।
- বৃত্তের বহিঃস্থ কোনো বিন্দু থেকে ঐ বৃত্তে দুইটি ও কেবল দুইটি স্পর্শক আঁকা যায়।
- একটি ত্রিভুজে তিনটি বহির্বৃত্ত আঁকা যায়।
বৃত্ত সম্পর্কিত উপপাদ্য ও অনুসিদ্ধান্ত:
- বৃত্তের ভিতরে অবস্থিত কোনো বিন্দু থেকে বৃত্তের স্পর্শক আঁকা যায় না।
- একটি বিন্দু যদি বৃত্তের ওপর থাকে তাহলে উক্ত বিন্দুতে বৃত্তের একটিমাত্র স্পর্শক অঙ্কন করা যায়।
- স্পর্শকটি বর্ণিত বিন্দুতে অঙ্কিত ব্যাসার্ধের উপর লম্ব হয়।
- একটি বিন্দু বৃত্তের বাইরে অবস্থিত হলে তা থেকে বৃত্তে দুইটি স্পর্শক আঁকা যাবে।
- বৃত্তের বহিঃস্থ কোনো বিন্দু থেকে ঐ বৃত্তে দুইটি ও কেবল দুইটি স্পর্শক আঁকা যায়।
- একটি ত্রিভুজে তিনটি বহির্বৃত্ত আঁকা যায়।
আমরা জানি, বৃত্তের কেন্দ্র থেকে জ্যা এর উপর লম্ব জ্যা কে সমদ্বিখণ্ডিত করে।
এই ক্ষেত্রে, কেন্দ্র থেকে জ্যা এর দূরত্ব ৩ সেমি এবং বৃত্তের ব্যাসার্ধ ৫ সেমি।

সুতরাং, একটি সমকোণী ত্রিভুজ তৈরি হয় যার অতিভুজ ৫ সেমি এবং একটি বাহু ৩ সেমি।

এখন, পিথাগোরাসের উপপাদ্য ব্যবহার করে অন্য বাহুর দৈর্ঘ্য নির্ণয় করা যায়:

অন্য বাহু = √(৫২ - ৩২) = √(২৫ - ৯) = √১৬ = ৪ সেমি

যেহেতু লম্ব জ্যা কে সমদ্বিখণ্ডিত করে, তাই জ্যা এর দৈর্ঘ্য হবে এই বাহুর দ্বিগুণ,

জ্যা এর দৈর্ঘ্য = ২ × ৪ সেমি = ৮ সেমি

সুতরাং, নির্ণেয় জ্যা এর দৈর্ঘ্য ৮ সেমি।
এখানে, ব্যাসার্ধ, r = 7
ব্যাস, 2r = 8
বৃত্তের ক্ষেত্রফল = πr2

প্রশ্নমতে,
ক্ষেত্রফল : ব্যাস
= πr2 : 2r
= πr : 2
= πr/2
= 4π/2
= 2π
= 44/7
বৃত্ত সম্পর্কিত উপপাদ্য ও অনুসিদ্ধান্ত:
- বৃত্তের ভিতরে অবস্থিত কোনো বিন্দু থেকে বৃত্তের স্পর্শক আঁকা যায় না।
- একটি বিন্দু যদি বৃত্তের ওপর থাকে তাহলে উক্ত বিন্দুতে বৃত্তের একটিমাত্র স্পর্শক অঙ্কন করা যায়।
- স্পর্শকটি বর্ণিত বিন্দুতে অঙ্কিত ব্যাসার্ধের উপর লম্ব হয়।
- একটি বিন্দু বৃত্তের বাইরে অবস্থিত হলে তা থেকে বৃত্তে দুইটি স্পর্শক আঁকা যাবে।
- বৃত্তের বহিঃস্থ কোনো বিন্দু থেকে ঐ বৃত্তে দুইটি ও কেবল দুইটি স্পর্শক আঁকা যায়।
- একটি ত্রিভুজে তিনটি বহির্বৃত্ত আঁকা যায়।
গাড়ীর চাকার পরিধি = ৭৫ সেন্টিমিটার = ০.৭৫ মিটার
১৫ কিলোমিটার = (১০০০ × ১৫) মিটার
                   = ১৫০০০মিটার

০.৭৫ মিটার যেতে গাড়ির চাকা ঘুরে ১ বার
১ মিটার যেতে গাড়ির চাকা ঘুরে ১/০.৭৫ বার
১৫০০০ মিটার যেতে গাড়ির চাকা ঘুরে ১৫০০০/০.৭৫ বার
                                          = ২০০০০ বার
• দুইটি বৃত্ত পরস্পরকে বহিঃস্পর্শ করলে, স্পর্শবিন্দু ছাড়া প্রত্যেক বৃত্তের অন্য সকল বিন্দু অপর বৃত্তের বাইরে থাকবে।

• দুইটি বৃত্ত পরস্পরকে অন্তঃস্পর্শ করলে, স্পর্শবিন্দু ছাড়া ছােট বৃত্তের অন্য সকল বিন্দু বড় বৃত্তটির অভ্যন্তরে থাকবে।
পরিবৃত্ত হচ্ছে ত্রিভুজের তিন শীর্ষবিন্দু দিয়ে অতিক্রান্ত বৃত্ত।আর পরিবৃত্তের কেন্দ্রই হচ্ছে পরিকেন্দ্র।
একটি জ্যামিতিক উপপাদ্য যা বলে যে চতুর্ভুজের বিপরীত কোণের সমষ্টি সর্বদা ১৮০° হয়।


∠POR = 2 × ∠PSR

⇒ ∠PSR = 150°/2 = 75°

⇒ ∠PQR + ∠PSR = 180°

⇒ ∠PQR + 75° = 180°

⇒ ∠PQR = 105°

∴ The correct answer is 105°

ফ্রিতে ২ লাখ প্রশ্নের টপিক, সাব-টপিক ভিত্তিক ও ১০০০+ জব শুলুশন্স বিস্তারিতে ব্যাখ্যাসহ পড়তে ও আপনার পড়ার ট্র্যাকিং রাখতে সাইটে লগইন করুন।

লগইন করুন
  0 কেন্দ্র বিশিষ্ট ABC বৃত্তে AB = BD. কিন্তু AD = ১২ 
   AB = ৬ 
কারণ, কেন্দ্র থেকে অঙ্কিত লম্ব জ্যা কে সমদ্বিখণ্ডিত করে । 
দেওয়া আছে, OB = ৮ 
 পিথাগোরাসের সূত্র অনুসারে, (AO)2  = AB2  + OB2  
  AO2  = ৬২  + ৮২  = ৩৬ + ৬৪ = ১০০ 
  AO = √১০০ = ১০ 
  অর্থাৎ ব্যাসার্ধ, AO = ১০ মিটার 
  ব্যাস, AC = ১০×২ = ২০ মিটার  
সঠিক উত্তর: 0 | ভুল উত্তর: 0