সমান্তর ও গুণোওর ধারা (147 টি প্রশ্ন )
 Back to Subject Page   All Topics

আমরা জানি, সমান্তর ধারার n-তম পদ নির্ণয়ের সূত্র:
n-তম পদ = a + (n-1)d

এখানে,
প্রথম পদ, a = 1
সাধারণ অন্তর, d = 3
পদ সংখ্যা, n = 10

সুতরাং, 10ম পদ = 1 + (10-1) × 3
= 1 + 9 × 3
= 1 + 27
= 28

অতএব, ধারাটির 10ম পদ 28।
ধরি
সমান্তর অনুক্রমের প্রথম পদ a এবং
সাধারণ অন্তর d

আমরা জানি,
n তম পদ = a + (n-1)d

এখানে, ১০ তম পদ 42
সুতরাং a + (10 - 1)×4= 42
বা, a + 36 = 42
a = 6

সুতরাং, ২৫ তম পদ = 6 + (25 - 1)× 4
= 6 + 96
= 102
ধারাটির,
১ম পদ = ১১ + ১ = ২ 
২য় পদ = ৩২ + ১ = ৯ + ১ = ১০ 
৩য় পদ = ৫২ + ১ = ২৫ + ১ = ২৬ 
৪র্থ পদ = ৭২ + ১ = ৪৯ + ১ = ৫০ 
৫ম পদ = ৯২ + ১ = ৮১ + ১ = ৮২ 

∴ ধারাটির পরবর্তী সংখ্যাটি = ৮২ ।
এখানে, 
ধারাটির প্রথম পদ, a = 1/2 
এবং ধারাটির সাধারণ অনুপাত, r = (1/4)/(1/2) = (1/4) × (2/1) = 1/2 < 1 

∴ ধারাটির অসমীতক সমষ্টি, S∞ = a/(1 - r) 
= (1/2)/{1 - (1/2)}
= (1/2)/{1 - (1/2)} 
= (1/2)/{(2 - 1)/2}
= (1/2)/(1/2)
= (1/2) × (2/1) 
= 1

শ্যুটারের লক্ষ্যভেদ করার সম্ভাবনা (P) = 1/3
সুতরাং, শ্যুটারের লক্ষ্যভেদ করতে না পারার সম্ভাবনা (Q) = 1 - 1/3 = 2/3

আমাদেরকে "অন্তত একবার" লক্ষ্যভেদ করার সম্ভাবনা বের করতে হবে। এর সহজ উপায় হলো, একবারও লক্ষ্যভেদ করতে না পারার সম্ভাবনা বের করে সেটিকে মোট সম্ভাবনা (1) থেকে বিয়োগ করা।

একবারও লক্ষ্যভেদ না করার সম্ভাবনা = ৩ বারই লক্ষ্যভেদ করতে না পারার সম্ভাবনা
= (2/3) * (2/3) * (2/3)
= 8/27

এখন, অন্তত একবার লক্ষ্যভেদ করার সম্ভাবনা:
= 1 - (একবারও লক্ষ্যভেদ না করার সম্ভাবনা)
= 1 - 8/27
= (27 - 8) / 27
= 19/27
ধরি,
সাধারন অনুপাত = r
প্রথম পদ, a = 2

৫ম পদ = 81/8
⇒ ar5-1 = 81/8
⇒ 2r4 = 81/8
⇒ r4 = 81/16
⇒ r = 3/2
ধারাটির,
প্রথম পদ, a = x
সাধারন অন্তর, d = x + 1 - x = 1

প্রথম ১০ পদের সমষ্টি, Sn = n/2{2a + (n - 1)d}
= 10/2 {2x + (10 - 1)1}
= 5(2x + 9)
= 10x + 45
দেওয়া আছে,
a = 1
r = 3/1 = 3
n = 6

S = a × {(rn - 1)/(r - 1)}
= 1 × {(36 - 1)/(3 - 1)}
= 364
ধারাটির ১ম পদ, a = log3
সাধারণ অন্তর, d = (log9 - log3) = (log32 - log3) = (2log3 - log3) = log3

∴ ধারাটির অষ্টম পদ = log3 + (8 - 1)log3
= log3 + (7 × log3)
= 8log3

ফ্রিতে ২ লাখ প্রশ্নের টপিক, সাব-টপিক ভিত্তিক ও ১০০০+ জব শুলুশন্স বিস্তারিতে ব্যাখ্যাসহ পড়তে ও আপনার পড়ার ট্র্যাকিং রাখতে সাইটে লগইন করুন।

লগইন করুন
প্রথম পদ, a = 3
সাধারণ অনুপাত, r = - 6/3 = - 2
পদ সংখ্যা, n = 9

আমরা জানি,
গুণোত্তর ধারার n সংখ্যক পদের সমষ্টি = a(1 - rn)/(1 - r)

৯টি পদের সমষ্টি = 3{1 - (- 2)9}/{1 - (- 2)}
= 3(1 + 512)/(1 + 2)
= (3 × 513)/3
= 513
কোনো সমান্তর ধারার ১ম পদ a
সাধারণ অন্তর d

