চতুর্ভুজের পরিসীমা ও ক্ষেত্রফল (76 টি প্রশ্ন )
রম্বসের ক্ষেত্রফল =  1/2 ​ × d1 ​ × d2 ​ 
এখানে, d1 ​= 16, d2 ​= 12

∴ ক্ষেত্রফল = 1/2 × 16 × 12 = 96 বর্গ সেমি।

∆AOD হতে ∠AOD =90°
অর্থ্যাৎ AOD সমকোণী ত্রিভুজ।
অতিভুজ= AD=5 সে.মি.;
AO= 4 সে.মি. এবং OD= 3 সে.মি.
 ∴ AC= 2x4= 8 সে.মি.
এবং BD= 2x3= 6 সে.মি.
রম্বসের ক্ষেত্রফল= 1/2xACxBD= 1/2x6x8 বর্গ সে.মি.
                    = 24 বর্গ সে.মি
ট্রাপিজিয়ামের ক্ষেত্রফল = (1/2) × সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের যোগফল × উচ্চতা
= (1/2) × 18 × 9 
= 81 

ধরি, বর্গক্ষেত্রের বাহুর দৈর্ঘ্য ক মি.
বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল কবর্গ মি.
প্রশ্নমতে,
2 = 81
⇒ ক = 9

∴ বর্গক্ষেত্রের কর্ণের দৈর্ঘ্য = √2ক = 9√2
সামান্তরিকের বৈশিষ্ট্য:
- সামান্তরিকের চারটি কোণের সমষ্টি চার সমকোণ বা ৩৬০º।

- সামান্তরিকের দুইটি সন্নিহিত কোণের সমষ্টি দুই সমকোণ বা ১৮০º
- সামান্তরিকের বিপরীত কোণদ্বয় পরস্পর সমান।
- সামান্তরিকের ভূমিকে উচ্চতা দিয়ে গুণ করলে ক্ষেত্রফল পাওয়া যায়।
- সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল এর যে কোন কর্ণদ্বারা গঠিত ত্রিভুজক্ষেত্রের ক্ষেত্রফলের দ্বিগুণের সমান।
- সামান্তরিকের বিপরীত বাহুদ্বয় পরস্পর সমান।
- সামান্তরিকের কর্ণদ্বয় সবসময়ই সামান্তরিকের অভ্যন্তরে অবস্থান করে।
- সামান্তরিকের বিপরীত বাহুদ্বয় পরস্পর সমান্তরাল।
- সামান্তরিকের কর্ণদ্বারা সামান্তরিকটি দুইটি সর্বসম ত্রিভুজে বিভক্ত হয়।
- সামান্তরিকের একটি কর্ণ এর অপর কর্ণ দ্বারা সমদ্বিখণ্ডিত হয়।
- সামান্তরিকের কর্ণদ্বয়ের উপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্রদ্বয়ের সমষ্টি এর বাহুগুলোর উপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্রগুলোর সমষ্টি সমান।
ABCD একটি রম্বস। 
প্রশ্নানুসারে, AC = 32cm   BD= 18 cm 
রম্বসের কর্ণদ্বয় পরস্পরকে সমকোণে সমদ্বিখণ্ডিত করে। 
AO = CO = 16cm, BO = OD = 9 cm 

ΔAOB এ
OA2 + OB2 = AB2
⇒ 162 + 92 = AB2
⇒ 256 + 81 = AB2
⇒ AB2 = 337
∴ AB = 18.36 
দেওয়া আছে,
কাগজের দৈর্ঘ্য = ১২ ইঞ্চি
কাগজের প্রস্থ = ৯.২ ইঞ্চি

মার্জিন বাদে কাগজের দৈর্ঘ্য = ১২ - (২ × ২.৫) = ৭ ইঞ্চি
মার্জিন বাদে কাগজের প্রস্থ = ৯.২ - (২ × ২.৫) = ৪.২ ইঞ্চি

∴ মার্জিন বাদে কাগজের ক্ষেত্রফল = ৭ × ৪.২ = ২৯.৪ বর্গ ইঞ্চি
দেওয়া আছে,
বাগানের ক্ষেত্রফল = ৫১৮০ বর্গমিটার

তাহলে,
বাগানের এক বাহুর দৈর্ঘ্য = √৫১৮০ মিটার
= ৭২ মিটার

এখন,
বাগানটির পরিসীমাই হবে বাগানটির বেড়ার দৈর্ঘ্য।

∴ বাগানটির পরিসীমা = চার বাহুর সমষ্টি
= (৪ × ৭২) মিটার
= ২৮৮ মিটার

∴ বেড়ার দৈর্ঘ্য ২৮৮ মিটার।
প্রস্থ = a, দৈর্ঘ্য = a + 1
∴ পরিসীমা = 2(a + a + 1) = 14
বা, 2a + 1 = 7
বা, 2a = 6
∴ a = 3
∴ দৈর্ঘ্য = 4, প্রস্থ = 3
∴ কর্ণ = √(16 + 9) = 5
ধরি,
দৈর্ঘ্য = a ও প্রস্থ b মি.
∴ ক্ষেত্রফল = ab = 120 বর্গমি.
প্রশ্নমতে, a2 + b2 = 172
বা, (a + b)2 - 2ab = 289
বা, (a + b)2 - 2.120 = 289
বা, (a + b)2 = 529
বা, a + b = 23

