প্রদত্ত ধারাটি হলো: ১, ৩, ৬, ১০, ১৫, ...

ধারাটির পদগুলোর মধ্যকার পার্থক্য বা ব্যবধান লক্ষ্য করলে দেখা যায়, প্রতিটি ক্ষেত্রে ব্যবধান ১ করে বৃদ্ধি পাচ্ছে:
• ২য় পদ - ১ম পদ = ৩ - ১ = ২
• ৩য় পদ - ২য় পদ = ৬ - ৩ = ৩
• ৪র্থ পদ - ৩য় পদ = ১০ - ৬ = ৪
• ৫ম পদ - ৪র্থ পদ = ১৫ - ১০ = ৫

এই গাণিতিক নিয়ম অনুসারে, পরবর্তী পদগুলোর বৃদ্ধি হবে যথাক্রমে ৬ এবং ৭।

ধাপে ধাপে পরবর্তী পদ নির্ণয়:
• ৬ষ্ঠ পদ হবে: ৫ম পদ + ৬ = ১৫ + ৬ = ২১
• ৭ম পদ হবে: ৬ষ্ঠ পদ + ৭ = ২১ + ৭ = ২৮

সুতরাং, ধারাটির ৭ম পদটি হলো ২৮।

গাণিতিক নিয়ম (ত্রিভুজাকার সংখ্যা):
এই ধারার সংখ্যাগুলোকে গাণিতিক ভাষায় ত্রিভুজাকার সংখ্যা (Triangular Numbers) বলা হয়। এর n-তম পদ নির্ণয়ের সাধারণ সূত্র হলো n(n+1) ÷ ২।
এই সূত্র প্রয়োগ করে ৭ম পদ = ৭(৭+১) ÷ ২ = ৫৬ ÷ ২ = ২৮।

ধারাটি হলো: 2 - 2 + 2 - 2 + .....
এখানে,
প্রথম পদ, a = 2
সাধারণ অনুপাত, r = (-2) / 2 = -1

যেহেতু পদ সংখ্যা n = 101 (বিজোড়), ধারাটির প্রথম 101টি পদের যোগফল হবে প্রথম পদের সমান।

যদি n জোড় হয়, তবে যোগফল হয় 0।
যদি n বিজোড় হয়, তবে যোগফল হয় প্রথম পদ (a)।
এখানে n = 101, যা একটি বিজোড় সংখ্যা।

সুতরাং, ধারাটির প্রথম 101টি পদের যোগফল হবে 2।

ধারার অনুপাত (r) = (1/√3) ÷ (1/3) = √3

প্রথম পদ (a) = 1/3, অনুপাত (r) = √3

জ্যামিতিক ধারার n-তম পদ = a × r^(n-1)

আমাদের দরকার n-তম পদ = 9

=> (1/3) × (√3)^(n-1) = 9

উভয় পাশে 3 দিয়ে গুণ করি:
(√3)^(n-1) = 27

কারণ 27 = 3³ এবং √3 = 3^(1/2)

=> (3^(1/2))^(n-1) = 3³

=> (n-1)/2 = 3

=> n-1 = 6

=> n = 7

উত্তরঃ সপ্তম পদ

আমরা জানি,
স্বাভাবিক সংখ্যা বর্গের সমষ্টি,
1² + 2² + 3² + 4² + ...... + n² = n(n + 1)(2n + 1)/6
∴ 1² + 2² + 3² + ........ + 52² = [52(52 + 1){2 × 52) + 1}]/6
= (52 × 53 × 105)/6
= 48230

৩৬−২৮=৮
২৮−২১=৭
২১−১৫=৬
১৫−১০=৫

এখানে দেখা যাচ্ছে, প্রতিটি পার্থক্য ক্রমান্বয়ে ১ করে কমছে। অর্থাৎ, পরবর্তী পার্থক্য হবে ৫−১=৪।

তাহলে, পরবর্তী সংখ্যা হবে = ১০−৪ = ৬

এখানে,
১, ২,
১+২=৩,
২+৩= ৫,
৩+৫=৮,
৫+৮=১৩,
৮+১৩= ২১,
১৩+২১=৩৪,
২১+৩৪=৫৫

ধারাটি হলো- 
১, ২, ৩, ৫, ৮, ১৩, ২১, ৩৪, .........
পরপর দুটি সংখ্যার যোগফল পরবর্তী সংখ্যার সমান। 

