সরলীকরণ (106 টি প্রশ্ন )
 Back to Subject Page   All Topics
i
ব্যাখ্যা (Explanation):
একটি দ্বিঘাত সমীকরণের আদর্শ রূপ হলো ax² + bx + c = 0।
এই সমীকরণের মূলদ্বয়ের (দুটি সমাধান) যোগফল এবং গুণফলের সূত্র হলো:
মূলদ্বয়ের যোগফল = -b/a
মূলদ্বয়ের গুণফল = c/a

প্রদত্ত সমীকরণটি হলো x² - 5x + 6 = 0
এখানে, a = 1, b = -5, এবং c = 6

সূত্র অনুযায়ী:
মূলদ্বয়ের যোগফল = -(-5) / 1 = 5
মূলদ্বয়ের গুণফল = 6 / 1 = 6

সুতরাং, সঠিক উত্তর হলো যোগফল 5 এবং গুণফল 6।
i
ব্যাখ্যা (Explanation):
যদি কোনো দ্বিঘাত সমীকরণের দুটি মূল দেওয়া থাকে, তবে সমীকরণটি গঠন করার সূত্র হলো:
x² - (মূলদ্বয়ের যোগফল)x + (মূলদ্বয়ের গুণফল) = 0

এখানে, মূলদ্বয় হলো 3 এবং -5।

মূলদ্বয়ের যোগফল = 3 + (-5) = 3 - 5 = -2
মূলদ্বয়ের গুণফল = 3 × (-5) = -15

এখন এই মানগুলো সূত্রে বসিয়ে পাই:
x² - (-2)x + (-15) = 0
=> x² + 2x - 15 = 0

সুতরাং, নির্ণেয় সমীকরণটি হলো x² + 2x - 15 = 0
i
ব্যাখ্যা (Explanation):
একটি দ্বিঘাত সমীকরণ ax² + bx + c = 0 এর মূলগুলোর প্রকৃতি তার নিশ্চায়ক (Discriminant), D = b² - 4ac এর মানের উপর নির্ভর করে।
মূলদ্বয় বাস্তব ও অসমান হওয়ার শর্ত হলো নিশ্চায়ক > 0, অর্থাৎ b² - 4ac > 0।

প্রদত্ত সমীকরণটি হলো 3x² - 4ax + 5 = 0।

এখানে, আদর্শ সমীকরণের সাথে তুলনা করে পাই:
a = 3, b = -4a, এবং c = 5।
শর্ত অনুযায়ী, b² - 4ac > 0
=> (-4a)² - 4(3)(5) > 0
=> 16a² - 60 > 0
=> 16a² > 60
=> a² > 60/16

এখন, a² > 60/16 এই অসমতাটির সমাধান করলে পাওয়া যায়:
|a| > √(60/16)
=> |a| > √60 / 4

এর অর্থ হলো, a > √60 / 4 অথবা, a < -√60 / 4।
i
ব্যাখ্যা (Explanation):

ধরি, ক্ষুদ্রতম সংখ্যাটি x

তাহলে, ক্রমিক সংখ্যা হিসেবে অপর সংখ্যাটি হবে x + 1

প্রশ্নানুযায়ী, তাদের বর্গের সমষ্টি 221
x² + (x + 1)² = 221
x² + (x² + 2x + 1) = 221
2x² + 2x + 1 = 221
2x² + 2x - 220 = 0
x² + x - 110 = 0 (উভয় পক্ষকে 2 দ্বারা ভাগ করে)
x² + 11x - 10x - 110 = 0
x(x + 11) - 10(x + 11) = 0
(x - 10)(x + 11) = 0

সুতরাং, x = 10 অথবা x = -11
যেহেতু সংখ্যাগুলো ধনাত্মক পূর্ণ সংখ্যা, তাই -11 গ্রহণযোগ্য নয়।
অতএব, ক্ষুদ্রতম সংখ্যাটি হলো 10।
i
ব্যাখ্যা (Explanation):

[{1-(1-1/P)}-1 ÷ (1-1/P)-1] 

[1-(p-1/p)-1 ÷ (p-1/p)-1]

[{(p-p+1)/p}-1 ÷ p/(p-1)]

[(1/p)-1 ÷ p/(p-1) ]

[p × (p-1)/p]

