সমান্তর ও গুণোওর ধারা (239 টি প্রশ্ন )
 Back to Subject Page   All Topics
i
ব্যাখ্যা (Explanation):
প্রদত্ত ধারাটি হলো: ২, ৫, ৮, ১১, ১৪, ১৭, ......

ধারাটির পাশাপাশি দুটি পদের পার্থক্য বের করে পাই,
২য় পদ - ১ম পদ = ৫ - ২ = ৩
৩য় পদ - ২য় পদ = ৮ - ৫ = ৩
৪র্থ পদ - ৩য় পদ = ১১ - ৮ = ৩

এখানে লক্ষ করি, ধারাটির প্রতিটি পদ তার পূর্ববর্তী পদের চেয়ে ৩ করে বেশি। অর্থাৎ, এটি একটি সমান্তর ধারা যার সাধারণ অন্তর ৩।

যেহেতু প্রতিবার সংখ্যাগুলো ৩ করে বৃদ্ধি পাচ্ছে, সুতরাং ধারাটির পরবর্তী সংখ্যাটি হবে শেষ প্রদত্ত পদ (১৭) এর সাথে ৩ যোগ করলে যে সংখ্যা পাওয়া যায় সেটি।

অতএব, পরবর্তী সংখ্যাটি = ১৭ + ৩ = ২০
i
ব্যাখ্যা (Explanation):
প্রদত্ত ধারাটি: ১, ১, ২, ৩, ৫, ৮, ...
লক্ষ্য করলে দেখা যায়, ধারাটির যেকোনো পদ তার পূর্ববর্তী দুটি পদের যোগফলের সমান।
যেমন: ৩য় পদ (২) = ১ম পদ (১) + ২য় পদ (১)।
এটি একটি ফিবোনাচ্চি (Fibonacci) ধারা।

এই নিয়মে ধারাটির পরবর্তী পদগুলো বের করি:
৭ম পদ = ৫ম + ৬ষ্ঠ = ৫ + ৮ = ১৩
৮ম পদ = ৬ষ্ঠ + ৭ম = ৮ + ১৩ = ২১
৯ম পদ = ৭ম + ৮ম = ১৩ + ২১ = ৩৪
১০ম পদ = ৮ম + ৯ম = ২১ + ৩৪ = ৫৫
১১তম পদ = ৯ম + ১০ম = ৩৪ + ৫৫ = ৮৯

সুতরাং, ধারাটির ১১ তম পদটি হলো ৮৯।
i
ব্যাখ্যা (Explanation):
১ থেকে ১০ পর্যন্ত বিজোড় সংখ্যাগুলো হলো: ১, ৩, ৫, ৭ এবং ৯।
এখানে বিজোড় সংখ্যা আছে মোট ৫টি।
সংখ্যাগুলোর যোগফল = ১ + ৩ + ৫ + ৭ + ৯ = ২৫

আমরা জানি,
গড় = রাশিগুলোর যোগফল / রাশিগুলোর মোট সংখ্যা
অতএব, গড় = ২৫ / ৫ = ৫

সুতরাং, ১ থেকে ১০ পর্যন্ত বিজোড় সংখ্যাগুলোর গড় ৫।
i
ব্যাখ্যা (Explanation):

আমরা জানি, সমান্তর ধারার n-তম পদ নির্ণয়ের সূত্র:
n-তম পদ = a + (n-1)d

এখানে,
প্রথম পদ, a = 1
সাধারণ অন্তর, d = 3
পদ সংখ্যা, n = 10

সুতরাং, 10ম পদ = 1 + (10-1) × 3
= 1 + 9 × 3
= 1 + 27
= 28

অতএব, ধারাটির 10ম পদ 28।
i
ব্যাখ্যা (Explanation):
ধরি
সমান্তর অনুক্রমের প্রথম পদ a এবং
সাধারণ অন্তর d