এখানে,
১ + ২ = ৩
২ + ৩ = ৫
৩ + ৫ = ৮
৫ + ৮ = ১৩
৮ + ১৩ = ২১
২১ + ১৩ = ৩৪
৩৪ + ২১ = ৫৫

দেওয়া আছে, Tₙ = n * 2^(n-1)

প্রথম পদ (n=1), T₁ = 1 * 2^(1-1) = 1 * 2⁰ = 1 * 1 = 1

দ্বিতীয় পদ (n=2), T₂ = 2 * 2^(2-1) = 2 * 2¹ = 2 * 2 = 4

তৃতীয় পদ (n=3), T₃ = 3 * 2^(3-1) = 3 * 2² = 3 * 4 = 12

চতুর্থ পদ (n=4), T₄ = 4 * 2^(4-1) = 4 * 2³ = 4 * 8 = 32

পঞ্চম পদ (n=5), T₅ = 5 * 2^(5-1) = 5 * 2⁴ = 5 * 16 = 80

এখন, প্রথম পাঁচটি পদের যোগফল,
S₅ = T₁ + T₂ + T₃ + T₄ + T₅
= 1 + 4 + 12 + 32 + 80
= 5 + 12 + 32 + 80
= 17 + 32 + 80
= 49 + 80
= 129

সুতরাং, ধারাটির প্রথম পাঁচটি পদের যোগফল হলো 129।

ধরি, গুণোত্তর অনুক্রমের প্রথম পদ a এবং সাধারণ অনুপাত r।

প্রশ্নমতে, গুণোত্তর অনুক্রমের চতুর্থ পদ ৫৪,

অর্থাৎ, ar³ = ৫৪ --- (১)

এবং সপ্তম পদ ১৪৫৮,

অর্থাৎ, ar⁶ = ১৪৫৮ --- (২)

এখন, সমীকরণ (২) কে সমীকরণ (১) দ্বারা ভাগ করে পাই,

ar⁶/ar³ = ১৪৫৮/৫৪

বা, r³ = ২৭

বা, r³ = ৩³

অতএব, r = ৩

সুতরাং, গুণোত্তর অনুক্রমটির সাধারণ অনুপাত ৩।

প্রদত্ত উপাত্তগুলো হলো: ২৫, ২৯, ৫৯, ২৭, ৬৯, ২৫, ১৯, ২৭, ২৯
উপাত্তগুলোকে মানের ক্রমানুসারে সাজিয়ে পাই:
১৯, ২৫, ২৫, ২৭, ২৭, ২৯, ২৯,২৯, ৫৯, ৬৯

এখানে,
২৫ সংখ্যাটি আছে ২ বার
২৭ সংখ্যাটি আছে ২ বার
২৯ সংখ্যাটি আছে ৩ বার
১৯, ৫৯, ৬৯ সংখ্যাগুলো আছে ১ বার করে

আমরা জানি, কোনো উপাত্তে যে সংখ্যাটি সর্বাধিক বার থাকে, তাকে উপাত্তের প্রচুরক বলে।
পর্যবেক্ষণ করে দেখা যাচ্ছে যে, এখানে ২৯ সংখ্যা সর্বাধিক ৩ বার করে আছে।
সুতরাং, নির্ণেয় প্রচুরক = ২৯

শর্টকাট টেকনিক:
সাধারণত প্রচুরক বের করার সময় সংখ্যাগুলো গুনতে হয়।
২৫ $\rightarrow$ ২টা
২৯ $\rightarrow$ ৩টা
২৭ $\rightarrow$ ২টা
বাকিরা ১টা করে।
সবচেয়ে বেশি বার যারা আছে তারাই উত্তর। 

