চতুর্ভুজের পরিসীমা ও ক্ষেত্রফল (109 টি প্রশ্ন )
 Back to Subject Page   All Topics
আয়তক্ষেত্রের পরিসীমা নির্ণয়ের সূত্র হলো ২ × (দৈর্ঘ্য + প্রস্থ)।
ধরা যাক, আয়তক্ষেত্রটির প্রস্থ = x মিটার।
তাহলে, দৈর্ঘ্য = ৩x মিটার।

প্রশ্নানুসারে, ২ × (৩x + x) = ৩২
বা, ২ × ৪x = ৩২
বা, ৮x = ৩২
বা, x = ৪

সুতরাং, প্রস্থ ৪ মিটার এবং দৈর্ঘ্য ৩ × ৪ = ১২ মিটার।
আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল নির্ণয়ের সূত্র হলো দৈর্ঘ্য × প্রস্থ।
ক্ষেত্রফল = ১২ মিটার × ৪ মিটার = ৪৮ বর্গমিটার।
সিলিন্ডারের আয়তন নির্ণয়ের সূত্র হলো: πr²h, যেখানে r হলো ভূমির ব্যাসার্ধ এবং h হলো উচ্চতা।

এখানে, ব্যাসার্ধ (r) = ৫ সে.মি. এবং উচ্চতা (h) = ৭ সে.মি.।
π (পাই) এর মান প্রায় ২২/৭।

সুতরাং, সিলিন্ডারের আয়তন
= (২২/৭) × (৫)² × ৭ ঘন সে.মি.
= (২২/৭) × ২৫ × ৭ ঘন সে.মি.
= ২২ × ২৫ ঘন সে.মি.
= ৫৫০ ঘন সে.মি.।
প্রথমে সম্পূর্ণ বাগানের (পথসহ) ক্ষেত্রফল নির্ণয় করতে হবে।
বাগানের দৈর্ঘ্য = ৮০ মিটার
বাগানের প্রস্থ = ৬০ মিটার
পথসহ বাগানের ক্ষেত্রফল = ৮০ × ৬০ = ৪৮০০ বর্গমিটার।

এখন, পথের ভেতরের অংশের (শুধু বাগান) দৈর্ঘ্য ও প্রস্থ নির্ণয় করতে হবে।
যেহেতু পথটি ৪ মিটার প্রশস্ত, তাই ভেতরের অংশের দৈর্ঘ্য হবে ৮০ - (৪+৪) = ৭২ মিটার।
এবং ভেতরের অংশের প্রস্থ হবে ৬০ - (৪+৪) = ৫২ মিটার।

শুধু বাগানের ক্ষেত্রফল (পথ বাদে) = ৭২ × ৫২ = ৩৭৪৪ বর্গমিটার।

পথের ক্ষেত্রফল = (পথসহ বাগানের ক্ষেত্রফল) - (পথ বাদে বাগানের ক্ষেত্রফল)
= ৪৮০০ - ৩৭৪৪ বর্গমিটার
= ১০৫৬ বর্গমিটার।
ট্রাপিজিয়ামের ক্ষেত্রফল নির্ণয়ের সূত্র হলো: ½ × (সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের যোগফল) × উচ্চতা।

এখানে,
সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের দৈর্ঘ্য যথাক্রমে a = ৮ সে.মি. এবং b = ১২ সে.মি.।
উচ্চতা (মধ্যবর্তী দূরত্ব), h = ৬ সে.মি.।

সূত্রানুযায়ী,
ট্রাপিজিয়ামের ক্ষেত্রফল = ½ × (৮ + ১২) × ৬ বর্গ সে.মি.
= ½ × ২০ × ৬ বর্গ সে.মি.
= ১০ × ৬ বর্গ সে.মি.
= ৬০ বর্গ সে.মি.।
বাক্সের দৈর্ঘ্য = ২ মিটার
বাক্সের প্রস্থ = ১.৫০ মিটার
          
