সরলীকরণ (265 টি প্রশ্ন )
 Back to Subject Page   All Topics
একটি দ্বিঘাত সমীকরণের আদর্শ রূপ হলো ax² + bx + c = 0।
এই সমীকরণের মূলদ্বয়ের (দুটি সমাধান) যোগফল এবং গুণফলের সূত্র হলো:
মূলদ্বয়ের যোগফল = -b/a
মূলদ্বয়ের গুণফল = c/a

প্রদত্ত সমীকরণটি হলো x² - 5x + 6 = 0
এখানে, a = 1, b = -5, এবং c = 6

সূত্র অনুযায়ী:
মূলদ্বয়ের যোগফল = -(-5) / 1 = 5
মূলদ্বয়ের গুণফল = 6 / 1 = 6

সুতরাং, সঠিক উত্তর হলো যোগফল 5 এবং গুণফল 6।
যদি কোনো দ্বিঘাত সমীকরণের দুটি মূল দেওয়া থাকে, তবে সমীকরণটি গঠন করার সূত্র হলো:
x² - (মূলদ্বয়ের যোগফল)x + (মূলদ্বয়ের গুণফল) = 0

এখানে, মূলদ্বয় হলো 3 এবং -5।

মূলদ্বয়ের যোগফল = 3 + (-5) = 3 - 5 = -2
মূলদ্বয়ের গুণফল = 3 × (-5) = -15

এখন এই মানগুলো সূত্রে বসিয়ে পাই:
x² - (-2)x + (-15) = 0
=> x² + 2x - 15 = 0

সুতরাং, নির্ণেয় সমীকরণটি হলো x² + 2x - 15 = 0
একটি দ্বিঘাত সমীকরণ ax² + bx + c = 0 এর মূলগুলোর প্রকৃতি তার নিশ্চায়ক (Discriminant), D = b² - 4ac এর মানের উপর নির্ভর করে।
মূলদ্বয় বাস্তব ও অসমান হওয়ার শর্ত হলো নিশ্চায়ক > 0, অর্থাৎ b² - 4ac > 0।

প্রদত্ত সমীকরণটি হলো 3x² - 4ax + 5 = 0।

এখানে, আদর্শ সমীকরণের সাথে তুলনা করে পাই:
a = 3, b = -4a, এবং c = 5।
শর্ত অনুযায়ী, b² - 4ac > 0
=> (-4a)² - 4(3)(5) > 0
=> 16a² - 60 > 0
=> 16a² > 60
=> a² > 60/16

এখন, a² > 60/16 এই অসমতাটির সমাধান করলে পাওয়া যায়:
|a| > √(60/16)
=> |a| > √60 / 4

এর অর্থ হলো, a > √60 / 4 অথবা, a < -√60 / 4।

ধরি, ক্ষুদ্রতম সংখ্যাটি x

তাহলে, ক্রমিক সংখ্যা হিসেবে অপর সংখ্যাটি হবে x + 1

প্রশ্নানুযায়ী, তাদের বর্গের সমষ্টি 221
x² + (x + 1)² = 221
x² + (x² + 2x + 1) = 221
2x² + 2x + 1 = 221
2x² + 2x - 220 = 0
x² + x - 110 = 0 (উভয় পক্ষকে 2 দ্বারা ভাগ করে)
x² + 11x - 10x - 110 = 0
x(x + 11) - 10(x + 11) = 0
(x - 10)(x + 11) = 0

সুতরাং, x = 10 অথবা x = -11
যেহেতু সংখ্যাগুলো ধনাত্মক পূর্ণ সংখ্যা, তাই -11 গ্রহণযোগ্য নয়।
অতএব, ক্ষুদ্রতম সংখ্যাটি হলো 10।

[{1-(1-1/P)}-1 ÷ (1-1/P)-1] 

[1-(p-1/p)-1 ÷ (p-1/p)-1]

[{(p-p+1)/p}-1 ÷ p/(p-1)]

[(1/p)-1 ÷ p/(p-1) ]

[p × (p-1)/p]

= p-1
0.000001 = 1/1,000,000

(1/1,000,000) × (2/5)
= 2/5,000,000
= 0.0000004 
ধরি,
আরিফের  বয়স = a বছর।
তাহলে রাফির বয়স = 44 - a  বছর।

