সমাধান (250 টি প্রশ্ন )
 Back to Subject Page   All Topics
i
ব্যাখ্যা (Explanation):
2x2 + 350 = 12x + 340 
⇒ 2x2 - 12x + 350 - 340 = 0
⇒ 2x2 - 12x + 10 =0 
⇒ 2(x2 - 6x + 5) = 0
⇒ x2 - 6x + 5 = 0
⇒ x2 - 5x - x + 5 = 0
⇒ x(x - 5) - 1(x - 5) = 0
(x - 5)(x - 1) = 0

হয়,
x - 5 = 0
x = 5

অথবা, 
x - 1 = 0
x = 1
i
ব্যাখ্যা (Explanation):
যেকোনো দ্বিঘাত সমীকরণ Ax² + Bx + C = 0 এর ক্ষেত্রে,
মূলদ্বয়ের যোগফল = -B/A
মূলদ্বয়ের গুণফল = C/A

প্রদত্ত সমীকরণটি হলো ax² - 8x + 9 = 0।
এখানে, A = a, B = -8, এবং C = 9।

১. সূত্র অনুযায়ী, মূলদ্বয়ের যোগফল হবে -(-8)/a = 8/a।
২. প্রশ্ন অনুযায়ী, মূলদ্বয়ের যোগফল হলো 1/2।

সুতরাং, আমরা লিখতে পারি:
8/a = 1/2
৩. এই সমীকরণটি সমাধান করে পাই, a = 8 * 2 = 16।
৪. এখন, মূলদ্বয়ের গুণফল নির্ণয়ের সূত্রটি হলো C/A = 9/a।
৫. এখানে a-এর মান 16 বসালে আমরা পাই, মূলদ্বয়ের গুণফল = 9/16।
i
ব্যাখ্যা (Explanation):
4x - 9y = - 2 ..... (1)
3y - 2x = - 2 ..... (2)

(1) নং + (2) নং × 2
⇒ 4x - 9y + 6y - 4x = - 2 - 4
⇒ - 3y = - 6
∴ y = 2

(1) নং থেকে
⇒ 4x - 18 = - 2
⇒ 4x = 16
∴ x = 4
i
ব্যাখ্যা (Explanation):
ধরি, সমীকরণটির মূলদ্বয় α ও β
দেওয়া আছে,
α + β = 2
এবং α3 + β3 = 27

এখন (α + β)3 = α3 + β3 + 3αβ(α + β)
⇒ 23 = 27 + 3 · αβ · 2
⇒ 6αβ = - 19
∴ αβ = - 19/6

সুতরাং α, β মূলবিশিষ্ট সমীকরণ x2 - (α + β)x + αβ = 0
বা, 6x2 - 12x - 19 = 0 নির্ণেয় সমীকরণ।
i
ব্যাখ্যা (Explanation):
(x + 3)(x - 4) = (x - 5)(x + 1)
বা, x2 - 4x + 3x - 12 = x2 + x - 5x - 5
বা, x2 - x - 12 = x2 - 4x - 5
বা, x2 - x - 12 - x2 + 4x + 5 = 0
বা, 3x - 7 = 0
বা, 3x = 7
বা, x = 7/3

∴ নির্ণয় মান 7/3
i
ব্যাখ্যা (Explanation):
এখানে a = 2, b = m, c = 8
সমীকরণের মূলদ্বয় বাস্তব ও সমান হলে
∴ b2 - 4ac = 0
⇒ m2 - 4 × 2 × 8 = 0
⇒ m2 - 64 = 0
⇒ m2 = 64
⇒ m = ± 8
i
ব্যাখ্যা (Explanation):
x + y = a - b....................(1)
ax - by = a2 + b2 .................(2)

(1) নং × b + (2) নং থেকে,
bx + by + ax - by = ab - b2 + a2 + b2
⇒ ax + bx = a2 + ab
⇒ x(a + b) = a(a + b)
⇒ x = a

(1) নং থেকে,
x + y = a - b
⇒ a + y = a - b
⇒ y = - b

নির্ণেয় সমাধান (y, x) = (- b, a)
i
ব্যাখ্যা (Explanation):
দেওয়া আছে
x + 2y = 8...............(1)
2x - 3y = - 5............(2)