বাক্সের উচ্চতা = ১ মিটার

বাক্সটির আয়তন = (২ × ১.৫ × ১) ঘন মিটার
                    = ৩ ঘন মিটার

প্রশ্নমতে, a³ = 343x³

           ⇒ a³ = (7x)³

         ∴ a = 7x
বৃত্তাকার বাগানটির ব্যাস, d = 9.8 মিটার 
বৃত্তাকার বাগানটির ব্যাসার্ধ, r = 9.8/2 মিটার 
= 4.9 মিটার 

আমরা জানি, 
বৃত্তাকার বাগানটির ক্ষেত্রফল = πr2
= 3.14 × (4.9)2 বর্গমিটার
= 75.39 বর্গমিটার (প্রায়) ।
বৃত্তাকার বাগানটির ব্যাস, d = 9.8 মিটার 
বৃত্তাকার বাগানটির ব্যাসার্ধ, r = 9.8/2 মিটার 
= 4.9 মিটার 

আমরা জানি, 
বৃত্তাকার বাগানটির ক্ষেত্রফল = πr2
= 3.14 × (4.9)2 বর্গমিটার
= 75.39 বর্গমিটার (প্রায়) ।
মনে করি,
বৃত্তাকার পার্কের ব্যাসার্ধ, r = 56 মিটার
∴ রাস্তাসহ পার্কের ব্যাসার্ধ, R = (56 + 4) = 60 মিটার
এখন, বৃত্তাকার পার্কের ক্ষেত্রফল = πr2
= (22/7) × 56 × 56 বর্গমিটার 
= 9856 বর্গমিটার 

আবার, 
রাস্তাসহ বৃত্তাকার পার্কের ক্ষেত্রফল = πR2
= 22/7 × 60 × 60 বর্গমিটার 
= 11314.28 বর্গমিটার (প্রায়) 

∴ নির্ণেয় রাস্তার ক্ষেত্রফল = (11314.28 - 9856) বর্গমিটার
= 1458.28 বর্গমিটার (প্রায়)।

ফ্রিতে ২ লাখ প্রশ্নের টপিক, সাব-টপিক ভিত্তিক ও ১০০০+ জব শুলুশন্স বিস্তারিতে ব্যাখ্যাসহ পড়তে ও আপনার পড়ার ট্র্যাকিং রাখতে সাইটে লগইন করুন।

লগইন করুন
রম্বসের ক্ষেত্রফল বের করার সূত্র হলো:
- ক্ষেত্রফল = (কর্ণ₁ × কর্ণ₂) ÷ 2

প্রদত্ত:
- কর্ণ₁ = 3.25 সেমি
- কর্ণ₂ = 8 সেমি

কর্ণগুলোর গুণফল:
- 3.25 × 8 = 26

2 দিয়ে ভাগ করি:
- 26 ÷ 2 = 13

উত্তর 13 বর্গসেমি
রাস্তাসহ আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য ৪০ মিটার
রাস্তা বাদে আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য (৪০ - ২ × ২) মিটার = ৩৬ মিটার

রাস্তাসহ আয়তক্ষেত্রের প্রস্থ ৩০ মিটার
রাস্তা বাদে আয়তক্ষেত্রের প্রস্থ (৩০ - ২ × ২) মিটার = ২৬ মিটার

রাস্তাসহ আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = (৪০ × ৩০) বর্গমিটার
= ১২০০ বর্গমিটার

রাস্তাবাদে আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = (৩৬ × ২৬) বর্গমিটার
= ৯৩৬ বর্গমিটার

∴ রাস্তার ক্ষেত্রফল = (১২০০ - ৯৩৬) বর্গমিটার
= ২৬৪ বর্গমিটার
দেওয়া আছে,
দৈর্ঘ্য ২৫০ মিটার এবং প্রস্থ ১০০ মিটার

আমরা জানি,
আয়তাকার মাঠের ক্ষেত্রফল = (দৈর্ঘ্য × প্রস্থ) বর্গ একক
= ২৫০ × ১০০ = ২৫০০০ বর্গমিটার

