দেওয়া আছে, f(x) = x2 + 1/(x-1) - 1 এখন প্রতিটি অপশন যাচাই করি: (১) x = 0 হলে, f(0) = 02 + 1/(0-1) - 1 = 0 + 1/(-1) - 1 = -1 - 1 = -2 (কিন্তু অপশনে বলা হয়েছে f(0) = ∝, তাই এটি ভুল) (২) ও (৪) x = -1 হলে, f(-1) = (-1)2 + 1/(-1-1) - 1 = 1 + 1/(-2) - 1 = 1 - 1/2 - 1 = 1 - 0.5 - 1 = -0.5 বা -(1/2) [এটি সঠিক] যেহেতু f(-1) = -1/2, তাই অপশন (২) f(-1) = 1 ভুল এবং অপশন (৪) সঠিক। (৩) x = 1 হলে, f(1) = 12 + 1/(1-1) - 1 = 1 + 1/0 - 1 আমরা জানি, কোনো সংখ্যাকে 0 দ্বারা ভাগ করলে তা অসংজ্ঞায়িত বা ∝ হয়। সুতরাং, f(1) এর মান অসংজ্ঞায়িত। (অপশনে বলা হয়েছে f(1) = 0, তাই এটিও ভুল)
শর্টকাট বা পরীক্ষার হলে দ্রুত করার উপায়: ফাংশনটির দিকে তাকালেই বোঝা যাচ্ছে x=1 বসালে হরে (denominator) শূন্য বা জিরো চলে আসে, তাই অপশন (৩) প্রথমেই বাদ। x=0 বসালে মুখে মুখেই হিসাব করা যায় 0 - 1 - 1 = -2, তাই অপশন (১) ও বাদ। বাকি থাকে x= -1 এর মান বের করা। দ্রুত মান বসাই: (-1) স্কয়ার করলে হয় 1। শেষের -1 এর সাথে কাটাকাটি হয়ে শুধু মাঝের অংশ 1/(-1-1) বা -1/2 বাকি থাকে। তাই উত্তর: -(1/2)
এই ফাংশনগুলির মধ্যে, f(x) = (x + 1/x)^2 + 1 সবচেয়ে বেশি অনুরূপ। কারণ, এই ফাংশনটি f(x) = x2 + 1/x + 1 এর মতোই একটি বর্গাকার ফাংশন। এছাড়াও, এই ফাংশনটির ডোমেন এবং রেঞ্জও f(x) = x2 + 1/x + 1 এর মতোই।
অন্যান্য ফাংশনগুলিও f(x) = x2 + 1/x + 1 এর অনুরূপ, কিন্তু সেগুলির কিছুটা আলাদা বৈশিষ্ট্য রয়েছে। উদাহরণস্বরূপ, f(x) = x^2 + 2 + 1/x এর ডোমেন f(x) = x2 + 1/x + 1 এর চেয়ে বেশি। কারণ, এই ফাংশনটি x = 0 এর জন্যও সংজ্ঞায়িত।
অবশেষে, f(x) এর অনুরূপ ফাংশনগুলির সংখ্যা অসীম। কারণ, আমরা f(x) এর সমস্ত উপাদানগুলিকে অপরিবর্তিত রেখে অথবা পরিবর্তন করে নতুন ফাংশন তৈরি করতে পারি।
ফ্রিতে ২ লাখ প্রশ্নের টপিক, সাব-টপিক ভিত্তিক ও ১০০০+ জব শুলুশন্স বিস্তারিতে ব্যাখ্যাসহ পড়তে ও আপনার পড়ার ট্র্যাকিং রাখতে সাইটে লগইন করুন।
যদি x>0, y>0 হয়, তবে আমরা বলতে পারি যে x এবং y দুটি ধনাত্মক সংখ্যা এবং সমান হতে পারে না। একটি ধনাত্মক সংখ্যা অপরটিতে সমান হওয়ার সম্ভাবনা নেই, যে কারণে সম্ভাব্য উত্তরটি হল: D) কোনটিই নয়
x² = 68 সমীকরণে, x এর মান হবে √68 বা -√68। √68 এর মান 8 ও 9 এর মধ্যে। অতএব, x এর মান 8 ও 9 এর মধ্যে অথবা -9 ও -8 এর মধ্যে হবে।
