বর্গ ও বর্গমূল (56 টি প্রশ্ন )
 Back to Subject Page   All Topics
i
ব্যাখ্যা (Explanation):
২০১৭২ সংখ্যক সৈন্যকে বর্গাকারে সাজাতে গিয়ে ৮ জন অতিরিক্ত হয়

তাহলে , সৈন্য বর্গাকারে সাজানো হয় = (২০১৭২ - ৮)জন = ২০১৬৪ জন

২০১৬৪ এর বর্গমূল = ১৪২ তাহলে, সারি ১৪২ টি
i
ব্যাখ্যা (Explanation):
মনে করি, সংখ্যাটি = x
প্রশ্নমতে, √x+20 = 52
⇒√x+20=25
⇒√x=25-20
⇒√x=5
⇒x=52
⇒x=25
i
ব্যাখ্যা (Explanation):
এখানে, √১৬৯ = √১৩২ = ১৩
√১২১ = √১১২ = ১১
i
ব্যাখ্যা (Explanation):
বর্গমূল করার গতানুগতিক পদ্ধতিতে,
$\sqrt{169} = \sqrt{13 \times 13}$
= $\sqrt{13^2}$
= 13
সুতরাং, $\sqrt{169}$ = 13

বিকল্প পদ্ধতি (শর্টকাট):
যেকোনো পূর্ণবর্গ সংখ্যার এককের ঘরের অঙ্ক 9 হলে, তার বর্গমূলের এককের ঘরের অঙ্ক 3 অথবা 7 হবে।
এখানে, অপশনগুলোর মধ্যে 13 এবং 17 রয়েছে।
এখন,
$(10)^2 = 100$
$(20)^2 = 400$
দেওয়া সংখ্যাটি 169। এটি 100 এর খুব কাছাকাছি, 400 থেকে অনেক দূরে। তাই এর বর্গমূল 20 এর চেয়ে 10 এর বেশি কাছাকাছি হবে।
সুতরাং, সঠিক উত্তরটি 17 না হয়ে 13 হবে।
i
ব্যাখ্যা (Explanation):
এখানে, প্রদত্ত রাশি = $\sqrt{(100)^2}$
আমরা জানি, বর্গ এবং বর্গমূল একে অপরের বিপরীত প্রক্রিয়া। অর্থাৎ, কোনো সংখ্যার বর্গের বর্গমূল করলে পুনরায় সেই সংখ্যাটিই পাওয়া যায়।
গাণিতিকভাবে,
= $(100^2)^{\frac{1}{2}}$ [যেহেতু $\sqrt{x} = x^{\frac{1}{2}}$]
= $100^{(2 \times \frac{1}{2})}$ [সূচকের নিয়ম অনুযায়ী $(a^m)^n = a^{mn}$]
= $100^1$
= $100$
সুতরাং, নির্ণেয় মান ১০০।

বিকল্প পদ্ধতি:
রাশি = $\sqrt{(100)^2}$
= $\sqrt{100 \times 100}$
= $\sqrt{10000}$
= $100$

শর্টকাট নিয়ম:
কোনো সংখ্যার ওপর একই সাথে বর্গ (Square) এবং বর্গমূল (Square Root) চিহ্ন থাকলে তারা একে অপরকে প্রশমিত (Cancel) করে দেয়।
যেমন: $\sqrt{x^2} = x$
তাই, $\sqrt{(100)^2} = 100$।
i
ব্যাখ্যা (Explanation):
প্রদত্ত রাশি = $\frac{\sqrt{8}}{\sqrt{98}}$
$= \sqrt{\frac{8}{98}}$
$= \sqrt{\frac{4}{49}}$ [লব ও হরকে ২ দ্বারা ভাগ করে]
$= \frac{\sqrt{4}}{\sqrt{49}}$
$= \frac{2}{7}$

