ত্রিকোণমিতি ও এর প্রয়োগ

ক) ৪/৫ খ) ৫/৩ গ) ৫/৪ ঘ) ৪/৩

ব্যাখ্যা (Explanation)

দেওয়া আছে,
tan A = 3/4

আমরা জানি, tan A = লম্ব / ভূমি
সুতরাং, লম্ব = 3 এবং ভূমি = 4

পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুসারে,
অতিভুজ = √(লম্ব² + ভূমি²)
= √(3² + 4²)
= √(9 + 16)
= √25
= 5

আমাদের বের করতে হবে sec A এর মান।
আমরা জানি, sec A = অতিভুজ / ভূমি
∴ sec A = 5/4

বিকল্প পদ্ধতি (সূত্রের সাহায্যে):
আমরা জানি, sec²A = 1 + tan²A
⇒ sec²A = 1 + (3/4)²
⇒ sec²A = 1 + 9/16
⇒ sec²A = (16 + 9) / 16
⇒ sec²A = 25/16
∴ sec A = √(25/16) = 5/4

একটি গাছের পাদদেশ হতে ২৬√৩ মিটার দূরের একটি স্থানে গাছটির শীর্ষের উন্নতি কোণ ৩০° হলে, গাছটির উচ্চতা কত মিটার?

ক) ৭৮ মিটার খ) ২৬ মিটার গ) ৫২ মিটার ঘ) ২৬√৩ মিটার

ব্যাখ্যা (Explanation)

ধরি,
গাছটির উচ্চতা = h মিটার
গাছের পাদদেশ থেকে দূরবর্তী স্থানের দূরত্ব = 26√3 মিটার
গাছটির শীর্ষের উন্নতি কোণ = 30°

আমরা জানি,
tan θ = লম্ব / ভূমি

এখন,
⇒ tan 30° = গাছটির উচ্চতা / গাছের পাদদেশ থেকে দূরবর্তী স্থানের দূরত্ব
⇒ tan 30° = h / 26√3
⇒ 1 / √3 = h / 26√3
⇒ h = (26√3) / √3
∴ h = 26 মিটার

∴ গাছটির উচ্চতা = 26 মিটার।

cotθ = 7/24 হলে, sinθ এর মান কত?

ক) 7/25 খ) 24/7 গ) 25/7 ঘ) 24/25

ব্যাখ্যা (Explanation)

আমরা জানি, cotθ = ভূমি / লম্ব।
দেওয়া আছে, cotθ = 7/24।
সুতরাং, ভূমি = 7 এবং লম্ব = 24।
এখন, আমরা পিথাগোরাসের উপপাদ্য ব্যবহার করে অতিভুজের মান নির্ণয় করব।
অতিভুজ² = লম্ব² + ভূমি²
অতিভুজ² = 24² + 7²
অতিভুজ² = 576 + 49
অতিভুজ² = 625
অতিভুজ = √625
অতিভুজ = 25
আমরা জানি, sinθ = লম্ব / অতিভুজ।
তাহলে, sinθ = 24/25।
সুতরাং, সঠিক উত্তর হলো D) 24/25।

1 - cos²A = ?

ক) cos²A খ) sin²A গ) tan²A ঘ) 1 + sin²A

ব্যাখ্যা (Explanation)

আমরা জানি,
sin²A + cos²A = 1

অতএব,
1 − cos²A = sin²A

উত্তর: sin²A

একটি ত্রিভুজের দুটি বাহু 6 সেমি ও 8 সেমি এবং এদের মধ্যবর্তী কোণ 60° হলে তৃতীয় বাহুর দৈর্ঘ্য কত?

ক) 10 সেমি খ) 2√13 সেমি গ) √52 সেমি ঘ) √76 সেমি

ব্যাখ্যা (Explanation)

আমরা Law of Cosines ব্যবহার করব:

c² = a² + b² − 2·a·b·cosC

এখানে,
a = 6, b = 8, C = 60°

cos60° = 1/2

c² = 6² + 8² − 2·6·8·(1/2)
c² = 36 + 64 − 48
c² = 52

তাহলে, c = √52

tan45° ⋅ cot45° এর মান কত?

ক) 1 খ) 0 গ) 2 ঘ) √2

ব্যাখ্যা (Explanation)

আমরা জানি, ত্রিকোণমিতিতে:
tan45° = 1
cot45° = 1

সুতরাং, tan45° ⋅ cot45° = 1 ⋅ 1 = 1

বিকল্পভাবে,
আমরা আরও জানি যে cotθ = 1/tanθ।
তাহলে, cot45° = 1/tan45°।
অতএব, tan45° ⋅ cot45° = tan45° ⋅ (1/tan45°) = 1

secθ = 13/5 হলে sinθ এর মান কত?

