ল সা গু ও গ সা গু

ক) ১/৫ খ) ১/১৫ গ) ৩/৫ ঘ) ৩/১৫

ব্যাখ্যা (Explanation)

ভগ্নাংশের গ.সা.গু নির্ণয় করার সাধারণ সূত্রটি হলো:
ভগ্নাংশের গ.সা.গু = (লবগুলোর গ.সা.গু) / (হরগুলোর ল.সা.গু)

সমাধানের ধাপসমূহ:

১. লবগুলোর গ.সা.গু নির্ণয়:
ভগ্নাংশ দুটির লব হলো ৩ এবং ১।
৩ এবং ১ এর গ.সা.গু = ১

২. হরগুলোর ল.সা.গু নির্ণয়:
ভগ্নাংশ দুটির হর হলো ৫ এবং ৩ (পরীক্ষার মূল প্রশ্নে ১/৩ ও ১/৫ ভগ্নাংশ দুটি বিবেচনা করা হয়)।
৩ এবং ৫ এর ল.সা.গু = ৩ × ৫ = ১৫

(উল্লেখ্য, ৩/৫ ও ১/৫ ভগ্নাংশ দুটি বিবেচনা করলে হর ৫ ও ৫ এর ল.সা.গু হয় ৫, সেক্ষেত্রে গ.সা.গু আসে ১/৫; যা সমতুল্য ভগ্নাংশ হিসেবে ৩/১৫ এর সমান। তবে হর ৩ ও ৫ ধরে হিসাব করলে সঠিক মান ১/১৫ পাওয়া যায়)।

৩. সূত্রে মান বসিয়ে পাই:
নির্ণেয় গ.সা.গু = (লবগুলোর গ.সা.গু) / (হরগুলোর ল.সা.গু) = ১/১৫

* সঠিক উত্তর: অপশন ২ (১/১৫)
সোর্সঃ খাইরুল বেসিক গণিত

দুটি সংখ্যার ল.সা.গু. ৭৫ এবং গ.সা.গু. ৫; একটি সংখ্যা ১৫ হলে, অপর সংখ্যাটি কত?

ক) ২০ খ) ২৫ গ) ৩৫ ঘ) ৪৫

ব্যাখ্যা (Explanation)

দেওয়া আছে,
দুটি সংখ্যার ল.সা.গু = ৭৫
গ.সা.গু = ৫
একটি সংখ্যা = ১৫

আমরা জানি,
দুটি সংখ্যার গুণফল = সংখ্যাদ্বয়ের ল.সা.গু × গ.সা.গু
বা, একটি সংখ্যা × অপর সংখ্যা = ল.সা.গু × গ.সা.গু
বা, ১৫ × অপর সংখ্যা = ৭৫ × ৫
বা, অপর সংখ্যা = (৭৫ × ৫) / ১৫
বা, অপর সংখ্যা = ৫ × ৫
∴ অপর সংখ্যা = ২৫

শর্টকাট নিয়ম:
অপর সংখ্যা = (ল.সা.গু × গ.সা.গু) / প্রদত্ত সংখ্যা
= (৭৫ × ৫) / ১৫ = ২৫।

দুটি সংখ্যার অনুপাত ৩ : ৪ এবং তাদের গসাগু ৪ হলে, সংখ্যা দুটির লসাগু কত?

ক) ১২ খ) ২৪ গ) ৪৮ ঘ) ৯৬

ব্যাখ্যা (Explanation)

দেওয়া আছে, দুটি সংখ্যার অনুপাত ৩ : ৪ এবং তাদের গসাগু ৪।
আমাদের সংখ্যা দুটির লসাগু নির্ণয় করতে হবে।

পদ্ধতি ১ (সাধারণ সমাধান):
অনুপাত ৩ : ৪ হওয়ায় ধরি, ১ম সংখ্যাটি ৩x এবং ২য় সংখ্যাটি ৪x ।
এখানে, ৩x এবং ৪x-এর গসাগু হলো x ।
প্রশ্নমতে, গসাগু x = ৪ ।
সুতরাং, ১ম সংখ্যাটি = ৩ × ৪ = ১২
এবং ২য় সংখ্যাটি = ৪ × ৪ = ১৬
এখন, ১২ ও ১৬-এর লসাগু নির্ণয় করি:
১২ = ২ × ২ × ৩
১৬ = ২ × ২ × ২ × ২
অতএব, নির্ণেয় লসাগু = ২ × ২ × ২ × ২ × ৩ = ৪৮ ।

পদ্ধতি ২ (সংক্ষিপ্ত সূত্র):
আমরা জানি, সংখ্যার লসাগু = অনুপাতের রাশিগুলোর গুণফল × গসাগু ।
অতএব, নির্ণেয় লসাগু = ৩ × ৪ × ৪ = ৪৮ ।

* সঠিক উত্তর: অপশন ৩: ৪৮

সোর্সঃ খাইরুল বেসিক গণিত

⅓ এবং ⅗ ভগ্নাংশ দুটির গ.সা.গু কত?