প্রশ্নমতে,
a - 8 = 2(44 - a)
বা, a - 8 = 88  - 2a
বা, a + 2a = 88 + 8
বা, 3a = 96
∴ a = 32

আরিফের বয়স = 32 বছর।
রাফির বয়স = 44 - 32 = 12 বছর।
ধরি, একক স্থানীয় অঙ্ক = a
তাহলে, দশক স্থানীয় অঙ্ক = 6 - a
∴ সংখ্যাটি = 10(6 - a) + a = 60 - 9a
∴ অঙ্কদ্বয় স্থান বিনিময় করলে সংখ্যাটি = 10a + (6 - a) = 9a + 6

প্রশ্নমতে,
9a + 6 - 18 = 60 - 9a
⇒ 9a + 9a = 60 - 6 + 18
⇒ 18a = 72
∴ a = 4
∴ সংখ্যাটি = 60 - (9 × 4) = 24
অতএব, সংখ্যাটির এক চতুর্থাংশের মান = 24/4 = 6
মনেকরি
একটি সংখ্যা = a 
অপর সংখ্যা = 3a
প্রশ্নমতে
a + 3a = 120
4a = 120
a = 30

একটি সংখ্যা = 30  
অপর সংখ্যা = 3 × 30 = 90 

অতএব, সংখ্যা দুইটি 30 এবং 90

ফ্রিতে ২ লাখ প্রশ্নের টপিক, সাব-টপিক ভিত্তিক ও ১০০০+ জব শুলুশন্স বিস্তারিতে ব্যাখ্যাসহ পড়তে ও আপনার পড়ার ট্র্যাকিং রাখতে সাইটে লগইন করুন।

লগইন করুন
মনেকরি, 
দশকের অঙ্ক = x 
এককের অংক = x + 5
সংখ্যাটি = 10x + x + 5 = 11x + 3 

প্রশ্নমতে,
11x + 5 = 3(x + x + 5) + 5
বা, 11x + 5 = 3(2x + 5) + 5 
বা, 11x + 5 = 6x + 15 + 5 
বা, 11x - 6x = 20 - 5
বা, 5x = 15
∴ x = 3 

অতএব, 
সংখ্যাটি = 11 × 3 + 5 = 38
x টি পেন্সিলের ক্রয়মূল্য = 5x টাকা
আবার, (x - 3) টি পেন্সিলের ক্রয়মূল্য = 8(x - 3) টাকা
প্রশ্নমতে,
5x + 8(x - 3) ≤ 120
⇒ 5x + 8x - 24 ≤ 120
⇒ 13x - 24 ≤ 120
⇒ 13x - 24 + 24 ≤ 120 + 24 [উভয় পক্ষে 24 যোগ করে]
⇒ 13x ≤ 144
⇒ 13x/13 ≤ 144/13 [উভয় পক্ষকে 13 দ্বারা ভাগ করে]
∴ x ≤ 11.08

যেহেতু পেন্সিলের সংখ্যা পূর্ণসংখ্যা হতে হবে এবং 11.08 এর চেয়ে বড় নয়,
অতএব, সামি সর্বাধিক 11 টি চকলেট কিনেছে।
মনে করি, সংখ্যাটি = x
প্রশ্নমতে, √x+20 = 52
⇒√x+20=25
⇒√x=25-20
⇒√x=5
⇒x=52
⇒x=25
2x2 + px - 16 = 0 এর একটি মূল 4 হলে, 
2(4)2+ 4p - 16 = 0 
⇒ 32 + 4p - 16 = 0
⇒ 4p = - 16
⇒ p = - 4

এখন, p = -4 হলে,
p(x2 + x) + k = 0
⇒ -4(x2 + x) + k = 0
⇒ -4x2 - 4x + k = 0 ..... (1)

(1) নং সমীকরণের মূলদ্বয় সমান হলে, নিশ্চায়ক = 0
অর্থাৎ, (-4)2 - 4(-4)k = 0
⇒ 16 + 16k = 0
⇒ k = - 1
ধরি, সংখ্যাটি হল x।

