বর্গ ও বর্গমূল

ক) ০.০৩ খ) ০.৩ গ) ০.০০৩ ঘ) ৩.০

ব্যাখ্যা (Explanation)

দেওয়া আছে, প্রদত্ত রাশিটি হলো: √০.০৯ ।
প্রথমত, দশমিক সংখ্যাটিকে সাধারণ ভগ্নাংশে রূপান্তর করতে হবে।
দশমিকের পর দুই ঘর থাকায় ০.০৯ = ৯/১০০ ।

এখন, √০.০৯ = √(৯/১০০) ।
লব ও হরের আলাদা বর্গমূল নিয়ে পাই: √৯ / √১০০ ।
আমরা জানি, ৯ = ৩² তাই √৯ = ৩ এবং ১০০ = ১০² তাই √১০০ = ১০ ।

সুতরাং, √৯ / √১০০ = ৩/১০ ।
এখন ৩/১০ কে দশমিকে রূপান্তর করলে পাওয়া যায় ০.৩ ।

* যাচাইকরণ: ০.৩ × ০.৩ = ০.০৯, তাই ০.০৯ এর বর্গমূল হলো ০.৩ ।
* সঠিক উত্তর: অপশন 2: ০.৩
সোর্সঃ খাইরুল বেসিক গণিত

২০১৭২ সংখ্যক সৈন্যকে বর্গাকারে সাজাতে গিয়ে ৮ জন অতিরিক্ত হয়। প্রতি সারিতে সৈন্য সংখ্যা কত?

ক) ১৪০ খ) ১৪১ গ) ১৪২ ঘ) ১৪৩

ব্যাখ্যা (Explanation)

২০১৭২ সংখ্যক সৈন্যকে বর্গাকারে সাজাতে গিয়ে ৮ জন অতিরিক্ত হয়

তাহলে , সৈন্য বর্গাকারে সাজানো হয় = (২০১৭২ - ৮)জন = ২০১৬৪ জন

২০১৬৪ এর বর্গমূল = ১৪২ তাহলে, সারি ১৪২ টি

কোন সংখ্যার বর্গমূলের সাথে ২০ যোগ করলে যোগফল ৫ এর বর্গ হবে?

ক) ৩০ খ) ১৮ গ) ২০ ঘ) ২৫

Job Solutions

ব্যাখ্যা (Explanation)

মনে করি, সংখ্যাটি = x
প্রশ্নমতে, √x+20 = 5²
⇒√x+20=25
⇒√x=25-20
⇒√x=5
⇒x=5²
⇒x=25

√১৬৯ = ১৩ হলে √১২১ = ?

ক) ১৪ খ) ১৬ গ) ১১ ঘ) ১২

Job Solutions বিসিএস

ব্যাখ্যা (Explanation)

এখানে, √১৬৯ = √১৩^২ = ১৩
√১২১ = √১১^২ = ১১

√169 is equal to-

ক) 11 খ) 13 গ) 15 ঘ) 17

Job Solutions বিসিএস

ব্যাখ্যা (Explanation)

বর্গমূল করার গতানুগতিক পদ্ধতিতে,
$\sqrt{169} = \sqrt{13 \times 13}$
= $\sqrt{13^2}$
= 13
সুতরাং, $\sqrt{169}$ = 13

বিকল্প পদ্ধতি (শর্টকাট):
যেকোনো পূর্ণবর্গ সংখ্যার এককের ঘরের অঙ্ক 9 হলে, তার বর্গমূলের এককের ঘরের অঙ্ক 3 অথবা 7 হবে।
এখানে, অপশনগুলোর মধ্যে 13 এবং 17 রয়েছে।
এখন,
$(10)^2 = 100$
$(20)^2 = 400$
দেওয়া সংখ্যাটি 169। এটি 100 এর খুব কাছাকাছি, 400 থেকে অনেক দূরে। তাই এর বর্গমূল 20 এর চেয়ে 10 এর বেশি কাছাকাছি হবে।
সুতরাং, সঠিক উত্তরটি 17 না হয়ে 13 হবে।

√(১০০)^২ = কত?