(1)নং × 3 + (2)নং × 2 ⇒
3x + 6y + 4x - 6y = 24 - 10
7x = 14
x = 2

(1) নং হতে পাই
x + 2y = 8
2 + 2y = 8
2y = 8 - 2
2y = 6
y = 3

নির্ণেয় সমাধান (x, y) = (2, 3)
i
ব্যাখ্যা (Explanation):
দেওয়া আছে
5x + 8 = 58
5x = 58 - 8
5x = 50
x = 10

আবার
x + 5y = 15
10 + 5y = 15
5y = 15 - 10
5y = 5
y = 1

y এর মান = 1

এখানে প্রথম ৩০টি প্রশ্নের ব্যাখ্যা দেখতে পারবেন, বাকি সব প্রশ্নের সম্পূর্ণ ব্যাখ্যা পেতে এখনই অ্যাপ ইন্সটল করুন।

Install App
i
ব্যাখ্যা (Explanation):
2x2 + px - 16 = 0 এর একটি মূল 4 হলে, 
2(4)2+ 4p - 16 = 0 
⇒ 32 + 4p - 16 = 0
⇒ 4p = - 16
⇒ p = - 4

এখন, p = -4 হলে,
p(x2 + x) + k = 0
⇒ -4(x2 + x) + k = 0
⇒ -4x2 - 4x + k = 0 ..... (1)

(1) নং সমীকরণের মূলদ্বয় সমান হলে, নিশ্চায়ক = 0
অর্থাৎ, (-4)2 - 4(-4)k = 0
⇒ 16 + 16k = 0
⇒ k = - 1
i
ব্যাখ্যা (Explanation):
a/b=4
a=4b
এখন, a+2b=12
বা , 4b+2b=12
বা 6b=12
∴b=2
∴a=4×2=8
i
ব্যাখ্যা (Explanation):
যদি একটি মূল 3 হয়, তাহলে x = 3 বসিয়ে সমীকরণটি সিদ্ধ হবে।
অর্থাৎ, 32 - 5(3) + k = 0
বা, 9 - 15 + k = 0
বা, -6 + k = 0
বা, k = 6
i
ব্যাখ্যা (Explanation):

xy = {(x + y)² - (x - y)²}/4

বা, xy = {(12)² - (2)²}/4

বা, xy = (144 - 4)/4

বা, xy = 140/4

∴ xy = 35
i
ব্যাখ্যা (Explanation):
দেওয়া আছে, 
x + y = 12
x - y = 2

আমরা জানি
4xy = (x + y)2 - (x - y)2
বা, 4xy = (12)2 - 22
বা, 4xy = 144 - 4
বা, 4xy = 140
∴ xy = 35
i
ব্যাখ্যা (Explanation):
দেওয়া আছে,
a + b = 5
এবং a - b = 3

আমরা জানি,
4ab = (a + b)² - (a - b)²
বা, 4ab = (5)² - (3)² [মান বসিয়ে]
বা, 4ab = 25 - 9
বা, 4ab = 16
বা, ab = 16 / 4
বা, ab = 4
∴ ab = 4

বিকল্প পদ্ধতি (শর্টকাট):
প্রশ্নমতে, a + b = 5 এবং a - b = 3
এখানে দুটি সমীকরণ যোগ করলে পাই,
(a + b) + (a - b) = 5 + 3
বা, 2a = 8
বা, a = 4

এখন যেকোনো একটি সমীকরণে a এর মান বসালে পাই,
4 + b = 5
বা, b = 5 - 4
বা, b = 1

তাহলে, ab = 4 × 1 = 4
উত্তর: 4
i
ব্যাখ্যা (Explanation):
2x = 3y
⇒x = (3/2)y
 
আবার,
3x - 2y = 5
⇒ 3(3/2)y - 2y = 5
⇒ 9y - 4y = 10
⇒ 5y = 10
⇒ y = 2
∴ x = (3/2)2 = 3
∴ নির্ণেয় সমাধান, (x, y) = (3, 2)
i
ব্যাখ্যা (Explanation):
12(x² + 1) = 25x
⇒ 12x² + 12 = 25x
⇒ 12x² - 25x + 12 = 0
⇒ 12x² - 16x - 9x + 12 = 0
⇒ 4x(3x - 4) - 3(3x - 4) = 0
⇒ (3x - 4)(4x - 3) = 0

