ফাংশন ও অন্বয়

২২ টি প্রশ্ন

একই বিষয়ের সব টপিক

f(x)=x³ + kx² - 4x - 8 কে (x+3) দিয়ে ভাগ করলে ভাগশেষ 4 হলে, k এর মান কত?

ক) k = 1 খ) k = 5 গ) k = 3 ঘ) k = −3

ব্যাখ্যা (Explanation)

f(x) = x³ + kx² - 4x - 8 কে x + 3 বা x - (- 3) দ্বারা ভাগ করলে ভাগশেষ হবে,
f(- 3) = (- 3)³ + k(- 3)² - 4(- 3) - 8
= - 27 + 9k + 12 - 8
= 9k - 23

শর্তানুসারে,
9k - 23 = 4
বা, 9k = 4 + 23
বা, 9k = 27
বা, k = 27/9
∴ k = 3

যদি f(x) = x³ + 9x² - 3x - 6 হয়, তবে f(- 2) = কত?

ক) 28 খ) 18 গ) 22 ঘ) 30

ব্যাখ্যা (Explanation)

দেওয়া আছে, f(x) = x³ + 9x² - 3x - 6

এখন,
f(- 2) = (- 2)³ + 9(- 2)² - 3. (- 2) -6
= - 8 + 36 + 6 - 6
= 28

f(x) = 5x + 2, g(x) = x^2 - 14x হলে f(g(2)) এর মান কত?

ক) -118 খ) -120 গ) -116 ঘ) -114

ব্যাখ্যা (Explanation)

দেওয়া আছে,
f(x) = 5x + 2
g(x) = x² - 14x

এখন,
g(x) = x² - 14x
g(2) = (2)² - 14(2)
বা, g(2) = 4 - 28
বা, g(2) = -24

আবার,
f(x) = 5x + 2
বা, f(-24) = 5(-24) + 2
বা, f(-24) = -120 + 2
বা, f(-24) = -118
সুতরাং f(g(2)) = -118

f(x) = x³ + 8 হলে, f(-2) + f(0) এর মান কত?

ক) 0 খ) 8 গ) -12 ঘ) 4

ব্যাখ্যা (Explanation)

প্রদত্ত ফাংশন, f(x) = x³ + 8
f(-2) = (-2)³ + 8 = - 8 + 8 = 0
f(0) = (0)³ + 8 = 8

∴ f(-2) + f(0) = 0 + 8 = 8

f(x) = √(x² - 4) ফাংশনটির ডোমেন কত?

ক) (∞, 2] ∪ [-2, ∞) খ) (-∞, -2] ∪ [2, ∞) গ) (-∞, 2] ∪ [-2, ∞) ঘ) (∞, -2] ∪ [2, -∞)

Job Solutions

ব্যাখ্যা (Explanation)

এখানে,
x² - 4 ≥ 0
বা, x² ≥ 4
বা, |x| ≥ 2
বা, x ≤ -2 অথবা x ≥ 2

ডোমেন: x ≤ -2 বা x ≥ 2, অর্থাৎ (-∞, -2] ∪ [2, ∞)

A এবং B দুটি ঘটনা যেন, P(A)=1/2, P(A∪B)=3/4 এবং P(B^c)=5/8 .P(A^c∩ B^c)=?

ক) 1/8 খ) 1/6 গ) 1/4 ঘ) 1/2

বিসিএস

ব্যাখ্যা (Explanation)

দেওয়া আছে,P(A)=1/2, P(A∪B)=3/4 এবং P(B^c)=5/8
আমরা জানি,
P(A^c∩ B^c)= 1- P(A∪B) [সূত্র থেকে ]
          =1- (3/4)
           =(4-3)/4
           =1/4

f(5) = 15 এবং g(x) = f(x + 3) - 5 হলে, g(2) এর মান কত?

ক) 7 খ) 8 গ) 9 ঘ) 10

প্রাইমারি

ব্যাখ্যা (Explanation)

দেওয়া আছে,
f(5) = 15
এবং g(x) = f(x + 3) - 5
⇒ g(2) = f(2 + 3) - 5
⇒ g(2) = f(5) - 5
⇒ g(2) =15 - 5
∴ g(2) = 10

যদি f(x) = x² এবং g(x) = x + 1 হয়, তবে f(g(x)) এর মান কী হবে?

ক) 2x + 1 খ) x + 2 গ) x² + 1 ঘ) (x + 1)²

ব্যাখ্যা (Explanation)

f(x) = x²
f(g(x)) = (x + 1)²

f(x) = x² - 4x + 3 হলে, f(1) + f(3) এর মান কত?

