চতুর্ভুজ (83 টি প্রশ্ন )
 Back to Subject Page   All Topics
i
ব্যাখ্যা (Explanation):
ধরি, আয়তক্ষেত্রটির উচ্চতা = ক একক
শর্তানুসারে, আয়তক্ষেত্রটির ভূমি = ৩ক একক

আমরা জানি, আয়তক্ষেত্রের পরিসীমা = ২ × (ভূমি + উচ্চতা)
= ২ × (৩ক + ক)
= ২ × ৪ক
= ৮ক একক

শর্তমতে,
৮ক = ৬৪
বা, ক = ৬৪ ÷ ৮
বা, ক = ৮

অতএব, আয়তক্ষেত্রটির উচ্চতা = ৮ একক
এবং ভূমি = (৩ × ৮) = ২৪ একক

সুতরাং, আয়তক্ষেত্রটির ক্ষেত্রফল = (ভূমি × উচ্চতা)
= (২৪ × ৮) বর্গ একক
= ১৯২ বর্গ একক
i
ব্যাখ্যা (Explanation):
i
ব্যাখ্যা (Explanation):
মনে করি, রেখাংশের দৈর্ঘ্য = ক একক
∴ ক্ষেত্রফল = ক২ বর্গ একক

আবার,
∴  এক- চতুর্থাংশের দৈর্ঘ্য = ক/৪
∴ ক্ষেত্রফল = (ক/৪) = ক২/১৬

∴  বড় বর্গক্ষেত্র ছোটটির = ক২/(ক২/১৬) = ১৬ গুণ
i
ব্যাখ্যা (Explanation):
আমরা জানি,
একটি চতুর্ভুজের চারটি কোণের যোগফল ৩৬০°
দেওয়া অনুপাত গুলো হলো = ২ : ৪ : ৪ : ৫

ধরি, কোণগুলো হলো ২x, ৪x, ৪x, ৫x

প্রশ্নমতে,
⇒ ২x + ৪x + ৪x + ৫x = ৩৬০°
⇒ ১৫x = ৩৬০°
⇒ x = ৩৬০°/১৫
∴ x = ২৪°

∴ বৃহত্তম কোণ = ৫ × ২৪° = ১২০°
∴ বৃহত্তম কোণ = ২ × ২৪° = ৪৮°

∴ পার্থক্য = ১২০° - ৪৮° = ৭২°
i
ব্যাখ্যা (Explanation):
দেওয়া আছে:
- পরিসীমা = 16 সেমি
- কর্ণ = 4 সেমি

 ধরি:
 দৈর্ঘ্য = l
 প্রস্থ = w

সূত্র:
1. পরিসীমা = 2(l + w) = 16
=> l + w = 8

2. কর্ণ = √(l² + w²) = 4
=> l² + w² = 16

এখন:
(l + w)² = l² + 2lw + w²
8² = 16 + 2lw
64 = 16 + 2lw
2lw = 48
lw = 24

ক্ষেত্রফল = l × w = 24 বর্গ সেমি
i
ব্যাখ্যা (Explanation):
আমরা জানি,
রম্বসের ক্ষেত্রফল = 1/2 × কর্ণদ্বয়ের গুণফল
                      = (1/2) × 40 × 60
                      = 1200 বর্গ সে.মি.
i
ব্যাখ্যা (Explanation):
ধরি,
দৈর্ঘ্য = x 
প্রস্থ = y

সুতরাং, ক্ষেত্রফল = xy

১ম শর্তমতে, (x - 5)(y + 3) = xy
বা, xy + 3x - 5y - 15 = xy
বা, 3x - 5y - 15 = 0 …........(i)

২য় শর্তমতে,
(x + 5)(y - 2) = xy
বা, xy - 2x + 5y - 10 = xy
বা, 2x - 5y + 10 = 0 ..............(ii)

(i) - (ii) ⇒
x - 25 = 0
x = 25

∴ আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য = 25 মিটার।
এবং প্রস্থ = 12 মিটার।
i
ব্যাখ্যা (Explanation):
ধরি, ছোট কোণ = x°
বড় কোণ = 2x°
সামান্তরিকের দুটি সন্নিহিত কোণের সমষ্টি = 180°
⇒ x° + 2x° = 180°
⇒ 3x° = 180°
⇒ x = 60°
∴ বড় কোণ = 2x = 2 × 60° = 120°
i
ব্যাখ্যা (Explanation):
মনেকরি,
বর্গের এক বাহুর দৈর্ঘ্য = x সে. মি.
বর্গের ক্ষেত্রফল = x * x সে. মি.
= x2


আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য 40 সে.মি
আয়তক্ষেত্রের প্রস্থ 3x/2 সে.মি

প্রশ্নমতে,
(3x/2) × 40 = 3x2
⇒ 60x = 3x2
⇒ x = 20

∴ বর্গের এক বাহুর দৈর্ঘ্য =20 সে. মি.

