চতুর্ভুজের পরিসীমা ও ক্ষেত্রফল (71 টি প্রশ্ন )
 Back to Subject Page   All Topics
i
ব্যাখ্যা (Explanation):
আয়তক্ষেত্রের পরিসীমা নির্ণয়ের সূত্র হলো ২ × (দৈর্ঘ্য + প্রস্থ)।
ধরা যাক, আয়তক্ষেত্রটির প্রস্থ = x মিটার।
তাহলে, দৈর্ঘ্য = ৩x মিটার।

প্রশ্নানুসারে, ২ × (৩x + x) = ৩২
বা, ২ × ৪x = ৩২
বা, ৮x = ৩২
বা, x = ৪

সুতরাং, প্রস্থ ৪ মিটার এবং দৈর্ঘ্য ৩ × ৪ = ১২ মিটার।
আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল নির্ণয়ের সূত্র হলো দৈর্ঘ্য × প্রস্থ।
ক্ষেত্রফল = ১২ মিটার × ৪ মিটার = ৪৮ বর্গমিটার।
i
ব্যাখ্যা (Explanation):
সিলিন্ডারের আয়তন নির্ণয়ের সূত্র হলো: πr²h, যেখানে r হলো ভূমির ব্যাসার্ধ এবং h হলো উচ্চতা।

এখানে, ব্যাসার্ধ (r) = ৫ সে.মি. এবং উচ্চতা (h) = ৭ সে.মি.।
π (পাই) এর মান প্রায় ২২/৭।

সুতরাং, সিলিন্ডারের আয়তন
= (২২/৭) × (৫)² × ৭ ঘন সে.মি.
= (২২/৭) × ২৫ × ৭ ঘন সে.মি.
= ২২ × ২৫ ঘন সে.মি.
= ৫৫০ ঘন সে.মি.।
i
ব্যাখ্যা (Explanation):
প্রথমে সম্পূর্ণ বাগানের (পথসহ) ক্ষেত্রফল নির্ণয় করতে হবে।
বাগানের দৈর্ঘ্য = ৮০ মিটার
বাগানের প্রস্থ = ৬০ মিটার
পথসহ বাগানের ক্ষেত্রফল = ৮০ × ৬০ = ৪৮০০ বর্গমিটার।

এখন, পথের ভেতরের অংশের (শুধু বাগান) দৈর্ঘ্য ও প্রস্থ নির্ণয় করতে হবে।
যেহেতু পথটি ৪ মিটার প্রশস্ত, তাই ভেতরের অংশের দৈর্ঘ্য হবে ৮০ - (৪+৪) = ৭২ মিটার।
এবং ভেতরের অংশের প্রস্থ হবে ৬০ - (৪+৪) = ৫২ মিটার।

শুধু বাগানের ক্ষেত্রফল (পথ বাদে) = ৭২ × ৫২ = ৩৭৪৪ বর্গমিটার।

পথের ক্ষেত্রফল = (পথসহ বাগানের ক্ষেত্রফল) - (পথ বাদে বাগানের ক্ষেত্রফল)
= ৪৮০০ - ৩৭৪৪ বর্গমিটার
= ১০৫৬ বর্গমিটার।
i
ব্যাখ্যা (Explanation):
ট্রাপিজিয়ামের ক্ষেত্রফল নির্ণয়ের সূত্র হলো: ½ × (সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের যোগফল) × উচ্চতা।

এখানে,
সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের দৈর্ঘ্য যথাক্রমে a = ৮ সে.মি. এবং b = ১২ সে.মি.।
উচ্চতা (মধ্যবর্তী দূরত্ব), h = ৬ সে.মি.।

সূত্রানুযায়ী,
ট্রাপিজিয়ামের ক্ষেত্রফল = ½ × (৮ + ১২) × ৬ বর্গ সে.মি.
= ½ × ২০ × ৬ বর্গ সে.মি.
= ১০ × ৬ বর্গ সে.মি.
= ৬০ বর্গ সে.মি.।
i
ব্যাখ্যা (Explanation):
বৃত্তাকার বাগানটির ব্যাস, d = 9.8 মিটার 
বৃত্তাকার বাগানটির ব্যাসার্ধ, r = 9.8/2 মিটার 
= 4.9 মিটার 