আমরা জানি,
১০,০০০ বর্গমিটার = ১ হেক্টর
∴ ২৫০০০ বর্গমিটার = (২৫০০০/১০০০০) হেক্টর
= ২.৫ হেক্টর
মনে করি, 
আয়তক্ষেত্রটির দৈর্ঘ্য = x মিটার 
∴ আয়তক্ষেত্রটির প্রস্থ = (x - ২৩) মিটার 
∴ আয়তক্ষেত্রটির পরিসীমা = ২ {x + (x - ২৩)} মিটার 
= ২ (২x - ২৩) মিটার 
= (৪x - ৪৬) মিটার 

প্রশ্নমতে, 
৪x - ৪৬ = ২০৬ 
বা, ৪x = ২০৬ + ৪৬ 
বা, ৪x = ২৫২ 
বা, x = ২৫২/৪ 
∴ x = ৬৩ 
অর্থাৎ, আয়তক্ষেত্রটির দৈর্ঘ্য = ৬৩ মিটার 
∴ আয়তক্ষেত্রটির প্রস্থ = (৬৩ - ২৩) মিটার 
= ৪০ মিটার 

∴ আয়তক্ষেত্রটির ক্ষেত্রফল = (দৈর্ঘ্য × প্রস্থ) বর্গমিটার 
= (৬৩ × ৪০) বর্গমিটার 
= ২৫২০ বর্গমিটার।
দেওয়া আছে:
- পরিসীমা = 16 সেমি
- কর্ণ = 4 সেমি

 ধরি:
 দৈর্ঘ্য = l
 প্রস্থ = w

সূত্র:
1. পরিসীমা = 2(l + w) = 16
=> l + w = 8

2. কর্ণ = √(l² + w²) = 4
=> l² + w² = 16

এখন:
(l + w)² = l² + 2lw + w²
8² = 16 + 2lw
64 = 16 + 2lw
2lw = 48
lw = 24

ক্ষেত্রফল = l × w = 24 বর্গ সেমি
আমরা জানি,
রম্বসের ক্ষেত্রফল = 1/2 × কর্ণদ্বয়ের গুণফল
                      = (1/2) × 40 × 60
                      = 1200 বর্গ সে.মি.
দেওয়া আছে,
কর্ণের দৈর্ঘ্য = 8√2 একক

যদি বর্গক্ষেত্রের বাহুর দৈর্ঘ্য = a একক হয়
তাহলে কর্ণের দৈর্ঘ্য = a√2 একক
সুতরাং, a√2 = 8√2
∴ a = 8 একক

বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা = 4 × বাহুর দৈর্ঘ্য
= 4 × 8
= 32 একক
দেওয়া তথ্য:
আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য = ২৫ সে.মি.
আয়তক্ষেত্রের প্রস্থ = দৈর্ঘ্য - ১০ = ২৫ - ১০ = ১৫ সে.মি.
বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফলের ৩/৫ গুণ

ধাপ ১: আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল নির্ণয়
আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = দৈর্ঘ্য × প্রস্থ
= ২৫ × ১৫ = ৩৭৫ বর্গ সে.মি.

ধাপ ২: বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল নির্ণয়
বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফলের ৩/৫ গুণ
= ৩৭৫ × ৩/৫ = ২২৫ বর্গ সে.মি.

ধাপ ৩: বর্গক্ষেত্রের বাহুর দৈর্ঘ্য নির্ণয়
বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = (বাহু)²
২২৫ = (বাহু)²
বাহু = √২২৫ = ১৫ সে.মি.