এখন, ২ কে ৭ দ্বারা ভাগ করলে পাই,
$2 \div 7 = 0.28571428...$

যেহেতু আমাদের চার দশমিক স্থান পর্যন্ত আসন্নমান বের করতে বলা হয়েছে, তাই আমরা দশমিকের পর পঞ্চম ঘরটি লক্ষ্য করব।
এখানে, দশমিকের পর পঞ্চম অঙ্কটি হলো ১, যা ৫ এর চেয়ে ছোট।
তাই চতুর্থ অঙ্কটির সাথে কোনো কিছু যোগ করতে হবে না।

শর্টকাট টেকনিক (পরীক্ষার হলের জন্য):
$\sqrt{8}$ এবং $\sqrt{98}$ এর বর্গমূল বের করা সময়সাপেক্ষ। তাই রুটের ভেতরে কাটাকাটি করে নেওয়া বুদ্ধিমানের কাজ।
৮ এবং ৯৮ উভয়েই ২ দ্বারা বিভাজ্য।
৮ $\div$ ২ = ৪ (যার বর্গমূল ২)
৯৮ $\div$ ২ = ৪৯ (যার বর্গমূল ৭)
সুতরাং ভগ্নাংশটি দাঁড়ায় $\frac{2}{7}$।
মৌখিকভাবে বা রাফে ২ কে ৭ দিয়ে ভাগ করলেই উত্তর ০.২৮৫৭ পাওয়া যাবে।
i
ব্যাখ্যা (Explanation):
প্রদত্ত রাশি = √2/(√6+√2)
= {√2 × (√6-√2)} / {(√6+√2) × (√6-√2)} [লব ও হরকে (√6-√2) দ্বারা গুণ করে]
= {(√2 × √6) - (√2 × √2)} / {(√6)2 - (√2)2} [যেহেতু, (a+b)(a-b) = a2-b2]
= {√12 - 2} / {6 - 2}
= {√(4×3) - 2} / 4
= {(2√3) - 2} / 4 [যেহেতু, √4 = 2]
= {2(√3 - 1)} / 4 [লব থেকে 2 কমন নিয়ে]
= (√3 - 1) / 2

এখানে উত্তরের অপশনগুলোতে একটি সমস্যা আছে। সঠিক গাণিতিক সমাধান অনুযায়ী মান আসে (√3 - 1)/2। কিন্তু প্রশ্নের অপশনগুলোর দিকে তাকালে বোঝা যায় প্রশ্নটিতে লব ও হরের অবস্থান বিপরীত হতে পারে বা প্রশ্নে √2 এর জায়গায় অন্য সংখ্যা থাকতে পারে। তবে, যদি আমরা হরকে লব এবং লবকে হর মনে করি (বিপরীতকরণ), অর্থাৎ রাশিটি যদি এমন হয়: (√6+√2)/√2

তাহলে,
= √6/√2 + √2/√2
= √3 + 1
এটিও অপশনে নেই।
আবার অন্য একটি সম্ভাবনা হলো প্রশ্নটি ছিল: 1/(√3 + √2) যার উত্তর হয় √3 - √2।

তবে প্রদত্ত অপশন √3-√2 তখনই সঠিক উত্তর হবে যদি প্রশ্নটি হয়: 1 / (√3 + √2) অথবা প্রশ্নটি ভুল আছে। সাধারণত এই ধরণের প্রশ্নে হরের অনুবন্ধী রাশি দিয়ে গুণ করতে হয়।
যদি আমরা ধরে নেই যে প্রশ্নে টাইপিং মিস্টেক ছিল এবং সঠিক প্রশ্নটি ছিল (√6 - √2) / √2
= √6/√2 - √2/√2
= √3 - 1
কিন্তু প্রদত্ত উত্তরের সাথে মেলাতে হলে, প্রশ্নের প্যাটার্নটি সাধারণত এমন হয়:
১/(√৩ + √২) = √৩ - √২।

