ধারাটি হলো: 2 - 2 + 2 - 2 + .....
এখানে,
প্রথম পদ, a = 2
সাধারণ অনুপাত, r = (-2) / 2 = -1

যেহেতু পদ সংখ্যা n = 101 (বিজোড়), ধারাটির প্রথম 101টি পদের যোগফল হবে প্রথম পদের সমান।

যদি n জোড় হয়, তবে যোগফল হয় 0।
যদি n বিজোড় হয়, তবে যোগফল হয় প্রথম পদ (a)।
এখানে n = 101, যা একটি বিজোড় সংখ্যা।

সুতরাং, ধারাটির প্রথম 101টি পদের যোগফল হবে 2।

ধারার অনুপাত (r) = (1/√3) ÷ (1/3) = √3

প্রথম পদ (a) = 1/3, অনুপাত (r) = √3

জ্যামিতিক ধারার n-তম পদ = a × r^(n-1)

আমাদের দরকার n-তম পদ = 9

=> (1/3) × (√3)^(n-1) = 9

উভয় পাশে 3 দিয়ে গুণ করি:
(√3)^(n-1) = 27

কারণ 27 = 3³ এবং √3 = 3^(1/2)

=> (3^(1/2))^(n-1) = 3³

=> (n-1)/2 = 3

=> n-1 = 6

=> n = 7

উত্তরঃ সপ্তম পদ

ধরি, 

 ধারাটির ১ম পদ a 

সাধারণ অন্তর d 

  a+(5-1)d = 18 

=> a+4d = 18 .........(1) 

এবং 5/2 {2a+(5-1)d} = 75 

=> 2a + 4d = 30 .......(2) 

 (1) × 2 - (2) 

 2a + 8d = 36 

 2a + 4d = 30 

(-)    (-)    (-) 

________________ 

=> 4d  = 6 

=> d = 6/4 

     d = 3/2 

(1) => a + 4 × 3/2 = 18 

  => a + 6 = 18 

  => a = 18 - 6 

          a = 12    

ধারাটির প্রথম পদ a = 3
এখানে,
7 - 3 = 4
11 - 7 = 4
∴ ধারাটি একটি সমান্তর ধারা।
∴ সাধারণ অন্তর d = 4

ধরি,
ধারাটির n তম পদ = 263
আমরা জানি,
n তম পদ = a + (n - 1) d
∴ a + (n - 1) d = 263
বা, 3 + (n - 1). 4 = 263
বা, 4(n - 1) = 263 - 3 = 260
বা, n - 1 = 260/4 = 65
বা, n = 65 + 1 = 66

∴ প্রদত্ত ধারার 66 তম পদ = 263

আমরা জানি,
স্বাভাবিক সংখ্যা বর্গের সমষ্টি,
1² + 2² + 3² + 4² + ...... + n² = n(n + 1)(2n + 1)/6
∴ 1² + 2² + 3² + ........ + 52² = [52(52 + 1){2 × 52) + 1}]/6
= (52 × 53 × 105)/6
= 48230

৩৬−২৮=৮
২৮−২১=৭
২১−১৫=৬
১৫−১০=৫

এখানে দেখা যাচ্ছে, প্রতিটি পার্থক্য ক্রমান্বয়ে ১ করে কমছে। অর্থাৎ, পরবর্তী পার্থক্য হবে ৫−১=৪।

তাহলে, পরবর্তী সংখ্যা হবে = ১০−৪ = ৬

ধরি,
ধারাটির প্রথম পদ, a = 3
সাধারণ অনুপাত, r = 6/3 = 2

আমরা জানি,
গুণোত্তর ধারার n তম পদ = ar^{n - 1}

তাহলে,
ধারাটির চতুর্থ পদ, m = ar³
= 3 × 2³
= 3 × 8
= 24

ধারাটির পঞ্চম পদ, n = ar⁴
= 3 × 2⁴
= 3 × 16
= 48

∴ 2p + q = 2 × 24 + 48 = 96

আমরা জানি,
সমান্তর ধারার প্রথম পদ, a এবং সাধারণ অন্তর, d হলে, n তম পদ = a + (n - 1)d

এখানে,
তৃতীয় পদ = 29
∴ a + (3 - 1) × 8 = 29
⇒ a + 2 × 8 = 29
⇒ a + 16 = 29
⇒ a = 29 - 16
⇒ a = 13