আমরা জানি,
n তম পদ = a + (n-1)d

এখানে, ১০ তম পদ 42
সুতরাং a + (10 - 1)×4= 42
বা, a + 36 = 42
a = 6

সুতরাং, ২৫ তম পদ = 6 + (25 - 1)× 4
= 6 + 96
= 102
i
ব্যাখ্যা (Explanation):
ধারাটির,
১ম পদ = ১১ + ১ = ২ 
২য় পদ = ৩২ + ১ = ৯ + ১ = ১০ 
৩য় পদ = ৫২ + ১ = ২৫ + ১ = ২৬ 
৪র্থ পদ = ৭২ + ১ = ৪৯ + ১ = ৫০ 
৫ম পদ = ৯২ + ১ = ৮১ + ১ = ৮২ 

∴ ধারাটির পরবর্তী সংখ্যাটি = ৮২ ।
i
ব্যাখ্যা (Explanation):
এখানে, 
ধারাটির প্রথম পদ, a = 1/2 
এবং ধারাটির সাধারণ অনুপাত, r = (1/4)/(1/2) = (1/4) × (2/1) = 1/2 < 1 

∴ ধারাটির অসমীতক সমষ্টি, S∞ = a/(1 - r) 
= (1/2)/{1 - (1/2)}
= (1/2)/{1 - (1/2)} 
= (1/2)/{(2 - 1)/2}
= (1/2)/(1/2)
= (1/2) × (2/1) 
= 1
i
ব্যাখ্যা (Explanation):

শ্যুটারের লক্ষ্যভেদ করার সম্ভাবনা (P) = 1/3
সুতরাং, শ্যুটারের লক্ষ্যভেদ করতে না পারার সম্ভাবনা (Q) = 1 - 1/3 = 2/3

আমাদেরকে "অন্তত একবার" লক্ষ্যভেদ করার সম্ভাবনা বের করতে হবে। এর সহজ উপায় হলো, একবারও লক্ষ্যভেদ করতে না পারার সম্ভাবনা বের করে সেটিকে মোট সম্ভাবনা (1) থেকে বিয়োগ করা।

একবারও লক্ষ্যভেদ না করার সম্ভাবনা = ৩ বারই লক্ষ্যভেদ করতে না পারার সম্ভাবনা
= (2/3) * (2/3) * (2/3)
= 8/27

এখন, অন্তত একবার লক্ষ্যভেদ করার সম্ভাবনা:
= 1 - (একবারও লক্ষ্যভেদ না করার সম্ভাবনা)
= 1 - 8/27
= (27 - 8) / 27
= 19/27
i
ব্যাখ্যা (Explanation):

ধরি, 

 ধারাটির ১ম পদ a 

সাধারণ অন্তর d 

  a+(5-1)d = 18 

=> a+4d = 18 .........(1) 

এবং 5/2 {2a+(5-1)d} = 75 

=> 2a + 4d = 30 .......(2) 

 (1) × 2 - (2) 

 2a + 8d = 36 

 2a + 4d = 30 

(-)    (-)    (-) 

________________ 

=> 4d  = 6 

=> d = 6/4 

     d = 3/2 

(1) => a + 4 × 3/2 = 18 

  => a + 6 = 18 

  => a = 18 - 6 

          a = 12    

এখানে প্রথম ৩০টি প্রশ্নের ব্যাখ্যা দেখতে পারবেন, বাকি সব প্রশ্নের সম্পূর্ণ ব্যাখ্যা পেতে এখনই অ্যাপ ইন্সটল করুন।

Install App
i
ব্যাখ্যা (Explanation):
ধারাটির প্রথম পদ a = 3
এখানে,
7 - 3 = 4
11 - 7 = 4
∴ ধারাটি একটি সমান্তর ধারা।
∴ সাধারণ অন্তর d = 4