ধাপ ৪: বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা নির্ণয়
বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা = ৪ × বাহু
=  ৪ × ১৫ = ৬০ সে.মি.
অতএব, বর্গক্ষেত্রটির পরিসীমা ৬০ সে.মি.
যে চতুর্ভুজ এর বিপরীত বাহুদ্বয় পরস্পর সমান ও সমান্তরাল কিন্তু কোনো কোণই সমকোণ নয় তাকে সামান্তরিক বলা হয় ।সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল =ভূমি × উচ্চতা
প্রথম গোলকের আয়তন = 4/3 πr³₁
দ্বিতীয় গোলকের আয়তন =  4/3πr³₂

প্রশ্নমতে, r³₁/r³₂=8/27
বা,r³₁/r³₂=2³/3³
বা,r₁/r₂=2/3

4πr²₁/4πr²₂= 4/9 [গোলকের ক্ষেত্রফল =4πr²]
অতএব ,এদের অনুপাত 4:9

ফ্রিতে ২ লাখ প্রশ্নের টপিক, সাব-টপিক ভিত্তিক ও ১০০০+ জব শুলুশন্স বিস্তারিতে ব্যাখ্যাসহ পড়তে ও আপনার পড়ার ট্র্যাকিং রাখতে সাইটে লগইন করুন।

লগইন করুন
আমরা জানি,
  - সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল = (ভূমি × উচ্চতা)
  - সামান্তরিকের বিপরীত বাহুগুলো সমান ও সমান্তরাল।
  - সামান্তরিকের কর্ণদ্বয় পরষ্পর অসমান।
ধরি,
দৈর্ঘ্য = x 
প্রস্থ = y

সুতরাং, ক্ষেত্রফল = xy

১ম শর্তমতে, (x - 5)(y + 3) = xy
বা, xy + 3x - 5y - 15 = xy
বা, 3x - 5y - 15 = 0 …........(i)

২য় শর্তমতে,
(x + 5)(y - 2) = xy
বা, xy - 2x + 5y - 10 = xy
বা, 2x - 5y + 10 = 0 ..............(ii)

(i) - (ii) ⇒
x - 25 = 0
x = 25

∴ আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য = 25 মিটার।
এবং প্রস্থ = 12 মিটার।
বর্গক্ষেত্রের বাহুর দৈর্ঘ্য 4 সেমি
বর্গের কর্ণের দৈর্ঘ্য = √2 × বাহু
= 4√2 সেমি

প্রশ্নমতে, বৃত্তের ব্যাস = বর্গের কর্ণের দৈর্ঘ্য বৃত্তের ব্যাস = 4√2   [যেহেতু বর্গক্ষেত্রটি বৃত্তে পরিলিখিত]

বৃত্তের ব্যাসার্ধ, r = 4√2/2 = 2√2 সে.মি.

আমরা জানি, বৃত্তের ক্ষেত্রফল = πr2 = π(2√2)2 = 8π বর্গসেমি
ট্রাপিজিয়ামের ক্ষেত্রফল = (1/2) × (a + b) × h
⇒ 50 = (1/2) × (8 + 12) × h
⇒ 50 = 10h
⇒ h = 5 সেমি
রম্বসের ক্ষেত্রফল নির্ণয়ের সূত্র:
ক্ষেত্রফল = ½ × (প্রথম কর্ণ × দ্বিতীয় কর্ণ)

এখানে,
প্রথম কর্ণ = 16 সেমি,
দ্বিতীয় কর্ণ = 12 সেমি।

সুতরাং,
ক্ষেত্রফল = ½ × 16 × 12
= 8 × 12
= 96 বর্গ সেমি।

∆AOD হতে ∠AOD =90°
অর্থ্যাৎ AOD সমকোণী ত্রিভুজ।
অতিভুজ= AD=5 সে.মি.;
AO= 4 সে.মি. এবং OD= 3 সে.মি.
 ∴ AC= 2x4= 8 সে.মি.
এবং BD= 2x3= 6 সে.মি.
রম্বসের ক্ষেত্রফল= 1/2xACxBD= 1/2x6x8 বর্গ সে.মি.
                    = 24 বর্গ সে.মি
ট্রাপিজিয়ামের ক্ষেত্রফল = (1/2) × সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের যোগফল × উচ্চতা
= (1/2) × 18 × 9 
= 81 

