ত্রিকোণমিতি ও এর প্রয়োগ (64 টি প্রশ্ন )
 Back to Subject Page   All Topics
আমরা জানি, cotθ = ভূমি / লম্ব।
দেওয়া আছে, cotθ = 7/24।
সুতরাং, ভূমি = 7 এবং লম্ব = 24।
এখন, আমরা পিথাগোরাসের উপপাদ্য ব্যবহার করে অতিভুজের মান নির্ণয় করব।
অতিভুজ² = লম্ব² + ভূমি²
অতিভুজ² = 24² + 7²
অতিভুজ² = 576 + 49
অতিভুজ² = 625
অতিভুজ = √625
অতিভুজ = 25
আমরা জানি, sinθ = লম্ব / অতিভুজ।
তাহলে, sinθ = 24/25।
সুতরাং, সঠিক উত্তর হলো D) 24/25।

আমরা জানি,
sin²A + cos²A = 1

অতএব,
1 − cos²A = sin²A 

উত্তর: sin²A 

আমরা Law of Cosines ব্যবহার করব:

c² = a² + b² − 2·a·b·cosC

এখানে,
a = 6, b = 8, C = 60°

cos60° = 1/2

c² = 6² + 8² − 2·6·8·(1/2)
c² = 36 + 64 − 48
c² = 52

তাহলে, c = √52
আমরা জানি, ত্রিকোণমিতিতে:
tan45° = 1
cot45° = 1

সুতরাং, tan45° ⋅ cot45° = 1 ⋅ 1 = 1

বিকল্পভাবে,
আমরা আরও জানি যে cotθ = 1/tanθ।
তাহলে, cot45° = 1/tan45°।
অতএব, tan45° ⋅ cot45° = tan45° ⋅ (1/tan45°) = 1
আমরা জানি, secθ = 1/cosθ
অতএব, cosθ = 1/secθ = 1/(13/5) = 5/13

আমরা আরও জানি, sin²θ + cos²θ = 1

সুতরাং, sin²θ = 1 - cos²θ
sin²θ = 1 - (5/13)²
sin²θ = 1 - 25/169
sin²θ = (169 - 25)/169
sin²θ = 144/169
sinθ = √(144/169)
sinθ = 12/13

আমরা জানি,
tanθ = sinθ / cosθ = a / b

ধরি ত্রিভুজের বিপরীত বাহু = a, সংলগ্ন বাহু = b
অতঃপর কৌণিক ত্রিভুজে, বিপরীত বাহু = a, সংলগ্ন বাহু = b ⇒ অতিভুজ = √(a² + b²)

cosecθ = 1 / sinθ = অতিভুজ / বিপরীত বাহু = √(a² + b²) / a 

উত্তর: √(a² + b²)/a 
ধরা যাক, একটি সমকোণী ত্রিভুজ ABC আছে, যেখানে কোণ B = 90°।
তাহলে, কোণ A + কোণ C = 90° হবে।
সুতরাং, কোণ C = 90° - কোণ A।
এখন, ত্রিভুজের সংজ্ঞা অনুযায়ী:
sin A = (লম্ব/অতিভুজ) = (BC/AC)
এবং
cos C = (ভূমি/অতিভুজ) = (BC/AC)
যেহেতু C = 90° - A, আমরা cos C এর পরিবর্তে cos(90° - A) লিখতে পারি।
তাহলে আমরা পাই:
cos(90° - A) = BC/AC
এবং আমরা আগেও দেখেছি যে:
sin A = BC/AC
সুতরাং, cos(90° - A) = sin A।
sin 30° এর মান হলো 1/2।
cos 60° এর মান হলো 1/2।
তাহলে, sin 30° + cos 60° = 1/2 + 1/2 = 1।
দেওয়া আছে:
A + B = 90°
tanA = 1/√3
আমরা জানি যে tan 30° = 1/√3।
সুতরাং, tanA = tan 30°
এর থেকে আমরা পাই A = 30°।
এখন, A এর মান (30°) আমরা প্রথম সমীকরণে বসাবো:
A + B = 90°
30° + B = 90°
B এর মান বের করার জন্য 30° কে সমীকরণের ডান পাশে নিয়ে যাব:
B = 90° - 30°
B = 60°
অতএব, B এর মান 60°।
সঠিক উত্তর হল C) 60°।