ক) ১/৩ খ) ১/১৫ গ) ১/৫ ঘ) ৩/৫

ব্যাখ্যা (Explanation)

ভগ্নাংশের গ.সা.গু নির্ণয়ের সূত্র হলো:
ভগ্নাংশের গ.সা.গু = (লবগুলোর গ.সা.গু) / (হরগুলোর ল.সা.গু)

প্রদত্ত ভগ্নাংশ দুটি হলো 1/3 এবং 3/5।

১. লবগুলোর গ.সা.গু নির্ণয়:
ভগ্নাংশ দুটির লব হলো 1 এবং 3।
1 এবং 3 এর গ.সা.গু = 1

২. হরগুলোর ল.সা.গু নির্ণয়:
ভগ্নাংশ দুটির হর হলো 3 এবং 5।
3 এবং 5 এর ল.সা.গু = 3 × 5 = 15

অতএব, নির্ণেয় গ.সা.গু = (লবগুলোর গ.সা.গু) / (হরগুলোর ল.সা.গু) = 1/15

* সঠিক উত্তর: অপশন 2: ১/১৫
সোর্সঃ খাইরুল বেসিক গণিত

¾ এবং ⅔ ভগ্নাংশ দুটির ল.সা.গু কত?

ক) ১/১২ খ) ৬ গ) ১২ ঘ) ১/৬

ব্যাখ্যা (Explanation)

ভগ্নাংশের ল.সা.গু নির্ণয় করার সূত্রটি হলো:
ভগ্নাংশের ল.সা.গু = (লবগুলোর ল.সা.গু) / (হরগুলোর গ.সা.গু)

প্রদত্ত ভগ্নাংশ দুটি হলো 3/4 এবং 2/3।

* ধাপ ১ (লবগুলোর ল.সা.গু নির্ণয়): ভগ্নাংশ দুটির লব হলো 3 এবং 2। 3 ও 2 এর ল.সা.গু = 3 × 2 = 6।
* ধাপ ২ (হরগুলোর গ.সা.গু নির্ণয়): ভগ্নাংশ দুটির হর হলো 4 এবং 3। 4 ও 3 এর গ.সা.গু = 1।

সুতরাং, নির্ণেয় ল.সা.গু = 6/1 = 6।

* সঠিক উত্তর: অপশন 2: ৬
সোর্সঃ খাইরুল বেসিক গণিত

দুটি সংখ্যার অনুপাত ৩ : ৪ এবং তাদের গ.সা.গু ৪ হলে, সংখ্যাদ্বয়ের ল.সা.গু কত?

ক) ১২ খ) ১৬ গ) ৪৮ ঘ) ২৪

ব্যাখ্যা (Explanation)

দেওয়া আছে, দুটি সংখ্যার অনুপাত ৩ : ৪ এবং তাদের গ.সা.গু ৪।
পদ্ধতি ১ (সাধারণ নিয়ম):
ধরি, সংখ্যা দুটি যথাক্রমে ৩x এবং ৪x।
অতএব, সংখ্যা দুটির গ.সা.গু = x ।
প্রশ্নমতে, x = ৪।
তাহলে, ১ম সংখ্যাটি = ৩ × ৪ = ১২ এবং ২য় সংখ্যাটি = ৪ × ৪ = ১৬ ।
এখন, ১২ ও ১৬ এর ল.সা.গু = ৪৮।

পদ্ধতি ২ (শর্টকাট নিয়ম):
আমরা জানি, সংখ্যাগুলোর ল.সা.গু = অনুপাতের পদদ্বয়ের গুণফল × গ.সা.গু ।
অতএব, নির্ণেয় ল.সা.গু = ৩ × ৪ × ৪ = ৪৮ ।

* সঠিক উত্তর: অপশন 3: ৪৮
সোর্সঃ খাইরুল বেসিক গণিত

x³y², x²y³ এবং x⁴y²z² রাশি তিনটির গ.সা.গু কত?