∴ সপ্তম পদ = 13 + (7 - 1) ×‌ 8
= 13 + 6 ×‌ 8
= 13 + 48
= 61

এখানে,
১, ২,
১+২=৩,
২+৩= ৫,
৩+৫=৮,
৫+৮=১৩,
৮+১৩= ২১,
১৩+২১=৩৪,
২১+৩৪=৫৫

ধারাটি হলো- 
১, ২, ৩, ৫, ৮, ১৩, ২১, ৩৪, .........
পরপর দুটি সংখ্যার যোগফল পরবর্তী সংখ্যার সমান। 

এখানে,
১ + ২ = ৩
২ + ৩ = ৫
৩ + ৫ = ৮
৫ + ৮ = ১৩
৮ + ১৩ = ২১
২১ + ১৩ = ৩৪
৩৪ + ২১ = ৫৫

প্রথম পদ, a=1 সাধারণ অনুপাত,  r= 1/3 ​

জ্যামিতিক ধারার n-তম পদ নির্ণয়ের সূত্র: T_n = a ⋅ r^n-1 
এখানে, T_n = 1/729 

T_n = a ⋅ r^n-1
⇒ 1/729 = (1/3)^n-1
⇒ (1/3)⁶ = (1/3)^n-1
⇒ n-1 = 6
⇒ n = 7

এখানে,
প্রথম পদ (a) = 5
সাধারণ অন্তর (d) = 3 (কারণ 8 - 5 = 3, 11 - 8 = 3)

সমান্তর ধারার প্রথম n সংখ্যক পদের যোগফল, S_n = (n/2) × [2a + (n-1)d]
এখানে, S₁₀ = (10/2) × [2×5 + (10-1)×3]
= 5 × [10 + 27]
= 5 × 37
= 185

তাই ধারাটির প্রথম 10টি পদের যোগফল = 185

পরবর্তী সংখ্যা = ১/৪ ÷ ২
                     =১/৪ × ১/২
                     = ১/৮

প্রথম পদ (a) = ৫
সাধারণ পার্থক্য (d) = ৩

n তম পদ,
Tₙ = a + (n-1)d
= ৫ + (n-1)×৩
= ৩n + ২

এখন, Tₙ = ৩৮৩ হলে,
৩n + ২ = ৩৮৩
৩n = ৩৮১
n = ১২৭

এখানে প্রথম পদ a=1/4
সাধারণ অন্তর r= (-1/6) /(1/4)  =-2/3

S_∞= a/(1-r)
  =(1/4)/ {1-(-2/3)}

  =(1/4) / {1+(2/3)}

  =(1/4)/(5/3)

  =1/4 ×3/5

  =3/20

ধরি,
ধারাবাহিক পাঁচটি পূর্ণসংখ্যা X, X + ১, X + ২, X + ৩, X + ৪

প্রশ্নমতে,
(X + X + ১ + X + ২ + X + ৩ + X + ৪)/৫ = ১৫
বা, ৫X + ১০ = ১৫ × ৫
বা, ৫X + ১০ = ৭৫
বা, ৫X = ৬৫
∴ X = ১৩

সবচেয়ে বড় পূর্ণ সংখ্যা = ১৩ + ৪ = ১৭

দেওয়া আছে, Tₙ = n * 2^(n-1)

প্রথম পদ (n=1), T₁ = 1 * 2^(1-1) = 1 * 2⁰ = 1 * 1 = 1

দ্বিতীয় পদ (n=2), T₂ = 2 * 2^(2-1) = 2 * 2¹ = 2 * 2 = 4

তৃতীয় পদ (n=3), T₃ = 3 * 2^(3-1) = 3 * 2² = 3 * 4 = 12

চতুর্থ পদ (n=4), T₄ = 4 * 2^(4-1) = 4 * 2³ = 4 * 8 = 32

পঞ্চম পদ (n=5), T₅ = 5 * 2^(5-1) = 5 * 2⁴ = 5 * 16 = 80

এখন, প্রথম পাঁচটি পদের যোগফল,
S₅ = T₁ + T₂ + T₃ + T₄ + T₅
= 1 + 4 + 12 + 32 + 80
= 5 + 12 + 32 + 80
= 17 + 32 + 80
= 49 + 80
= 129

সুতরাং, ধারাটির প্রথম পাঁচটি পদের যোগফল হলো 129।

ধারাটির প্রথম পদ (a) = 7
ধারাটির সাধারণ অন্তর (d) = দ্বিতীয় পদ - প্রথম পদ = 12 - 7 = 5