ফ্রিতে ২ লাখ প্রশ্নের টপিক, সাব-টপিক ভিত্তিক ও ১০০০+ জব শুলুশন্স বিস্তারিতে ব্যাখ্যাসহ পড়তে ও আপনার পড়ার ট্র্যাকিং রাখতে সাইটে লগইন করুন।

লগইন করুন
দেওয়া আছে, cosecθ = √2
আমরা জানি, sinθ = 1/cosecθ
সুতরাং, sinθ = 1/√2
আমরা ত্রিকোণমিতিক অনুপাতের মান থেকে জানি যে, sin 45° = 1/√2
অতএব, sinθ = sin 45°
সুতরাং, θ = 45°
সঠিক উত্তর হল A) 45°।
এখানে tanθ = 3/4 দেওয়া আছে।
আমরা জানি, tanθ = লম্ব / ভূমি।
সুতরাং, লম্ব = 3 এবং ভূমি = 4।
পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুসারে,
অতিভুজ² = লম্ব² + ভূমি²
অতিভুজ² = 3² + 4²
অতিভুজ² = 9 + 16
অতিভুজ² = 25
অতিভুজ = √25
অতিভুজ = 5
এখন, আমাদের cosecθ এর মান বের করতে হবে।
আমরা জানি, cosecθ = অতিভুজ / লম্ব।
cosecθ = 5 / 3।
সুতরাং, সঠিক উত্তর হলো D) 5/3।
আমরা জানি, sinθ = লম্ব / অতিভুজ।
এখানে, sinθ = 4/5, অর্থাৎ, লম্ব = 4 এবং অতিভুজ = 5।
পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুসারে,
(লম্ব)² + (ভূমি)² = (অতিভুজ)²
(4)² + (ভূমি)² = (5)²
16 + (ভূমি)² = 25
(ভূমি)² = 25 - 16
(ভূমি)² = 9
ভূমি = √9
ভূমি = 3
এখন, আমরা জানি, secθ = অতিভুজ / ভূমি।
সুতরাং, secθ = 5 / 3।
অতএব, সঠিক উত্তরটি হলো C) 5/3।
আমরা জানি যে ত্রিকোণমিতিতে, কোসাইন ফাংশনটি একটি জোড় (even) ফাংশন। এর অর্থ হলো, যদি আপনি কোসাইন ফাংশনে একটি ধনাত্মক বা ঋণাত্মক কোণ ইনপুট করেন, তাহলে আউটপুট একই থাকবে।
গাণিতিকভাবে, এটি এভাবে প্রকাশ করা হয়:
cos(-θ) = cos(θ)
যদি আমরা একটি একক বৃত্ত (unit circle) দিয়ে এটি কল্পনা করি, তাহলে:
θ (থিটা): একটি ধনাত্মক কোণ, যা ঘড়ির কাঁটার বিপরীত দিকে পরিমাপ করা হয়।
-θ (মাইনাস থিটা): একটি ঋণাত্মক কোণ, যা ঘড়ির কাঁটার দিকে পরিমাপ করা হয় এবং এর মান θ এর সমান।
যখন আপনি এই দুটি কোণের জন্য x-অক্ষ বরাবর প্রজেকশন দেখেন (যা কোসাইন মান), তখন দেখবেন যে প্রজেকশন একই বিন্দুতে পড়ে।
উদাহরণস্বরূপ, যদি θ = 30° হয়:
cos(30°) = √3/2
এবং cos(-30°) = cos(30°) = √3/2
এই কারণে, cos(-θ) এর মান cosθ এর সমান।
আমরা জানি, ত্রিকোণমিতির একটি অভেদ হলো:
sec²θ - tan²θ = 1
এই অভেদটিকে আমরা (a² - b²) = (a - b)(a + b) সূত্রে ভাঙতে পারি।
সুতরাং, (secθ - tanθ)(secθ + tanθ) = 1
প্রশ্নমতে, secθ + tanθ = 7/5
এই মানটি আমরা সমীকরণে বসাই:
(secθ - tanθ)(7/5) = 1
এখন secθ - tanθ এর মান বের করার জন্য আমরা উভয় পক্ষকে 7/5 দ্বারা ভাগ করব (বা 5/7 দ্বারা গুণ করব):
secθ - tanθ = 1 / (7/5)
secθ - tanθ = 1 * (5/7)
secθ - tanθ = 5/7
অতএব, সঠিক উত্তর হলো D) 5/7।
দেওয়া আছে,
3cotA = 4
cotA = 4/3
আমরা জানি, cotA = ভূমি/লম্ব
সুতরাং, ভূমি = 4 একক এবং লম্ব = 3 একক।
এখন, অতিভুজ নির্ণয় করতে হবে।
পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুসারে,
অতিভুজ² = লম্ব² + ভূমি²
অতিভুজ² = 3² + 4²
অতিভুজ² = 9 + 16
অতিভুজ² = 25
অতিভুজ = √25
অতিভুজ = 5 একক।
আমরা জানি, sinA = লম্ব/অতিভুজ
সুতরাং, sinA = 3/5
সঠিক উত্তর হল B) 3/5