ক) 0 খ) 5 গ) 7 ঘ) 9

ব্যাখ্যা (Explanation)

f(x) = x² - 4x + 3
∴ f(1) = 1 - 4 + 3 = 4 - 4 = 0
∴ f(3) = 3² - 4 × 3 + 3 = 9 - 12 + 3 = 12 - 12 = 0

∴ f(1) + f(3) = 0 + 0 = 0

প্রথম ৩০টি প্রশ্নের ব্যাখ্যা ওয়েবসাইটে; সবগুলোর সম্পূর্ণ ব্যাখ্যা পেতে অ্যাপ ইন্সটল করুন।

অ্যাপ ইন্সটল করুন

f(x) = 5x - 3, (x ∈ ℜ), হলে f^-1(3) এর মান কত?

ক) 5/6 খ) -5/6 গ) 6/5 ঘ) - 6/5

ব্যাখ্যা (Explanation)

y = 5x - 3
⇒ x = y + 3/5

∴ f^-1(x) = x +3/5
∴ f^-1(3) = 3 + 3/5
= 6/5

f(x) = x²-5x+6 এবং f(x) = 0 হলে x = কত?

ক) ২,৩ খ) -৫,১ গ) -২,৩ ঘ) ১,-৫

Job Solutions

ব্যাখ্যা (Explanation)

দেওয়া আছে,
f(x) = x² - 5x + 6

প্রশ্নমতে,
f(x) = 0
বা, x² - 5x + 6 = 0
বা, x² - 3x - 2x + 6 = 0
বা, x(x - 3) - 2(x - 3) = 0
বা, (x - 3)(x - 2) = 0

হয়,
x - 3 = 0
∴ x = 3

অথবা,
x - 2 = 0
∴ x = 2

∴ নির্ণেয় মান, x = 2, 3

f(x)- এর উৎপাদক (3x + 2) হলে, কোনটির মান শূণ্য হবে?

ক) f(3/2) খ) f(-3) গ) f(2) ঘ) f(- 2/3)

ব্যাখ্যা (Explanation)

f(x)- এর উৎপাদক (3x + 2) হলে f(- 2/3) এর মান শূণ্য হবে।
কেননা, 3x + 2 = 0
বা, x = - 2/3

একটি সরলরেখার ঢাল যদি -2 হয়, তবে সমীকরণটি হবে-

ক) y = -2x + c খ) y + 3x = 0 গ) y - 2x= 0 ঘ) y = 2x + c

ব্যাখ্যা (Explanation)

সরলরেখার সাধারণ সমীকরণ, y = mn + c [যেখানে m ঢাল]
∴ -2 ঢালবিশিষ্ট সমীকরণ : y = (-2)x + c
⇒ y = -2x + c

F(x) = x³ - 1 হলে, F(-1) =?

ক) 0 খ) -2 গ) +2 ঘ) -1

ব্যাখ্যা (Explanation)

F(x) = x³ - 1

∴ F(-1) = (-1)³ - 1
= - 1 - 1
= - 2

f(x) = x + 1/x হলে, f(1/x) = কত?

ক) 1 + 1/x² খ) x + 1/x গ) x² + 1 ঘ) x² + 1/x²

Job Solutions

ব্যাখ্যা (Explanation)

দেওয়া আছে, f(x) = x + (1/x)
∴ f(1/x) = (1/x) + {1/(1/x)}
= (1/x) + x

f(x) = x² + 1/(x-1) -1 হলে, নিচের কোনটি সঠিক?

ক) f(০) = ∝ খ) f(-1) = 1 গ) f(1) = 0 ঘ) f(-1) = -(1/2)

Job Solutions

ব্যাখ্যা (Explanation)

দেওয়া আছে,
f(x) = x² + 1/(x-1) - 1
এখন প্রতিটি অপশন যাচাই করি:
(১) x = 0 হলে,
f(0) = 0² + 1/(0-1) - 1
= 0 + 1/(-1) - 1
= -1 - 1
= -2
(কিন্তু অপশনে বলা হয়েছে f(0) = ∝, তাই এটি ভুল)
(২) ও (৪) x = -1 হলে,
f(-1) = (-1)² + 1/(-1-1) - 1
= 1 + 1/(-2) - 1
= 1 - 1/2 - 1
= 1 - 0.5 - 1
= -0.5 বা -(1/2) [এটি সঠিক]
যেহেতু f(-1) = -1/2, তাই অপশন (২) f(-1) = 1 ভুল এবং অপশন (৪) সঠিক।
(৩) x = 1 হলে,
f(1) = 1² + 1/(1-1) - 1
= 1 + 1/0 - 1
আমরা জানি, কোনো সংখ্যাকে 0 দ্বারা ভাগ করলে তা অসংজ্ঞায়িত বা ∝ হয়।
সুতরাং, f(1) এর মান অসংজ্ঞায়িত। (অপশনে বলা হয়েছে f(1) = 0, তাই এটিও ভুল)