∴ 3x - 4 = 0   অথবা 4x - 3 = 0
⇒ 3x = 4             ⇒ 4x = 3
⇒ x = ⁴⁄₃             ⇒ x = ¾
i
ব্যাখ্যা (Explanation):
ধরি, পরিচালনা পরিষদে নারীর সংখ্যা = ক জন
তাহলে, পুরুষদের সংখ্যা = (ক + ৮) জন

মোট সদস্য সংখ্যা ২০ জন। সুতরাং, নারী ও পুরুষের মোট সংখ্যা হবে ২০।
ক + (ক + ৮) = ২০
⇒ ২ক + ৮ = ২০
⇒ ২ক = ২০ - ৮
⇒ ২ক = ১২
⇒ ক = ১২/২
​⇒ ক = ৬

সুতরাং, পরিচালনা পরিষদে নারীর সংখ্যা ৬ জন।

পুরুষের সংখ্যা = নারীর সংখ্যা + ৮
পুরুষের সংখ্যা = ৬ + ৮
পুরুষের সংখ্যা = ১৪ জন।

অতএব, পরিচালনা পরিষদে পুরুষের সংখ্যা ১৪ জন।
i
ব্যাখ্যা (Explanation):
3x - y = 3 ............... (1)
5x + y = 21 ..............(2)

এখন, (1) + (2) নং হতে পাই,
3x + 5x = 3+21 
বা, 8x = 24
বা, x = 24/8
 ∴ x = 3

আবার, (1) নং এ x এর মান বসিয়ে পাই,
(3 × 3) - y = 3
বা, 9 - y = 3
বা, y = 9 - 3
∴ y = 6

∴ নির্ণেয় সমাধান (x, y) = (3, 6)

এখানে প্রথম ৩০টি প্রশ্নের ব্যাখ্যা দেখতে পারবেন, বাকি সব প্রশ্নের সম্পূর্ণ ব্যাখ্যা পেতে এখনই অ্যাপ ইন্সটল করুন।

Install App
i
ব্যাখ্যা (Explanation):
ধরি, বড় সংখ্যাটি = ক
এবং ছোট সংখ্যাটি = খ

প্রশ্নমতে,
২টি সংখ্যার যোগফল ১০
∴ ক + খ = ১০ ............ (i)

আবার প্রশ্নে দেওয়া আছে,
২টি সংখ্যার বিয়োগফল ২
∴ ক - খ = ২ ............ (ii)

এখন, (i) ও (ii) নং সমীকরণ যোগ করে পাই,
(ক + খ) + (ক - খ) = ১০ + ২
বা, ২ক = ১২
বা, ক = ১২/২
∴ ক = ৬
অর্থাৎ, বড় সংখ্যাটি ৬।
এখন (i) নং সমীকরণে 'ক' এর মান বসিয়ে পাই,
৬ + খ = ১০
বা, খ = ১০ - ৬
∴ খ = ৪
সুতরাং, ছোট সংখ্যাটি ৪।

বিকল্প পদ্ধতি (শর্টকাট টেকনিক):
যদি দুইটি সংখ্যার যোগফল এবং বিয়োগফল দেওয়া থাকে, তবে-
বড় সংখ্যা = (যোগফল + বিয়োগফল) ÷ ২
ছোট সংখ্যা = (যোগফল - বিয়োগফল) ÷ ২
এখানে,
যোগফল = ১০ এবং বিয়োগফল = ২
∴ ছোট সংখ্যাটি = (১০ - ২) ÷ ২
= ৮ ÷ ২
= ৪
i
ব্যাখ্যা (Explanation):
ধরি, সংখ্যা দুইটি $x$ ও $y$ এবং $x > y$।
প্রশ্নমতে,
সংখ্যা দুইটির যোগফল ১৮
$\therefore x + y = 18$ . . . . . . . . . (i)
সংখ্যা দুইটির অন্তর ৪
$\therefore x - y = 4$ . . . . . . . . . . (ii)

(i) ও (ii) নং সমীকরণ যোগ করে পাই,
$x + y + x - y = 18 + 4$
বা, $2x = 22$
বা, $x = 22 / 2$
$\therefore x = 11$