ধরি, সমান্তর ধারার প্রথম পদ a এবং সাধারণ অন্তর d।

প্রশ্নানুসারে,

প্রথম পদ, a = ৩
তৃতীয় পদ, a + (৩ - ১)d = ৩৭
বা, ৩ + ২d = ৩৭

বা, ২d = ৩৭ - ৩

বা, ২d = ৩৪

বা, d = ১৭

অতএব, সাধারণ অন্তর ১৭।

- n সংখ্যক স্বাভাবিক সংখ্যার সমষ্টি 1+2+3+.....+n = n(n + 1)/2

- n সংখ্যক স্বাভাবিক সংখ্যার বর্গের সমষ্টি 1²+2²+3²+.......+n² =n(n+1)(2n+1)/6

- n সংখ্যক স্বাভাবিক সংখ্যার ঘনের সমষ্টি 1³+2³+3³+.........+n³= {n(n+1)/2}²

আমরা জানি, প্রথম n সংখ্যক স্বাভাবিক সংখ্যার ঘনের সমষ্টির সূত্র: 1³ + 2³ + 3³ + ... + n³ = [n(n+1)/2]²
এবং প্রথম n সংখ্যক স্বাভাবিক সংখ্যার সমষ্টির সূত্র: 1 + 2 + 3 + ... + n = n(n+1)/2

প্রশ্ন অনুসারে,
[n(n+1)/2]² / [n(n+1)/2] = 210
⇒ n(n+1)/2 = 210
⇒ n(n+1) = 420
⇒ n² + n - 420 = 0
⇒ n² + 21n - 20n - 420 = 0
⇒ n(n + 21) - 20(n + 21) = 0
⇒ (n - 20)(n + 21) = 0
⇒ n = 20 অথবা n = -21
যেহেতু n ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা, তাই n = 20।

সুতরাং, n এর মান 20।

প্রদত্ত ধারাটি 1-1+1-1 + ...... একটি গুণোত্তর ধারা । 

যারা প্রথম পদ a = 1. 

 সাধারণ অনুপাত r = -1/1 = -1 < 1 

 আমরা জানি, 

কোনো গুণোত্তর ধারার প্রথম n পদের সমষ্টি sn = a(1-rn )/1-r  

   প্রদত্ত ধারার (2n+1) পদের সমষ্টি 

      = a(1- r2n+1 )/1-r 

      = 1{1-(-1)2n+1 }/1-(-1) 

      = 1-(-1)2n  (-1)/2 

     = 1-(1)(-1)/2           [n e হওয়ায় (-1)2n  = 1]  

     = 2/2 = 1 

(প্রিলির জন্য শর্ট ট্রিক-  1-1+1-1 এখানে একটি ধনাত্বক 1 & তারপরেই একটি ঋনাত্বক 1. এভাবে প্রতি জোড়া ধনাত্বক ঋনাত্বক 1 মিলে শূন্য হয়ে যাবে। অর্থাৎ সিরিজে জোড় সংখ্যক উপাদান থাকলে উত্তর=০, এবং বিজোড় সংখ্যক উপাদান থাকলে উত্তর=1.
এখানে (2n+1) একটি বিজোড় সংখ্যা সুতরাং উত্তর হবে 1 )

প্রথম পদ a = 3,
সাধারণ অন্তর d = ?
পদ সংখ্যা = n

আমরা জানি
সমষ্টি = (3 + 99) × পদসংখ্যা/2
বা, 3213 = 102 × (n/2)
∴ n = 63

আবার,
a + (n - 1)d = 99
বা, 3 + (63 - 1)d = 99
বা, 3 + 62d = 99
বা, 62d = 99 - 3
বা, 62d = 96
∴ d = 48/31

ধরি,
ধারাটির প্রথম পদ, a = 4
সাধারণ অনুপাত, r = 12/4 = 3

আমরা জানি,
গুণোত্তর ধারার n তম পদ = ar^{n - 1}

তাহলে,
ধারাটির তৃতীয় পদ, m = ar²
= 4 × 3²
= 4 × 9
= 36

ধারাটির চতুর্থ পদ, n = ar³
= 4 × 3³
= 4 × 27
= 108

∴ n - m = 108 - 36 = 72

ধারাটির ১ম পদ, a = 2
সাধারণ অনুপাত, r = (2/3)/2 = 1/3

∴ ধারাটির অসীমতক সমষ্টি, S_∞ = a/(1 - r)
= 2/{1 - (1/3)}
= 2/{(3 - 1)/3}
= 2/(2/3)
= 2 × (3/2)
= 3

আমরা জানি,
সমান্তর ধারার প্রথম পদ, a এবং সাধারণ অন্তর, d হলে, n তম পদ = a + (n - 1)d