এখানে প্রথম ৩০টি প্রশ্নের ব্যাখ্যা দেখতে পারবেন, বাকি সব প্রশ্নের সম্পূর্ণ ব্যাখ্যা পেতে এখনই অ্যাপ ইন্সটল করুন।

Install App
i
ব্যাখ্যা (Explanation):
- যে চতুর্ভুজের প্রত্যেকটি বাহু সমান ও সমান্তরাল এবং কোণগুলো সমকোণ নয় তাকে রম্বস বলে।
- রম্বসের সকল বাহু সমান হয়। 
- রম্বসের একটি কোণও সমকোণ নয়। 
- রম্বসের কর্ণদ্বয় পরস্পরকে সমকোণে সমদ্বিখণ্ডিত করে।
- রম্বসের বিপরীত কোণগুলো পরস্পর সমান।
i
ব্যাখ্যা (Explanation):
আমরা জানি,
বর্গের কর্ণের দৈর্ঘ্য = a√2 [এখানে, a = বাহু]
⇒ 4√2 = a√2
∴ a = 4

∴ পরিসীমা = 4a = 4 × 4 = 16
পরিসীমার অর্ধেক = 16/2 = 8
অতএব, পরিসীমার অর্ধেকের এক-চতুর্থাংশের মান = 8/4 = 2 একক
i
ব্যাখ্যা (Explanation):
ধরি,
কর্ণদ্বয় যথাক্রমে ৪ক এবং ৫ক

প্রশ্নমতে,
(১/২) × ৪ক × ৫ক = ৩৬০
⇒ ১০ক২ = ৩৬০
⇒ ক২ = ৩৬০/১০
⇒ ক২ = ৩৬
∴ ক = ৬

তাহলে, রম্বসের কর্ণদ্বয়ের দৈর্ঘ্য হবে যথাক্রমে ৪ × ৬ = ২৪ সে.মি. এবং ৫ × ৬ = ৩০ সে.মি.
∴ ছোট কর্ণটির দৈর্ঘ্য ২৪ সে.মি.।
i
ব্যাখ্যা (Explanation):
রম্বসের প্রধান বৈশিষ্ট্যগুলি হলো:

- রম্বসের চারটি বাহু পরস্পর সমান।
- রম্বসের বিপরীত কোণগুলি পরস্পর সমান।
- রম্বসের কর্ণদ্বয় পরস্পরকে সমকোণে ছেদ করে।
- রম্বসের কর্ণদ্বয় রম্বসটিকে চারটি সমবাহু ত্রিভুজে বিভক্ত করে।
i
ব্যাখ্যা (Explanation):
আমরা জানি,
রম্বসের ক্ষেত্রফল = (১/২) × ২ কর্ণের গুনফল
                     ={(১/২) × ৮ × ৯ } বর্গ সে.মি.
                     =৩৬  বর্গ সে.মি.

প্রশ্নমতে, বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল =৩৬  বর্গ সে.মি
∴ বর্গক্ষেত্রের একবাহুর দৈর্ঘ্য = √৩৬ সে.মি.
                                   =৬ সে.মি.
∴ বর্গক্ষেত্রের কর্ণের দৈর্ঘ্য = ৬√২ সে.মি.
i
ব্যাখ্যা (Explanation):
মনে করি, সমান্তরাল বাহুদ্বয় x ও (x + 2) মিটার

ট্রাপিজিয়ামের ক্ষেত্রফল = (1/2) × 3 × (x + x + 2) বর্গ মিটার

প্রশমতে,
(1/2) × 3 × (x + x + 2) = 30
বা, 2x + 2 = 20
বা, 2x = 18
বা, x = 9

বৃহত্তম বাহুটির দৈর্ঘ্য = 9 + 2 = 11 মিটার
i
ব্যাখ্যা (Explanation):
রম্বসের প্রধান বৈশিষ্ট্যগুলি হলো:

-রম্বসের চারটি বাহু পরস্পর সমান।
-রম্বসের বিপরীত কোণগুলি পরস্পর সমান।
-রম্বসের কর্ণদ্বয় পরস্পরকে সমকোণে ছেদ করে।
-রম্বসের কর্ণদ্বয় রম্বসটিকে চারটি সমবাহু ত্রিভুজে বিভক্ত করে।
i
ব্যাখ্যা (Explanation):
আয়তক্ষেত্রের বৈশিষ্ট্য:
- আয়তক্ষেত্রের চারটি বাহু থাকে।
- আয়তক্ষেত্রের চারটি কোণ সমকোণ (90°) হয়।
- আয়তক্ষেত্রের বিপরীত বাহুগুলি দৈর্ঘ্যে সমান হয়।
- আয়তক্ষেত্রের বিপরীত বাহুগুলি সমান্তরাল হয়।
- আয়তক্ষেত্রের কর্ণগুলি সমান দৈর্ঘ্যের এবং একে অপরকে সমদ্বিখণ্ডিত করে।
- আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = দৈর্ঘ্য × প্রস্থ
- আয়তক্ষেত্রের পরিধি = 2 × (দৈর্ঘ্য + প্রস্থ) 
i
ব্যাখ্যা (Explanation):

আমারা জানি আয়তক্ষেত্রেরঃ
- প্রতিটি কোণ ৯০°।
- বিপরীত বাহুগুলোর দৈর্ঘ্য পরস্পর সমান।
- বিপরীত বাহুগুলো সমান্তরাল।
- কর্ণদ্বয় দৈর্ঘ্যে সমান এবং তারা পরস্পরকে সমদ্বিখন্ডিত করে।
i
ব্যাখ্যা (Explanation):
মনে করি,
দৈর্ঘ্য x এবং প্রস্থ y

∴ ক্ষেত্রফল = xy

প্রশ্নমতে,

1.1x (1 - p)y = .88xy

⇒ 1.1xy - 1.1pxy = .88xy

⇒  1.1pxy = .22xy

⇒ p = .22xy / 1.1xy

⇒  p = .2

অর্থাৎ, p = 20%

এখানে,

1. প্রথমে, আমরা আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য x এবং প্রস্থ y ধরে নিলাম। তাহলে ক্ষেত্রফল হবে xy।

2. এখন, দৈর্ঘ্য 10% বাড়লে নতুন দৈর্ঘ্য হবে 1.1x (কারণ 100% + 10% = 110% = 1.1)।

3. প্রস্থ P% কমলে নতুন প্রস্থ হবে (1-P/100)y বা সহজে (1-p)y।

4. নতুন ক্ষেত্রফল হবে পুরানো ক্ষেত্রফলের 88% (কারণ 12% কমেছে)। তাই, 0.88xy।

5. এখন আমরা একটি সমীকরণ পেলাম: নতুন দৈর্ঘ্য × নতুন প্রস্থ = নতুন ক্ষেত্রফল
অর্থাৎ, 1.1x × (1-p)y = 0.88xy

6. এই সমীকরণ থেকে p এর মান বের করলে আমরা পেলাম 0.2 বা 20%।

সুতরাং, আয়তক্ষেত্রের প্রস্থ 20% কমানো হয়েছিল।

এই সমাধানে আমরা দেখলাম যে, দৈর্ঘ্য বাড়ানো এবং প্রস্থ কমানোর পরও কীভাবে মোট ক্ষেত্রফল কমে গেল। এটি দেখায় যে, দুটি পরিমাপের মধ্যে একটি বাড়লেও, অন্যটি যদি বেশি পরিমাণে কমে, তাহলে মোট ফলাফল কমতে পারে।

এখানে প্রথম ৩০টি প্রশ্নের ব্যাখ্যা দেখতে পারবেন, বাকি সব প্রশ্নের সম্পূর্ণ ব্যাখ্যা পেতে এখনই অ্যাপ ইন্সটল করুন।

Install App
i
ব্যাখ্যা (Explanation):
করিম যদি x সংখ্যক স্ট্যাম্প কিনেছে,
তাহলে ২ টাকা মানের স্ট্যাম্পের সংখ্যা x,
৩ টাকা মানের স্ট্যাম্পের সংখ্যাও x।
সুতরাং,
2x + 3x = 100
5x = 100
x = 20
সুতরাং, করিম মোট 20x = 40টি স্ট্যাম্প কিনেছে।

i
ব্যাখ্যা (Explanation):