শর্টকাট টেকনিক (সাধারণ নিয়ম):
এই ধরণের অঙ্কে (Surds Rationalization) সাধারণ নিয়ম হলো:
যদি 1/(√a + √b) থাকে এবং a ও b ক্রমিক সংখ্যা বা এদের পার্থক্য 1 হয়, তবে উত্তর হবে √a - √b।
উদাহরণ: 1/(√3 + √2) = √3 - √2।
i
ব্যাখ্যা (Explanation):
আমরা অপশন (D) থেকে শুরু করি:
২ / (√৫ + √৩)

লব ও হরকে হরের অনুবন্ধী (√৫ - √৩) দিয়ে গুণ করে পাই:
= [ ২ * (√৫ - √৩) ] / [ (√৫ + √৩) * (√৫ - √৩) ]

হরের (a+b)(a-b) = a^2 - b^2 সূত্র প্রয়োগ করে:
= [ ২ * (√৫ - √৩) ] / [ (√৫)^২ - (√৩)^২ ]
= [ ২ * (√৫ - √৩) ] / [ ৫ - ৩ ]
= [ ২ * (√৫ - √৩) ] / ২

লব ও হরের ২ কাটাকাটি করে:
= √৫ - √৩

সুতরাং, ২ / (√৫ + √৩) এর মান √৫ - √৩ এর সমান।
i
ব্যাখ্যা (Explanation):
প্রদত্ত রাশি = √(১/০.২৫)
= √(১/২৫⁄১০০) [দশমিক ভগ্নাংশকে সাধারণ ভগ্নাংশে রূপান্তর করে]
= √(১ × ১০০⁄২৫)
= √(৪) [লঘিষ্ঠ আকারে প্রকাশ করে, ২৫ দ্বারা ১০০ কে ভাগ করলে ৪ হয়]
= ২

বিকল্প পদ্ধতি/শর্টকাট টেকনিক:
√(১/০.২৫)
= √(১০০/২৫) [লব ও হরকে ১০০ দ্বারা গুণ করে দশমিক মুক্ত করে]
= √৪
= ২

এখানে প্রথম ৩০টি প্রশ্নের ব্যাখ্যা দেখতে পারবেন, বাকি সব প্রশ্নের সম্পূর্ণ ব্যাখ্যা পেতে এখনই অ্যাপ ইন্সটল করুন।

Install App
i
ব্যাখ্যা (Explanation):
প্রশ্নে দেওয়া আছে, রাশির মান নির্ণয় করতে হবে: $\sqrt{1/9}$
আমরা জানি,
= $\sqrt{\frac{1}{9}}$
= $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{9}}$ [বর্গমূলকে লব ও হরের সাথে আলাদা করে]
= $\frac{1}{3}$ [১ এর বর্গমূল ১ এবং ৯ এর বর্গমূল ৩]

শর্টকাট টেকনিক:
রুটের ভেতরে থাকা সংখ্যাগুলোর বর্গমূল বের করতে হবে।
১ এর বর্গমূল ১ ( ১ $\times$ ১ = ১)
৯ এর বর্গমূল ৩ ( ৩ $\times$ ৩ = ৯)
তাই সরাসরি উত্তর হবে ১/৩।
i
ব্যাখ্যা (Explanation):
√০.০০৯ = ০.০৯৪
i
ব্যাখ্যা (Explanation):
প্রদত্ত রাশি : $৩^২ + ৪^২$
= $(৩ \times ৩) + (৪ \times ৪)$ [বর্গ ভাঙিয়ে]
= $৯ + ১৬$
= $২৫$

শর্টকার্ট টেকনিক:
পিথাগোরাসের উপপাদ্য মনে রাখলে এই ধরণের অঙ্ক খুব দ্রুত করা যায়। পিথাগোরাসের ত্রয়ী (Pythagorean Triplets) হলো ৩, ৪ এবং ৫। অর্থাৎ, $৩^২ + ৪^২ = ৫^২ = ২৫$। সুতরাং, ৩ এবং ৪ এর বর্গের সমষ্টি সর্বদা ২৫ হবে।
i
ব্যাখ্যা (Explanation):
 ৪৭০৮০=২১৬.৯৮
সুতরাং সংখ্যাটি ২১৬ এর বর্গের থেকে একটু বড়।
এখানে (২১৬)২=৪৬৬৫৬ অর্থাৎ ৪৭০৮০ এর কম এবং কাছাকাছি বড় বর্গ সংখ্যা হচ্ছে ৪৬৬৫৬
সুতরাং উত্তর হবে, ৪৭০৮০ - ৪৬৬৫৬ =৪২৪
i
ব্যাখ্যা (Explanation):