প্রদত্ত বিকল্পগুলি বিবেচনা করে দেখা যায়, শুধুমাত্র A বিকল্প (-9 < x < -8) এই শর্ত পূরণ করে। অন্য কোনো বিকল্পই x এর সম্ভাব্য মানের সাথে সামঞ্জস্যপূর্ণ নয়।
প্রদত্ত রাশি, $4x^2 + Px + 9$ আমরা জানি, $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ অথবা $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ সূত্রটি একটি পূর্ণ বর্গ রাশি প্রকাশ করে। এখন, $4x^2 + Px + 9$ রাশিটিকে পূর্ণবর্গ আকারে সাজাতে হলে, $4x^2 + Px + 9$ $= (2x)^2 \pm 2(2x)(3) + (3)^2$ [যেহেতু $4x^2 = (2x)^2$ এবং $9 = (3)^2$] $= (2x)^2 \pm 12x + (3)^2$ রাশিটি পূর্ণবর্গ হবে যদি মধ্যপদ $Px$ এর মান $\pm 12x$ এর সমান হয়।
শর্তমতে, $Px = 12x$ (ধনাত্মক মান বিবেচনা করে) বা, $P = 12$ আবার, $Px = -12x$ (ঋণাত্মক মান বিবেচনা করে) বা, $P = -12$ যেহেতু অপশনে শুধুমাত্র ধনাত্মক মান $12$ দেওয়া আছে।
শর্টকাট টেকনিক: পূর্ণবর্গ রাশির ক্ষেত্রে মধ্যপদের মান বের করার সূত্র হলো: মধ্যপদ = $\pm 2 \times \sqrt{\text{প্রথম পদ}} \times \sqrt{\text{শেষ পদ}}$
অপশনগুলো পরীক্ষা করে পাই: ১ম অপশন: f(1) এর মান বের করি, f(1) = (12 + 1) / (1 + 1) = (1 + 1) / 2 = 2 / 2 = 1 সুতরাং, f(1) = 1 [এটি সঠিক]
২য় অপশন: f(0) এর মান বের করি, f(0) = (02 + 1) / (0 + 1) = 1 / 1 = 1 [কিন্তু অপশনে বলা আছে f(0)=1 যা সঠিক হলেও প্রশ্নে সাধারণত একটি উত্তরই চাওয়া হয় এবং প্রথম অপশনটিই মিলে গেছে। তবে লক্ষ্য করুন, প্রশ্নটি সম্ভবত f(x) এর একটি নির্দিষ্ট মানের জন্য সত্যতা যাচাই করতে বলছে। এখানে f(0)=1 সত্য, f(1)=1 ও সত্য। তবে প্রশ্নে দেওয়া প্রশ্নের ধরন অনুযায়ী প্রথম সঠিক অপশন f(1)=1 কে প্রাধান্য দেওয়া হয়েছে।]
৩য় অপশন: f(-1) এর মান বের করি, f(-1) = ((-1)2 + 1) / (-1 + 1) = (1 + 1) / 0 = 2 / 0 [এটি অসংজ্ঞায়িত বা Undefined, তাই এটি সঠিক নয়]
৪র্থ অপশন: f(1) = 3 আমরা ইতিমধ্যে বের করেছি ফ(1) = 1, তাই এটি ভুল।
শর্টকাট টেকনিক: এই ধরনের ফাংশন বা বহুপদী অংকের ক্ষেত্রে অপশনগুলোতে দেওয়া x এর মানটি সরাসরি সমীকরণে বসিয়ে যাচাই করতে হয়। যেমন: ১ম অপশনে x=1, তাই (12+1)/(1+1) = 2/2 = 1. মিলে গেছে। তাই এটিই উত্তর।
