সমান্তর ও গুণোওর ধারা (139 টি প্রশ্ন )
ধরি,
সাধারন অনুপাত = r
প্রথম পদ, a = 2

৫ম পদ = 81/8
⇒ ar5-1 = 81/8
⇒ 2r4 = 81/8
⇒ r4 = 81/16
⇒ r = 3/2
ধারাটির,
প্রথম পদ, a = x
সাধারন অন্তর, d = x + 1 - x = 1

প্রথম ১০ পদের সমষ্টি, Sn = n/2{2a + (n - 1)d}
= 10/2 {2x + (10 - 1)1}
= 5(2x + 9)
= 10x + 45
দেওয়া আছে,
a = 1
r = 3/1 = 3
n = 6

S = a × {(rn - 1)/(r - 1)}
= 1 × {(36 - 1)/(3 - 1)}
= 364
ধারাটির ১ম পদ, a = log3
সাধারণ অন্তর, d = (log9 - log3) = (log32 - log3) = (2log3 - log3) = log3

∴ ধারাটির অষ্টম পদ = log3 + (8 - 1)log3
= log3 + (7 × log3)
= 8log3


প্রথম পদ, a = 3
সাধারণ অনুপাত, r = - 6/3 = - 2
পদ সংখ্যা, n = 9

আমরা জানি,
গুণোত্তর ধারার n সংখ্যক পদের সমষ্টি = a(1 - rn)/(1 - r)

৯টি পদের সমষ্টি = 3{1 - (- 2)9}/{1 - (- 2)}
= 3(1 + 512)/(1 + 2)
= (3 × 513)/3
= 513
কোনো সমান্তর ধারার ১ম পদ a
সাধারণ অন্তর d

আমরা জানি
mতম পদ = a + (m - 1)d
বা, n = a + md - d
বা, a + md - d = n .......................(1)

আবার,
n তম পদ = a + (n - 1)d
বা, m = a + nd - d
বা, a + nd - d = m...................(2)

(1) নং থেকে (2) নং বিয়োগ করে পাই,
a + md - d - (a + nd - d)= n - m
বা, a + md - d - a - nd + d = n - m
বা, md - nd = n - m
বা, d(m - n) = n - m
বা, d = - 1(m - n)/(m - n)
বা, d = - 1
দেয়া আছে,
{1/(2x + 1)} + {1/(2x + 1)2} + {1/(2x + 1)3} + ...................

x = 3/2 হলে,
{1/(2 × (3/2) + 1)} + {1/(2 × (3/2) + 1)2} + {1/(2 × (3/2) + 1)3} + ...................
1/4 + 1/42 + 1/43 + ...................

∴ সাধারণ অনুপাত = (1/42)/(1/4)
= (1/16)/(1/4)
= (1/16) × (4/1)
= 1/4
ধারাটির সাধারণ অনুপাত হবে,
q/p, r/q, s/r

∴ q/p = s/r
এখানে ধারাটির প্রথম পদ a = 1
সাধারণ অন্তর d = 2
এবং পদসংখ্য = n - 1
আমরা জানি, সমান্তর ধারার n সংখ্যক পদের সমষ্টি
= (n/2){2.a + (n - 1)d}

∴ ধারার n - 1 সংখ্যক পদের সমষ্টি
= {(n - 1)/2}{2 × 1 + (n - 1 -1)2}
= {(n - 1)/2}{2 + 2n - 4}
= {(n - 1)/2}{2n - 2}
= {(n - 1)/2} × 2(n - 1)
= (n - 1) × (n - 1)
= (n - 1)2
মনে করি,
১ম পদ, a = 1/12
সাধারণ অনুপাত, r
= (1/24) ÷ (1/12)
= (1/24) × (12/1)
= 1/2 < 1

ধারাটির অসীমতক সমষ্টি
= a/(1 - r)
= (1/12) ÷ (1 - 1/2)
= (1/12) ÷ (1/2)
= (1/12) × 2
= 1/6
ধরি,
ধারার প্রথম পদ, a
সাধারণ অন্তর, d
আমরা জানি,
সমান্তর ধারার n তম পদ,
a + (n - 1)d

∴ ধারাটির x-তম পদ = a + (x - 1)d
∴ ধারাটির y-তম পদ = a + (y - 1)d
∴ ধারাটির (x + y)-তম পদ = a + (x + y - 1)d