ক) 5/13 খ) 13/12 গ) 5/12 ঘ) 12/13

ব্যাখ্যা (Explanation)

আমরা জানি, secθ = 1/cosθ
অতএব, cosθ = 1/secθ = 1/(13/5) = 5/13

আমরা আরও জানি, sin²θ + cos²θ = 1

সুতরাং, sin²θ = 1 - cos²θ
sin²θ = 1 - (5/13)²
sin²θ = 1 - 25/169
sin²θ = (169 - 25)/169
sin²θ = 144/169
sinθ = √(144/169)
sinθ = 12/13

tanθ = a/b হলে, cosecθ এর মান কত?

ক) b/a খ) √(a²+b²)/a গ) a/√(a²+b²) ঘ) √(a²+b²)/b

ব্যাখ্যা (Explanation)

আমরা জানি,
tanθ = sinθ / cosθ = a / b

ধরি ত্রিভুজের বিপরীত বাহু = a, সংলগ্ন বাহু = b
অতঃপর কৌণিক ত্রিভুজে, বিপরীত বাহু = a, সংলগ্ন বাহু = b ⇒ অতিভুজ = √(a² + b²)

cosecθ = 1 / sinθ = অতিভুজ / বিপরীত বাহু = √(a² + b²) / a

উত্তর: √(a² + b²)/a

cos(90° - A) = ?

ক) cosA খ) tanA গ) -sinA ঘ) sinA

ব্যাখ্যা (Explanation)

ধরা যাক, একটি সমকোণী ত্রিভুজ ABC আছে, যেখানে কোণ B = 90°।
তাহলে, কোণ A + কোণ C = 90° হবে।
সুতরাং, কোণ C = 90° - কোণ A।
এখন, ত্রিভুজের সংজ্ঞা অনুযায়ী:
sin A = (লম্ব/অতিভুজ) = (BC/AC)
এবং
cos C = (ভূমি/অতিভুজ) = (BC/AC)
যেহেতু C = 90° - A, আমরা cos C এর পরিবর্তে cos(90° - A) লিখতে পারি।
তাহলে আমরা পাই:
cos(90° - A) = BC/AC
এবং আমরা আগেও দেখেছি যে:
sin A = BC/AC
সুতরাং, cos(90° - A) = sin A।

sin 30° + cos 60° এর মান কত?

ক) √3 খ) 1 গ) 1/2 ঘ) √3/2

ব্যাখ্যা (Explanation)

sin 30° এর মান হলো 1/2।
cos 60° এর মান হলো 1/2।
তাহলে, sin 30° + cos 60° = 1/2 + 1/2 = 1।

যদি A + B = 90° এবং tanA = 1/√3 হয়, তবে B এর মান কত?

ক) 30° খ) 45° গ) 60° ঘ) 75°

Job Solutions

ব্যাখ্যা (Explanation)

দেওয়া আছে:
A + B = 90°
tanA = 1/√3
আমরা জানি যে tan 30° = 1/√3।
সুতরাং, tanA = tan 30°
এর থেকে আমরা পাই A = 30°।
এখন, A এর মান (30°) আমরা প্রথম সমীকরণে বসাবো:
A + B = 90°
30° + B = 90°
B এর মান বের করার জন্য 30° কে সমীকরণের ডান পাশে নিয়ে যাব:
B = 90° - 30°
B = 60°
অতএব, B এর মান 60°।
সঠিক উত্তর হল C) 60°।

cosecθ = √2 হলে θ এর মান কত?

ক) 45° খ) 30° গ) 60° ঘ) 90°

Job Solutions

ব্যাখ্যা (Explanation)

দেওয়া আছে, cosecθ = √2
আমরা জানি, sinθ = 1/cosecθ
সুতরাং, sinθ = 1/√2
আমরা ত্রিকোণমিতিক অনুপাতের মান থেকে জানি যে, sin 45° = 1/√2
অতএব, sinθ = sin 45°
সুতরাং, θ = 45°
সঠিক উত্তর হল A) 45°।

tanθ = 3/4 হলে, cosecθ এর মান কত?