ক) ১০ খ) ১০০ গ) ১০০০ ঘ) ১০০০০

Job Solutions

ব্যাখ্যা (Explanation)

এখানে, প্রদত্ত রাশি = $\sqrt{(100)^2}$
আমরা জানি, বর্গ এবং বর্গমূল একে অপরের বিপরীত প্রক্রিয়া। অর্থাৎ, কোনো সংখ্যার বর্গের বর্গমূল করলে পুনরায় সেই সংখ্যাটিই পাওয়া যায়।
গাণিতিকভাবে,
= $(100^2)^{\frac{1}{2}}$ [যেহেতু $\sqrt{x} = x^{\frac{1}{2}}$]
= $100^{(2 \times \frac{1}{2})}$ [সূচকের নিয়ম অনুযায়ী $(a^m)^n = a^{mn}$]
= $100^1$
= $100$
সুতরাং, নির্ণেয় মান ১০০।

বিকল্প পদ্ধতি:
রাশি = $\sqrt{(100)^2}$
= $\sqrt{100 \times 100}$
= $\sqrt{10000}$
= $100$

শর্টকাট নিয়ম:
কোনো সংখ্যার ওপর একই সাথে বর্গ (Square) এবং বর্গমূল (Square Root) চিহ্ন থাকলে তারা একে অপরকে প্রশমিত (Cancel) করে দেয়।
যেমন: $\sqrt{x^2} = x$
তাই, $\sqrt{(100)^2} = 100$।

√৮/√৯৮ = এর চার দশমিক স্থান পর্যন্ত আসন্নমান কোনটি?

ক) ০.২৮৫৭ খ) ০.২৮৪৭ গ) ০.২৮৬৭ ঘ) ০.২৮৩৭

Job Solutions বিসিএস

ব্যাখ্যা (Explanation)

প্রদত্ত রাশি = $\frac{\sqrt{8}}{\sqrt{98}}$
$= \sqrt{\frac{8}{98}}$
$= \sqrt{\frac{4}{49}}$ [লব ও হরকে ২ দ্বারা ভাগ করে]
$= \frac{\sqrt{4}}{\sqrt{49}}$
$= \frac{2}{7}$

এখন, ২ কে ৭ দ্বারা ভাগ করলে পাই,
$2 \div 7 = 0.28571428...$

যেহেতু আমাদের চার দশমিক স্থান পর্যন্ত আসন্নমান বের করতে বলা হয়েছে, তাই আমরা দশমিকের পর পঞ্চম ঘরটি লক্ষ্য করব।
এখানে, দশমিকের পর পঞ্চম অঙ্কটি হলো ১, যা ৫ এর চেয়ে ছোট।
তাই চতুর্থ অঙ্কটির সাথে কোনো কিছু যোগ করতে হবে না।

শর্টকাট টেকনিক (পরীক্ষার হলের জন্য):
$\sqrt{8}$ এবং $\sqrt{98}$ এর বর্গমূল বের করা সময়সাপেক্ষ। তাই রুটের ভেতরে কাটাকাটি করে নেওয়া বুদ্ধিমানের কাজ।
৮ এবং ৯৮ উভয়েই ২ দ্বারা বিভাজ্য।
৮ $\div$ ২ = ৪ (যার বর্গমূল ২)
৯৮ $\div$ ২ = ৪৯ (যার বর্গমূল ৭)
সুতরাং ভগ্নাংশটি দাঁড়ায় $\frac{2}{7}$।
মৌখিকভাবে বা রাফে ২ কে ৭ দিয়ে ভাগ করলেই উত্তর ০.২৮৫৭ পাওয়া যাবে।

√২/(√৬+√২) = কত?

ক) √৩+√২ খ) ৩-√২ গ) √৩-√২ ঘ) √৩+২

Job Solutions বিসিএস

ব্যাখ্যা (Explanation)

প্রদত্ত রাশি = √2/(√6+√2)
= {√2 × (√6-√2)} / {(√6+√2) × (√6-√2)} [লব ও হরকে (√6-√2) দ্বারা গুণ করে]
= {(√2 × √6) - (√2 × √2)} / {(√6)² - (√2)²} [যেহেতু, (a+b)(a-b) = a²-b²]
= {√12 - 2} / {6 - 2}
= {√(4×3) - 2} / 4
= {(2√3) - 2} / 4 [যেহেতু, √4 = 2]
= {2(√3 - 1)} / 4 [লব থেকে 2 কমন নিয়ে]
= (√3 - 1) / 2

এখানে উত্তরের অপশনগুলোতে একটি সমস্যা আছে। সঠিক গাণিতিক সমাধান অনুযায়ী মান আসে (√3 - 1)/2। কিন্তু প্রশ্নের অপশনগুলোর দিকে তাকালে বোঝা যায় প্রশ্নটিতে লব ও হরের অবস্থান বিপরীত হতে পারে বা প্রশ্নে √2 এর জায়গায় অন্য সংখ্যা থাকতে পারে। তবে, যদি আমরা হরকে লব এবং লবকে হর মনে করি (বিপরীতকরণ), অর্থাৎ রাশিটি যদি এমন হয়: (√6+√2)/√2