প্রশ্নমতে,
a + (x - 1)d = y ……………(1)
a + (y - 1)d = x …………….(2)

(1)নং থেকে (2)নং সমীকরন বিয়োগ করে পাই,
a + (x - 1)d - a + (y - 1)d = y - x
⇒ d(x - 1 - y + 1) = y - x
⇒ d(x - y) = -(x - y)
∴ d = - 1

সুতরাং, (x + y) তম পদ =
a + (x + y - 1)d
= a + (x - 1)d + yd
= y + yd [সমীকরণ (1) থেকে]
= y - y
= 0
পদ সংখ্যা = {(শেষ পদ - প্রথম পদ)/সাধারণ অন্তর} + 1
= {(46 - 7)/3} + 1
= 13 + 1
= 14
এখানে,
শেষ বিজোড় সংখ্যা, n = 8

আমরা জানি,
n সংখ্যক বিজোড় সংখ্যাগুলির ঘনের সমষ্টি = {n(n + 1)/2}2
= {8(8 + 1)/2}2
= {(8 × 9)/2}2
= (36)2
= 1296
প্রথম পদ, a = 1
সাধারণ অনুপাত, r = 1/2 

সাতটি পদের সমষ্টি, S = {a(1 - rn)}/(1 - r)
= [1{1 - (1/2)7}]/(1 - 1/2)
= (1 - 1/27)/(1 - 1/2)
= (1 - 1/128)/(1/2)
= (127/128)/(1/2)
= 127/64
আমরা জানি,
12 + 22 + 32 + 42 + ........... + n2 = (1/6){n(n+1)(2n + 1)}

12 + 22 + 32 + 42 + ........... + 202 = (1/6){20(20+1)(2×20 + 1)}
                                                     = (20×21×41)/6
                                                     = 2870
কোন ধারার n তম পদ 3n + 1 হলে
ধারাটির ১ম পদ = 3 × 1 + 1 = 3 + 1 = 4
ধারাটির ২য় পদ = 3 × 2 + 1= 6 + 1 = 7
ধারাটির ৩য় পদ = 3 × 3 + 1 = 9 + 1 = 10
ধারাটির ৪র্থ পদ = 3 × 4 + 1 = 12 + 1 = 13
ধারাটির ৫ম পদ = 3 × 5 + 1 = 15 + 1 = 16
........................................................................
ধারাটি:  4, 7, 10, 13, 16, .........................
১ + ৪ + ৯ + ১৬+............+১২১
= ১২ + ২২ + ৩২ + ৪২ +......+১১২
= {১১(১১ + ১)(২× ১১ + ১)}/৬
= (১১ × ১২ × ২৩)/৬
= ৩০৩৬/৬
= ৫০৬
কোনো ধারার n তম পদ 7n - 2 হলে,
ধারাটির নবম পদ
= 7 × 9 - 2
= 63 - 2
= 61
আমরা জানি, n তম পদ = a + (n - 1)d
এখানে, a = 5; d =7; n = 22
∴ 22তম পদ =5 + (22 - 1) × 7
                 = 5 + 21 × 7           
                 = 5 + 147  
                 = 152 
ধারাটির প্রথম পদ a=2
সাধারান অন্তর, d=4-2=2 
এটি একটি সমান্তর ধারা ।
মনে করি ধারাটির পদ সংখ্যা =n এবং n সংখ্যক পদের সমষ্টি Sn=2550
আমরা জানি,
ধারাটির n সংখ্যক পদের যোগফল, Sn=(n/2){2a+(n-1)d} 
                                        ⇒(n/2){2.2+(n-1)2} = 2550
                                        ⇒(n/2)(4+2n-2) = 2550`
                                        ⇒(n/2)(2n+2) = 2550
                                        ⇒(n/2)2(n+1) = 2550
                                        ⇒n2+n = 2550
                                        ⇒ n2+n - 2550 = 0
                                        ⇒ n2+51n - 50n - 2550 = 0
                                        ⇒n(n+51) - 50(n+51) = 0
                                        ⇒(n+51)(n-50) =0               
                                         ∴n = -51 এবং n = 50
কিন্তু কোন ধারার পদসংখ্যা ঋনাত্নক হতে পারে না । সুতরাং,n = - 51 গ্রহনযোগ্য নয় ।  ∴ নির্নেয় মান, n= 50
এখানে, ৪র্থ পদ aq4-1 = 625
বা aq3 = 135 ------ (i)
এবং, প্রথম পদ a = 5 ----- (ii)
(i) ÷ (ii)⇒
aq3/a = 625/5
q3 = 125
∴ q = 5
অর্থাৎ, সাধারণ অনুপাত, q = 5
সুতরাং, x = 5×5 = 25
∴ y = 25 × 5 = 125
এই ক্ষেত্রে, a=5, d=1, n=45
আমরা জানি,
∴পদসংখ্যা = (n-a)/d +1 
            = (45-5)/1 + 1
              = 41
∴সমষ্টি = ((প্রথম সংখ্যা+ শেষ সংখ্যা) x  পদসংখ্যা)/২
        = ((5+45) x 41)/2
        = 25 x 41
        = 1025 
ব্যাকটেরিয়ার পরীক্ষার ধারাটি হবে ২+৫+৮+......+ n তম পদ পর্যন্ত
এখানে, ১ম পদ= a= ২
সাধারণ অন্তর =d=৩
পদ সংখ্যা= n=১০০
nতম পদ= a+(n-1)d
= ২+(১০০-১)৩
= ২+ (৯৯ x ৩)
= ২৯৯
এখানে, a= 1
          q= 1/3
আমরা জানি, কোনো গুণোত্তর ধারার প্রথম n তম পদের সমষ্টি, Sn = a. ((1-qn)/(1-q)) 
প্রদত্ত গুণোত্তর ধারার প্রথম ৫টি পদের সমষ্টি, S = 1. ( (1-(1/3)5)/ (1-(1/3)) ) 
                                                             = (1- (1/243)) / (2/3) 
                                                             = (242/243) x (3/2)
                                                             = 121/81 