আমাদের এই ধারার 25 তম পদ (n = 25) নির্ণয় করতে হবে।

সমান্তর ধারার nতম পদ = a + (n - 1)d

এখানে,
a = 7
n = 25
d = 5

সুতরাং, 25 তম পদ = 7 + (25 - 1) × 5
= 7 + (24) × 5
= 7 + 120
= 127

অতএব, ধারাটির 25 তম পদের মান 127।

ধরি, গুণোত্তর ধারাটির প্রথম পদ a এবং সাধারণ অনুপাত r।

প্রশ্নমতে, ধারাটির প্রথম তিনটি পদের যোগফল ৩৯,

অর্থাৎ, a + ar + ar² = ৩৯ --- (১)

এবং ধারাটির প্রথম তিনটি পদের গুণফল ৭২৯,

অর্থাৎ, a × ar × ar² = ৭২৯

বা, a³r³ = ৭২৯

বা, (ar)³ = ৯³

অতএব, ar = ৯ --- (২)

এখন, সমীকরণ (১) থেকে পাই,

a(১ + r + r²) = ৩৯

বা, ar × (১ + r + r²) / r = ৩৯

বা, ৯ × (১ + r + r²) / r = ৩৯ [সমীকরণ (২) থেকে ar = ৯]

বা, ৯ + ৯r + ৯r² = ৩৯r

বা, ৯r² - ৩০r + ৯ = ০

বা, ৩r² - ১০r + ৩ = ০

বা, ৩r² - ৯r - r + ৩ = ০

বা, ৩r(r - ৩) - ১(r - ৩) = ০

বা, (r - ৩)(৩r - ১) = ০

অতএব, r = ৩ অথবা r = ১/৩

সুতরাং, গুণোত্তর ধারাটির সাধারণ অনুপাত ৩ অথবা ১/৩।

ধরি, গুণোত্তর অনুক্রমের প্রথম পদ a এবং সাধারণ অনুপাত r।

প্রশ্নমতে, গুণোত্তর অনুক্রমের চতুর্থ পদ ৫৪,

অর্থাৎ, ar³ = ৫৪ --- (১)

এবং সপ্তম পদ ১৪৫৮,

অর্থাৎ, ar⁶ = ১৪৫৮ --- (২)

এখন, সমীকরণ (২) কে সমীকরণ (১) দ্বারা ভাগ করে পাই,

ar⁶/ar³ = ১৪৫৮/৫৪

বা, r³ = ২৭

বা, r³ = ৩³

অতএব, r = ৩

সুতরাং, গুণোত্তর অনুক্রমটির সাধারণ অনুপাত ৩।

প্রদত্ত উপাত্তগুলো হলো: ২৫, ২৯, ৫৯, ২৭, ৬৯, ২৫, ১৯, ২৭, ২৯
উপাত্তগুলোকে মানের ক্রমানুসারে সাজিয়ে পাই:
১৯, ২৫, ২৫, ২৭, ২৭, ২৯, ২৯,২৯, ৫৯, ৬৯

এখানে,
২৫ সংখ্যাটি আছে ২ বার
২৭ সংখ্যাটি আছে ২ বার
২৯ সংখ্যাটি আছে ৩ বার
১৯, ৫৯, ৬৯ সংখ্যাগুলো আছে ১ বার করে

আমরা জানি, কোনো উপাত্তে যে সংখ্যাটি সর্বাধিক বার থাকে, তাকে উপাত্তের প্রচুরক বলে।
পর্যবেক্ষণ করে দেখা যাচ্ছে যে, এখানে ২৯ সংখ্যা সর্বাধিক ৩ বার করে আছে।
সুতরাং, নির্ণেয় প্রচুরক = ২৯

শর্টকাট টেকনিক:
সাধারণত প্রচুরক বের করার সময় সংখ্যাগুলো গুনতে হয়।
২৫ $\rightarrow$ ২টা
২৯ $\rightarrow$ ৩টা
২৭ $\rightarrow$ ২টা
বাকিরা ১টা করে।
সবচেয়ে বেশি বার যারা আছে তারাই উত্তর। 