প্রদত্ত দ্বিঘাত সমীকরণটি হলো: x2 + px + 6 = 0 আমরা জানি, ax2 + bx + c = 0 দ্বিঘাত সমীকরণের মূলদ্বয় সমান হবে যদি এর নিশ্চায়ক (Discriminant) বা (b2 - 4ac) এর মান শূন্য (0) হয়।
দেওয়া আছে, $z < 0$ ........... (i) $xz > 0$ .......... (ii) এবং $xy < 0$ .......... (iii)
(i) ও (ii) নং সম্পর্ক হতে পাই, যেহেতু $z$ ঋণাত্মক ($z < 0$) এবং $xz$ ধনাত্মক ($xz > 0$), তাই $x$ অবশ্যই ঋণাত্মক হতে হবে। কারণ আমরা জানি, দুটি ঋণাত্মক সংখ্যার গুণফল সর্বদা ধনাত্মক হয়। অর্থাৎ, $negative \times negative = positive$. $\therefore x < 0$
আবার, (iii) নং সম্পর্ক হতে পাই, $xy < 0$ যেহেতু $x$ ঋণাত্মক ($x < 0$) এবং তাদের গুণফল ($xy$) ঋণাত্মক, তাই $y$ অবশ্যই ধনাত্মক হতে হবে। কারণ একটি ঋণাত্মক ও একটি ধনাত্মক সংখ্যার গুণফল সর্বদা ঋণাত্মক হয়। অর্থাৎ, $negative \times positive = negative$. $\therefore y > 0$ সুতরাং, $y$ অবশ্যই ধনাত্মক ($y > 0$) হবে।
বিকল্প ও শর্টকাট পদ্ধতি: সহজ কিছু মান ধরে নিলে খুব দ্রুত উত্তর বের করা যায়। ১. যেহেতু $z < 0$, ধরি $z = -2$ ২. $xz > 0$ হতে হবে। $x \times (-2) > 0$ হতে হলে, $x$ কে অবশ্যই ঋণাত্মক হতে হবে। ধরি $x = -3$। ৩. $xy < 0$ হতে হবে। অর্থাৎ $(-3) \times y < 0$। $(-3) \times y$ ঋণাত্মক তখনই হবে যখন $y$ ধনাত্মক সংখ্যা হবে। কারণ $(-3) \times (+2) = -6$, যা শূন্যের চেয়ে ছোট। তাই, $y$ অবশ্যই $0$ এর চেয়ে বড় বা $y > 0$ হবে।
প্রথমে ফাংশনটিকে একটু সহজীকরণ বা সরল করে নিই। আমরা জানি, সূচকের নিয়ম অনুসারে $\frac{1}{x^{-1}} = x$ $\therefore F(x) = x^2 + x - 1$
এখন অপশনগুলো যাচাই করি: অপশন (১): $f(0)$ নির্ণয় $F(0) = 0^2 + 0 - 1 = -1$ কিন্তু অপশনে আছে $\infty$, তাই এটি সঠিক নয়। অপশন (২) ও (৩): $f(1)$ নির্ণয় $F(1) = 1^2 + 1 - 1 = 1 + 1 - 1 = 1$ কিন্তু অপশন ২-এ আছে $-1$ এবং অপশন ৩-এ আছে $0$, তাই এই দুটিও সঠিক নয়। অপশন (৪): $f(-1)$ নির্ণয় $F(-1) = (-1)^2 + (-1) - 1$ $= 1 - 1 - 1$ $= -1$ দেখা যাচ্ছে, $f(-1)$ এর মান $-1$, যা অপশন ৪ এর সাথে মিলে যায়। $\therefore$ সঠিক উত্তর: $f(-1) = -1$
শর্টকাট টেকনিক (পরীক্ষার হলের জন্য): ফাংশনটিকে দেখেই মনে মনে সরল করে ফেলুন: $\frac{1}{x^{-1}}$ মানেই হলো $x$। সুতরাং, $F(x) = x^2 + x - 1$। এখন শুধু $x = 1$ এবং $x = -1$ বসিয়ে দ্রুত চেক করুন। $1$ বসালে: $1+1-1 = 1$ (মিলল না)। $-1$ বসালে: $(-1)^2 + (-1) - 1 = 1 - 1 - 1 = -1$ (মিলে গেছে)।