= p-1
i
ব্যাখ্যা (Explanation):
ধরি,
আরিফের  বয়স = a বছর।
তাহলে রাফির বয়স = 44 - a  বছর।

প্রশ্নমতে,
a - 8 = 2(44 - a)
বা, a - 8 = 88  - 2a
বা, a + 2a = 88 + 8
বা, 3a = 96
∴ a = 32

আরিফের বয়স = 32 বছর।
রাফির বয়স = 44 - 32 = 12 বছর।
i
ব্যাখ্যা (Explanation):
ধরি, একক স্থানীয় অঙ্ক = a
তাহলে, দশক স্থানীয় অঙ্ক = 6 - a
∴ সংখ্যাটি = 10(6 - a) + a = 60 - 9a
∴ অঙ্কদ্বয় স্থান বিনিময় করলে সংখ্যাটি = 10a + (6 - a) = 9a + 6

প্রশ্নমতে,
9a + 6 - 18 = 60 - 9a
⇒ 9a + 9a = 60 - 6 + 18
⇒ 18a = 72
∴ a = 4
∴ সংখ্যাটি = 60 - (9 × 4) = 24
অতএব, সংখ্যাটির এক চতুর্থাংশের মান = 24/4 = 6
i
ব্যাখ্যা (Explanation):
মনেকরি
একটি সংখ্যা = a 
অপর সংখ্যা = 3a
প্রশ্নমতে
a + 3a = 120
4a = 120
a = 30

একটি সংখ্যা = 30  
অপর সংখ্যা = 3 × 30 = 90 

অতএব, সংখ্যা দুইটি 30 এবং 90
i
ব্যাখ্যা (Explanation):
মনেকরি, 
দশকের অঙ্ক = x 
এককের অংক = x + 5
সংখ্যাটি = 10x + x + 5 = 11x + 3 

প্রশ্নমতে,
11x + 5 = 3(x + x + 5) + 5
বা, 11x + 5 = 3(2x + 5) + 5 
বা, 11x + 5 = 6x + 15 + 5 
বা, 11x - 6x = 20 - 5
বা, 5x = 15
∴ x = 3 

অতএব, 
সংখ্যাটি = 11 × 3 + 5 = 38

এখানে প্রথম ৩০টি প্রশ্নের ব্যাখ্যা দেখতে পারবেন, বাকি সব প্রশ্নের সম্পূর্ণ ব্যাখ্যা পেতে এখনই অ্যাপ ইন্সটল করুন।

Install App
i
ব্যাখ্যা (Explanation):
x টি পেন্সিলের ক্রয়মূল্য = 5x টাকা
আবার, (x - 3) টি পেন্সিলের ক্রয়মূল্য = 8(x - 3) টাকা
প্রশ্নমতে,
5x + 8(x - 3) ≤ 120
⇒ 5x + 8x - 24 ≤ 120
⇒ 13x - 24 ≤ 120
⇒ 13x - 24 + 24 ≤ 120 + 24 [উভয় পক্ষে 24 যোগ করে]
⇒ 13x ≤ 144
⇒ 13x/13 ≤ 144/13 [উভয় পক্ষকে 13 দ্বারা ভাগ করে]
∴ x ≤ 11.08

যেহেতু পেন্সিলের সংখ্যা পূর্ণসংখ্যা হতে হবে এবং 11.08 এর চেয়ে বড় নয়,
অতএব, সামি সর্বাধিক 11 টি চকলেট কিনেছে।
i
ব্যাখ্যা (Explanation):

(√3 – 1/√3)2

= (√3)2 + (1/√3)2 - 2 x √3 x 1/√3

= 3 + (1/3) - 2

= 1 + 1/3

= 4/3
i
ব্যাখ্যা (Explanation):

x²-2x+1 = 0  

=> (x-1)2 = 0 

=> x - 1 = 0 

         x = 1 

 এখন, (x⁴+2x²+1)/x² = {(x2)2 + 2.x2.1 + (1)2} /x2  

                                = {(x2+1)2}/x2 

                                = {(1)2 + 1}2/(1)2 

                                = (1+1)2/ 1 

                                = 4
i
ব্যাখ্যা (Explanation):
10 × 6 – 4 ÷ 2 
= 60 - 2
= 58
i
ব্যাখ্যা (Explanation):
1 ÷ (8/9){(5/8) + (3/8)} 
= 1 ÷ (8/9){(5+3)/8}
={ 1 ÷ (8/9)×(8/8) }
= 1 ÷ (8/9)
= 1 × (8/9)
= (9/8) = 1 (1/8)
i
ব্যাখ্যা (Explanation):
x =√3 + √2