ক) 4/5 খ) 5/4 গ) 4/3 ঘ) 5/3

ব্যাখ্যা (Explanation)

এখানে tanθ = 3/4 দেওয়া আছে।
আমরা জানি, tanθ = লম্ব / ভূমি।
সুতরাং, লম্ব = 3 এবং ভূমি = 4।
পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুসারে,
অতিভুজ² = লম্ব² + ভূমি²
অতিভুজ² = 3² + 4²
অতিভুজ² = 9 + 16
অতিভুজ² = 25
অতিভুজ = √25
অতিভুজ = 5
এখন, আমাদের cosecθ এর মান বের করতে হবে।
আমরা জানি, cosecθ = অতিভুজ / লম্ব।
cosecθ = 5 / 3।
সুতরাং, সঠিক উত্তর হলো D) 5/3।

sinθ = 4/5 হলে, secθ এর মান কত?

ক) 4/3 খ) 5/4 গ) 5/3 ঘ) 3/4

শিক্ষক নিবন্ধন

ব্যাখ্যা (Explanation)

আমরা জানি, sinθ = লম্ব / অতিভুজ।
এখানে, sinθ = 4/5, অর্থাৎ, লম্ব = 4 এবং অতিভুজ = 5।
পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুসারে,
(লম্ব)² + (ভূমি)² = (অতিভুজ)²
(4)² + (ভূমি)² = (5)²
16 + (ভূমি)² = 25
(ভূমি)² = 25 - 16
(ভূমি)² = 9
ভূমি = √9
ভূমি = 3
এখন, আমরা জানি, secθ = অতিভুজ / ভূমি।
সুতরাং, secθ = 5 / 3।
অতএব, সঠিক উত্তরটি হলো C) 5/3।

cos(-θ) এর মান কোনটি?

ক) cosθ খ) -cosθ গ) sinθ ঘ) -sinθ

ব্যাখ্যা (Explanation)

আমরা জানি যে ত্রিকোণমিতিতে, কোসাইন ফাংশনটি একটি জোড় (even) ফাংশন। এর অর্থ হলো, যদি আপনি কোসাইন ফাংশনে একটি ধনাত্মক বা ঋণাত্মক কোণ ইনপুট করেন, তাহলে আউটপুট একই থাকবে।
গাণিতিকভাবে, এটি এভাবে প্রকাশ করা হয়:
cos(-θ) = cos(θ)
যদি আমরা একটি একক বৃত্ত (unit circle) দিয়ে এটি কল্পনা করি, তাহলে:
θ (থিটা): একটি ধনাত্মক কোণ, যা ঘড়ির কাঁটার বিপরীত দিকে পরিমাপ করা হয়।
-θ (মাইনাস থিটা): একটি ঋণাত্মক কোণ, যা ঘড়ির কাঁটার দিকে পরিমাপ করা হয় এবং এর মান θ এর সমান।
যখন আপনি এই দুটি কোণের জন্য x-অক্ষ বরাবর প্রজেকশন দেখেন (যা কোসাইন মান), তখন দেখবেন যে প্রজেকশন একই বিন্দুতে পড়ে।
উদাহরণস্বরূপ, যদি θ = 30° হয়:
cos(30°) = √3/2
এবং cos(-30°) = cos(30°) = √3/2
এই কারণে, cos(-θ) এর মান cosθ এর সমান।

secθ + tanθ = 7/5 হলে, secθ - tanθ এর মান কত?

ক) 7/5 খ) 25/49 গ) 49/25 ঘ) 5/7

শিক্ষক নিবন্ধন

ব্যাখ্যা (Explanation)

আমরা জানি, ত্রিকোণমিতির একটি অভেদ হলো:
sec²θ - tan²θ = 1
এই অভেদটিকে আমরা (a² - b²) = (a - b)(a + b) সূত্রে ভাঙতে পারি।
সুতরাং, (secθ - tanθ)(secθ + tanθ) = 1
প্রশ্নমতে, secθ + tanθ = 7/5
এই মানটি আমরা সমীকরণে বসাই:
(secθ - tanθ)(7/5) = 1
এখন secθ - tanθ এর মান বের করার জন্য আমরা উভয় পক্ষকে 7/5 দ্বারা ভাগ করব (বা 5/7 দ্বারা গুণ করব):
secθ - tanθ = 1 / (7/5)
secθ - tanθ = 1 * (5/7)
secθ - tanθ = 5/7
অতএব, সঠিক উত্তর হলো D) 5/7।

3cotA = 4 হলে, sinA এর মান কত?