ক) x⁴y³z² খ) x²y² গ) x²y²z² ঘ) x³y³

ব্যাখ্যা (Explanation)

দেওয়া আছে, প্রদত্ত রাশি তিনটি হলো: x³y², x²y³ এবং x⁴y²z²
বীজগাণিতিক রাশির গ.সা.গু (গরিষ্ঠ সাধারণ গুণনীয়ক) নির্ণয় করার সময় প্রতিটি রাশির সাধারণ উৎপাদকগুলোর মধ্যে সর্বনিম্ন ঘাত বা পাওয়ার নিতে হয় ।

রাশি তিনটিকে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করলে পাই:
* প্রথম রাশি = x³y² = x × x × x × y × y
* দ্বিতীয় রাশি = x²y³ = x × x × y × y × y
* তৃতীয় রাশি = x⁴y²z² = x × x × x × x × y × y × z × z

এখন, রাশি তিনটি পর্যবেক্ষণ করে সাধারণ উৎপাদকগুলোর সর্বনিম্ন ঘাত নির্ণয় করি:
১. x-এর পদগুলোর (x³, x², x⁴) মধ্যে সাধারণ সর্বনিম্ন ঘাত হলো x²
২. y-এর পদগুলোর (y², y³, y²) মধ্যে সাধারণ সর্বনিম্ন ঘাত হলো y²
৩. z পদটি কেবল তৃতীয় রাশিতে রয়েছে, কিন্তু প্রথম ও দ্বিতীয় রাশিতে নেই। তাই z গ.সা.গু-তে অন্তর্ভুক্ত হবে না।

সুতরাং, রাশি তিনটির নির্ণেয় গ.সা.গু = x² × y² = x²y²

* সঠিক উত্তর: অপশন 2: x²y²
সোর্সঃ খাইরুল বেসিক গণিত

গণিতের ভাষায় 'ল.সা.গু' (L.C.M) এর পূর্ণরূপ কোনটি?

ক) লঘিষ্ঠ সাধারণ গুণনীয়ক খ) গরিষ্ঠ সাধারণ গুণিতক গ) লঘিষ্ঠ সাধারণ গুণিতক ঘ) লঘুকরণ সাধারণ গুণিতক

ব্যাখ্যা (Explanation)

গণিতের ভাষায় 'ল.সা.গু'-এর পূর্ণরূপ হলো 'লঘিষ্ঠ সাধারণ গুণিতক' এবং ইংরেজিতে L.C.M-এর পূর্ণরূপ হলো Least Common Multiple ।

শব্দগুলোর অর্থ বিস্তারিতভাবে নিচে দেওয়া হলো:
* লঘিষ্ঠ: সবচেয়ে ছোট বা ক্ষুদ্রতম ।
* সাধারণ: যা একাধিক সংখ্যার মধ্যে কমন বা মিল আছে ।
* গুণিতক: কোনো সংখ্যাকে অন্য পূর্ণসংখ্যা দিয়ে গুণ করলে যেসব সংখ্যা পাওয়া যায় ।

অতএব, দুই বা ততধিক সংখ্যার সাধারণ গুণিতকগুলোর মধ্যে সবচেয়ে ছোট গুণিতকটিকেই লঘিষ্ঠ সাধারণ গুণিতক বা ল.সা.গু বলা হয় ।
* সঠিক উত্তর: অপশন ৩: লঘিষ্ঠ সাধারণ গুণিতক ।

সোর্সঃ খাইরুল বেসিক গণিত

x²y³z⁴, x⁴y²z² এবং x³y⁴z³ বীজগণিতীয় রাশি তিনটির গ.সা.গু. কত?

ক) x⁴y⁴z⁴ খ) x²y²z² গ) x³y³z³ ঘ) x²y³z²

x³y³z⁴, x⁴y²z² এবং x³y⁴z³ বীজগণিতীয় রাশি তিনটির ল.সা.গু. কত?

ক) x³y²z² খ) x⁴y⁴z⁴ গ) x⁴y³z⁴ ঘ) x³y⁴z³

নিচের কোন সংখ্যা জোড়াটি পরস্পর সহ-মৌলিক?

ক) ১৪ এবং ২১ খ) ১২ এবং ১৭ গ) ১৫ এবং ২৫ ঘ) ১৬ এবং ২৬

ব্যাখ্যা (Explanation)

দুইটি সংখ্যার সাধারণ গুণনীয়ক বা গ.সা.গু ১ হলে, সংখ্যা জোড়াটি পরস্পরের সহ-মৌলিক (Co-prime) সংখ্যা ।
নিচে অপশনগুলোর গ.সা.গু পর্যবেক্ষণ করা হলো:
* ১৪ এবং ২১: ১৪ ও ২১ উভয় সংখ্যাই ৭ দ্বারা বিভাজ্য, অর্থাৎ এদের গ.সা.গু = ৭। তাই এরা সহ-মৌলিক নয়।
* ১২ এবং ১৭: ১২ এবং ১৭ এর মধ্যে ১ ছাড়া অন্য কোনো সাধারণ গুণনীয়ক নেই, অর্থাৎ এদের গ.সা.গু = ১ । তাই সংখ্যা জোড়াটি পরস্পর সহ-মৌলিক ।
* ১৫ এবং ২৫: ১৫ ও ২৫ উভয় সংখ্যাই ৫ দ্বারা বিভাজ্য, অর্থাৎ এদের গ.সা.গু = ৫। তাই এরা সহ-মৌলিক নয়।
* ১৬ এবং ২৬: ১৬ ও ২৬ উভয় সংখ্যাই ২ দ্বারা বিভাজ্য, অর্থাৎ এদের গ.সা.গু = ২। তাই এরা সহ-মৌলিক নয়।
* সঠিক উত্তর: ১২ এবং ১৭
সোর্সঃ খাইরুল বেসিক গণিত