আমরা জানি, 
বৃত্তাকার বাগানটির ক্ষেত্রফল = πr2
= 3.14 × (4.9)2 বর্গমিটার
= 75.39 বর্গমিটার (প্রায়) ।
i
ব্যাখ্যা (Explanation):
বৃত্তাকার বাগানটির ব্যাস, d = 9.8 মিটার 
বৃত্তাকার বাগানটির ব্যাসার্ধ, r = 9.8/2 মিটার 
= 4.9 মিটার 

আমরা জানি, 
বৃত্তাকার বাগানটির ক্ষেত্রফল = πr2
= 3.14 × (4.9)2 বর্গমিটার
= 75.39 বর্গমিটার (প্রায়) ।
i
ব্যাখ্যা (Explanation):
মনে করি,
বৃত্তাকার পার্কের ব্যাসার্ধ, r = 56 মিটার
∴ রাস্তাসহ পার্কের ব্যাসার্ধ, R = (56 + 4) = 60 মিটার
এখন, বৃত্তাকার পার্কের ক্ষেত্রফল = πr2
= (22/7) × 56 × 56 বর্গমিটার 
= 9856 বর্গমিটার 

আবার, 
রাস্তাসহ বৃত্তাকার পার্কের ক্ষেত্রফল = πR2
= 22/7 × 60 × 60 বর্গমিটার 
= 11314.28 বর্গমিটার (প্রায়) 

∴ নির্ণেয় রাস্তার ক্ষেত্রফল = (11314.28 - 9856) বর্গমিটার
= 1458.28 বর্গমিটার (প্রায়)।
i
ব্যাখ্যা (Explanation):
রম্বসের ক্ষেত্রফল বের করার সূত্র হলো:
- ক্ষেত্রফল = (কর্ণ₁ × কর্ণ₂) ÷ 2

প্রদত্ত:
- কর্ণ₁ = 3.25 সেমি
- কর্ণ₂ = 8 সেমি

কর্ণগুলোর গুণফল:
- 3.25 × 8 = 26

2 দিয়ে ভাগ করি:
- 26 ÷ 2 = 13

উত্তর 13 বর্গসেমি
i
ব্যাখ্যা (Explanation):
দেওয়া আছে,
দৈর্ঘ্য ২৫০ মিটার এবং প্রস্থ ১০০ মিটার

আমরা জানি,
আয়তাকার মাঠের ক্ষেত্রফল = (দৈর্ঘ্য × প্রস্থ) বর্গ একক
= ২৫০ × ১০০ = ২৫০০০ বর্গমিটার

আমরা জানি,
১০,০০০ বর্গমিটার = ১ হেক্টর
∴ ২৫০০০ বর্গমিটার = (২৫০০০/১০০০০) হেক্টর
= ২.৫ হেক্টর

এখানে প্রথম ৩০টি প্রশ্নের ব্যাখ্যা দেখতে পারবেন, বাকি সব প্রশ্নের সম্পূর্ণ ব্যাখ্যা পেতে এখনই অ্যাপ ইন্সটল করুন।

Install App
i
ব্যাখ্যা (Explanation):
দেওয়া তথ্য:
আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য = ২৫ সে.মি.
আয়তক্ষেত্রের প্রস্থ = দৈর্ঘ্য - ১০ = ২৫ - ১০ = ১৫ সে.মি.
বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফলের ৩/৫ গুণ

ধাপ ১: আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল নির্ণয়
আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = দৈর্ঘ্য × প্রস্থ
= ২৫ × ১৫ = ৩৭৫ বর্গ সে.মি.

ধাপ ২: বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল নির্ণয়
বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফলের ৩/৫ গুণ
= ৩৭৫ × ৩/৫ = ২২৫ বর্গ সে.মি.

ধাপ ৩: বর্গক্ষেত্রের বাহুর দৈর্ঘ্য নির্ণয়
বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = (বাহু)²
২২৫ = (বাহু)²
বাহু = √২২৫ = ১৫ সে.মি.

