একটি গুণোত্তর ধারার প্রথম তিনটি পদের যোগফল ৩৯ এবং গুণফল ৭২৯ হলে, ধারাটির সাধারণ অনুপাত কত?
Solution
Correct Answer: Option B
ধরি, গুণোত্তর ধারাটির প্রথম পদ a এবং সাধারণ অনুপাত r।
প্রশ্নমতে, ধারাটির প্রথম তিনটি পদের যোগফল ৩৯,
অর্থাৎ, a + ar + ar² = ৩৯ --- (১)
এবং ধারাটির প্রথম তিনটি পদের গুণফল ৭২৯,
অর্থাৎ, a × ar × ar² = ৭২৯
বা, a³r³ = ৭২৯
বা, (ar)³ = ৯³
অতএব, ar = ৯ --- (২)
এখন, সমীকরণ (১) থেকে পাই,
a(১ + r + r²) = ৩৯
বা, ar × (১ + r + r²) / r = ৩৯
বা, ৯ × (১ + r + r²) / r = ৩৯ [সমীকরণ (২) থেকে ar = ৯]
বা, ৯ + ৯r + ৯r² = ৩৯r
বা, ৯r² - ৩০r + ৯ = ০
বা, ৩r² - ১০r + ৩ = ০
বা, ৩r² - ৯r - r + ৩ = ০
বা, ৩r(r - ৩) - ১(r - ৩) = ০
বা, (r - ৩)(৩r - ১) = ০
অতএব, r = ৩ অথবা r = ১/৩
সুতরাং, গুণোত্তর ধারাটির সাধারণ অনুপাত ৩ অথবা ১/৩।
প্রশ্নমতে, ধারাটির প্রথম তিনটি পদের যোগফল ৩৯,
অর্থাৎ, a + ar + ar² = ৩৯ --- (১)
এবং ধারাটির প্রথম তিনটি পদের গুণফল ৭২৯,
অর্থাৎ, a × ar × ar² = ৭২৯
বা, a³r³ = ৭২৯
বা, (ar)³ = ৯³
অতএব, ar = ৯ --- (২)
এখন, সমীকরণ (১) থেকে পাই,
a(১ + r + r²) = ৩৯
বা, ar × (১ + r + r²) / r = ৩৯
বা, ৯ × (১ + r + r²) / r = ৩৯ [সমীকরণ (২) থেকে ar = ৯]
বা, ৯ + ৯r + ৯r² = ৩৯r
বা, ৯r² - ৩০r + ৯ = ০
বা, ৩r² - ১০r + ৩ = ০
বা, ৩r² - ৯r - r + ৩ = ০
বা, ৩r(r - ৩) - ১(r - ৩) = ০
বা, (r - ৩)(৩r - ১) = ০
অতএব, r = ৩ অথবা r = ১/৩
সুতরাং, গুণোত্তর ধারাটির সাধারণ অনুপাত ৩ অথবা ১/৩।
Practice More Questions on Our App!
Download our app for free and access thousands of MCQ questions with detailed solutions