ক) 4/5 খ) 3/5 গ) 4/3 ঘ) 5/4

ব্যাখ্যা (Explanation)

দেওয়া আছে,
3cotA = 4
cotA = 4/3
আমরা জানি, cotA = ভূমি/লম্ব
সুতরাং, ভূমি = 4 একক এবং লম্ব = 3 একক।
এখন, অতিভুজ নির্ণয় করতে হবে।
পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুসারে,
অতিভুজ² = লম্ব² + ভূমি²
অতিভুজ² = 3² + 4²
অতিভুজ² = 9 + 16
অতিভুজ² = 25
অতিভুজ = √25
অতিভুজ = 5 একক।
আমরা জানি, sinA = লম্ব/অতিভুজ
সুতরাং, sinA = 3/5
সঠিক উত্তর হল B) 3/5

যদি sinθ = cosθ হয়, যেখানে 0° < θ < 90°, তবে θ এর মান কত?

ক) 30° খ) 60° গ) 45° ঘ) 90°

Job Solutions

ব্যাখ্যা (Explanation)

ধরি, sinθ = cosθ

উভয় পাশে 1/cosθ দিয়ে ভাগ করি:

sinθ / cosθ = 1
=> tanθ = 1

যেখানে 0° < θ < 90°, tanθ = 1 হলে,
θ = 45°

উত্তর: 45°

sin(9π/2 + θ) = ?

ক) cosθ খ) -cosθ গ) sinθ ঘ) -sinθ

ব্যাখ্যা (Explanation)

প্রথমে 9π/2 কোণটিকে 2π এর গুণিতকে বিভাজন করি —

9π/2 = 8π/2 + π/2 = 4π + π/2

এখন, আমরা জানি
sin(2nπ + α) = sinα

অতএব,
sin(9π/2 + θ) = sin(4π + π/2 + θ)
= sin(π/2 + θ) [কারণ sin(4π + α) = sinα]

এখন সূত্র অনুযায়ী,
sin(π/2 + θ) = cosθ

অতএব, sin(9π/2 + θ) = cosθ

cosecθ + cotθ = 5/3 হলে cosecθ - cotθ এর মান কত?

ক) 5/3 খ) 2/3 গ) 4/5 ঘ) 3/5

ব্যাখ্যা (Explanation)

আমরা জানি,
cosec²θ - cot²θ = 1
⇒ (cosecθ + cotθ)(cosecθ - cotθ) = 1
⇒ (cosecθ - cotθ) = 1/(cosecθ + cotθ)
⇒ (cosecθ - cotθ) = 1/(5/3)
∴ cosecθ - cotθ = 3/5

1 - sin²45/(1 + sin²45} + tan²45° এর মান কত?

ক) 1/3 খ) 1 গ) 4/3 ঘ) 7/3

ব্যাখ্যা (Explanation)

প্রদত্ত রাশি = {(1 - sin²45°)/(1 + sin²45°)} + tan²45°
= {1 - (1/√2)²}/{1 + (1/√2)²} + (1)² [∴ sin 45° = 1/√2 ও tan 45° = 1]
= {1 - (1/2)}/{1 + (1/2)} + 1
= {(2 - 1)/2}/{(2 + 1)/2} + 1
= (1/2)/(3/2) + 1
= (1/3) + 1
= (1 + 3)/3
= 4/3

3tan²30° + (1/4)sec60° + 5cot²45° - (2/3)sin²60° এর মান কত?

ক) 6 খ) 5 গ) 7 ঘ) 6.5

ব্যাখ্যা (Explanation)

3tan²30° + (1/4)sec60° + 5cot²45° - (2/3)sin²60°
= 3(tan30°)² + (1/4)sec(60°) + 5(cot45°)² - (2/3)(sin60°)²
= 3 × (1/√3)² + (1/4) × 2 + 5 × (1)² - (2/3) × (√3/2)²
= (3 × 1/3) + (1/2) + 5 - (2/3 × 3/4)
= 1 + 1/2 + 5 - 1/2
= (2 + 1 + 10 - 1)/2
= 12/2
= 6

যদি sinθ + cosθ = √3 হয়, তাহলে tanθ + cotθ এর মান কত হবে?

ক) 2 খ) 1 গ) √3 ঘ) 0

ব্যাখ্যা (Explanation)

দেওয়া আছে, sinθ + cosθ = √3
⇒ (sinθ + cosθ)² = (√3)²
⇒ sin²θ + cos²θ + 2sinθ.cosθ = 3
⇒ 1 + 2sinθ.cosθ = 3
⇒ 2sinθ.cosθ = 2
∴ sinθ.cosθ =1

tanθ + cotθ
= sinθ/cosθ + cosθ/sinθ
= (sin²θ + cos²θ)/(sinθ.cosθ)
= 1/1
= 1

ভূমির উপর লম্বভাবে দণ্ডায়মান একটি খুঁটি এক-তৃতীয়াংশ উচ্চতায় ভেঙ্গে গেল এবং ভাঙ্গা অংশ দণ্ডায়মান অংশের সাথে অবিচ্ছিন্ন থেকে খুঁটির শীর্ষবিন্দু ভূমি স্পর্শ করল। খুঁটির ভাঙ্গা অংশ কর্তৃক ভূমির সাথে উৎপন্ন কোণের পরিমাণ কত?