আমরা জানি
mতম পদ = a + (m - 1)d
বা, n = a + md - d
বা, a + md - d = n .......................(1)

আবার,
n তম পদ = a + (n - 1)d
বা, m = a + nd - d
বা, a + nd - d = m...................(2)

(1) নং থেকে (2) নং বিয়োগ করে পাই,
a + md - d - (a + nd - d)= n - m
বা, a + md - d - a - nd + d = n - m
বা, md - nd = n - m
বা, d(m - n) = n - m
বা, d = - 1(m - n)/(m - n)
বা, d = - 1
দেয়া আছে,
{1/(2x + 1)} + {1/(2x + 1)2} + {1/(2x + 1)3} + ...................

x = 3/2 হলে,
{1/(2 × (3/2) + 1)} + {1/(2 × (3/2) + 1)2} + {1/(2 × (3/2) + 1)3} + ...................
1/4 + 1/42 + 1/43 + ...................

∴ সাধারণ অনুপাত = (1/42)/(1/4)
= (1/16)/(1/4)
= (1/16) × (4/1)
= 1/4
ধারাটির সাধারণ অনুপাত হবে,
q/p, r/q, s/r

∴ q/p = s/r
এখানে ধারাটির প্রথম পদ a = 1
সাধারণ অন্তর d = 2
এবং পদসংখ্য = n - 1
আমরা জানি, সমান্তর ধারার n সংখ্যক পদের সমষ্টি
= (n/2){2.a + (n - 1)d}

∴ ধারার n - 1 সংখ্যক পদের সমষ্টি
= {(n - 1)/2}{2 × 1 + (n - 1 -1)2}
= {(n - 1)/2}{2 + 2n - 4}
= {(n - 1)/2}{2n - 2}
= {(n - 1)/2} × 2(n - 1)
= (n - 1) × (n - 1)
= (n - 1)2
মনে করি,
১ম পদ, a = 1/12
সাধারণ অনুপাত, r
= (1/24) ÷ (1/12)
= (1/24) × (12/1)
= 1/2 < 1

ধারাটির অসীমতক সমষ্টি
= a/(1 - r)
= (1/12) ÷ (1 - 1/2)
= (1/12) ÷ (1/2)
= (1/12) × 2
= 1/6
ধরি,
ধারার প্রথম পদ, a
সাধারণ অন্তর, d
আমরা জানি,
সমান্তর ধারার n তম পদ,
a + (n - 1)d

∴ ধারাটির x-তম পদ = a + (x - 1)d
∴ ধারাটির y-তম পদ = a + (y - 1)d
∴ ধারাটির (x + y)-তম পদ = a + (x + y - 1)d

প্রশ্নমতে,
a + (x - 1)d = y ……………(1)
a + (y - 1)d = x …………….(2)

(1)নং থেকে (2)নং সমীকরন বিয়োগ করে পাই,
a + (x - 1)d - a + (y - 1)d = y - x
⇒ d(x - 1 - y + 1) = y - x
⇒ d(x - y) = -(x - y)
∴ d = - 1

সুতরাং, (x + y) তম পদ =
a + (x + y - 1)d
= a + (x - 1)d + yd
= y + yd [সমীকরণ (1) থেকে]
= y - y
= 0
পদ সংখ্যা = {(শেষ পদ - প্রথম পদ)/সাধারণ অন্তর} + 1
= {(46 - 7)/3} + 1
= 13 + 1
= 14
এখানে,
শেষ বিজোড় সংখ্যা, n = 8

আমরা জানি,
n সংখ্যক বিজোড় সংখ্যাগুলির ঘনের সমষ্টি = {n(n + 1)/2}2
= {8(8 + 1)/2}2
= {(8 × 9)/2}2
= (36)2
= 1296
প্রথম পদ, a = 1
সাধারণ অনুপাত, r = 1/2 

সাতটি পদের সমষ্টি, S = {a(1 - rn)}/(1 - r)
= [1{1 - (1/2)7}]/(1 - 1/2)
= (1 - 1/27)/(1 - 1/2)
= (1 - 1/128)/(1/2)
= (127/128)/(1/2)
= 127/64

ফ্রিতে ২ লাখ প্রশ্নের টপিক, সাব-টপিক ভিত্তিক ও ১০০০+ জব শুলুশন্স বিস্তারিতে ব্যাখ্যাসহ পড়তে ও আপনার পড়ার ট্র্যাকিং রাখতে সাইটে লগইন করুন।

লগইন করুন
আমরা জানি,
12 + 22 + 32 + 42 + ........... + n2 = (1/6){n(n+1)(2n + 1)}