✅চাকরি পরীক্ষার আপডেট ============================= ১। ২৩ তারিখের অফিসার জেনারেল পিছিয়ে ৩১ তারিখ বিকাল হবে ৩-৪টা।
✅ ১৯তারিখ থেকে ৫০তম বিসিএস ফুল মডলে টেস্ট ১০টি নেওয়া হবে।
✅প্রাইমারী, নিবন্ধন বা ১১তম-২০তম গ্রেডের যেকোনো চাকরি জন্য প্রশ্ন ব্যাংক লেগে থেকে শেষ করুন। অ্যাপ এর প্রশ্ন ব্যাংক থেকে ১০০% কমন আসবে। বাকি চাকরি পরীক্ষা জন্য ৭০%-৮০% কমন আসবে। আপনার চর্চার সময় আপনার ভুল প্রশ্ন, বুকমার্ক প্রশ্ন সব ডাটাবেজে জমা থাকে। মনে করুন বাংলা সাহিত্য ৪০০০ প্রশ্ন আছে, আপনি একবার ভালো করে পড়বেন, এর মধ্যে দেখবেন ৪০% প্রশ্ন আপনার জানা, যেগুলো কখনও ভুল হবে না, বাকি আছে ৬০%, এই প্রশ্নগুলো আলাদা বাটনে জমা হয়, যেগুলো আপনি ভুল করছেন, এখন এইগুলো ভালো করে রিভিশন দিন। এতে সহজে কম সময় প্রস্তুতি শেষ হবে। যারা একেবারে নতুন তারা জব শুলুশন্স বাটন দিয়ে শুরু করতে পারেন।
✅ব্যাংক নিয়োগ প্রস্তুতি'র লং কোর্স (রুটিনের জন্য পিডিএফ বাটন দেখুন) - পরীক্ষা শুরুঃ ১০ নভেম্বর। - মোট পরীক্ষাঃ ১২৮টি, - টপিক ভিত্তিকঃ ১১২টি, - রিভিশন পরীক্ষাঃ ২২টি, - Vocabulary রিভিশনঃ ৩বার
অ্যাপ এর হোম screen -এ পিডিএফ বাটন ক্লিক করুন, এখান থেকে রুটিন ডাউনলোড করতে পারবেন। রুটিনের তারিখ অনুযায়ী পরীক্ষা রাত ১২ থেকে ২৪ ঘণ্টার মধ্যে যেকোন সময় দিতে পারবেন, ফলাফল সাথে সাথে বিস্তারিত ব্যাখ্যাসহ দেওয়া হয়। missed পরীক্ষাগুলো আর্কাইভ থেকে দিতে পারবেন, তবে মেরিট লিস্ট আসবে না, মেরিট লিস্টে থাকতে হলে রুটিন অনুযায়ী নির্দিষ্ট তারিখে দিতে হবে। আর্কাইভ থেকে পরীক্ষা দিতে হলে ভিজিট করুনঃ অ্যাপ এর হোম স্ক্রীনে 'পরীক্ষার সেকশন' বাটনে ক্লিক করুন -> বিসিএস বাটন -> [ফ্রি কোর্স] ৫০তম বিসিএস প্রিলি ২২০ দিনের সেকশনের All Exam বাটন ক্লিক করুন -> এখান Upcoming, Expired ট্যাব পাবেন।
✅ প্রধান শিক্ষক প্রস্তুতি - লেকচারশীট ভিত্তিকঃ রুটিন আপলোড করা হয়েছে। পরীক্ষা শুরুঃ ১৫ আগস্ট। মোট পরীক্ষাঃ ৫৮টি
✅ আপকামিং রুটিনঃ
- ১০০ দিনের বিসিএস বিষয়ভিত্তিক প্রস্তুতি। - অগ্রদূত বাংলা বই অনুসারে বাংলা সাহিত্য ও ভাষা রুটিনে টপিক ও বইয়ের পৃষ্ঠা নম্বর উল্লেখ থাকবে।। - English মাস্টার বই অনুসারে রুটিনে টপিক ও বইয়ের পৃষ্ঠা নম্বর উল্লেখ থাকবে।