এখানে, a= 1/√2 
          r= -√2
এখন, arn-1= 8√2
    বা, (1/√2 ) x (-√2)n-1 = 8√2
    বা,  (-√2)n-1 = 8√2 x √2
    বা, (-√2)n-1 = 16
    বা, (-√2)n-1 = (-√2)
    বা,  n-1 = 8 
    বা, n= 9
     
27, -9, 3, -1...... ইহা একটি গুণোত্তর ধারা যেখানে প্রথম পদ, a= 27
সাধারণ অনুপাত, r= -9/27
                       = -1/3
সুতরাং ধারাটির ৫ম পদ = arn-1 
                             = 27(-1/3)5-1 
                             = 27 x (-1/3)4 
                             = 27 x (1/81)
                             = 1/3 
সাধারন অন্তর, d = (শেষ পদ- প্রথম পদ) / (পদ সংখ্যা - 1)
                     = (18 - (-2)) / (5 - 1)
                     = 20 / 4
                     = 5
      ∴ r = a + 3d
           = -2 + 3 . 5
           = -2 + 15
           = 13
ধারাটির প্রথম পদ, a= 20
সাধারন অন্তর d= 3
পদ সংখ্যা, n= 31
∴ n= a + (n-1)d = 20 + (31-1)3 = 110
ব্যাকটেরিয়া পরীক্ষা ধারাটি হবে 2+5+8+.......100 পর্যন্ত
এখানে, ১ম পদ a=2
সাধারণ অন্তর d=3
শেষ পদ n=100
অতএব,n তম পদ=a+(n-2)d
=2+(100-1)3
=2+99×3
=299
ধরি,
গুণোত্তর ধারার ১ম পদ a
গুণোত্তর ধারার সাধারণ অনুপাত r

দেওয়া আছে,
চতুর্থ পদ  = 2
অষ্টম পদ  = 8

ar4 - 1 = ar3 = 2 ............... (1)
ar8 - 1 = ar7 = 8 ............ (2)

(2) ÷ (1)
ar7/ar3  = 8/2
⇒ r4 = 4
⇒ r4 = (√2)4
∴ r = √2

r এর মান (1) নং বসিয়ে পাই,
ar3 = 2
বা, a (√2)3 = 2
বা, a × 2√2 = 2
বা, a = 2/2√2
∴ a = 1/√2

∴ ধারার ১ম পদ = 1/√2
সঠিক উত্তর: 0 | ভুল উত্তর: 0