এখন, $x$ এর মান (i) নং সমীকরণে বসিয়ে পাই,
$11 + y = 18$
বা, $y = 18 - 11$
$\therefore y = 7$

বিকল্প পদ্ধতি (শর্টকাট টেকনিক):
আমরা জানি,
বড় সংখ্যাটি = (যোগফল + বিয়োগফল) / ২
এবং ছোট সংখ্যাটি = (যোগফল - বিয়োগফল) / ২

সুতরাং,
বড় সংখ্যাটি = $(18 + 4) / 2 = 22 / 2 =$ ১১
ছোট সংখ্যাটি = $(18 - 4) / 2 = 14 / 2 =$ ৭
i
ব্যাখ্যা (Explanation):
ধরি, একটি সংখ্যা = $x$
যেহেতু সংখ্যা দুটির যোগফল $30$, তাই অপর সংখ্যাটি হবে = $(30 - x)$
প্রশ্নমতে, সংখ্যা দুটির গুণফল $189$
$\therefore$ $x(30 - x) = 189$
বা, $30x - x^2 = 189$
বা, $x^2 - 30x + 189 = 0$ [উভয়পক্ষকে $-1$ দ্বারা গুণ করে সাজিয়ে]
বা, $x^2 - 21x - 9x + 189 = 0$ [মিডল টার্ম ব্রেক করে]
বা, $x(x - 21) - 9(x - 21) = 0$
বা, $(x - 21)(x - 9) = 0$
হয়, $(x - 21) = 0$
$\therefore x = 21$
অথবা, $(x - 9) = 0$
$\therefore x = 9$
যদি একটি সংখ্যা $21$ হয়, তবে অপর সংখ্যাটি $(30 - 21)$ বা $9$।
আবার, যদি একটি সংখ্যা $9$ হয়, তবে অপর সংখ্যাটি $(30 - 9)$ বা $21$।

শর্টকাট টেকনিক (অপশন টেস্ট):
পরীক্ষার হলে দ্রুত সমাধানের জন্য অপশনগুলোর দিকে লক্ষ্য করুন:
১. অপশন (1): সংখ্যা ৯ ও ২১। এদের যোগফল = $9 + 21 = 30$ এবং গুণফল = $9 \times 21 = 189$। (শর্ত পূরণ করে)
২. অপশন (2): সংখ্যা ৭ ও ২৩। এদের যোগফল = $7 + 23 = 30$ কিন্তু গুণফল = $7 \times 23 = 161$। (শর্ত পূরণ করে না)
৩. অপশন (3): সংখ্যা ৮ ও ২২। এদের যোগফল = $8 + 22 = 30$ কিন্তু গুণফল = $8 \times 22 = 176$। (শর্ত পূরণ করে না)
৪. অপশন (4): সংখ্যা ২২ ও ১৮। এদের যোগফল = $22 + 18 = 40$। (শর্ত পূরণ করে না)
যেহেতু একমাত্র অপশন (1) উভয় শর্ত (যোগফল ৩০ ও গুণফল ১৮৯) পূরণ করে, তাই এটিই সঠিক উত্তর।
i
ব্যাখ্যা (Explanation):
(x² - x + 2) / 2 = 4
⇒ x² - x + 2 = 4 × 2
⇒ x² - x + 2 = 8
⇒ x² - x + 2 - 8 = 0
⇒ x² - x - 6 = 0
⇒ x² - 3x + 2x - 6 = 0
⇒ (x - 3)(x + 2) = 0

∴ x এর দুটি সম্ভাব্য মান হল 3 এবং -2।
i
ব্যাখ্যা (Explanation):

ধরি, দুইটি সংখ্যা যথাক্রমে x ও y

প্রশ্নমতে,
x + y = 48 …(1)
xy = 432 …(2)

(1) থেকে পাই,
x = 48 - y

এখন (2)-এ বসাই,
(48 - y) × y = 432
48y - y² = 432
অর্থাৎ, y² - 48y + 432 = 0

এখন গুণনীয়ক করি —
y² - 36y - 12y + 432 = 0
y(y - 36) - 12(y - 36) = 0
অতএব, (y - 36)(y - 12) = 0

