একটি গুণোত্তর ধারার প্রথম তিনটি পদের যোগফল ৩৯ এবং গুণফল ৭২৯ হলে, ধারাটির সাধারণ অনুপাত কত?
Solution
Correct Answer: Option B
ধরি, গুণোত্তর ধারাটির প্রথম পদ a এবং সাধারণ অনুপাত r।
প্রশ্নমতে, ধারাটির প্রথম তিনটি পদের যোগফল ৩৯,
অর্থাৎ, a + ar + ar² = ৩৯ --- (১)
এবং ধারাটির প্রথম তিনটি পদের গুণফল ৭২৯,
অর্থাৎ, a × ar × ar² = ৭২৯
বা, a³r³ = ৭২৯
বা, (ar)³ = ৯³
অতএব, ar = ৯ --- (২)
এখন, সমীকরণ (১) থেকে পাই,
a(১ + r + r²) = ৩৯
বা, ar × (১ + r + r²) / r = ৩৯
বা, ৯ × (১ + r + r²) / r = ৩৯ [সমীকরণ (২) থেকে ar = ৯]
বা, ৯ + ৯r + ৯r² = ৩৯r
বা, ৯r² - ৩০r + ৯ = ০
বা, ৩r² - ১০r + ৩ = ০
বা, ৩r² - ৯r - r + ৩ = ০
বা, ৩r(r - ৩) - ১(r - ৩) = ০
বা, (r - ৩)(৩r - ১) = ০
অতএব, r = ৩ অথবা r = ১/৩
সুতরাং, গুণোত্তর ধারাটির সাধারণ অনুপাত ৩ অথবা ১/৩।
প্রশ্নমতে, ধারাটির প্রথম তিনটি পদের যোগফল ৩৯,
অর্থাৎ, a + ar + ar² = ৩৯ --- (১)
এবং ধারাটির প্রথম তিনটি পদের গুণফল ৭২৯,
অর্থাৎ, a × ar × ar² = ৭২৯
বা, a³r³ = ৭২৯
বা, (ar)³ = ৯³
অতএব, ar = ৯ --- (২)
এখন, সমীকরণ (১) থেকে পাই,
a(১ + r + r²) = ৩৯
বা, ar × (১ + r + r²) / r = ৩৯
বা, ৯ × (১ + r + r²) / r = ৩৯ [সমীকরণ (২) থেকে ar = ৯]
বা, ৯ + ৯r + ৯r² = ৩৯r
বা, ৯r² - ৩০r + ৯ = ০
বা, ৩r² - ১০r + ৩ = ০
বা, ৩r² - ৯r - r + ৩ = ০
বা, ৩r(r - ৩) - ১(r - ৩) = ০
বা, (r - ৩)(৩r - ১) = ০
অতএব, r = ৩ অথবা r = ১/৩
সুতরাং, গুণোত্তর ধারাটির সাধারণ অনুপাত ৩ অথবা ১/৩।
অ্যাপ/ওয়েবসাইটে রুটিনভিত্তিক নিয়মিত লাইভ পরীক্ষা হচ্ছে।
রিভিশন টেস্ট – ২১
কোর্স নামঃ
ব্যাংক নিয়োগ প্রস্তুতি'র লং কোর্স (২৭৬ দিন)
টপিকসঃ
পূর্বের ৫ টি পরীক্ষার উপর।
এই রুটিনের সাথে ৩ বার ভোকাবুলারি রিভিশন।
রুটিন দেখুন
পরীক্ষা – ৮১
কোর্স নামঃ
১৯ তম শিক্ষক নিবন্ধন - লেকচারশীট ভিত্তিক।
টপিকসঃ
বাংলা ব্যকরণ
উপসর্গ, অনুসর্গ।
উপসর্গ, অনুসর্গ।
পরীক্ষা শুরুঃ (৫ম ব্যাচ) শুরু ৫ মে, ২০২৬।
রুটিন দেখুন
পরীক্ষা - ০৯
কোর্স নামঃ
টপিক ভিত্তিক জব সলিউশন রুটিন (১৬৫ দিনের)
টপিকসঃ
পার্ট - ১ (বিষয় ও টপিক)
কম্পিউটার: কম্পিউটারের ইতিহাস, কম্পিউটারের প্রকারভেদ ও দৈনন্দিন জীবনে কম্পিউটার, কম্পিউটার নম্বর সিস্টেম ও লজিক গেইটসমূহ, ডেটাবেজ সিস্টেম, ইন্টারনেট সংক্রান্ত বিষয়
কম্পিউটার: কম্পিউটারের ইতিহাস, কম্পিউটারের প্রকারভেদ ও দৈনন্দিন জীবনে কম্পিউটার, কম্পিউটার নম্বর সিস্টেম ও লজিক গেইটসমূহ, ডেটাবেজ সিস্টেম, ইন্টারনেট সংক্রান্ত বিষয়
পার্ট - ২ (বিষয় ও টপিক)
English Lit: The Romantic Period, The Victorian Period
English Lit: The Romantic Period, The Victorian Period
পরীক্ষা শুরুঃ ২২ জুন, ২০২৬
রুটিন দেখুন
পরীক্ষা-০৫
কোর্স নামঃ
১৯তম শিক্ষক নিবন্ধন (কলেজ পর্যায়)- রাষ্ট্রবিজ্ঞান
টপিকসঃ
সরকারের প্রকারভেদ/ধরন
[Forms of Government]
[Forms of Government]
পরীক্ষা শুরুঃ ১২ জুলাই, ২০২৬
রুটিন দেখুন
পরীক্ষা – ৭
কোর্স নামঃ
প্রাইমারি প্রধান শিক্ষক নিয়োগ প্রস্তুতি (৩য় ব্যাচ)
টপিকসঃ
বাংলা: শব্দ, ধ্বনির পরিবর্তন, প্রবাদ প্রবচন।
ইংরেজি: Classification of English Literary Periods
গণিত: অসমতা
সাধারণ জ্ঞান: ব্রিটিশ শাসন
ইংরেজি: Classification of English Literary Periods
গণিত: অসমতা
সাধারণ জ্ঞান: ব্রিটিশ শাসন
১০ জুলাই, ২০২৬ থেকে শুরু।
রুটিন দেখুন
Practice More Questions on Our App!
Download our app for free and access thousands of MCQ questions with detailed solutions