তাহলে,
= √6/√2 + √2/√2
= √3 + 1
এটিও অপশনে নেই।
আবার অন্য একটি সম্ভাবনা হলো প্রশ্নটি ছিল: 1/(√3 + √2) যার উত্তর হয় √3 - √2।

তবে প্রদত্ত অপশন √3-√2 তখনই সঠিক উত্তর হবে যদি প্রশ্নটি হয়: 1 / (√3 + √2) অথবা প্রশ্নটি ভুল আছে। সাধারণত এই ধরণের প্রশ্নে হরের অনুবন্ধী রাশি দিয়ে গুণ করতে হয়।
যদি আমরা ধরে নেই যে প্রশ্নে টাইপিং মিস্টেক ছিল এবং সঠিক প্রশ্নটি ছিল (√6 - √2) / √2
= √6/√2 - √2/√2
= √3 - 1
কিন্তু প্রদত্ত উত্তরের সাথে মেলাতে হলে, প্রশ্নের প্যাটার্নটি সাধারণত এমন হয়:
১/(√৩ + √২) = √৩ - √২।

শর্টকাট টেকনিক (সাধারণ নিয়ম):
এই ধরণের অঙ্কে (Surds Rationalization) সাধারণ নিয়ম হলো:
যদি 1/(√a + √b) থাকে এবং a ও b ক্রমিক সংখ্যা বা এদের পার্থক্য 1 হয়, তবে উত্তর হবে √a - √b।
উদাহরণ: 1/(√3 + √2) = √3 - √2।

নিচের কোনটি (√৫-√৩) এর সমান?

ক) √২ খ) ১/২(√৫-√৩) গ) ১/√৫ + ১/√৩ ঘ) ২/(√৫+√৩)

Job Solutions বিসিএস

ব্যাখ্যা (Explanation)

আমরা অপশন (D) থেকে শুরু করি:
২ / (√৫ + √৩)

লব ও হরকে হরের অনুবন্ধী (√৫ - √৩) দিয়ে গুণ করে পাই:
= [ ২ * (√৫ - √৩) ] / [ (√৫ + √৩) * (√৫ - √৩) ]

হরের (a+b)(a-b) = a^2 - b^2 সূত্র প্রয়োগ করে:
= [ ২ * (√৫ - √৩) ] / [ (√৫)^২ - (√৩)^২ ]
= [ ২ * (√৫ - √৩) ] / [ ৫ - ৩ ]
= [ ২ * (√৫ - √৩) ] / ২

লব ও হরের ২ কাটাকাটি করে:
= √৫ - √৩

সুতরাং, ২ / (√৫ + √৩) এর মান √৫ - √৩ এর সমান।

√(১/০.২৫) =?

ক) ০.০২৫ খ) ২৫ গ) ০.০০২ ঘ) ২

Job Solutions

ব্যাখ্যা (Explanation)

প্রদত্ত রাশি = √(১/০.২৫)
= √(১/^২৫⁄_১০০) [দশমিক ভগ্নাংশকে সাধারণ ভগ্নাংশে রূপান্তর করে]
= √(১ × ^১০০⁄_২৫)
= √(৪) [লঘিষ্ঠ আকারে প্রকাশ করে, ২৫ দ্বারা ১০০ কে ভাগ করলে ৪ হয়]
= ২

বিকল্প পদ্ধতি/শর্টকাট টেকনিক:
√(১/০.২৫)
= √(১০০/২৫) [লব ও হরকে ১০০ দ্বারা গুণ করে দশমিক মুক্ত করে]
= √৪
= ২

√(১/৯) এর মান কত?

ক) ১/৩ খ) √(১/৩) গ) ১/৯ ঘ) ১/৮১

Job Solutions বিসিএস

ব্যাখ্যা (Explanation)

প্রশ্নে দেওয়া আছে, রাশির মান নির্ণয় করতে হবে: $\sqrt{1/9}$
আমরা জানি,
= $\sqrt{\frac{1}{9}}$
= $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{9}}$ [বর্গমূলকে লব ও হরের সাথে আলাদা করে]
= $\frac{1}{3}$ [১ এর বর্গমূল ১ এবং ৯ এর বর্গমূল ৩]

শর্টকাট টেকনিক:
রুটের ভেতরে থাকা সংখ্যাগুলোর বর্গমূল বের করতে হবে।
১ এর বর্গমূল ১ ( ১ $\times$ ১ = ১)
৯ এর বর্গমূল ৩ ( ৩ $\times$ ৩ = ৯)
তাই সরাসরি উত্তর হবে ১/৩।

০০৯ এর বর্গমূল কত?