ক) ৩০° খ) ৪৫° গ) ৬০° ঘ) ৯০°

ব্যাখ্যা (Explanation)

ধরি, সম্পূর্ণ দৈর্ঘ্য = L
∴ দণ্ডায়মান অংশ হবে = L/3

∴ ভাঙ্গা অংশ = L - (L/3) = (3L - L)/3
= 2L/3

আমরা জানি,
sinθ = লম্ব/অতিভুজ
= (L/3)/(2L/3)
= 3L/6L
= 1/2
⇒ sinθ = sin30°
∴ θ = 30°

যদি 1 + tan²θ = 4 এবং θ < 90° হয়, θ = ?

ক) 30° খ) 45° গ) 60° ঘ) 0°

ব্যাখ্যা (Explanation)

1 + tan²θ = 4
⇒ sec²θ = 4 [sec²θ = 1 + tan²θ]
⇒ (secθ)² = (2)²
⇒ secθ = 2
⇒ secθ= sec60°
⇒ 0=60°

If tan A = 4/5, what is the value of (2 sin A + 3 cos A) / (4 cos A + 3 sin A)?

ক) 23/32 খ) 32/41 গ) 25/32 ঘ) 29/41

sec30° এর মান কত?

ক) 2/√3 খ) √3/2 গ) 1/2 ঘ) √2

ব্যাখ্যা (Explanation)

sec30^∘
= 1/cos30^∘
= 1/(√3/2)
= 2/√3

যদি sinθ = 4/5 হয়, তবে cosθ এর বিপরীত পরিমাপ secθ কত হবে?

ক) 5/4 খ) 4/3 গ) 5/3 ঘ) 3/5

ব্যাখ্যা (Explanation)

আমরা জানি,
sin²θ + cos²θ = 1
⇒ (4/5)² + cos²θ = 1
⇒ 16/25 + cos²θ = 1
⇒ cos²θ = 1− 16/25
⇒ cos²θ = (25−16)/25
⇒ cos²θ = 9/25
⇒ cosθ= √9/√25
⇒ cosθ=3/5 (যেহেতু θ সাধারণত একটি সূক্ষ্ম কোণ ধরা হয়, তাই cosθ ধনাত্মক হবে)

এখন,
secθ = 1/cosθ
⇒ secθ = 1/(3/5)
⇒ secθ = 5/3

sinθ = 4/5 হলে tanθ = কত?

ক) 4/3 খ) 3/4 গ) 3/5 ঘ) 5/4

শিক্ষক নিবন্ধন

ব্যাখ্যা (Explanation)

এখানে,
sinθ=4/5
লম্ব= 4 , অতিভুজ= 5
∴ ভূমি=√(5²-4²)
= √(25-16)
= √9 = 3
∴ tanθ= লম্ব/ভূমি=4/3

একটি ঘুড়ি ভূমি থেকে ৫৫ মিটার উপরে উড়ছে, যার সুতা ভূমির সাথে ৬০ ডিগ্রি কোণ উৎপন্ন করে। সুতার দৈর্ঘ্য কত মিটার?

ক) ৬৫ খ) ১১০ গ) ১৩৫/২ ঘ) ১২৭/২

Job Solutions

ব্যাখ্যা (Explanation)

SIN ৩০° = AC ÷ AB
⇒ AB = AC ÷ SIN ৩০°
⇒ AB = ৫৫ ÷ ০.৫
⇒ AB = ১১০

অতএব, সুতার দৈর্ঘ্য হবে ১১০ মিটার।

প্রথম ৩০টি প্রশ্নের ব্যাখ্যা ওয়েবসাইটে; সবগুলোর সম্পূর্ণ ব্যাখ্যা পেতে অ্যাপ ইন্সটল করুন।

নিজের প্রস্তুতি যাচাই করুন — অ্যাপে লাইভ পরীক্ষা দিয়ে মেরিট লিস্টে নিজের অবস্থান দেখুন।

এই টপিকের সব প্রশ্ন ব্যাখ্যাসহ, ভুল-সঠিক-বুকমার্ক আলাদা করে রিভিশন — অ্যাপে।