দুটি সংখ্যার গ.সা.গু. 15 এবং ল.সা.গু. 225; একটি সংখ্যা 45 হলে, অপর সংখ্যাটি কত?

ক) 65 খ) 75 গ) 85 ঘ) 105

ব্যাখ্যা (Explanation)

বিস্তারিত সমাধান:
আমরা জানি, দুটি সংখ্যার গ.সা.গু. এবং ল.সা.গু. এর গুণফল সংখ্যা দুটির গুণফলের সমান।
অর্থাৎ, প্রথম সংখ্যা × দ্বিতীয় সংখ্যা = গ.সা.গু. × ল.সা.গু.

দেওয়া আছে,
গ.সা.গু. = 15
ল.সা.গু. = 225
একটি সংখ্যা = 45

অতএব, 45 × অপর সংখ্যা = 15 × 225
বা, অপর সংখ্যা = (15 × 225) / 45
বা, অপর সংখ্যা = 3375 / 45
∴ অপর সংখ্যা = 75

শর্টকাট:
অপর সংখ্যা = (15 × 225) ÷ 45 = 225 ÷ 3 = 75

দুইটি ঘড়ি যথাক্রমে ১০ মিনিট এবং ১৫ মিনিট অন্তর বাজে। একবার একত্রে বাজার পর আবার কত সময় পর ঘড়ি দুইটি পুনরায় একত্রে বাজবে?

ক) ১৫ মিনিট পর খ) ২৫ মিনিট পর গ) ৩০ মিনিট পর ঘ) ৫০ মিনিট পর

ব্যাখ্যা (Explanation)

ঘড়ি দুইটি পুনরায় একত্রে বাজার সময় নির্ণয় করার জন্য ১০ মিনিট এবং ১৫ মিনিটের লঘিষ্ঠ সাধারণ গুণিতক (ল.সা.গু) বের করতে হবে।

১০ এবং ১৫-এর মৌলিক উৎপাদকসমূহ হলো:
১০ = ২ × ৫
১৫ = ৩ × ৫

নির্ণেয় ল.সা.গু = ২ × ৩ × ৫ = ৩০

অর্থাৎ, একবার একত্রে বাজার পর ঘড়ি দুইটি পুনরায় ৩০ মিনিট পর একত্রে বাজবে।
* সঠিক উত্তর: অপশন ৩ (৩০ মিনিট পর)
সোর্সঃ খাইরুল বেসিক গণিত

১/৩ এবং ২/৫ এর গ.সা.গু কত?

ক) ২/১৫ খ) ১/১৫ গ) ২/৩ ঘ) ১/৫

ব্যাখ্যা (Explanation)

আমরা জানি, ভগ্নাংশের গ.সা.গু নির্ণয়ের সূত্র হলো:
ভগ্নাংশের গ.সা.গু = (লবগুলোর গ.সা.গু) / (হরগুলোর ল.সা.গু)

প্রদত্ত ভগ্নাংশ দুটি হলো ১/৩ এবং ২/৫।

* লবগুলোর গ.সা.গু নির্ণয়:
এখানে লব দুটি হলো ১ এবং ২।
১ ও ২ এর গ.সা.গু = ১

* হরগুলোর ল.সা.গু নির্ণয়:
এখানে হর দুটি হলো ৩ এবং ৫।
৩ ও ৫ এর ল.সা.গু = ৩ × ৫ = ১৫

অতএব, নির্ণেয় গ.সা.গু = (১ ও ২ এর গ.সা.গু) / (৩ ও ৫ এর ল.সা.গু) = ১/১৫

* সঠিক উত্তর: অপশন ২ (১/১৫)
সোর্সঃ খাইরুল বেসিক গণিত

2/4, 3/5 ও 5/6 এর গ.সা.গু. কত?

ক) 1/60 খ) 30/2 গ) 1/30 ঘ) 60

ব্যাখ্যা (Explanation)

আমরা জানি, ভগ্নাংশের গ.সা.গু. = (লবগুলোর গ.সা.গু.) / (হরগুলোর ল.সা.গু.)