ধরি, sinθ = cosθ

উভয় পাশে 1/cosθ দিয়ে ভাগ করি:

sinθ / cosθ = 1
=> tanθ = 1

যেখানে 0° < θ < 90°, tanθ = 1 হলে,
θ = 45°

উত্তর: 45°

প্রথমে 9π/2 কোণটিকে 2π এর গুণিতকে বিভাজন করি —

9π/2 = 8π/2 + π/2 = 4π + π/2

এখন, আমরা জানি
sin(2nπ + α) = sinα

অতএব,
sin(9π/2 + θ) = sin(4π + π/2 + θ)
  = sin(π/2 + θ)  [কারণ sin(4π + α) = sinα]

এখন সূত্র অনুযায়ী,
sin(π/2 + θ) = cosθ

অতএব, sin(9π/2 + θ) = cosθ
আমরা জানি,
cosec2θ - cot2θ = 1
⇒ (cosecθ + cotθ)(cosecθ - cotθ) = 1
⇒ (cosecθ - cotθ) = 1/(cosecθ + cotθ)
⇒ (cosecθ - cotθ) = 1/(5/3)
∴ cosecθ - cotθ = 3/5
প্রদত্ত রাশি = {(1 - sin245°)/(1 + sin245°)} + tan245° 
= {1 - (1/√2)2}/{1 + (1/√2)2} + (1)2   [∴ sin 45° = 1/√2 ও tan 45° = 1] 
= {1 - (1/2)}/{1 + (1/2)} + 1 
= {(2 - 1)/2}/{(2 + 1)/2} + 1 
= (1/2)/(3/2) + 1 
= (1/3) + 1
= (1 + 3)/3
= 4/3

ফ্রিতে ২ লাখ প্রশ্নের টপিক, সাব-টপিক ভিত্তিক ও ১০০০+ জব শুলুশন্স বিস্তারিতে ব্যাখ্যাসহ পড়তে ও আপনার পড়ার ট্র্যাকিং রাখতে সাইটে লগইন করুন।

লগইন করুন
3tan230° + (1/4)sec60° + 5cot245° - (2/3)sin260°
= 3(tan30°)2 + (1/4)sec(60°) + 5(cot45°)2 - (2/3)(sin60°)2 
= 3 × (1/√3)2 + (1/4) × 2 + 5 × (1)2 - (2/3) × (√3/2)2 
= (3 × 1/3) + (1/2) + 5 - (2/3 × 3/4)
= 1 + 1/2 + 5 - 1/2
= (2 + 1 + 10 - 1)/2
= 12/2
= 6
দেওয়া আছে, sinθ + cosθ = √3
⇒ (sinθ + cosθ)2 = (√3)2
⇒ sin2θ + cos2θ + 2sinθ.cosθ = 3
⇒ 1 + 2sinθ.cosθ = 3
⇒ 2sinθ.cosθ = 2
∴  sinθ.cosθ =1