=> 1/x = 1/√3+√2 

           = (√3+√2)/(√3+√2)(√3-√2) 

           = √3 - √2/ (√3)2 - (√2)2 

           = √3 - √2 

∴ x + 1/x = √3 + √2 + √3 -√2 

               = 2√3 

∴ x2 + 1/x2 = (x+1/x )2 - 2.x.1/x 

                 = (2√3)2 - 2 

                 = 12 - 2 
 
                 = 10
i
ব্যাখ্যা (Explanation):
প্রদত্ত রাশি = ∛(125 × 8)
= ∛(5 × 5 × 5 × 2 × 2 × 2)
= ∛(5³ × 2³)
= ∛5³ × ∛2³ [সূচকের নিয়ম অনুসারে]
= 5 × 2 [ঘনমূল এবং ঘন পরস্পরকে প্রশমিত করে]
= 10

বিকল্প পদ্ধতি (সহজ নিয়ম):
প্রদত্ত রাশি = ∛(125 × 8)
= ∛1000 [সাধারণ গুণ করে]
= ∛10³
= 10
সুতরাং, নির্ণেয় মান 10।
i
ব্যাখ্যা (Explanation):
আমরা জানি,
কোনো সংখ্যার ঘনমূল বের করার অর্থ হলো এমন একটি সংখ্যা নির্ণয় করা, যা ঐ সংখ্যাটির তিনবার গুণ করলে মূল সংখ্যাটি পাওয়া যায়।

প্রদত্ত রাশি = ∛27
= ∛(3 × 3 × 3)
= ∛(33)
= (33)1/3 [∵ ∛ হলো 1/3 ঘাত]
= 33 × 1/3 [সূচকের নিয়ম অনুসারে]
= 31
= 3

শর্টকাট টেকনিক:
মনে রাখবেন,
2 এর কিউব ( 23 ) = 2 × 2 × 2 = 8
3 এর কিউব ( 33 ) = 3 × 3 × 3 = 27
4 এর কিউব ( 43 ) = 4 × 4 × 4 = 64
অপশনগুলো লক্ষ্য করলে দেখা যায়, শুধুমাত্র ৩-কে ৩ বার গুণ করলে ২৭ পাওয়া যায়। তাই উত্তর হবে ৩।
i
ব্যাখ্যা (Explanation):
∛125
= ∛(5)3
= 5
i
ব্যাখ্যা (Explanation):
2a - b - [2b - {3c - (a - 3b + 3c)}]
= 2a - b - [2b - {3c - a + 3b - 3c}]
= 2a - b - [2b - 3c + a - 3b + 3c]
= 2a - b - [a - b]
= 2a - b - a + b
= a

এখানে প্রথম ৩০টি প্রশ্নের ব্যাখ্যা দেখতে পারবেন, বাকি সব প্রশ্নের সম্পূর্ণ ব্যাখ্যা পেতে এখনই অ্যাপ ইন্সটল করুন।

Install App
i
ব্যাখ্যা (Explanation):
(x - p)/(p2 - q2) = (x - q)/(q2 - p2) 
⇒ (x - p)/(p2 - q2) = (x - q)/ - (p2 - q2) 
⇒ (x - p)/(p2 - q2) = - (x - q)/(p2 - q2) 
⇒ x - p = - (x - q)
⇒ x - p = - x + q
⇒ x + x = p + q
⇒ 2x = p + q
⇒ x = (p + q)/2
i
ব্যাখ্যা (Explanation):
দেওয়া আছে, 
4x + 10y = - 2 …… (i)

3x - 2y = 8
বা, 15x - 10y = 40 ……(ii) [উভয়পক্ষকে 5 দ্বারা গুণ করে]

(i) নং ও (ii) নং কে যোগ করে পাই,
4x + 10y + 15x - 10y = - 2 + 40
বা, 19x = 38
বা, x = 38/19
∴ x = 2

x এর মান (i) নং এ বসিয়ে পাই,
(4 × 2) + 10y = - 2
বা, 8 + 10y = - 2
বা, 10y = - 2 - 8
বা, 10y = - 10
বা, y = - 10/10
∴ y = - 1