শর্টকাট বা পরীক্ষার হলে দ্রুত করার উপায়:
ফাংশনটির দিকে তাকালেই বোঝা যাচ্ছে x=1 বসালে হরে (denominator) শূন্য বা জিরো চলে আসে, তাই অপশন (৩) প্রথমেই বাদ। x=0 বসালে মুখে মুখেই হিসাব করা যায় 0 - 1 - 1 = -2, তাই অপশন (১) ও বাদ। বাকি থাকে x= -1 এর মান বের করা।
দ্রুত মান বসাই:
(-1) স্কয়ার করলে হয় 1। শেষের -1 এর সাথে কাটাকাটি হয়ে শুধু মাঝের অংশ 1/(-1-1) বা -1/2 বাকি থাকে।
তাই উত্তর: -(1/2)

f(x)=(4x-7)/(x-2) হলে, f(2) কত?

ক) 1/4 খ) 0 গ) অসংঙ্গায়িত ঘ) 1/3

ব্যাখ্যা (Explanation)

f(x)=(4x-7)/(x-2) হলে, f(2) = (4*2-7)/(2-2) = (8-7)/(0) = অসংজ্ঞায়িত।

কারণ, ফাংশনের হর x-2 এর মান 2 হলে, হর শুন্য হয়। তাই, f(x) এর মান অসংজ্ঞায়িত হয়।

f(x) = x²+ 1/x + 1 এর অনুরুপ কোনটি?

ক) f(1) = 1 খ) f(0) = 0 গ) f(-1) = 1 ঘ) f(2) = 3

ব্যাখ্যা (Explanation)

f(x) = x²+ 1/x + 1 এর অনুরূপ ফাংশনগুলি হল:

f(x) = (x + 1/x)^2 + 1
f(x) = x^2 + 2 + 1/x
f(x) = x^2 + 1 + 1/x^2
f(x) = (x + 1)^2 + 1/x
f(x) = (x - 1)^2 + 1/x

এই ফাংশনগুলির মধ্যে, f(x) = (x + 1/x)^2 + 1 সবচেয়ে বেশি অনুরূপ। কারণ, এই ফাংশনটি f(x) = x² + 1/x + 1 এর মতোই একটি বর্গাকার ফাংশন। এছাড়াও, এই ফাংশনটির ডোমেন এবং রেঞ্জও f(x) = x² + 1/x + 1 এর মতোই।

অন্যান্য ফাংশনগুলিও f(x) = x² + 1/x + 1 এর অনুরূপ, কিন্তু সেগুলির কিছুটা আলাদা বৈশিষ্ট্য রয়েছে। উদাহরণস্বরূপ, f(x) = x^2 + 2 + 1/x এর ডোমেন f(x) = x² + 1/x + 1 এর চেয়ে বেশি। কারণ, এই ফাংশনটি x = 0 এর জন্যও সংজ্ঞায়িত।

অবশেষে, f(x) এর অনুরূপ ফাংশনগুলির সংখ্যা অসীম। কারণ, আমরা f(x) এর সমস্ত উপাদানগুলিকে অপরিবর্তিত রেখে অথবা পরিবর্তন করে নতুন ফাংশন তৈরি করতে পারি।

y = 4ax সমীকরণ দ্বারা কী বুঝায় ?

ক) পরাবৃত্ত খ) অধিবৃত্ত গ) মূল বিন্দুগামী সরল রেখা ঘ) কোনটিই নয়

ব্যাখ্যা (Explanation)

আমরা জানি, মূল বিন্দুগামী যেকোনো সরল রেখার আদর্শ সমীকরণ হলো y = mx; যেখানে m হলো রেখাটির ঢাল বা slope।
প্রদত্ত সমীকরণটি হলো: y = 4ax
এখানে 4a অংশটিকে একটি ধ্রুবক বা ঢাল (m) হিসেবে বিবেচনা করলে সমীকরণটি হুবহু y = mx আকারের হয়ে যায়।
সুতরাং, এটি একটি মূল বিন্দুগামী সরল রেখা নির্দেশ করে।

(লক্ষ্যনীয়: পরীক্ষায় শিক্ষার্থীরা অনেক সময় y² = 4ax বা x² = 4ay সমীকরণের সাথে একে মিলিয়ে ফেলে পরাবৃত্ত ভেবে ভুল করে। এখানে সমীকরণে y বা x এর উপর কোনো স্কয়ার বা ঘাত নেই, তাই এটি পরাবৃত্ত নয়, বরং সরল রেখা।)

সঠিক উত্তর: মূল বিন্দুগামী সরল রেখা