ক) ০.০০৩ খ) ০.৩ গ) ০.০৯৪ ঘ) ০.০০০৩

Job Solutions

ব্যাখ্যা (Explanation)

√০.০০৯ = ০.০৯৪

৩^২+৪^২=কত?

ক) ৭ খ) ১৪ গ) ২৫ ঘ) ৪৯

Job Solutions

ব্যাখ্যা (Explanation)

প্রদত্ত রাশি : $৩^২ + ৪^২$
= $(৩ \times ৩) + (৪ \times ৪)$ [বর্গ ভাঙিয়ে]
= $৯ + ১৬$
= $২৫$

শর্টকার্ট টেকনিক:
পিথাগোরাসের উপপাদ্য মনে রাখলে এই ধরণের অঙ্ক খুব দ্রুত করা যায়। পিথাগোরাসের ত্রয়ী (Pythagorean Triplets) হলো ৩, ৪ এবং ৫। অর্থাৎ, $৩^২ + ৪^২ = ৫^২ = ২৫$। সুতরাং, ৩ এবং ৪ এর বর্গের সমষ্টি সর্বদা ২৫ হবে।

৪৭০৮০ জন সৈন্য থেকে কমপক্ষে কতজন সৈন্য সরিয়ে নিলে সৈন্য দলকে বর্গাকারে সাজানো যাবে?

ক) ১২৪ খ) ২২৪ গ) ৪২৪ ঘ) ৫০৪

Job Solutions

ব্যাখ্যা (Explanation)

৪৭০৮০=২১৬.৯৮
সুতরাং সংখ্যাটি ২১৬ এর বর্গের থেকে একটু বড়।
এখানে (২১৬)^২=৪৬৬৫৬ অর্থাৎ ৪৭০৮০ এর কম এবং কাছাকাছি বড় বর্গ সংখ্যা হচ্ছে ৪৬৬৫৬
সুতরাং উত্তর হবে, ৪৭০৮০ - ৪৬৬৫৬ =৪২৪

২০৭৪০ সংখ্যক সৈন্যকে বর্গাকারে সাজাতে গিয়ে ৪ জন অতিরিক্ত হয়। প্রতি সারিতে সৈন্য সংখ্যা ---

ক) ১৪২ খ) ১৪৪ গ) ১৩৬ ঘ) ১৪০

Job Solutions

ব্যাখ্যা (Explanation)

২০৭৪০ সংখ্যক সৈন্যকে বর্গাকারে সাজাতে গিয়ে ৪ জন অতিরিক্ত হয়

তাহলে , সৈন্য বর্গাকারে সাজানো হয় = (২০৭৪০-৪)জন = ২০৭৩৬ জন

২০৭৩৬ এর বর্গমূল = ১৪৪ তাহলে , সারি ১৪৪ টি

৬৫৫৮ এর সাথে কোন ক্ষুদ্রতম সংখ্যা যোগ করলে যোগফল একটি পূর্ণবর্গ সংখ্যা হবে?

ক) ৩ খ) ২ গ) -২ ঘ) ০

Job Solutions প্রাইমারি

ব্যাখ্যা (Explanation)

81² = 6561
6561 − 6558 = 3
6558 এর সাথে 3 যোগ করলে এটি একটি পূর্ণবর্গ সংখ্যা হবে।

১০২৪ এর বর্গমূল কত?

ক) ৫২ খ) ৩২ গ) ৪২ ঘ) ২২

Job Solutions প্রাইমারি

ব্যাখ্যা (Explanation)

১০২৪ এর বর্গমূল = √১০২৪ = ৩২

√(১৫.৬০২৫)=?

ক) ৩.৮৫ খ) ৩.৭৫ গ) ৩.৯৫ ঘ) ৩.৬৫

Job Solutions বিসিএস

ব্যাখ্যা (Explanation)

৩.৮৫*৩.৮৫ = ১৪.৮২২৫

৩.৭৫*৩.৭৫ = ১৪.০৬২৫

৩.৯৫*৩.৯৫ = ১৫.৬০২৫

৩.৬৫*৩.৬৫ = ১৩.৩২২৫

অন্যভাবে,
√(১৫.৬৩২৩) = √(১৫৬৩২৩/১০০০)
= ৩৯৫/১০০
= ৩.৯৫

√(০.০০০০০৯)=কত?