ধাপ ৪: বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা নির্ণয়
বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা = ৪ × বাহু
=  ৪ × ১৫ = ৬০ সে.মি.
অতএব, বর্গক্ষেত্রটির পরিসীমা ৬০ সে.মি.
i
ব্যাখ্যা (Explanation):
আমরা জানি,
  - সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল = (ভূমি × উচ্চতা)
  - সামান্তরিকের বিপরীত বাহুগুলো সমান ও সমান্তরাল।
  - সামান্তরিকের কর্ণদ্বয় পরষ্পর অসমান।
i
ব্যাখ্যা (Explanation):
ট্রাপিজিয়ামের ক্ষেত্রফল = (1/2) × (a + b) × h
⇒ 50 = (1/2) × (8 + 12) × h
⇒ 50 = 10h
⇒ h = 5 সেমি
i
ব্যাখ্যা (Explanation):
রম্বসের ক্ষেত্রফল নির্ণয়ের সূত্র:
ক্ষেত্রফল = ½ × (প্রথম কর্ণ × দ্বিতীয় কর্ণ)

এখানে,
প্রথম কর্ণ = 16 সেমি,
দ্বিতীয় কর্ণ = 12 সেমি।

সুতরাং,
ক্ষেত্রফল = ½ × 16 × 12
= 8 × 12
= 96 বর্গ সেমি।
i
ব্যাখ্যা (Explanation):

∆AOD হতে ∠AOD =90°
অর্থ্যাৎ AOD সমকোণী ত্রিভুজ।
অতিভুজ= AD=5 সে.মি.;
AO= 4 সে.মি. এবং OD= 3 সে.মি.
 ∴ AC= 2x4= 8 সে.মি.
এবং BD= 2x3= 6 সে.মি.
রম্বসের ক্ষেত্রফল= 1/2xACxBD= 1/2x6x8 বর্গ সে.মি.
                    = 24 বর্গ সে.মি
i
ব্যাখ্যা (Explanation):
ট্রাপিজিয়ামের ক্ষেত্রফল = (1/2) × সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের যোগফল × উচ্চতা
= (1/2) × 18 × 9 
= 81 

ধরি, বর্গক্ষেত্রের বাহুর দৈর্ঘ্য ক মি.
বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল ক2 বর্গ মি.
প্রশ্নমতে,
ক2 = 81
⇒ ক = 9

∴ বর্গক্ষেত্রের কর্ণের দৈর্ঘ্য = √2ক = 9√2
i
ব্যাখ্যা (Explanation):
সামান্তরিকের বৈশিষ্ট্য:
- সামান্তরিকের চারটি কোণের সমষ্টি চার সমকোণ বা ৩৬০º।

- সামান্তরিকের দুইটি সন্নিহিত কোণের সমষ্টি দুই সমকোণ বা ১৮০º।
- সামান্তরিকের বিপরীত কোণদ্বয় পরস্পর সমান।
- সামান্তরিকের ভূমিকে উচ্চতা দিয়ে গুণ করলে ক্ষেত্রফল পাওয়া যায়।
- সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল এর যে কোন কর্ণদ্বারা গঠিত ত্রিভুজক্ষেত্রের ক্ষেত্রফলের দ্বিগুণের সমান।
- সামান্তরিকের বিপরীত বাহুদ্বয় পরস্পর সমান।
- সামান্তরিকের কর্ণদ্বয় সবসময়ই সামান্তরিকের অভ্যন্তরে অবস্থান করে।
- সামান্তরিকের বিপরীত বাহুদ্বয় পরস্পর সমান্তরাল।
- সামান্তরিকের কর্ণদ্বারা সামান্তরিকটি দুইটি সর্বসম ত্রিভুজে বিভক্ত হয়।
- সামান্তরিকের একটি কর্ণ এর অপর কর্ণ দ্বারা সমদ্বিখণ্ডিত হয়।
- সামান্তরিকের কর্ণদ্বয়ের উপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্রদ্বয়ের সমষ্টি এর বাহুগুলোর উপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্রগুলোর সমষ্টি সমান।
i
ব্যাখ্যা (Explanation):
ABCD একটি রম্বস। 
প্রশ্নানুসারে, AC = 32cm   BD= 18 cm 
রম্বসের কর্ণদ্বয় পরস্পরকে সমকোণে সমদ্বিখণ্ডিত করে। 
AO = CO = 16cm, BO = OD = 9 cm 