প্রদত্ত ভগ্নাংশগুলোর লব হলো: ২, ৩ ও ৫।
২, ৩ ও ৫ এর গ.সা.গু. = ১ (যেহেতু এরা পরস্পর সহমৌলিক)।

প্রদত্ত ভগ্নাংশগুলোর হর হলো: ৪, ৫ ও ৬।
৪, ৫ ও ৬ এর ল.সা.গু. = ৬০।

অতএব, নির্ণেয় গ.সা.গু. = ১/৬০।

3/4 ও 5/7 এর ল.সা.গু. কত?

ক) 15/28 খ) 1/28 গ) 28/15 ঘ) 15

ব্যাখ্যা (Explanation)

আমরা জানি, ভগ্নাংশের ল.সা.গু. = (লবগুলোর ল.সা.গু.) / (হরগুলোর গ.সা.গু.)

প্রদত্ত ভগ্নাংশগুলোর লব হলো: ৩ ও ৫।
৩ ও ৫ এর ল.সা.গু. = ১৫।

প্রদত্ত ভগ্নাংশগুলোর হর হলো: ৪ ও ৭।
৪ ও ৭ এর গ.সা.গু. = ১ (যেহেতু এদের মধ্যে ১ ছাড়া কোনো সাধারণ উৎপাদক নেই)।

অতএব, নির্ণেয় ল.সা.গু. = ১৫/১ = ১৫।

কোন ক্ষুদ্রতম সংখ্যাকে ৮, ১২, ১৮ এবং ২৪ দ্বারা ভাগ করলে প্রত্যেকবার ভাগশেষ ৫ হবে?

ক) ৭২ খ) ৭৭ গ) ৮২ ঘ) ৬৭

ব্যাখ্যা (Explanation)

ক্ষুদ্রতম সংখ্যাটি নির্ণয় করার জন্য প্রদত্ত ভাজকগুলোর ল.সা.গু. বের করতে হবে। যেহেতু প্রতিক্ষেত্রে ৫ অবশিষ্ট থাকে, তাই ল.সা.গু.-এর সাথে ৫ যোগ করতে হবে।

এখানে প্রদত্ত সংখ্যাগুলো হলো: ৮, ১২, ১৮ এবং ২৪।
৮, ১২, ১৮ এবং ২৪ এর ল.সা.গু. = ৭২।

যেহেতু প্রতিক্ষেত্রে ৫ অবশিষ্ট থাকে, তাই নির্ণেয় ক্ষুদ্রতম সংখ্যাটি হবে ল.সা.গু. অপেক্ষা ৫ বেশি।
∴ নির্ণেয় ক্ষুদ্রতম সংখ্যাটি = ৭২ + ৫ = ৭৭

শর্টকাট টেকনিক:
অপশনগুলোর মধ্যে দেখতে হবে কোন সংখ্যা থেকে ৫ বিয়োগ করলে বিয়োগফল ৮, ১২, ১৮ ও ২৪ দ্বারা নিঃশেষে বিভাজ্য হয়।
* অপশন ১: ৭২ - ৫ = ৬৭ (প্রদত্ত সংখ্যাগুলো দ্বারা বিভাজ্য নয়)
* অপশন ২: ৭৭ - ৫ = ৭২ (৭২ সংখ্যাটি ৮, ১২, ১৮ এবং ২৪ সবগুলো দিয়েই বিভাজ্য)
* অপশন ৩: ৮২ - ৫ = ৭৭ (প্রদত্ত সংখ্যাগুলো দ্বারা বিভাজ্য নয়)
* অপশন ৪: ৬৭ - ৫ = ৬২ (প্রদত্ত সংখ্যাগুলো দ্বারা বিভাজ্য নয়)

সুতরাং, সঠিক উত্তর ৭৭।

দুটি রাশির ল.সা.গু 24 এবং গ.সা.গু 2; একটি রাশি 6 হলে, অপর রাশিটি কত?

ক) 8 খ) 12 গ) 4 ঘ) 16

ব্যাখ্যা (Explanation)

আমরা জানি,
দুটি রাশির গুণফল = রাশি দুটির ল.সা.গু × গ.সা.গু

এখানে,
একটি রাশি = 6
ল.সা.গু = 24
গ.সা.গু = 2
অপর রাশি = ?

সূত্র অনুযায়ী,
একটি রাশি × অপর রাশি = ল.সা.গু × গ.সা.গু
বা, 6 × অপর রাশি = 24 × 2
বা, 6 × অপর রাশি = 48
বা, অপর রাশি = 48 / 6
সুতরাং, অপর রাশি = 8

x² - 4 এবং x² + 4x + 4 এর গ.সা.গু কত?