ধরি,
ধারাটির n তম পদ = 263
আমরা জানি,
n তম পদ = a + (n - 1) d
∴ a + (n - 1) d = 263
বা, 3 + (n - 1). 4 = 263
বা, 4(n - 1) = 263 - 3 = 260
বা, n - 1 = 260/4 = 65
বা, n = 65 + 1 = 66

∴ প্রদত্ত ধারার 66 তম পদ = 263
i
ব্যাখ্যা (Explanation):
ধরি,
ধারাটির প্রথম পদ, a = 3
সাধারণ অনুপাত, r = 6/3 = 2

আমরা জানি,
গুণোত্তর ধারার n তম পদ = arn - 1

তাহলে,
ধারাটির চতুর্থ পদ, m = ar3
= 3 × 23
= 3 × 8
= 24

ধারাটির পঞ্চম পদ, n = ar4
= 3 × 24
= 3 × 16
= 48

∴ 2p + q = 2 × 24 + 48 = 96
i
ব্যাখ্যা (Explanation):
আমরা জানি,
সমান্তর ধারার প্রথম পদ, a এবং সাধারণ অন্তর, d হলে, n তম পদ = a + (n - 1)d

এখানে,
তৃতীয় পদ = 29
∴ a + (3 - 1) × 8 = 29
⇒ a + 2 × 8 = 29
⇒ a + 16 = 29
⇒ a = 29 - 16
⇒ a = 13

∴ সপ্তম পদ = 13 + (7 - 1) ×‌ 8
= 13 + 6 ×‌ 8
= 13 + 48
= 61
i
ব্যাখ্যা (Explanation):
প্রথম পদ, a=1 সাধারণ অনুপাত,  r= 1/3 ​

জ্যামিতিক ধারার n-তম পদ নির্ণয়ের সূত্র: Tn = a ⋅ rn-1 
এখানে, Tn = 1/729 

Tn = a ⋅ rn-1
⇒ 1/729 = (1/3)n-1
⇒ (1/3)6 = (1/3)n-1
⇒ n-1 = 6
⇒ n = 7
i
ব্যাখ্যা (Explanation):
এখানে,
প্রথম পদ (a) = 5
সাধারণ অন্তর (d) = 3 (কারণ 8 - 5 = 3, 11 - 8 = 3)

সমান্তর ধারার প্রথম n সংখ্যক পদের যোগফল, Sn = (n/2) × [2a + (n-1)d]
এখানে, S10 = (10/2) × [2×5 + (10-1)×3]
= 5 × [10 + 27]
= 5 × 37
= 185

তাই ধারাটির প্রথম 10টি পদের যোগফল = 185
i
ব্যাখ্যা (Explanation):
পরবর্তী সংখ্যা = ১/৪ ÷ ২
                     =১/৪ × ১/২
                     = ১/৮
i
ব্যাখ্যা (Explanation):
প্রথম পদ (a) = ৫
সাধারণ পার্থক্য (d) = ৩

n তম পদ,
Tₙ = a + (n-1)d
= ৫ + (n-1)×৩
= ৩n + ২

এখন, Tₙ = ৩৮৩ হলে,
৩n + ২ = ৩৮৩
৩n = ৩৮১
n = ১২৭
i
ব্যাখ্যা (Explanation):
এখানে প্রথম পদ a=1/4
সাধারণ অন্তর r= (-1/6) /(1/4)  =-2/3

S∞= a/(1-r)
  =(1/4)/ {1-(-2/3)}

  =(1/4) / {1+(2/3)}

  =(1/4)/(5/3)

  =1/4 ×3/5

  =3/20
i
ব্যাখ্যা (Explanation):
ধারাটির প্রথম পদ (a) = 7
ধারাটির সাধারণ অন্তর (d) = দ্বিতীয় পদ - প্রথম পদ = 12 - 7 = 5