ধরি, সমান্তর ধারার প্রথম পদ a এবং সাধারণ অন্তর d।

প্রশ্নানুসারে,

প্রথম পদ, a = ৩
তৃতীয় পদ, a + (৩ - ১)d = ৩৭
বা, ৩ + ২d = ৩৭

বা, ২d = ৩৭ - ৩

বা, ২d = ৩৪

বা, d = ১৭

অতএব, সাধারণ অন্তর ১৭।

- n সংখ্যক স্বাভাবিক সংখ্যার সমষ্টি 1+2+3+.....+n = n(n + 1)/2

- n সংখ্যক স্বাভাবিক সংখ্যার বর্গের সমষ্টি 1²+2²+3²+.......+n² =n(n+1)(2n+1)/6

- n সংখ্যক স্বাভাবিক সংখ্যার ঘনের সমষ্টি 1³+2³+3³+.........+n³= {n(n+1)/2}²

আমরা জানি, প্রথম n সংখ্যক স্বাভাবিক সংখ্যার ঘনের সমষ্টির সূত্র: 1³ + 2³ + 3³ + ... + n³ = [n(n+1)/2]²
এবং প্রথম n সংখ্যক স্বাভাবিক সংখ্যার সমষ্টির সূত্র: 1 + 2 + 3 + ... + n = n(n+1)/2

প্রশ্ন অনুসারে,
[n(n+1)/2]² / [n(n+1)/2] = 210
⇒ n(n+1)/2 = 210
⇒ n(n+1) = 420
⇒ n² + n - 420 = 0
⇒ n² + 21n - 20n - 420 = 0
⇒ n(n + 21) - 20(n + 21) = 0
⇒ (n - 20)(n + 21) = 0
⇒ n = 20 অথবা n = -21
যেহেতু n ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা, তাই n = 20।

সুতরাং, n এর মান 20।

প্রদত্ত ধারাটি 1-1+1-1 + ...... একটি গুণোত্তর ধারা । 

যারা প্রথম পদ a = 1. 

 সাধারণ অনুপাত r = -1/1 = -1 < 1 

 আমরা জানি, 

কোনো গুণোত্তর ধারার প্রথম n পদের সমষ্টি sn = a(1-rn )/1-r  

   প্রদত্ত ধারার (2n+1) পদের সমষ্টি 

      = a(1- r2n+1 )/1-r 

      = 1{1-(-1)2n+1 }/1-(-1) 

      = 1-(-1)2n  (-1)/2 

     = 1-(1)(-1)/2           [n e হওয়ায় (-1)2n  = 1]  

     = 2/2 = 1 

(প্রিলির জন্য শর্ট ট্রিক-  1-1+1-1 এখানে একটি ধনাত্বক 1 & তারপরেই একটি ঋনাত্বক 1. এভাবে প্রতি জোড়া ধনাত্বক ঋনাত্বক 1 মিলে শূন্য হয়ে যাবে। অর্থাৎ সিরিজে জোড় সংখ্যক উপাদান থাকলে উত্তর=০, এবং বিজোড় সংখ্যক উপাদান থাকলে উত্তর=1.
এখানে (2n+1) একটি বিজোড় সংখ্যা সুতরাং উত্তর হবে 1 )

প্রথম পদ a = 3,
সাধারণ অন্তর d = ?
পদ সংখ্যা = n

আমরা জানি
সমষ্টি = (3 + 99) × পদসংখ্যা/2
বা, 3213 = 102 × (n/2)
∴ n = 63

আবার,
a + (n - 1)d = 99
বা, 3 + (63 - 1)d = 99
বা, 3 + 62d = 99
বা, 62d = 99 - 3
বা, 62d = 96
∴ d = 48/31

ধরি,
ধারাটির প্রথম পদ, a = 4
সাধারণ অনুপাত, r = 12/4 = 3

আমরা জানি,
গুণোত্তর ধারার n তম পদ = ar^{n - 1}

তাহলে,
ধারাটির তৃতীয় পদ, m = ar²
= 4 × 3²
= 4 × 9
= 36

ধারাটির চতুর্থ পদ, n = ar³
= 4 × 3³
= 4 × 27
= 108

∴ n - m = 108 - 36 = 72

ধারাটির ১ম পদ, a = 2
সাধারণ অনুপাত, r = (2/3)/2 = 1/3

∴ ধারাটির অসীমতক সমষ্টি, S_∞ = a/(1 - r)
= 2/{1 - (1/3)}
= 2/{(3 - 1)/3}
= 2/(2/3)
= 2 × (3/2)
= 3