২০৭৪০ সংখ্যক সৈন্যকে বর্গাকারে সাজাতে গিয়ে ৪ জন অতিরিক্ত হয়

তাহলে ,  সৈন্য বর্গাকারে সাজানো হয় = (২০৭৪০-৪)জন = ২০৭৩৬ জন

২০৭৩৬ এর বর্গমূল = ১৪৪ তাহলে , সারি ১৪৪ টি 
i
ব্যাখ্যা (Explanation):
812 = 6561
6561 − 6558 = 3
6558 এর সাথে 3 যোগ করলে এটি একটি পূর্ণবর্গ সংখ্যা হবে।
i
ব্যাখ্যা (Explanation):
১০২৪ এর বর্গমূল = √১০২৪ = ৩২
i
ব্যাখ্যা (Explanation):

৩.৮৫*৩.৮৫ = ১৪.৮২২৫

৩.৭৫*৩.৭৫ = ১৪.০৬২৫

৩.৯৫*৩.৯৫ = ১৫.৬০২৫

৩.৬৫*৩.৬৫ = ১৩.৩২২৫

অন্যভাবে,
√(১৫.৬৩২৩) = √(১৫৬৩২৩/১০০০)
= ৩৯৫/১০০
= ৩.৯৫
i
ব্যাখ্যা (Explanation):
√(০.০০০০০৯)
= √ (৯/১০০০০০০)
= ৩/১০০০০
= ০.০০৩
i
ব্যাখ্যা (Explanation):
o.১ এর বর্গমূল =√(১/১০)  
                      =১/√১০
                     =০.৩১৬২২

এখানে প্রথম ৩০টি প্রশ্নের ব্যাখ্যা দেখতে পারবেন, বাকি সব প্রশ্নের সম্পূর্ণ ব্যাখ্যা পেতে এখনই অ্যাপ ইন্সটল করুন।

Install App
i
ব্যাখ্যা (Explanation):
২৪৫০ = ২ × ৫ × ৫ × ৭ × ৭
= ২ × (৫ × ৫) × (৭ × ৭)
এখানে, ২ জোড়াবিহীন।
∴ ২৪৫০ এর সাথে ২ গুণ করলে সংখ্যাটি পূর্ণবর্গ সংখ্যা হবে।
i
ব্যাখ্যা (Explanation):
আমরা ৯৭২ সংখ্যাটিকে এমন ক্ষুদ্রতম সংখ্যায় ভাগ করতে চাই, যাতে ভাগফল একটি পূর্ণবর্গ সংখ্যা হয়।
1. ৯৭২-এর মৌলিক গুণনীয়ক বিভাজন করি: ৯৭২-কে মৌলিক গুণনীয়কে বিশ্লেষণ করি— \[ 972 \div 2 = 486 \] \[ 486 \div 2 = 243 \] \[ 243 \div 3 = 81 \] \[ 81 \div 3 = 27 \] \[ 27 \div 3 = 9 \] \[ 9 \div 3 = 3 \] \[ 3 \div 3 = 1 \] অতএব, ৯৭২-এর মৌলিক গুণনীয়ক রূপ হলো: \[ 972 = 2^2 \times 3^5 \] 2. পূর্ণবর্গ সংখ্যা তৈরির শর্ত একটি সংখ্যা পূর্ণবর্গ সংখ্যা হতে হলে, এর মৌলিক গুণনীয়কগুলোর সকল সূচক জোড় সংখ্যা হতে হবে আমাদের বিশ্লেষণ অনুযায়ী: - \(2^2\) (সূচক ২, যা জোড়) - \(3^5\) (সূচক ৫, যা বিজোড়) 3. ক্ষুদ্রতম সংখ্যা নির্ণয় সূচক ৫-কে জোড় করতে হলে, আমাদের \(3^1\) দ্বারা ৯৭২-কে ভাগ করতে হবে। অতএব, ক্ষুদ্রতম সংখ্যা হবে ৩।
i
ব্যাখ্যা (Explanation):
৭২ × ৭৫ × ৩৩ × ৪৪ × ২৮ 