12 + 22 + 32 + 42 + ........... + 202 = (1/6){20(20+1)(2×20 + 1)}
                                                     = (20×21×41)/6
                                                     = 2870
কোন ধারার n তম পদ 3n + 1 হলে
ধারাটির ১ম পদ = 3 × 1 + 1 = 3 + 1 = 4
ধারাটির ২য় পদ = 3 × 2 + 1= 6 + 1 = 7
ধারাটির ৩য় পদ = 3 × 3 + 1 = 9 + 1 = 10
ধারাটির ৪র্থ পদ = 3 × 4 + 1 = 12 + 1 = 13
ধারাটির ৫ম পদ = 3 × 5 + 1 = 15 + 1 = 16
........................................................................
ধারাটি:  4, 7, 10, 13, 16, .........................
১ + ৪ + ৯ + ১৬+............+১২১
= ১২ + ২২ + ৩২ + ৪২ +......+১১২
= {১১(১১ + ১)(২× ১১ + ১)}/৬
= (১১ × ১২ × ২৩)/৬
= ৩০৩৬/৬
= ৫০৬
কোনো ধারার n তম পদ 7n - 2 হলে,
ধারাটির নবম পদ
= 7 × 9 - 2
= 63 - 2
= 61
আমরা জানি, n তম পদ = a + (n - 1)d
এখানে, a = 5; d =7; n = 22
∴ 22তম পদ =5 + (22 - 1) × 7
                 = 5 + 21 × 7           
                 = 5 + 147  
                 = 152 
ধারাটির প্রথম পদ a=2
সাধারান অন্তর, d=4-2=2 
এটি একটি সমান্তর ধারা ।
মনে করি ধারাটির পদ সংখ্যা =n এবং n সংখ্যক পদের সমষ্টি Sn=2550
আমরা জানি,
ধারাটির n সংখ্যক পদের যোগফল, Sn=(n/2){2a+(n-1)d} 
                                        ⇒(n/2){2.2+(n-1)2} = 2550
                                        ⇒(n/2)(4+2n-2) = 2550`
                                        ⇒(n/2)(2n+2) = 2550
                                        ⇒(n/2)2(n+1) = 2550
                                        ⇒n2+n = 2550
                                        ⇒ n2+n - 2550 = 0
                                        ⇒ n2+51n - 50n - 2550 = 0
                                        ⇒n(n+51) - 50(n+51) = 0
                                        ⇒(n+51)(n-50) =0               
                                         ∴n = -51 এবং n = 50
কিন্তু কোন ধারার পদসংখ্যা ঋনাত্নক হতে পারে না । সুতরাং,n = - 51 গ্রহনযোগ্য নয় ।  ∴ নির্নেয় মান, n= 50
এখানে, ৪র্থ পদ aq4-1 = 625
বা aq3 = 135 ------ (i)
এবং, প্রথম পদ a = 5 ----- (ii)
(i) ÷ (ii)⇒
aq3/a = 625/5
q3 = 125
∴ q = 5
অর্থাৎ, সাধারণ অনুপাত, q = 5
সুতরাং, x = 5×5 = 25
∴ y = 25 × 5 = 125
এই ক্ষেত্রে, a=5, d=1, n=45
আমরা জানি,
∴পদসংখ্যা = (n-a)/d +1 
            = (45-5)/1 + 1
              = 41
∴সমষ্টি = ((প্রথম সংখ্যা+ শেষ সংখ্যা) x  পদসংখ্যা)/২
        = ((5+45) x 41)/2
        = 25 x 41
        = 1025 
ব্যাকটেরিয়ার পরীক্ষার ধারাটি হবে ২+৫+৮+......+ n তম পদ পর্যন্ত
এখানে, ১ম পদ= a= ২
সাধারণ অন্তর =d=৩
পদ সংখ্যা= n=১০০
nতম পদ= a+(n-1)d
= ২+(১০০-১)৩
= ২+ (৯৯ x ৩)
= ২৯৯
এখানে, a= 1
          q= 1/3
আমরা জানি, কোনো গুণোত্তর ধারার প্রথম n তম পদের সমষ্টি, Sn = a. ((1-qn)/(1-q)) 
প্রদত্ত গুণোত্তর ধারার প্রথম ৫টি পদের সমষ্টি, S5  = 1. ( (1-(1/3)5)/ (1-(1/3)) ) 
                                                             = (1- (1/243)) / (2/3) 
                                                             = (242/243) x (3/2)
                                                             = 121/81 

ফ্রিতে ২ লাখ প্রশ্নের টপিক, সাব-টপিক ভিত্তিক ও ১০০০+ জব শুলুশন্স বিস্তারিতে ব্যাখ্যাসহ পড়তে ও আপনার পড়ার ট্র্যাকিং রাখতে সাইটে লগইন করুন।

লগইন করুন
এখানে, a= 1/√2 
          r= -√2
এখন, arn-1= 8√2
    বা, (1/√2 ) x (-√2)n-1 = 8√2
    বা,  (-√2)n-1 = 8√2 x √2
    বা, (-√2)n-1 = 16
    বা, (-√2)n-1 = (-√2)8 
    বা,  n-1 = 8 
    বা, n= 9
     
সঠিক উত্তর: 0 | ভুল উত্তর: 0