∴ পরিসীমা = 2 (a + b) = 46 মি.
ব্যাসার্ধ r = 12 সে. মি.,
উচ্চতা h হলে,
আয়তন/বক্রতলের ক্ষেত্রফল = (πr2h)/(2πrh)
= r/2
= 12/2
= 6
∴ বেলনের আয়তন বক্রতলের ক্ষেত্রফলের 6 গুণ।
ধরি,
PQRS আয়তক্ষেত্রের প্রস্থ, PQ = RS = x মি.
দেওয়া আছে,
আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য, PS = QR = 5√5 মি.
কর্ণের দৈর্ঘ্য, PR = 15 মি.

এখন, PQR সমকোণী ত্রিভুজে,
PQ2 + QR2 = PR2
বা, x2 + (5√5)2 = (15)2
বা, x2 + 125 = 225
বা, x2 = 225 - 125
বা, x2 = 100
বা, x2 = 102
∴ x = 10
আয়তক্ষেত্রের প্রস্থ = 10 মি.
ধরি,
গোলকের ব্যাসার্ধ = r

আমরা জানি,
গোলকের আয়তন = (4/3)πr3 ঘন একক
= (4/3) × π × (1)3 cm3
= (4/3)π cm3
ধরি,
চাকার ব্যাস ২r সে.মি.

এখানে,
চাকার পরিধি = লোহার তারের দৈর্ঘ্য
বা, ২πr = ৩১৪
বা, ২r = ৩১৪/π
বা, ২r = ৩১৪/৩.১৪
বা, ২r = (৩১৪ × ১০০)/৩১৪
∴ ২r = ১০০

∴ চাকার ব্যাস ১০০ সে.মি.


মনে করি, ABCD একটি রম্বস ।
দেওয়া আছে, পরিসীমা = 180 সে.মি.
ক্ষুদ্রতম কর্ণ, BD = 54 সে.মি.

রম্বসের বাহুর দৈর্ঘ্য, AB = 180/4 সে.মি.
                              = 45 সে.মি. ['.' রম্বসের পরিসীমা 4 × a (বাহু) )

রম্বসের AC ও BD কর্ণদ্বয় পরস্পর O বিন্দুতে ছেদ করে ।
আমরা জানি, রম্বসের কর্ণদ্বয় পরস্পর সমকোণে সমদ্বিখন্ডিত হয় ।

.: OB = BD/2
         = 54/2 সে.মি.
         = 27 সে.মি.

AOB সমকোণী ত্রিভুজে,
AB2 = OB2 + OA2 [পীথাগোরাসের উপপাদ্য অনুসারে]
⇒ (45)2 = (27)2 + (OA)2
⇒ (OA)2 = (45)2 – (27)2 
             = (45 +27) (45 – 27 )
             = 72 × 18
             = 36 × 2 × 18
             = 36 × 36
⇒ OA = √(36)2     
∴ OA = 36

অপর কর্ণ, AC = 2 × OA = 2 × 36 = 72 সে.মি.

∴ ABCD রম্বসের ক্ষেত্রফল = (72 × 54)/2 বর্গ সে.মি.
                              = (36 × 54) বর্গ সে.মি.
                              = 1944 বর্গ সে.মি.

ধরি ,
বর্গের বাহুর দৈর্ঘ্য ২৫ মিটার ।
ক্ষেত্রফল = ২৫ বর্গমিটার
= ৬২৫ বর্গমিটার 

৪% বেশীতে  বর্গের বাহুর দৈর্ঘ্য ২৫ + ২৫ এর ৪% মিটার = ২৬  মিটার 

 ক্ষেত্রফল = ২৬ বর্গমিটার
= ৬৭৬ বর্গমিটার


∴ বর্গের ক্ষেত্রফল শতকরা  বেশী হবে = (৬৭৬-৬২৫)/৬২৫ × ১০০ %
=৮.১৬ %
ধরি, আয়তাকার ক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য ৫ক , প্রস্থ ২ক

আয়তক্ষেত্রের পরিসীমা = ২ ( দৈর্ঘ্য + প্রস্থ )
= ২ ( ৫ক + ২ক )
= ২ × ৭ক
= ১৪ক

প্রশ্নমতে,
১৪ক = ৪২
⇒ ক = ৪২/১৪
∴ ক = ৩ মিটার

আয়তাকার ক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য ১৫ মিটার , প্রস্থ ৬ মিটার

∴ ক্ষেত্রফল = ১৫ × ৬ বর্গমিটার
= ৯০ বর্গমিটার
আমরা জানি,
বর্গক্ষেত্রের কর্ণের উপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = (কর্ণ)2

পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুসারে, (কর্ণ)2 = (বাহু)2 + (বাহু)2
বা, (কর্ণ)2 = 2 × (বাহু)2
বা, (কর্ণ)2 = 2 × (12)2
বা, (কর্ণ)2 = 2 × 144
∴ (কর্ণ)2 = 288 বর্গমিটার
দেওয়া আছে,
কাগজের দৈর্ঘ্য = ১০ ইঞ্চি
কাগজের প্রস্থ = ৮.৫ ইঞ্চি

মার্জিন বাদে কাগজের দৈর্ঘ্য = ১০ - (২ × ১.৫) = ৭ ইঞ্চি
মার্জিন বাদে কাগজের প্রস্থ = ৮.৫ - (২ × ১.৫) = ৫.৫ ইঞ্চি

∴ মার্জিন বাদে কাগজের ক্ষেত্রফল = ৭ × ৫.৫ = ৩৮.৫ বর্গ ইঞ্চি
দেওয়া আছে,
বাগানের ক্ষেত্রফল = ১৬০০ বর্গমিটার

তাহলে,
বাগানের এক বাহুর দৈর্ঘ্য = √১৬০০ মিটার
= ৪০ মিটার

এখন,
বাগানটির পরিসীমাই হবে বাগানটির বেড়ার দৈর্ঘ্য।

∴ বাগানটির পরিসীমা = চার বাহুর সমষ্টি
= (৪ × ৪০) মিটার
= ১৬০ মিটার

∴ বেড়ার দৈর্ঘ্য ১৬০ মিটার।
বৃত্তে অন্তলিখিত চতুর্ভুজের যেকোনো দুইটি বিপরীত কোণের সমষ্টি দুই সমকোণ।
মনেকরি,
আয়তক্ষেত্রের প্রস্থ = x মিটার
এবং দৈর্ঘ্য = 2x +10 মিটার।
∴ আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = ( 2x +10)  × x
                                    = 2x2 +10x
শর্তমতে,
      2x2 +10x = 600
বা, 2x2+10x - 600 = 0
বা, x2 +5x - 300  = 0
বা, x2 +20x- 15x - 300 = 0
বা, x(x + 20) -15 (x + 20) = 0
বা,   (x + 20) (x -15) = 0
হয়,                                                  অথবা,
 x + 20= 0                                            x - 15 = 0 
 x = -20 [ গ্রহণযোগ্য নয় ]                     x = 15 

আয়তক্ষেত্রের প্রস্থ = 15 মিটার
∴ আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য = 15 ×2 +10 = 40 মিটার

সুতরাং, আয়তক্ষেত্রের পরিসীমা = 2(15 +40) = 110 মিটার
আমরা জানি,
পূরক কোণদ্বয়ের সমষ্টি = 90°

∴ কোণদ্বয়ের অনুপাত 4/5 = 4 : 5
∴ বৃহত্তম কোণ = 90° × 5/9
= 50°
ধরি,
দৈর্ঘ্য = 100 মিটার
প্রস্থ = 100 মিটার
তাহলে, ক্ষেত্রফল = 100 × 100 = 10000 বর্গমিটার

25% বৃদ্বিতে, নতুন দৈর্ঘ্য = 100 + 25 = 125 মিটার
আবার ধরি, নতুন প্রস্থ = a মিটার

প্রশ্নমতে,
125a = 10000
⇒ a = 10000/125
∴ a = 80 মিটার

∴ প্রস্থ হ্রাস করতে হবে = 100 - 80 = 20 মিটার বা 20%
আমরা জানি,
একটি সামান্তরিকের দুটি সন্নিহিত কোণের সমষ্টি = ১৮০ ডিগ্রি

দেওয়া আছে,
একটি কোণ = ৭০ ডিগ্রি

∴ অপর কোণটি = ১৮০ - ৭০ = ১১০ ডিগ্রি
সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল = ভূমি × উচ্চতা 
                             = ৪ × ৩ 
                             = ১২ বর্গফুট 


মেঝেটির এক পাশের দৈর্ঘ্য=√১৯৬০০=১৪০ ফুট



পরিসীমা=২(৬x+৫x)=২২x
ক্ষেত্রফল=৬x×৫x=৩০x2
      =৩০×৬=১০৮০ বর্গমিটার
বাগানের দৈর্ঘ্য =২৪ এর ১(১/২)
         =(২৪ এর ৩/২) মিটার
         =৩৬ মিটার
অতএব বাগানের পরিসীমা =২(দৈর্ঘ্য+প্রস্থ)
                 =২(৩৬+২৪)মিটার
                 =১২০ মিটার
ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল  =1/2 ×(10 ×10 ×sin45º)
  =1/2 ×(10 ×10 ×1/√2 )
  =50×(1/√2)
  =25×2×(1/√2)
  =25×√2×√2×(1/√2)
  =25√2
সঠিক উত্তর: 0 | ভুল উত্তর: 0