= ৮ × ৯ × ৩ × ২৫ × ৩৩ × ৪৩ × ২৮  

= ২৩ × ৩২ × ৩১ × ৫২ × ৩৩ × ২৩ × ২৩ × ২৮ 

= ২৩+৩+৩+৮  × ৩৩+২+১  × ৫২ 

= ২১৭  × ৩৬  × ৫২    

কোনো সংখ্যার মৌলিক উৎপাদকগুলোর ঘাত যদি জোড় হয় তবে সেটি পূর্ণবর্গসংখ্যা । এখানে, ২১৭  -এর সাথে ২ গুণ করলে গুণফল ২১৮  হয় । সংখ্যাটির সাথে ২ গুণ করলে এটি পূর্ণবর্গ হবে ।
i
ব্যাখ্যা (Explanation):
ধরি, a, b, c ও d মান যথাক্রমে 1, 2, 3 এবং 4 
 a × b × c × d = 1 × 2 × 3 × 4 = 24 
 এখানে 24 পূর্ণবর্গ সংখ্যা নয় । 24 এর সাথে 1 যোগ করলে অর্থাৎ 24 + 1 = 25 হয় পূর্ণবর্গ । 
 সুতরাং abcd + 1 হলো পূর্ণ বর্গ সংখ্যা । 
i
ব্যাখ্যা (Explanation):
মনে করি, সংখ্যাটি = x
শর্তমতে, x2-√x = 78
option test, 
(a) 62 - √6 ≠ 78
(b)92-√9 ≠ 81-3 = 78(√)
i
ব্যাখ্যা (Explanation):
একটি পূর্ণবর্গ সংখ্যা হল এমন একটি সংখ্যা যা একটি পূর্ণসংখ্যার বর্গ

16899: এই সংখ্যাটি 130 এর বর্গ (130 * 130 = 16900) হতে 1 কম।
i
ব্যাখ্যা (Explanation):
এখানে, ১২ + ১২ = ২; ২২ + ১২ = ৫; ২২ + ২২ = ৮; ৩২ +১২ =১০ ।   ২, ৫, ৮ এবং ১০ এই চারটি সংখ্যাকে দুইটি সংখ্যার বর্গের সমষ্টিরূপে দেখা যায় ।
i
ব্যাখ্যা (Explanation):
(√1 + √1)²

প্রথমে, √1 এর মান বের করি:
√1 = 1

এখন
(1 + 1)² = 2²
2² = 4
Q28.
i
ব্যাখ্যা (Explanation):
i
ব্যাখ্যা (Explanation):
ধরি, সংখ্যাটি ক

প্রশ্নমতে,
√ক + ৫ = ৫২
বা, √ক = ২৫ - ৫
বা, ক = ২০২
বা, ক = ৪০০

এখানে প্রথম ৩০টি প্রশ্নের ব্যাখ্যা দেখতে পারবেন, বাকি সব প্রশ্নের সম্পূর্ণ ব্যাখ্যা পেতে এখনই অ্যাপ ইন্সটল করুন।

Install App
i
ব্যাখ্যা (Explanation):
x√0.09 = 3
⇒ (x√0.09)2 = (3)2
⇒ x2(√0.09)2 = 9
⇒ x2 × 0.09 = 9
⇒  x2 × 9/100 = 9
⇒  x2 = 100
⇒ x = 10
∴ x/2 = 5
সঠিক উত্তর: 0 | ভুল উত্তর: 0