ধরি, বর্গক্ষেত্রের বাহুর দৈর্ঘ্য ক মি.
বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল ক2 বর্গ মি.
প্রশ্নমতে,
ক2 = 81
⇒ ক = 9

∴ বর্গক্ষেত্রের কর্ণের দৈর্ঘ্য = √2ক = 9√2
সামান্তরিকের বৈশিষ্ট্য:
- সামান্তরিকের চারটি কোণের সমষ্টি চার সমকোণ বা ৩৬০º।

- সামান্তরিকের দুইটি সন্নিহিত কোণের সমষ্টি দুই সমকোণ বা ১৮০º।
- সামান্তরিকের বিপরীত কোণদ্বয় পরস্পর সমান।
- সামান্তরিকের ভূমিকে উচ্চতা দিয়ে গুণ করলে ক্ষেত্রফল পাওয়া যায়।
- সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল এর যে কোন কর্ণদ্বারা গঠিত ত্রিভুজক্ষেত্রের ক্ষেত্রফলের দ্বিগুণের সমান।
- সামান্তরিকের বিপরীত বাহুদ্বয় পরস্পর সমান।
- সামান্তরিকের কর্ণদ্বয় সবসময়ই সামান্তরিকের অভ্যন্তরে অবস্থান করে।
- সামান্তরিকের বিপরীত বাহুদ্বয় পরস্পর সমান্তরাল।
- সামান্তরিকের কর্ণদ্বারা সামান্তরিকটি দুইটি সর্বসম ত্রিভুজে বিভক্ত হয়।
- সামান্তরিকের একটি কর্ণ এর অপর কর্ণ দ্বারা সমদ্বিখণ্ডিত হয়।
- সামান্তরিকের কর্ণদ্বয়ের উপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্রদ্বয়ের সমষ্টি এর বাহুগুলোর উপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্রগুলোর সমষ্টি সমান।
ABCD একটি রম্বস। 
প্রশ্নানুসারে, AC = 32cm   BD= 18 cm 
রম্বসের কর্ণদ্বয় পরস্পরকে সমকোণে সমদ্বিখণ্ডিত করে। 
AO = CO = 16cm, BO = OD = 9 cm 

ΔAOB এ
OA2 + OB2 = AB2
⇒ 162 + 92 = AB2
⇒ 256 + 81 = AB2
⇒ AB2 = 337
∴ AB = 18.36 
দেওয়া আছে,
কাগজের দৈর্ঘ্য = ১২ ইঞ্চি
কাগজের প্রস্থ = ৯.২ ইঞ্চি

মার্জিন বাদে কাগজের দৈর্ঘ্য = ১২ - (২ × ২.৫) = ৭ ইঞ্চি
মার্জিন বাদে কাগজের প্রস্থ = ৯.২ - (২ × ২.৫) = ৪.২ ইঞ্চি

∴ মার্জিন বাদে কাগজের ক্ষেত্রফল = ৭ × ৪.২ = ২৯.৪ বর্গ ইঞ্চি

ফ্রিতে ২ লাখ প্রশ্নের টপিক, সাব-টপিক ভিত্তিক ও ১০০০+ জব শুলুশন্স বিস্তারিতে ব্যাখ্যাসহ পড়তে ও আপনার পড়ার ট্র্যাকিং রাখতে সাইটে লগইন করুন।

লগইন করুন
দেওয়া আছে,
বাগানের ক্ষেত্রফল = ৫১৮০ বর্গমিটার

তাহলে,
বাগানের এক বাহুর দৈর্ঘ্য = √৫১৮০ মিটার
= ৭২ মিটার

এখন,
বাগানটির পরিসীমাই হবে বাগানটির বেড়ার দৈর্ঘ্য।

∴ বাগানটির পরিসীমা = চার বাহুর সমষ্টি
= (৪ × ৭২) মিটার
= ২৮৮ মিটার

∴ বেড়ার দৈর্ঘ্য ২৮৮ মিটার।
সঠিক উত্তর: 0 | ভুল উত্তর: 0