tanθ + cotθ
= sinθ/cosθ + cosθ/sinθ
= (sin2θ + cos2θ)/(sinθ.cosθ)
= 1/1
= 1
1 + tan2θ = 4
⇒ sec2θ = 4 [sec2θ = 1 + tan2θ]
⇒ (secθ)2 = (2)2
⇒ secθ = 2
⇒ secθ= sec60°
⇒ 0=60°
sec30∘
= 1/cos30∘
= 1/(√3/2)
= 2/√3
আমরা জানি,
sin2θ + cos2θ = 1
⇒ (4/5)2 + cos2θ = 1
⇒ 16/25 + cos2θ = 1
⇒ cos2θ = 1− 16/25
⇒ cos2θ = (25−16)/25
⇒ cos2θ = 9/25
⇒ cosθ= √9/√25
⇒ cosθ=3/5 (যেহেতু θ সাধারণত একটি সূক্ষ্ম কোণ ধরা হয়, তাই cosθ ধনাত্মক হবে)

এখন,
secθ = 1/cosθ
⇒ secθ = 1/(3/5)
⇒ secθ = 5/3
এখানে,
sinθ=4/5
লম্ব= 4 , অতিভুজ= 5
∴ ভূমি=√(52-42)
        = √(25-16)
        = √9 = 3
∴ tanθ= লম্ব/ভূমি=4/3
দেওয়া আছে sin A = 3/5 এবং cos B = 4/5। আমরা ধরে নেব যে A এবং B উভয়ই তীক্ষ্ণ কোণ (acute angles), তাই সাইন এবং কোসাইনের মানগুলো ধনাত্মক হবে।
ধাপ ১: sin A থেকে cos A এবং tan A নির্ণয়
ত্রিকোণমিতিক পরিচয় sin² A + cos² A = 1 ব্যবহার করে:

cos A = √(1 - sin² A) = √(1 - (3/5)²) = √(1 - 9/25) = √(16/25) = 4/5

সুতরাং,
tan A = sin A / cos A = (3/5) / (4/5) = 3/4

ধাপ ২: cos B থেকে sin B এবং tan B নির্ণয়
একইভাবে, ত্রিকোণমিতিক পরিচয় sin² B + cos² B = 1 ব্যবহার করে:
sin B = √(1 - cos² B) = √(1 - (4/5)²) = √(1 - 16/25) = √(9/25) = 3/5

সুতরাং,
tan B = sin B / cos B = (3/5) / (4/5) = 3/4

ধাপ ৩: tan(A + B) নির্ণয়
ট্যাঙ্গেন্ট যোগের সূত্র:

tan(A + B) = (tan A + tan B) / (1 - tan A * tan B)

মানগুলো বসিয়ে:

tan(A + B) = ((3/4) + (3/4)) / (1 - (3/4) * (3/4)) = (6/4) / (1 - 9/16) = (3/2) / (7/16)

এখন, ভগ্নাংশকে উল্টে গুণ করে:

(3/2) * (16/7) = (3 * 16) / (2 * 7) = 48/14 = 24/7
- sin ফাংশনের সর্বোচ্চ মান 1
- এটি 90° কোণে সংঘটিত হয়; sin 90° = 1
- অন্যান্য ত্রিকোণমিতিক ফাংশনের সর্বোচ্চ মান 1 থেকে কম:
cos সর্বোচ্চ মান 1 (0° কোণে)
tan সর্বোচ্চ মান অসীম
cot সর্বোচ্চ মান অসীম
{(1/cosθ) + (1/cotθ)} {(1/cosθ) - (1/cotθ)}
= (secθ + tanθ) (secθ - tanθ)
= sec2θ - tan2θ [যেহেতু, 1 + tan2θ = sec2θ]
= 1
sin(θ + 16°) = 1/2
⇒ sin(θ + 16°) = sin30°
⇒ θ + 16° = 30°
⇒ θ = 30° - 16°
∴ θ = 14°

ফ্রিতে ২ লাখ প্রশ্নের টপিক, সাব-টপিক ভিত্তিক ও ১০০০+ জব শুলুশন্স বিস্তারিতে ব্যাখ্যাসহ পড়তে ও আপনার পড়ার ট্র্যাকিং রাখতে সাইটে লগইন করুন।

লগইন করুন
দেওয়া আছে,
A = 60°

∴ 3 tanA/tan2A
= 3 tan60°/(tan60°)2
= 3√3/(√3)2
= 3√3/3
= √3
সঠিক উত্তর: 0 | ভুল উত্তর: 0