ক) ০.০৩ খ) ০.৩ গ) ০.০০৩ ঘ) ০.০০০৩

Job Solutions

ব্যাখ্যা (Explanation)

√(০.০০০০০৯)
= √ (৯/১০০০০০০)
= ৩/১০০০০
= ০.০০৩

১ এর বর্গমূল কত?

ক) ০.০০১ খ) ০.০০০১ গ) ০.২৫ ঘ) কোনটিই নয়

Job Solutions প্রাইমারি

ব্যাখ্যা (Explanation)

o.১ এর বর্গমূল =√(১/১০)
=১/√১০
=০.৩১৬২২

২৪৫০ সংখ্যাটিকে কত দিয়ে গুণ করলে সংখ্যাটি পূর্ণবর্গ সংখ্যা হবে?

ক) ৪ খ) ৫ গ) ৩ ঘ) ২

Job Solutions প্রাইমারি

ব্যাখ্যা (Explanation)

২৪৫০ = ২ × ৫ × ৫ × ৭ × ৭
= ২ × (৫ × ৫) × (৭ × ৭)
এখানে, ২ জোড়াবিহীন।
∴ ২৪৫০ এর সাথে ২ গুণ করলে সংখ্যাটি পূর্ণবর্গ সংখ্যা হবে।

৯৭২ কে কোন ক্ষুদ্রতম সংখ্যা দ্বারা ভাগ করলে ভাগফল পূর্ণবর্গ সংখ্যা হবে?

ক) ৫ খ) ৩ গ) ৬ ঘ) ১২

Job Solutions

ব্যাখ্যা (Explanation)

আমরা ৯৭২ সংখ্যাটিকে এমন ক্ষুদ্রতম সংখ্যায় ভাগ করতে চাই, যাতে ভাগফল একটি পূর্ণবর্গ সংখ্যা হয়।
1. ৯৭২-এর মৌলিক গুণনীয়ক বিভাজন করি: ৯৭২-কে মৌলিক গুণনীয়কে বিশ্লেষণ করি— \[ 972 \div 2 = 486 \] \[ 486 \div 2 = 243 \] \[ 243 \div 3 = 81 \] \[ 81 \div 3 = 27 \] \[ 27 \div 3 = 9 \] \[ 9 \div 3 = 3 \] \[ 3 \div 3 = 1 \] অতএব, ৯৭২-এর মৌলিক গুণনীয়ক রূপ হলো: \[ 972 = 2^2 \times 3^5 \] 2. পূর্ণবর্গ সংখ্যা তৈরির শর্ত একটি সংখ্যা পূর্ণবর্গ সংখ্যা হতে হলে, এর মৌলিক গুণনীয়কগুলোর সকল সূচক জোড় সংখ্যা হতে হবে আমাদের বিশ্লেষণ অনুযায়ী: - $2^2$ (সূচক ২, যা জোড়) - $3^5$ (সূচক ৫, যা বিজোড়) 3. ক্ষুদ্রতম সংখ্যা নির্ণয় সূচক ৫-কে জোড় করতে হলে, আমাদের $3^1$ দ্বারা ৯৭২-কে ভাগ করতে হবে। অতএব, ক্ষুদ্রতম সংখ্যা হবে ৩।

৭২ × ৭৫ × ৩^৩ × ৪^৪ × ২^৮ কে ন্যূনতম কত দ্বারা গুণ করলে গুণফল একটি পূর্ণবর্গ সংখ্যা হবে?

ক) ৪ খ) ৫ গ) ২ ঘ) ৩

Job Solutions

ব্যাখ্যা (Explanation)

৭২ × ৭৫ × ৩^৩× ৪^৪× ২^৮

= ৮ × ৯ × ৩ × ২৫ × ৩^৩ × ৪^৩ × ২^৮

= ২^৩ × ৩^২ × ৩^১ × ৫^২ × ৩^৩ × ২^৩ × ২^৩ × ২^৮

= ২^{৩+৩+৩+৮} × ৩^৩+২+১ × ৫^২

= ২^১৭ × ৩^৬ × ৫^২

কোনো সংখ্যার মৌলিক উৎপাদকগুলোর ঘাত যদি জোড় হয় তবে সেটি পূর্ণবর্গসংখ্যা । এখানে, ২^১৭ -এর সাথে ২ গুণ করলে গুণফল ২^১৮ হয় । সংখ্যাটির সাথে ২ গুণ করলে এটি পূর্ণবর্গ হবে ।

a,b,c,d চারটি ক্রমিক স্বাভাবিক সংখ্যা হলে নিচের কোনটি পূর্ণবর্গ সংখ্যা?