এখানে,
তৃতীয় পদ = 30
∴ a + (3 - 1) × 6 = 30
⇒ a + 2 × 6 = 30
⇒ a + 12 = 30
⇒ a = 30 - 12
⇒ a = 18

∴ অষ্টম পদ = 18 + (8 - 1) ×‌ 6
= 18 + 7 ×‌ 6
= 18 + 42
= 60

দেওয়া আছে,
ধারাটির ১ম পদ, a = 5
সাধারণ অনুপাত, r = 20/5 = 4

ধরি,
n তম পদ = 5120
⇒ arn - 1 = 5120
⇒ 5 × 4n - 1 = 5120
⇒ 4n - 1 = 1024
⇒ 4n - 1 = 45
⇒ n - 1 = 5
⇒ n = 5 + 1
⇒ n = 6

ক্রমিক বিজোড় সংখ্যার ধারা হলো: 1, 3, 5, 7, 9......

যদি a₁ = প্রথম পদ এবং aₙ = শেষ পদ হলে,
aₙ - a₁ = 8
যেখানে n = পদসংখ্যা

আমরা জানি,
aₙ = a₁ + (n-1)2
⇒ aₙ - a₁ = (n-1)2
⇒ 8 = (n-1)2
⇒ (n-1) = 4
⇒ n = 5

এখানে,
1 থেকে 50 পর্যন্ত বাড়ে
তারপর 49 থেকে 1 পর্যন্ত কমে

1 থেকে 50 পর্যন্ত যোগফল = n(n+1)/2, যেখানে n = 50
= 50 × 51/2
= 1275

49 থেকে 1 পর্যন্ত যোগফল = n(n+1)/2, যেখানে n = 49
= 49 × 50/2
= 1225


∴ মোট যোগফল = 1275 + 1225 = 2500

প্রতি দুটি পদের যোগফল শূন্য এবং প্রতি বিজোড়তম পদ a ।
তাই, ৬০টি পদের সমষ্টি শূণ্য হবে ।
অতএব,৬১টি পদের সমষ্টি হবে_
    = ৬০টি পদের সমষ্টি + ৬১তম পদ
    = ০ + a
    = a

( a-a+a-a+.. এখানে একটি ধনাত্বক a & তারপরেই একটি ঋনাত্বক a. এভাবে প্রতি জোড়া ধনাত্বক ঋনাত্বক a মিলে শূন্য হয়ে যাবে।
- অর্থাৎ সিরিজে জোড় সংখ্যক উপাদান থাকলে উত্তর=০,
- এবং বিজোড় সংখ্যক উপাদান থাকলে উত্তর=a.
- এখানে 61 একটি বিজোড় সংখ্যা সুতরাং উত্তর হবে a )

রাকিবের টাকা জমা করার অনুক্রম: ১, ২, ৪, . . . ., n

এখানে অনুক্রমটির,
মোট পদ, n = ৮
১ম পদ, a = ১
অনুপাত, r = ২/১ = ২

∴ ৮টি পদের সমষ্টি = ১ × {(২^৮ - ১)/(২ - ১)} [∵ n তম পদের সমষ্টি = a × {(rⁿ - 1)/(r - 1)}]
= (২৫৬ - ১)/১
= ২৫৫ 

∴ রাকিব ৮ দিনে মোট ২৫৫ টি মুদ্রা জমা করবে।

ধরি, ধারার ১ম পদ = a, সাধারণ অন্তর d = 9 

7 তম পদ = a + (7 - 1)d 

=> 60 = a + 6*9 

=> a = 60 - 54 

 a = 6 

12 তম পদ = a + (12 - 1)d = 6 + 11*9 = 6 + 99 = 105   

ধরি, ১ম পদ= a
সাধারণ অন্তর= 2
সমান্তর ধারার ৪র্থ পদ= a+(n-1)d=15
⇒ a+(4-1)2=15
⇒ a+3*2=15
⇒ a=9

১,১,২,৩,৫,৮,.......
প্রদত্ত প্যাটার্নটির পরপর দুটি সংখ্যার যোগফল পরবর্তী সংখ্যার সমান।
৭ম পদ=৫+৮=১৩
৮ম পদ = ৮+১৩=২১

 সমান্তর ধারার ৪র্থ পদ= a+(n-1)d=15
⇒ a+(4-1)2=15
⇒ a+3*2=15
⇒ a=9