অতএব, y = 36 অথবা y = 12

যখন y = 36, তখন
x = 48 - 36 = 12

যখন y = 12, তখন
x = 48 - 12 = 36

অতএব, দুইটি সংখ্যা 36 ও 12
সুতরাং বড় সংখ্যাটি = 36 
i
ব্যাখ্যা (Explanation):
মনেকরি
দুটি সংখ্যা ক ও খ

শর্তমতে,
ক + খ = ১৩০…...............(১)
ক - খ = ১০ …....................(২)

(১) + (২) ⇒
ক + খ + ক - খ = ১৩০ + ১০
বা, ২ক = ১৪০
বা, ক = ৭০

ক এর মান (১) নং এ বসিয়ে পাই,
৭০ + খ = ১৩০
বা, খ = ১৩০ - ৭০
বা, খ  = ৬০

সুতরাং, বৃহত্তম সংখ্যাটি ৭০
i
ব্যাখ্যা (Explanation):
ধরি, ঘনকের প্রতিটি বাহুর দৈর্ঘ্য 'a'।

তাহলে, পূর্বের আয়তন = a³

যদি প্রতিটি বাহুর দৈর্ঘ্য তিনগুণ করা হয়, তবে নতুন বাহুর দৈর্ঘ্য = 3a।

নতুন আয়তন = (3a)³ = 27a³

সুতরাং, নতুন আয়তন পূর্বের আয়তনের 27 গুণ হবে।
i
ব্যাখ্যা (Explanation):
0.04 × 0.4 × a = (0.4 × 0.04 × √b)²

বা, 0.04 × 0.4 × a = 0.4² × 0.04² × b

বা, a = 0.4 × 0.04 × b

বা, a/b = 0.4 × 0.04

বা, a/b = 0.016
i
ব্যাখ্যা (Explanation):
ধরি, (x₁, y₁) = (1, 2) এবং (x₂, y₂) = (5, 6)।

রেখাংশটিকে m:n অনুপাতে বহির্বিভক্তকারী বিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয়ের সূত্রটি হলো,

((mx₂ - nx₁) / (m - n), (my₂ - ny₁) / (m - n))

এখানে, m = 3 এবং n = 1।

এখন, সূত্রটিতে মানগুলো বসিয়ে পাই:

x-স্থানাঙ্ক: (3 * 5 - 1 * 1) / (3 - 1) = (15 - 1) / 2 = 14 / 2 = 7

y-স্থানাঙ্ক: (3 * 6 - 1 * 2) / (3 - 1) = (18 - 2) / 2 = 16 / 2 = 8

সুতরাং, (1, 2) এবং (5, 6) বিন্দুদ্বয়ের সংযোগকারী রেখাংশকে 3:1 অনুপাতে বহির্বিভক্তকারী বিন্দুর স্থানাঙ্ক হলো (7, 8)।
i
ব্যাখ্যা (Explanation):
আমরা জানি,
y - y₁ = m(x - x₁)

এখানে, (x₁, y₁) হলো সেই বিন্দু যার মধ্য দিয়ে সরলরেখাটি যায়, এবং m হলো সরলরেখাটির ঢাল।

এই ক্ষেত্রে, বিন্দুটি হলো (2, 3) এবং ঢাল হলো 4।

সুতরাং,
y - 3 = 4(x - 2)
⇒ y - 3 = 4x - 8
⇒ y = 4x - 8 + 3
⇒ y = 4x - 5

সুতরাং, (2, 3) বিন্দুগামী এবং 4 ঢালবিশিষ্ট সরলরেখার সমীকরণ হলো y = 4x - 5।

এখানে প্রথম ৩০টি প্রশ্নের ব্যাখ্যা দেখতে পারবেন, বাকি সব প্রশ্নের সম্পূর্ণ ব্যাখ্যা পেতে এখনই অ্যাপ ইন্সটল করুন।

Install App
i
ব্যাখ্যা (Explanation):
মূল বিন্দুর স্থানাঙ্ক (0, 0)
একটি বিন্দু (x, y)

দুটি বিন্দুর মধ্যবর্তী দূরত্ব = √{(x - x1)2 + (y - y1)2}
= √{(x - 0)2 + (y - 0)2}
= √(x2 + y2)
সঠিক উত্তর: 0 | ভুল উত্তর: 0