ধারা (99 টি প্রশ্ন )
 Back to Subject Page   All Topics

- n সংখ্যক স্বাভাবিক সংখ্যার সমষ্টি 1+2+3+.....+n = n(n + 1)/2

- n সংখ্যক স্বাভাবিক সংখ্যার বর্গের সমষ্টি 1²+2²+3²+.......+n² =n(n+1)(2n+1)/6

- n সংখ্যক স্বাভাবিক সংখ্যার ঘনের সমষ্টি 13+23+33+.........+n3= {n(n+1)/2}2
আমরা জানি, প্রথম n সংখ্যক স্বাভাবিক সংখ্যার ঘনের সমষ্টির সূত্র: 1³ + 2³ + 3³ + ... + n³ = [n(n+1)/2]²
এবং প্রথম n সংখ্যক স্বাভাবিক সংখ্যার সমষ্টির সূত্র: 1 + 2 + 3 + ... + n = n(n+1)/2

প্রশ্ন অনুসারে,
[n(n+1)/2]² / [n(n+1)/2] = 210
⇒ n(n+1)/2 = 210
⇒ n(n+1) = 420
⇒ n² + n - 420 = 0
⇒ n² + 21n - 20n - 420 = 0
⇒ n(n + 21) - 20(n + 21) = 0
⇒ (n - 20)(n + 21) = 0
⇒ n = 20 অথবা n = -21
যেহেতু n ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা, তাই n = 20।

সুতরাং, n এর মান 20।

প্রদত্ত ধারাটি 1-1+1-1 + ...... একটি গুণোত্তর ধারা । 

যারা প্রথম পদ a = 1. 

 সাধারণ অনুপাত r = -1/1 = -1 < 1 

 আমরা জানি, 

কোনো গুণোত্তর ধারার প্রথম n পদের সমষ্টি sn = a(1-rn )/1-r  

   প্রদত্ত ধারার (2n+1) পদের সমষ্টি 

      = a(1- r2n+1 )/1-r 

      = 1{1-(-1)2n+1 }/1-(-1) 

      = 1-(-1)2n  (-1)/2 

     = 1-(1)(-1)/2           [n e হওয়ায় (-1)2n  = 1]  

     = 2/2 = 1 

(প্রিলির জন্য শর্ট ট্রিক-  1-1+1-1 এখানে একটি ধনাত্বক 1 & তারপরেই একটি ঋনাত্বক 1. এভাবে প্রতি জোড়া ধনাত্বক ঋনাত্বক 1 মিলে শূন্য হয়ে যাবে। অর্থাৎ সিরিজে জোড় সংখ্যক উপাদান থাকলে উত্তর=০, এবং বিজোড় সংখ্যক উপাদান থাকলে উত্তর=1.
এখানে (2n+1) একটি বিজোড় সংখ্যা সুতরাং উত্তর হবে 1 )
প্রথম পদ a = 3,
সাধারণ অন্তর d = ?
পদ সংখ্যা = n

আমরা জানি
সমষ্টি = (3 + 99) × পদসংখ্যা/2
বা, 3213 = 102 × (n/2)
∴ n = 63

আবার,
a + (n - 1)d = 99
বা, 3 + (63 - 1)d = 99
বা, 3 + 62d = 99
বা, 62d = 99 - 3
বা, 62d = 96
∴ d = 48/31
ধরি,
ধারাটির প্রথম পদ, a = 4
সাধারণ অনুপাত, r = 12/4 = 3

আমরা জানি,
গুণোত্তর ধারার n তম পদ = arn - 1

তাহলে,
ধারাটির তৃতীয় পদ, m = ar2
= 4 × 32
= 4 × 9
= 36

ধারাটির চতুর্থ পদ, n = ar3
= 4 × 33
= 4 × 27
= 108

∴ n - m = 108 - 36 = 72
ধারাটির ১ম পদ, a = 2
সাধারণ অনুপাত, r = (2/3)/2 = 1/3

∴ ধারাটির অসীমতক সমষ্টি, S∞ = a/(1 - r)
= 2/{1 - (1/3)}
= 2/{(3 - 1)/3}
= 2/(2/3)
= 2 × (3/2)
= 3
আমরা জানি,
সমান্তর ধারার প্রথম পদ, a এবং সাধারণ অন্তর, d হলে, n তম পদ = a + (n - 1)d