প্রশ্নমতে, 3x+5 = 20
⇒ 3x+5−5 = 20−5
⇒ 3x = 15
⇒ x = 5

সুতরাং, সংখ্যাটি হল 5।
10 × 6 – 4 ÷ 2 
= 60 - 2
= 58
ধরি, প্রথম বিজোড় সংখ্যাটি হলো x
তাহলে, দ্বিঘাত সমীকরণ তৈরি করে পাই,
x2 + 2x − 195 = 0
⇒ x2 + 15x - 13x − 195 = 0
⇒ x(x + 15) - 13(x + 15) = 0
⇒ (x + 15) (x - 13) = 0
সুতরাং, সংখ্যা দুটি হলো 13 এবং15।
দেওয়া আছে,
8ab(a2+b2)
=4ab.2(a2+b2)
={(a+b)2- (a-b)2} {(a+b)2+(a-b)2}
={(√3)2 -(√2)2}
=(3-2)(3+2)
=5.1
=5
[{(-1/2)²}⁻²]⁻¹
= [{1/4}⁻²]⁻¹
= [{4/1}²]⁻¹
= [16/1]⁻¹
= 1/16
এখানে,
p + ৮ = ৭২
⇒ p = ৭২ - ৮

ফ্রিতে ২ লাখ প্রশ্নের টপিক, সাব-টপিক ভিত্তিক ও ১০০০+ জব শুলুশন্স বিস্তারিতে ব্যাখ্যাসহ পড়তে ও আপনার পড়ার ট্র্যাকিং রাখতে সাইটে লগইন করুন।

লগইন করুন
১. লিখে নিই:
5¹⁷ × 4⁹

২. লক্ষ্য করুন 4⁹ = (2²)⁹ = 2¹⁸। তাই
5¹⁷ × 4⁹ = 5¹⁷ × 2¹⁸.

৩. 2¹⁸ কে ভেঙে লিখি 2 × 2¹⁷ হিসেবে:
5¹⁷ × 2¹⁸ = 5¹⁷ × (2 × 2¹⁷) = (5¹⁷ × 2¹⁷) × 2.

৪. কিন্তু 5¹⁷ × 2¹⁷ = (5 × 2)¹⁷ = 10¹⁷। তাই সমগ্রটি হচ্ছে
10¹⁷ × 2 = 2 × 10¹⁷.

অতএব
5¹⁷ × 4⁹ = 2 × 10¹⁷.
সেট R-এর শর্ত অনুযায়ী, x হলো 4 এর গুণিতক এবং x 16 এর থেকে ছোট অথবা সমান।

4 এর গুণিতক সংখ্যাগুলো হলো: 4, 8, 12, 16, 20, ...

যেহেতু x এর মান 16 এর থেকে ছোট হতে হবে (x < 16), তাই আমরা 16 এবং তার পরবর্তী গুণিতকগুলো বাদ দেব।

সুতরাং, সেট R-এর তালিকাভুক্ত রূপ হবে: {4, 8, 12, 16}।
x2 - 7x + 12 ≤ 0
x2 - 3x - 4x  + 12 ≤ 0
x(x - 3) - 4(x - 3) ≤ 0
∴ (x - 3)(x - 4) ≤ 0

x2 - 7x + 12 ≤ 0 সত্য হবে যদি x - 3 ≤ 0 এবং x - 4 ≥ 0 হয়।
এখন, x - 3 ≤ 0 এবং x - 4 ≥ 0
অর্থাৎ,  x ≤ 3 এবং x ≥ 4
3 এর চেয়ে ছোট বা সমান এবং 4 এর চেয়ে বড় বা সমান x এর কোন মান নাই।
এক্ষেত্রে অসমতাটির কোন সমাধান পাওয়া যাবে না।

আবার,
x2 - 7x + 12 ≤ 0 সত্য হবে যদি x - 3 > 0 এবং x - 4 ≤ 0 হয়।
এখন,  x - 3 ≥ 0 এবং x - 4 ≤ 0
অর্থাৎ x ≥ 3 এবং x ≤ 4
x এর মান 3 এর চেয়ে বড় বা সমান এবং 4 এর চেয়ে ছোট বা সমান।
সুতরাং অসমতাটির সমাধান পাওয়া যাবে.