ΔAOB এ
OA2 + OB2 = AB2
⇒ 162 + 92 = AB2
⇒ 256 + 81 = AB2
⇒ AB2 = 337
∴ AB = 18.36 
i
ব্যাখ্যা (Explanation):
দেওয়া আছে,
বাগানের ক্ষেত্রফল = ৫১৮০ বর্গমিটার

তাহলে,
বাগানের এক বাহুর দৈর্ঘ্য = √৫১৮০ মিটার
= ৭২ মিটার

এখন,
বাগানটির পরিসীমাই হবে বাগানটির বেড়ার দৈর্ঘ্য।

∴ বাগানটির পরিসীমা = চার বাহুর সমষ্টি
= (৪ × ৭২) মিটার
= ২৮৮ মিটার

∴ বেড়ার দৈর্ঘ্য ২৮৮ মিটার।
i
ব্যাখ্যা (Explanation):
ব্যাসার্ধ r = 12 সে. মি.,
উচ্চতা h হলে,
আয়তন/বক্রতলের ক্ষেত্রফল = (πr2h)/(2πrh)
= r/2
= 12/2
= 6
∴ বেলনের আয়তন বক্রতলের ক্ষেত্রফলের 6 গুণ।

এখানে প্রথম ৩০টি প্রশ্নের ব্যাখ্যা দেখতে পারবেন, বাকি সব প্রশ্নের সম্পূর্ণ ব্যাখ্যা পেতে এখনই অ্যাপ ইন্সটল করুন।

Install App
i
ব্যাখ্যা (Explanation):
ধরি,
PQRS আয়তক্ষেত্রের প্রস্থ, PQ = RS = x মি.
দেওয়া আছে,
আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য, PS = QR = 5√5 মি.
কর্ণের দৈর্ঘ্য, PR = 15 মি.

এখন, PQR সমকোণী ত্রিভুজে,
PQ2 + QR2 = PR2
বা, x2 + (5√5)2 = (15)2
বা, x2 + 125 = 225
বা, x2 = 225 - 125
বা, x2 = 100
বা, x2 = 102
∴ x = 10
আয়তক্ষেত্রের প্রস্থ = 10 মি.
i
ব্যাখ্যা (Explanation):
ধরি,
গোলকের ব্যাসার্ধ = r

আমরা জানি,
গোলকের আয়তন = (4/3)πr3 ঘন একক
= (4/3) × π × (1)3 cm3
= (4/3)π cm3
i
ব্যাখ্যা (Explanation):
আমরা জানি,
বেলনের বক্রতলের ক্ষেত্রফল = 2πrh বর্গ একক ও
আয়তন πr2h ঘন একক।

প্রশ্নমতে,
2πrh = 50
ও πr2h = 125

∴ (2πrh)/(πr2h) = 50/125
বা, 2/r = 2/5
∴ r = 5

∴ বেলনের ভূমির ব্যাসার্ধ 5 মিটার।
i
ব্যাখ্যা (Explanation):
ধরি ,
বর্গের বাহুর দৈর্ঘ্য ২৫ মিটার ।
ক্ষেত্রফল = ২৫২ বর্গমিটার
= ৬২৫ বর্গমিটার 

৪% বেশীতে  বর্গের বাহুর দৈর্ঘ্য ২৫ + ২৫ এর ৪% মিটার = ২৬  মিটার 

 ক্ষেত্রফল = ২৬২ বর্গমিটার
= ৬৭৬ বর্গমিটার


∴ বর্গের ক্ষেত্রফল শতকরা  বেশী হবে = (৬৭৬-৬২৫)/৬২৫ × ১০০ %
=৮.১৬ %
i
ব্যাখ্যা (Explanation):
ধরি, আয়তাকার ক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য ৫ক , প্রস্থ ২ক

আয়তক্ষেত্রের পরিসীমা = ২ ( দৈর্ঘ্য + প্রস্থ )
= ২ ( ৫ক + ২ক )
= ২ × ৭ক
= ১৪ক

প্রশ্নমতে,
১৪ক = ৪২
⇒ ক = ৪২/১৪
∴ ক = ৩ মিটার

আয়তাকার ক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য ১৫ মিটার , প্রস্থ ৬ মিটার