ক) x - 2 খ) x² - 4 গ) 1 ঘ) x + 2

ব্যাখ্যা (Explanation)

গ.সা.গু নির্ণয় করার জন্য প্রথমে রাশি দুটিকে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করতে হবে।

প্রথম রাশি = x² - 4
= x² - 2²
= (x + 2)(x - 2) [যেহেতু, a² - b² = (a + b)(a - b)]

দ্বিতীয় রাশি = x² + 4x + 4
= x² + 2 * x * 2 + 2²
= (x + 2)² [যেহেতু, a² + 2ab + b² = (a + b)²]
= (x + 2)(x + 2)

এখন, রাশি দুটির সাধারণ উৎপাদক হলো (x + 2)।
সুতরাং, নির্ণেয় গ.সা.গু = (x + 2)

দুটি সংখ্যার ল.সা.গু. ৪৮ এবং সংখ্যা দুটির অনুপাত ২:৩ হলে, সংখ্যা দুটির যোগফল কত?

ক) ২৪ খ) ৩২ গ) ৪০ ঘ) ৪৮

ব্যাখ্যা (Explanation)

ধরি, সংখ্যা দুটির সাধারণ অনুপাত হলো x

যেহেতু, সংখ্যা দুটির অনুপাত ২:৩,
সুতরাং,
প্রথম সংখ্যাটি = 2x
দ্বিতীয় সংখ্যাটি = 3x

আমরা জানি, 2x এবং 3x এর ল.সা.গু. হলো ২ × ৩ × x = 6x

প্রশ্নমতে, সংখ্যা দুটির ল.সা.গু. হলো ৪৮।
অতএব,
6x = 48
বা, x = 48 / 6
সুতরাং, x = 8

এখন, সংখ্যা দুটি হলো:
প্রথম সংখ্যা = 2x = 2 × 8 = 16
দ্বিতীয় সংখ্যা = 3x = 3 × 8 = 24

সংখ্যা দুটির যোগফল = 16 + 24 = 40

তিনটি বড় ড্রামে যথাক্রমে ৩৬ লিটার, ৪৫ লিটার এবং ৭২ লিটার তেল আছে। কোন মাপের পাত্র দিয়ে ড্রামগুলো থেকে সব তেল পূর্ণসংখ্যক বারে মাপা যাবে?

ক) ৯ লিটার খ) ৩ লিটার গ) ৬ লিটার ঘ) ১২ লিটার

ব্যাখ্যা (Explanation)

যেহেতু ড্রামগুলো থেকে সব তেল পূর্ণসংখ্যক বারে মাপতে হবে, তাই পাত্রটির মাপ এমন হতে হবে যা দিয়ে ৩৬ লিটার, ৪৫ লিটার এবং ৭২ লিটারকে নিঃশেষে ভাগ করা যায়।

এরূপ সবচেয়ে বড় মাপের পাত্রের পরিমাপ হবে ৩৬, ৪৫ এবং ৭২ এর গরিষ্ঠ সাধারণ গুণনীয়ক (গ.সা.গু.)।

এখন, আমরা সংখ্যাগুলোর গুণনীয়ক বের করি:
৩৬ = ২ × ২ × ৩ × ৩
৪৫ = ৩ × ৩ × ৫
৭২ = ২ × ২ × ২ × ৩ × ৩

সংখ্যাগুলোর সাধারণ মৌলিক গুণনীয়কগুলো হলো ৩ এবং ৩।

সুতরাং, নির্ণেয় গ.সা.গু. = ৩ × ৩ = ৯।

অতএব, সবচেয়ে বড় ৯ লিটারের পাত্র দিয়ে ড্রামগুলোর তেল পূর্ণসংখ্যক বারে মাপা যাবে।

চারটি ঘণ্টা ৫, ৬, ৮ এবং ৯ সেকেন্ড অন্তর বাজে। তারা একসঙ্গে বাজার কতক্ষণ পর আবার একসঙ্গে বাজবে?

ক) ১২০ সেকেন্ড খ) ১৮০ সেকেন্ড গ) ২৪০ সেকেন্ড ঘ) ৩৬০ সেকেন্ড

ব্যাখ্যা (Explanation)

চারটি সংখ্যা 5, 6, 8, 9-এর LCM বের করি:
5 = 5, 6 = 2×3, 8 = 2³, 9 = 3²
LCM = 2³ × 3² × 5 = 8 × 9 × 5 = 360
তাহলে তারা 360 সেকেন্ড পর আবার একসঙ্গে বাজবে।

এক স্কুলে ড্রিল করার সময় ছাত্রদের ৮, ১০ বা ১২ সারিতে সাজানো হয়। ঐ স্কুলে ন্যূনতম কতজন ছাত্র রয়েছে?