এখানে,
তৃতীয় পদ = 30
∴ a + (3 - 1) × 6 = 30
⇒ a + 2 × 6 = 30
⇒ a + 12 = 30
⇒ a = 30 - 12
⇒ a = 18

∴ অষ্টম পদ = 18 + (8 - 1) ×‌ 6
= 18 + 7 ×‌ 6
= 18 + 42
= 60
দেওয়া আছে,
ধারাটির ১ম পদ, a = 5
সাধারণ অনুপাত, r = 20/5 = 4

ধরি,
n তম পদ = 5120
⇒ arn - 1 = 5120
⇒ 5 × 4n - 1 = 5120
⇒ 4n - 1 = 1024
⇒ 4n - 1 = 45
⇒ n - 1 = 5
⇒ n = 5 + 1
⇒ n = 6
ক্রমিক বিজোড় সংখ্যার ধারা হলো: 1, 3, 5, 7, 9......

যদি a₁ = প্রথম পদ এবং aₙ = শেষ পদ হলে,
aₙ - a₁ = 8
যেখানে n = পদসংখ্যা

আমরা জানি,
aₙ = a₁ + (n-1)2
⇒ aₙ - a₁ = (n-1)2
⇒ 8 = (n-1)2
⇒ (n-1) = 4
⇒ n = 5
এখানে,
1 থেকে 50 পর্যন্ত বাড়ে
তারপর 49 থেকে 1 পর্যন্ত কমে

1 থেকে 50 পর্যন্ত যোগফল = n(n+1)/2, যেখানে n = 50
= 50 × 51/2
= 1275

49 থেকে 1 পর্যন্ত যোগফল = n(n+1)/2, যেখানে n = 49
= 49 × 50/2
= 1225


∴ মোট যোগফল = 1275 + 1225 = 2500
প্রদত্ত ধারাটি একটি সমান্তর ধারা, যার -
প্রথম পদ, a = 8
সাধারণ অন্তর, d = 16 - 8
                     = 8
পদসংখ্যা, n = 9

∴ সমষ্টি, Sn = n/2 {2a + (n - 1)d}
                = 9/2 {2.8 + (9 - 1)d}
                = 9/2 (16 + 8 × 8)
                = 9/2 (16 + 64)
                = 9/2 × 80
                = 360
প্রতি দুটি পদের যোগফল শূন্য এবং প্রতি বিজোড়তম পদ a ।
তাই, ৬০টি পদের সমষ্টি শূণ্য হবে ।
অতএব,৬১টি পদের সমষ্টি হবে_
    = ৬০টি পদের সমষ্টি + ৬১তম পদ
    = ০ + a
    = a

( a-a+a-a+.. এখানে একটি ধনাত্বক a & তারপরেই একটি ঋনাত্বক a. এভাবে প্রতি জোড়া ধনাত্বক ঋনাত্বক a মিলে শূন্য হয়ে যাবে।
- অর্থাৎ সিরিজে জোড় সংখ্যক উপাদান থাকলে উত্তর=০,
- এবং বিজোড় সংখ্যক উপাদান থাকলে উত্তর=a.
- এখানে 61 একটি বিজোড় সংখ্যা সুতরাং উত্তর হবে a )
রাকিবের টাকা জমা করার অনুক্রম: ১, ২, ৪, . . . ., n

এখানে অনুক্রমটির,
মোট পদ, n = ৮
১ম পদ, a = ১
অনুপাত, r = ২/১ = ২

∴ ৮টি পদের সমষ্টি = ১ × {(২৮ - ১)/(২ - ১)} [∵ n তম পদের সমষ্টি = a × {(rn - 1)/(r - 1)}]
= (২৫৬ - ১)/১
= ২৫৫ 