আমাদের এই ধারার 25 তম পদ (n = 25) নির্ণয় করতে হবে।

সমান্তর ধারার nতম পদ = a + (n - 1)d

এখানে,
a = 7
n = 25
d = 5

সুতরাং, 25 তম পদ = 7 + (25 - 1) × 5
= 7 + (24) × 5
= 7 + 120
= 127

অতএব, ধারাটির 25 তম পদের মান 127।
i
ব্যাখ্যা (Explanation):
ধরি, গুণোত্তর ধারাটির প্রথম পদ a এবং সাধারণ অনুপাত r।

প্রশ্নমতে, ধারাটির প্রথম তিনটি পদের যোগফল ৩৯,

অর্থাৎ, a + ar + ar² = ৩৯ --- (১)

এবং ধারাটির প্রথম তিনটি পদের গুণফল ৭২৯,

অর্থাৎ, a × ar × ar² = ৭২৯

বা, a³r³ = ৭২৯

বা, (ar)³ = ৯³

অতএব, ar = ৯ --- (২)

এখন, সমীকরণ (১) থেকে পাই,

a(১ + r + r²) = ৩৯

বা, ar × (১ + r + r²) / r = ৩৯

বা, ৯ × (১ + r + r²) / r = ৩৯ [সমীকরণ (২) থেকে ar = ৯]

বা, ৯ + ৯r + ৯r² = ৩৯r

বা, ৯r² - ৩০r + ৯ = ০

বা, ৩r² - ১০r + ৩ = ০

বা, ৩r² - ৯r - r + ৩ = ০

বা, ৩r(r - ৩) - ১(r - ৩) = ০

বা, (r - ৩)(৩r - ১) = ০

অতএব, r = ৩ অথবা r = ১/৩

সুতরাং, গুণোত্তর ধারাটির সাধারণ অনুপাত ৩ অথবা ১/৩।

এখানে প্রথম ৩০টি প্রশ্নের ব্যাখ্যা দেখতে পারবেন, বাকি সব প্রশ্নের সম্পূর্ণ ব্যাখ্যা পেতে এখনই অ্যাপ ইন্সটল করুন।

Install App
i
ব্যাখ্যা (Explanation):
ধরি,
সাধারন অনুপাত = r
প্রথম পদ, a = 2

৫ম পদ = 81/8
⇒ ar5-1 = 81/8
⇒ 2r4 = 81/8
⇒ r4 = 81/16
⇒ r = 3/2
i
ব্যাখ্যা (Explanation):
ধারাটির,
প্রথম পদ, a = x
সাধারন অন্তর, d = x + 1 - x = 1

প্রথম ১০ পদের সমষ্টি, Sn = n/2{2a + (n - 1)d}
= 10/2 {2x + (10 - 1)1}
= 5(2x + 9)
= 10x + 45
i
ব্যাখ্যা (Explanation):
দেওয়া আছে,
a = 1
r = 3/1 = 3
n = 6

S = a × {(rn - 1)/(r - 1)}
= 1 × {(36 - 1)/(3 - 1)}
= 364
i
ব্যাখ্যা (Explanation):
ধারাটির ১ম পদ, a = log3
সাধারণ অন্তর, d = (log9 - log3) = (log32 - log3) = (2log3 - log3) = log3

∴ ধারাটির অষ্টম পদ = log3 + (8 - 1)log3
= log3 + (7 × log3)
= 8log3
i
ব্যাখ্যা (Explanation):
প্রথম পদ, a = 3
সাধারণ অনুপাত, r = - 6/3 = - 2
পদ সংখ্যা, n = 9

আমরা জানি,
গুণোত্তর ধারার n সংখ্যক পদের সমষ্টি = a(1 - rn)/(1 - r)

৯টি পদের সমষ্টি = 3{1 - (- 2)9}/{1 - (- 2)}
= 3(1 + 512)/(1 + 2)
= (3 × 513)/3
= 513
i
ব্যাখ্যা (Explanation):
কোনো সমান্তর ধারার ১ম পদ a
সাধারণ অন্তর d