ক) ৮০ খ) ১২০ গ) ১০০ ঘ) ৬০

Job Solutions

ব্যাখ্যা (Explanation)

ঐ স্কুলে ন্যূনতম ছাত্র সংখ্যা হবে ৮, ১০ এবং ১২ এর ল.সা.গু.। ল.সা.গু. হলো সেই ক্ষুদ্রতম সংখ্যা যা প্রদত্ত সংখ্যাগুলো দ্বারা নিঃশেষে বিভাজ্য।

ল.সা.গু. নির্ণয়ের পদ্ধতি:
আমরা ভাগ প্রক্রিয়ার মাধ্যমে ৮, ১০ এবং ১২ এর ল.সা.গু. নির্ণয় করতে পারি:

২ | ৮, ১০, ১২
____________
২ | ৪, ৫, ৬
____________
| ২, ৫, ৩

এখানে, আর কোনো সাধারণ উৎপাদক নেই যা দিয়ে অন্তত দুটি সংখ্যাকে ভাগ করা যায়।
এখন, প্রাপ্ত ভাজক এবং ভাগশেষগুলোকে গুণ করলে ল.সা.গু. পাওয়া যাবে।

ল.সা.গু. = ২ × ২ × ২ × ৫ × ৩ = ১২০

সুতরাং, ৮, ১০ এবং ১২ এর লঘিষ্ঠ সাধারণ গুণিতক হলো ১২০।
এর অর্থ হলো, ১২০ জন ছাত্রকে ৮, ১০ বা ১২টি সারিতে সমানভাবে সাজানো যাবে। তাই, ঐ স্কুলে ন্যূনতম ছাত্র সংখ্যা হলো ১২০ জন।

দুইটি সংখ্যার অনুপাত ১ : ২, তাদের গ.সা.গু ৯ হলে, সংখ্যা দুইটির ল.সা.গু কত?

ক) ২৭ খ) ১৮ গ) ৩৬ ঘ) ৪৫

ব্যাখ্যা (Explanation)

ধরি,
একটি সংখ্যা ক
অপর সংখ্যা ২ক
∴ সংখ্যা দুটির গ.সা.গু = ক
এবং, সংখ্যা দুটির ল.সা.গু = ২ক

শর্তমতে,
ক = ৯

∴ ল.সা.গু = ২ × ৯ = ১৮

x² - y², (x + y)², x³ + y³ এর ল.সা.গু কত?

ক) (x + y)(x - y)(x² + xy + y²) খ) (x + y)²(x - y) গ) (x + y)(x² - xy + y²) ঘ) (x + y)²(x - y)(x² - xy + y²)

ব্যাখ্যা (Explanation)

১ম রাশি = x² - y²
= (x + y)(x - y)

২য় রাশি =(x + y)²
=(x + y)(x + y)

৩য় রাশি = x³ + y³
= (x + y)(x² - xy + y²)

নির্ণেয় ল.সা.গু = (x + y)(x + y)(x - y)(x² - xy + y²)
= (x + y)²(x - y)(x² - xy + y²)

পাঁচটি ঘণ্টা একত্রে বেজে যথাক্রমে ৪, ৮, ১২, ১৬, ২০ ও ২৪ সেকেন্ড অন্তর বাজতে লাগল, কতক্ষণ পর ঘণ্টাগুলো আবার একত্রে বাজবে?

ক) ৪ মিনিট খ) ২ মিনিট গ) ৩ মিনিট ঘ) ৫ মিনিট

ব্যাখ্যা (Explanation)

৪, ৮, ১২, ১৬, ২০ ও ২৪ এর ল.সা.গুই নির্ণেয় সময়
৪, ৮, ১২, ১৬, ২০ ও ২৪ এর ল.সা.গু. = ২৪০

∴ ২৪০ সেকেন্ড বা ৪ মিনিট পর আবার ঘণ্টাগুলো একত্রে বাজবে।

৫ অঙ্কের কোন বৃহত্তম সংখ্যাটি ৭, ১১, ২১ ও ২৩ দ্বারা নিঃশেষে বিভাজ্য ?