সুতরাং নির্ণেয় সমাধান: 3 ≤ x ≤ 4

x2 - 7x + 12 ≤ 0 এর সমাধান সেট [3, 4]
{(1/2) × 2x-3} + 1 = 5
⇒ {(1/2) × (2x/23)} + 1 = 5
⇒ (2x/24)} + 1 = 5
⇒ (2x/24)} = 4
⇒ 2x = 22 . 24
⇒ 2x = 26
⇒ x = 6
2a - b - [2b - {3c - (a - 3b + 3c)}]
= 2a - b - [2b - {3c - a + 3b - 3c}]
= 2a - b - [2b - 3c + a - 3b + 3c]
= 2a - b - [a - b]
= 2a - b - a + b
= a
(x - p)/(p2 - q2) = (x - q)/(q2 - p2) 
⇒ (x - p)/(p2 - q2) = (x - q)/ - (p2 - q2) 
⇒ (x - p)/(p2 - q2) = - (x - q)/(p2 - q2) 
⇒ x - p = - (x - q)
⇒ x - p = - x + q
⇒ x + x = p + q
⇒ 2x = p + q
⇒ x = (p + q)/2
দেওয়া আছে, 
4x + 10y = - 2 …… (i)

3x - 2y = 8
বা, 15x - 10y = 40 ……(ii) [উভয়পক্ষকে 5 দ্বারা গুণ করে]

(i) নং ও (ii) নং কে যোগ করে পাই,
4x + 10y + 15x - 10y = - 2 + 40
বা, 19x = 38
বা, x = 38/19
∴ x = 2

x এর মান (i) নং এ বসিয়ে পাই,
(4 × 2) + 10y = - 2
বা, 8 + 10y = - 2
বা, 10y = - 2 - 8
বা, 10y = - 10
বা, y = - 10/10
∴ y = - 1

∴ x3 + y2 = (2)3 + (- 1)2
= 8 + 1
= 9

∴ x3 + y2 এর মান 9.
(x/2) + (y/2) = 3
(x + y)/2 = 3
⇒ x + y = 6 ....................(1)
⇒ x - y = 2......................(2)

(1) + (2) ⇒
x + y + x - y = 6 + 2
⇒ 2x = 8
⇒ x = 4

(2) নং সমীকরণ হতে পাই,
x - y = 2
⇒ 4 - y = 2
⇒ - y = 2 - 4
⇒ - y = - 2
⇒ y = 2

∴ নির্ণেয় সমাধান (x,y) = (4,2)
(√5 + 1)x + 4 = 4√5
⇒ (√5 + 1)x = 4√5 - 4
⇒ x = 4(√5 - 1)/(√5 + 1)
⇒ x = 4(√5 - 1)(√5 - 1)/(√5 + 1)(√5 - 1)
⇒ x = 4(√5 - 1)(√5 - 1)/{(√5)2 - 12}
⇒ x = 4(√5 - 1)(√5 - 1)/{5 - 1}
⇒ x = 4(√5 - 1)(√5 - 1)/4
⇒ x = (√5 - 1)(√5 - 1)
⇒ x = (√5)2 - 2√ 5+ 12
⇒ x = 5 - 2√5 + 1
⇒ x = 6 - 2√5
2x + 3y = 7..............(1)
6x - 7y = 5..............(2)

(1) × 7 + (2) × 3 ⇒
14x + 21y + 18x - 21y = 49 + 15
⇒ 32x = 64
⇒ x = 2

(1) হতে পাই,
2 × 2 + 3y = 7
⇒ 4 + 3y = 7
⇒ 3y = 7 - 4
⇒ 3y = 3
⇒ y = 1

∴ নির্ণেয় সমাধান (x,y) = (2,1)

ফ্রিতে ২ লাখ প্রশ্নের টপিক, সাব-টপিক ভিত্তিক ও ১০০০+ জব শুলুশন্স বিস্তারিতে ব্যাখ্যাসহ পড়তে ও আপনার পড়ার ট্র্যাকিং রাখতে সাইটে লগইন করুন।

লগইন করুন
4(2x + 1) = 4(x - 2)
বা, 8x + 4 = 4x - 8
বা, 8x - 4x = - 8 - 4
বা, 4x = -12
বা, x = -12/4
∴ x = - 3
সঠিক উত্তর: 0 | ভুল উত্তর: 0