আমরা জানি
mতম পদ = a + (m - 1)d
বা, n = a + md - d
বা, a + md - d = n .......................(1)

আবার,
n তম পদ = a + (n - 1)d
বা, m = a + nd - d
বা, a + nd - d = m...................(2)

(1) নং থেকে (2) নং বিয়োগ করে পাই,
a + md - d - (a + nd - d)= n - m
বা, a + md - d - a - nd + d = n - m
বা, md - nd = n - m
বা, d(m - n) = n - m
বা, d = - 1(m - n)/(m - n)
বা, d = - 1
i
ব্যাখ্যা (Explanation):
দেয়া আছে,
{1/(2x + 1)} + {1/(2x + 1)2} + {1/(2x + 1)3} + ...................

x = 3/2 হলে,
{1/(2 × (3/2) + 1)} + {1/(2 × (3/2) + 1)2} + {1/(2 × (3/2) + 1)3} + ...................
1/4 + 1/42 + 1/43 + ...................

∴ সাধারণ অনুপাত = (1/42)/(1/4)
= (1/16)/(1/4)
= (1/16) × (4/1)
= 1/4
i
ব্যাখ্যা (Explanation):
ধারাটির সাধারণ অনুপাত হবে,
q/p, r/q, s/r

∴ q/p = s/r
i
ব্যাখ্যা (Explanation):
এখানে ধারাটির প্রথম পদ a = 1
সাধারণ অন্তর d = 2
এবং পদসংখ্য = n - 1
আমরা জানি, সমান্তর ধারার n সংখ্যক পদের সমষ্টি
= (n/2){2.a + (n - 1)d}

∴ ধারার n - 1 সংখ্যক পদের সমষ্টি
= {(n - 1)/2}{2 × 1 + (n - 1 -1)2}
= {(n - 1)/2}{2 + 2n - 4}
= {(n - 1)/2}{2n - 2}
= {(n - 1)/2} × 2(n - 1)
= (n - 1) × (n - 1)
= (n - 1)2
i
ব্যাখ্যা (Explanation):
মনে করি,
১ম পদ, a = 1/12
সাধারণ অনুপাত, r
= (1/24) ÷ (1/12)
= (1/24) × (12/1)
= 1/2 < 1

ধারাটির অসীমতক সমষ্টি
= a/(1 - r)
= (1/12) ÷ (1 - 1/2)
= (1/12) ÷ (1/2)
= (1/12) × 2
= 1/6

এখানে প্রথম ৩০টি প্রশ্নের ব্যাখ্যা দেখতে পারবেন, বাকি সব প্রশ্নের সম্পূর্ণ ব্যাখ্যা পেতে এখনই অ্যাপ ইন্সটল করুন।

Install App
i
ব্যাখ্যা (Explanation):
ধরি,
ধারার প্রথম পদ, a
সাধারণ অন্তর, d
আমরা জানি,
সমান্তর ধারার n তম পদ,
a + (n - 1)d

∴ ধারাটির x-তম পদ = a + (x - 1)d
∴ ধারাটির y-তম পদ = a + (y - 1)d
∴ ধারাটির (x + y)-তম পদ = a + (x + y - 1)d

প্রশ্নমতে,
a + (x - 1)d = y ……………(1)
a + (y - 1)d = x …………….(2)

(1)নং থেকে (2)নং সমীকরন বিয়োগ করে পাই,
a + (x - 1)d - a + (y - 1)d = y - x
⇒ d(x - 1 - y + 1) = y - x
⇒ d(x - y) = -(x - y)
∴ d = - 1

সুতরাং, (x + y) তম পদ =
a + (x + y - 1)d
= a + (x - 1)d + yd
= y + yd [সমীকরণ (1) থেকে]
= y - y
= 0
সঠিক উত্তর: 0 | ভুল উত্তর: 0