ক) ৯৯১৭৬ খ) ৯৫৬৩৪ গ) ৯১৯৯৯ ঘ) ৯০৬৩৪

Job Solutions

ব্যাখ্যা (Explanation)

এখানে, ৯৫৬৩৪ ÷ ৭ = ১৩৬৬২
৯৫৬৩৪ ÷ ১১ = ৮৬৯৪
৯৫৬৩৪ ÷ ২১ = ৪৫৫৪
৯৫৬৩৪ ÷ ২৩ = ৪১৫৮
∴ ৯৫৬৩৪ সংখ্যাটি ৭, ১১, ২১ ও ২৩ দ্বারা নিঃশেষে বিভাজ্য ।

তিন অঙ্কের ক্ষুদ্রতম সংখ্যার সাথে কত যোগ করলে যোগফল ৫ ও ৭ দ্বারা বিভাজ্য হবে ।

ক) ৫ খ) ৭ গ) ৯ ঘ) ২

Job Solutions

ব্যাখ্যা (Explanation)

এখানে, ৫ ও ৭ এর ল.সা.গু = ৩৫
তিন অঙ্কের ক্ষুদ্রতম সংখ্যা = ১০০
এখন. ১০০ কে ৩৫ দ্বারা ভাগ করলে ৩০ অবশিষ্ট থাকে ।

আরো ১০০ + ৫ =১০৫ হবে সংখ্যাটি যাকে ৫ ও ৭ দ্বারা বিভাজ্য করা যাবে।

৯৯৯৯৯৯-এর সঙ্গে কোন ক্ষুদ্রতম সংখ্যা যোগ করলে যোগফল ২, ৩, ৪, ৫ এবং ৬ দ্বারা নিঃশেষে বিভাজ্য হবে?

ক) ২১ খ) ৩৯ গ) ৩৩ ঘ) ২৯

Job Solutions

ব্যাখ্যা (Explanation)

২,৩,৪,৫ এবং ৬ এর ল, সা, গু=৬০

৯৯৯৯৯৯÷৬০ করলে ভাগশেষ ৩৯ থাকে।

সুতরাং (৬০-৩৯)=২১ যোগ করতে হবে।

কোনো সংখ্যাকে ১৬, ২৪ ও ৩৬ দ্বারা ভাগ করলে যথাক্রমে ৬, ১৪ ও ২৬ ভাগশেষ থাকবে?

ক) ১৪৪ খ) ১৩৪ গ) ১৫৪ ঘ) ১৬৪

Job Solutions

ব্যাখ্যা (Explanation)

এখানে, ভাজকগুলো হলো ১৬, ২৪ ও ৩৬ এবং এদের যথাক্রমে ভাগশেষ হলো ৬, ১৪ ও ২৬।

প্রতিটি ক্ষেত্রে ভাজক ও ভাগশেষের পার্থক্য:
১৬ - ৬ = ১০
২৪ - ১৪ = ১০
৩৬ - ২৬ = ১০
যেহেতু প্রতিক্ষেত্রে ভাজক ও ভাগশেষের পার্থক্য ১০ (একই), তাই নির্ণেয় সংখ্যাটি হবে ১৬, ২৪ ও ৩৬ এর লসাগু অপেক্ষা ১০ কম।
এখন, ১৬, ২৪ ও ৩৬ এর লসাগু নির্ণয় করি:
২ | ১৬, ২৪, ৩৬
২ | ৮, ১২, ১৮
২ | ৪, ৬, ৯
৩ | ২, ৩, ৯
২, ১, ৩
$\therefore$ ১৬, ২৪ ও ৩৬ এর লসাগু = ২ × ২ × ২ × ৩ × ২ × ৩ = ১৪৪
$\therefore$ নির্ণেয় সংখ্যাটি = ১৪৪ - ১০ = ১৩৪

শর্টকাট নিয়ম:
এই ধরনের অংকে প্রথমে ভাজক ও ভাগশেষের পার্থক্য বের করতে হবে।
এখানে পার্থক্য = (১৬ - ৬) = ১০।
এরপর অপশন গুলোর সাথে এই পার্থক্য (১০) যোগ করতে হবে। যে সংখ্যাটি ১৬, ২৪ ও ৩৬ দ্বারা বিভাজ্য হবে, সেটিই উত্তর বের করার ক্লু।
অথবা, লসাগু বের করে সরাসরি পার্থক্য বিয়োগ করে উত্তর পাওয়া যায়।
লসাগু (১৬, ২৪, ৩৬) = ১৪৪
উত্তর = ১৪৪ - ১০ = ১৩৪

প্রথম ৩০টি প্রশ্নের ব্যাখ্যা ওয়েবসাইটে; সবগুলোর সম্পূর্ণ ব্যাখ্যা পেতে অ্যাপ ইন্সটল করুন।

নিজের প্রস্তুতি যাচাই করুন — অ্যাপে লাইভ পরীক্ষা দিয়ে মেরিট লিস্টে নিজের অবস্থান দেখুন।

এই টপিকের সব প্রশ্ন ব্যাখ্যাসহ, ভুল-সঠিক-বুকমার্ক আলাদা করে রিভিশন — অ্যাপে।