∴ ক্ষেত্রফল = ১৫ × ৬ বর্গমিটার
= ৯০ বর্গমিটার
i
ব্যাখ্যা (Explanation):
আমরা জানি,
বর্গক্ষেত্রের কর্ণের উপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = (কর্ণ)2

পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুসারে, (কর্ণ)2 = (বাহু)2 + (বাহু)2
বা, (কর্ণ)2 = 2 × (বাহু)2
বা, (কর্ণ)2 = 2 × (12)2
বা, (কর্ণ)2 = 2 × 144
∴ (কর্ণ)2 = 288 বর্গমিটার
i
ব্যাখ্যা (Explanation):
দেওয়া আছে,
কাগজের দৈর্ঘ্য = ১০ ইঞ্চি
কাগজের প্রস্থ = ৮.৫ ইঞ্চি

মার্জিন বাদে কাগজের দৈর্ঘ্য = ১০ - (২ × ১.৫) = ৭ ইঞ্চি
মার্জিন বাদে কাগজের প্রস্থ = ৮.৫ - (২ × ১.৫) = ৫.৫ ইঞ্চি

∴ মার্জিন বাদে কাগজের ক্ষেত্রফল = ৭ × ৫.৫ = ৩৮.৫ বর্গ ইঞ্চি
i
ব্যাখ্যা (Explanation):

যদি কোনো চতুর্ভুজ বৃত্তে অন্তর্লিখিত হয় (অর্থাৎ চতুর্ভুজের সব শীর্ষবিন্দু বৃত্তের পরিধিতে থাকে), তবে তার যেকোনো দুইটি বিপরীত কোণের সমষ্টি দুই সমকোণ হয়।

অর্থাৎ,
∠A + ∠C = 180°
∠B + ∠D = 180°

সুতরাং,
বৃত্তে অন্তর্লিখিত চতুর্ভুজের যেকোনো দুইটি বিপরীত কোণের সমষ্টি = 180°
i
ব্যাখ্যা (Explanation):
মনেকরি,
আয়তক্ষেত্রের প্রস্থ = x মিটার
এবং দৈর্ঘ্য = 2x +10 মিটার।
∴ আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = ( 2x +10)  × x
                                    = 2x2 +10x
শর্তমতে,
      2x2 +10x = 600
বা, 2x2+10x - 600 = 0
বা, x2 +5x - 300  = 0
বা, x2 +20x- 15x - 300 = 0
বা, x(x + 20) -15 (x + 20) = 0
বা,   (x + 20) (x -15) = 0
হয়,                                                  অথবা,
 x + 20= 0                                            x - 15 = 0 
 x = -20 [ গ্রহণযোগ্য নয় ]                     x = 15 

আয়তক্ষেত্রের প্রস্থ = 15 মিটার
∴ আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য = 15 ×2 +10 = 40 মিটার

সুতরাং, আয়তক্ষেত্রের পরিসীমা = 2(15 +40) = 110 মিটার
i
ব্যাখ্যা (Explanation):
আমরা জানি,
পূরক কোণদ্বয়ের সমষ্টি = 90°

∴ কোণদ্বয়ের অনুপাত 4/5 = 4 : 5
∴ বৃহত্তম কোণ = 90° × 5/9
= 50°

এখানে প্রথম ৩০টি প্রশ্নের ব্যাখ্যা দেখতে পারবেন, বাকি সব প্রশ্নের সম্পূর্ণ ব্যাখ্যা পেতে এখনই অ্যাপ ইন্সটল করুন।

Install App
i
ব্যাখ্যা (Explanation):
ধরি,
দৈর্ঘ্য = 100 মিটার
প্রস্থ = 100 মিটার
তাহলে, ক্ষেত্রফল = 100 × 100 = 10000 বর্গমিটার

25% বৃদ্বিতে, নতুন দৈর্ঘ্য = 100 + 25 = 125 মিটার
আবার ধরি, নতুন প্রস্থ = a মিটার

প্রশ্নমতে,
125a = 10000
⇒ a = 10000/125
∴ a = 80 মিটার

∴ প্রস্থ হ্রাস করতে হবে = 100 - 80 = 20 মিটার বা 20%
সঠিক উত্তর: 0 | ভুল উত্তর: 0