∴ রাকিব ৮ দিনে মোট ২৫৫ টি মুদ্রা জমা করবে।

ধরি, ধারার ১ম পদ = a, সাধারণ অন্তর d = 9 

7 তম পদ = a + (7 - 1)d 

=> 60 = a + 6*9 

=> a = 60 - 54 

 a = 6 

12 তম পদ = a + (12 - 1)d = 6 + 11*9 = 6 + 99 = 105   
ধরি, ১ম পদ= a
সাধারণ অন্তর= 2
সমান্তর ধারার ৪র্থ পদ= a+(n-1)d=15
⇒ a+(4-1)2=15
⇒ a+3*2=15
⇒ a=9
∴ 15 তম পদ= 9 + (15-1)*2
                = 37
ধারাটির ১ম পদ a = 1,
সাধারণ অন্তর d = 3 - 1 = 2  
n তম পদ = a + (n - 1)d 
=> 21 = 1 + (n - 1) * 2   
=> 21 = 1 + 2n - 2 
=> 2n = 22   
 n = 11 
1 + 3 + 5 + ...... + 31 = (11)2  = 121
১,১,২,৩,৫,৮,.......
প্রদত্ত প্যাটার্নটির পরপর দুটি সংখ্যার যোগফল পরবর্তী সংখ্যার সমান।
৭ম পদ=৫+৮=১৩
৮ম পদ = ৮+১৩=২১
 সমান্তর ধারার ৪র্থ পদ= a+(n-1)d=15
⇒ a+(4-1)2=15
⇒ a+3*2=15
⇒ a=9
এখানে,
সিরিজের প্রথম পদটি 2 এবং দশম পদটি 2 * 10 = 20। 
 
প্রথম এবং দশম পদের গড় হল (2 + 20) / 2 = 11 
অতএব, প্রথম দশটি পদের যোগফল 10*11 = 110। 
 
সিরিজের পঞ্চম পদ হল 2*5 = 10। 
 
অতএব,  ৫ম পদ দিয়ে ধারাটির প্রথম দশটি পদের যোগফলকে ভাগ করলে ভাগফল হবে= 110/10 = 11। 
সুতরাং উত্তর হল 11
সিরিজটি নিম্নোক্তভাবে এগিয়েছে,
 2×2+1=5;
2×9+1=19;
 2×37+1=75
2×75-1=149;
2×5-1=9;
2×19-1=37 [প্রশ্নে সঠিক উত্তর দেওয়া নাই]
ধারাটি একটি সমান্তর ধারা ১ম পদ a = ১ ; সাধারন অন্তর d = ৪ - ১ = ৩
আমরা জানি, n তমপদ= a + (n - 1) d 

∴ ২৯ তম পদ = ১ + (২৯ - ১) × ৩ = ১ + ২৮ × ৩ = ৮৫
১ম পদ a=11, এবং 
সাধারণ অন্তর d=7।
 
সুতরাং, ধারাটির প্রথম 29টি পদের সমষ্টি
= n/2{2a+(n-1)d}
 
=29/2 {2*11 + (29-1)7}
 
=29/2*218
 
=3161



এখানে খেয়াল করুন ২কে ৪দ্বারা গুন করলে পরের সংখ্যা ৮পাওয়া যায়, আবার প্রাপ্ত ৮কে ৬দ্বারা গুন করলে ৪৮ পাওয়া যায়, ৪৮ কে ৮ দ্বারা গুন করলে পরের সংখ্যা ৩৮৪ পাওয়া যায়। এবার দেখুন ৩৮৪ এর সাথে কত গুন করবেন? আচ্ছা প্রতিটি সংখ্যার সাথে আপনি নিজে যে সংখ্যাটি গুন করেছেন সেগুলো একটু দেখুন। আপনি প্রথমে ৪ তারপর ৬,তারপর ৮ গুন করেছেন। এবার সেই সিরিয়াল অনুযায়ী পরের সংখ্যাটি কত গুন করবেন? ৪,৬,৮ তারপর নিশ্চয় ১০ হবে? কারণ জোড়া সংখ্যাগুলোই তো সিরিয়াল করে আসছে। অতএব ৩৮৪ এর সাথে ১০ গুন করলে হয় ৩৮৪০।
ধারাটির ১ম পদ a=7
সাধারণ অন্তর d=12-7=5
এবং পদসংখ্যা= n=30

30 টি পদের সমষ্টি  = n/2{2a+(n-1)d}
=30/2 {2 ×7 +(30-1)5}
=15(14+29×5)
=15×159
=2385

11, 15, 23, 39

First difference is 4

Second difference  is 8

Third difference  is 16

Fourth difference  will be 32.

So the number is 39+32 = 71
 

পরপর যে কোন ৫টি সংখ্যার গড় হবে ৩ নাম্বার সংখ্যাটি।

৫৬০/৫ = ১১২, তৃতীয় সংখ্যা হবে ১১২।

পরের পাঁচটি সংখ্যার গড় হবে ৮ম সংখ্যাটি, যা হবে ১১২+৫=১১৭।

এদের যোগফল হবে, ১১৭* ৫= ৫৮৫

 
সঠিক উত্তর: 0 | ভুল উত্তর: 0