উপরের চিত্রটি দেখুন। আয়তক্ষেত্রের বিপরীত বাহুগুলো সমান সমান হওয়ায় তাদের মধ্যবিন্দুগুলো যোগ করলে সবগুলো বাহু সমান হয়। 
সুতরাং চিত্রানুযায়ী PQRS একটি রম্বস।
i
ব্যাখ্যা (Explanation):
-চতুর্ভুজ অঙ্কন করতে নিম্নের উপাত্তগুলো জানা প্রয়োজনঃ 
-(১) চারটি বাহু ও একটি কোণ, 
-(২) চারটি বাহু ও একটি কর্ণ, 
-(৩) তিনটি বাহু ও দুইটি কর্ণ, 
-(৪) তিনটি বাহু ও তাদের অন্তর্ভুক্ত দুইটি কোণ, 
-(৫) দুইটি বাহু ও তিনটি কোণ, 
-(৬) দুইটি কর্ণের খন্ডিত অংশসমূহ ও কর্ণ দুইটির অন্তর্ভুক্ত একটি কোণ। 
 
-কাজেই সঠিক উত্তর (ঘ)।
i
ব্যাখ্যা (Explanation):
ধরি, সরলরেখার অর্ধেকের দৈর্ঘ্য x এবং তার উপর অংকিত বর্গ =x2 
∴ সরলরেখার দৈর্ঘ্য = 2x এবং তার উপর অংকিত বর্গ = (2x)2 
= 4x2 = 4 * (অর্ধেকের উপর অংকিত বর্গ)
   অর্থাৎ  4 গুন
i
ব্যাখ্যা (Explanation):
ধরি কোণ গুলো যথাক্রমে x, 2x,2x,3x
আমরা জানি, চতুর্ভুজের চারকোণের সমষ্টি ৩৬০°
∴ x+2x+2x+3x= ৩৬০°
⇒৮x=৩৬০°
∴ x=৪৫°
i
ব্যাখ্যা (Explanation):

-সামান্তরিকের কর্ণদ্বয় পরস্পর সমান এবং বিপরীর বাহুগুলো পরস্পর সমান ও সমান্তরাল হলে তাকে আয়তক্ষেত্র বলে ।
-চিত্রে ,ABCD আয়তক্ষেত্রের কর্ণ AD=BC
i
ব্যাখ্যা (Explanation):
চতুর্ভুজের চার কোণের সমষ্টি = ৩৬০º
 দেওয়া আছে, চতুর্ভুজের তিন কোণের সমষ্টি ৩০০º
   চতুর্থ কোণের সমষ্টি = ৩৬০º -৩০০º=৬০º
i
ব্যাখ্যা (Explanation):

ক্ষুদ্রতম কর্ণের দৈর্ঘ্য = 2a cm
বৃহত্তম কর্ণের দৈর্ঘ্য = 3a cm
∴ ক্ষেত্রফল = 1/2 × 2a × 3a = 48
বা, 3a2 = 48
বা, a2 = 16
∴ a = 4
∴ বৃহত্তম কর্ণের দৈর্ঘ্য = 3.4
= 12 সে. মি.
i
ব্যাখ্যা (Explanation):
পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুসারে, (কর্ণ)2 = (বাহু)2 + (বাহু)2
বা, (কর্ণ)2 = 2 × (বাহু)2
বা, (কর্ণ)2 = 2 × (10)2
বা, (কর্ণ)2 = 2 × 100
বা, (কর্ণ)2 = 200 বর্গমিটার
i
ব্যাখ্যা (Explanation):


রম্বসের কর্ণদ্বয় পরস্পরকে সমকোণে সমদ্বিখন্ডিত করে।
সুতরাং উল্লিখিত কর্ণটির খন্ডিতাংশের দৈর্ঘ্য ২৪/২=১২ সেমি
অতএব কর্ণের খন্ডিতাংশের দৈর্ঘ্য = √{(১৩)২ -(১২)২}=√(১৬৯ -১৪৪) =√২৫ =৫
অতএব কর্ণটির দৈর্ঘ্য ২×৫ =১০ সেমি

এখানে প্রথম ৩০টি প্রশ্নের ব্যাখ্যা দেখতে পারবেন, বাকি সব প্রশ্নের সম্পূর্ণ ব্যাখ্যা পেতে এখনই অ্যাপ ইন্সটল করুন।

Install App
i
ব্যাখ্যা (Explanation):
চতুর্ভুজের চারটি কোণের সমষ্টি 360º
∠A+∠B+∠C+∠D=360º
2∠D+∠D=360º
or,3∠D=360º
∠D=360º/3=120º
সঠিক উত্তর: 0 | ভুল উত্তর: 0