∴ x3 + y2 = (2)3 + (- 1)2
= 8 + 1
= 9

∴ x3 + y2 এর মান 9.
i
ব্যাখ্যা (Explanation):
(x/2) + (y/2) = 3
(x + y)/2 = 3
⇒ x + y = 6 ....................(1)
⇒ x - y = 2......................(2)

(1) + (2) ⇒
x + y + x - y = 6 + 2
⇒ 2x = 8
⇒ x = 4

(2) নং সমীকরণ হতে পাই,
x - y = 2
⇒ 4 - y = 2
⇒ - y = 2 - 4
⇒ - y = - 2
⇒ y = 2

∴ নির্ণেয় সমাধান (x,y) = (4,2)
i
ব্যাখ্যা (Explanation):
(√5 + 1)x + 4 = 4√5
⇒ (√5 + 1)x = 4√5 - 4
⇒ x = 4(√5 - 1)/(√5 + 1)
⇒ x = 4(√5 - 1)(√5 - 1)/(√5 + 1)(√5 - 1)
⇒ x = 4(√5 - 1)(√5 - 1)/{(√5)2 - 12}
⇒ x = 4(√5 - 1)(√5 - 1)/{5 - 1}
⇒ x = 4(√5 - 1)(√5 - 1)/4
⇒ x = (√5 - 1)(√5 - 1)
⇒ x = (√5)2 - 2√ 5+ 12
⇒ x = 5 - 2√5 + 1
⇒ x = 6 - 2√5
i
ব্যাখ্যা (Explanation):
2x + 3y = 7..............(1)
6x - 7y = 5..............(2)

(1) × 7 + (2) × 3 ⇒
14x + 21y + 18x - 21y = 49 + 15
⇒ 32x = 64
⇒ x = 2

(1) হতে পাই,
2 × 2 + 3y = 7
⇒ 4 + 3y = 7
⇒ 3y = 7 - 4
⇒ 3y = 3
⇒ y = 1

∴ নির্ণেয় সমাধান (x,y) = (2,1)
i
ব্যাখ্যা (Explanation):
4(2x + 1) = 4(x - 2)
বা, 8x + 4 = 4x - 8
বা, 8x - 4x = - 8 - 4
বা, 4x = -12
বা, x = -12/4
∴ x = - 3
i
ব্যাখ্যা (Explanation):
দেওয়া আছে, a = √3 + √2
∴ (1/a) = 1/(√3 + √2)
= (√3 - √2)/(√3 + √2)(√3 - √2)
= (√3 - √2)/(3 - 2)
= √3 - √2

∴ a - (1/a) = √3 + √2 - √3 + √2 = 2√2

এখন, (a6 -1)/a3 = (a6/a3) - (1/a3)
= a3 - (1/a3)
= {a - (1/a)}3 + 3 ⋅ a ⋅ (1/a){a - (1/a)}
= (2√2)3 + 3 ⋅ 2√2
= 8 ⋅ 2√2 + 6√2
= 22√2
i
ব্যাখ্যা (Explanation):
নির্ণেয় ভাগফল = 10a2b4 / 5a2b2
                   = 2b2
i
ব্যাখ্যা (Explanation):
x - {x - (x + 1)}
= x - {x - x - 1}
= x - (-1) 
= x + 1
i
ব্যাখ্যা (Explanation):
(3x + 2y)² + 2(3x + 2y) (3x - 2y) + (3x - 2y)²
= a² + 2ab + b²
[3x + 2y = a, 3x - 2y = b ধরে]
= (a + b)²
= (3x + 2y + 3x - 2y)²
= (6x)²
= 36x²

এখানে প্রথম ৩০টি প্রশ্নের ব্যাখ্যা দেখতে পারবেন, বাকি সব প্রশ্নের সম্পূর্ণ ব্যাখ্যা পেতে এখনই অ্যাপ ইন্সটল করুন।

Install App
i
ব্যাখ্যা (Explanation):
x² - x - 6 = 0
⇒  x² - 3x + 2x - 6 = 0
⇒ x(x - 3) + 2(x - 3) = 0
⇒ (x - 3) (x + 2) = 0
∴ x = -2, 3
সঠিক উত্তর: 0 | ভুল উত্তর: 0