বহুভুজ ও পীথাগোরাসের উপপাদ্য (40 টি প্রশ্ন )
 Back to Subject Page   All Topics
সুষম বহুভুজের বাহুর সংখ্যা n হলে তার কোণগুলোর সমষ্টি (2n - 4) সমকোণ।
সুতরাং সুষম সপ্তভুজের 7 কোণের সমষ্টি = (2×7 - 4) সমকোণ
= (14 - 4) × 90°
= 10 × 90°
অর্থাৎ, সুষম সপ্তভুজের অন্তঃস্থ কোণসমূহের সমষ্টি ১০ সমকোণ। 
একটি নিয়মিত ষড়ভুজের ক্ষেত্রফলের সূত্র হল, A = (3√3 × a²) / 2
যেখানে 'a' হল বাহুর দৈর্ঘ্য
এখানে, a = 4 সেমি
সুতরাং, ক্ষেত্রফল = (3√3 × 4²) / 2
= (3√3 × 16) / 2
= 48√3 / 2
= 24√3 বর্গ সেমি
n ভুজের কর্ণ সংখ্যা = nC2 - n  ; যেখানে nC2 হল মোট সম্ভাব্য রেখা সংখ্যা এবং n হল বাহু সংখ্যা
 
সপ্তভুজের বাহু সংখ্যা, n = 7

∴ কর্ণ সংখ্যা = nC2 - n = 7C2 -7 = 21 - 7 = 14
বহুভুজটির বাহুর সংখ্যা = 360°/(180° - অন্তঃকোণ)
= 360°/(180° - 120°)
= 360°/60°
= 6 টি

∴ কর্ণের সংখ্যা = {বাহুর সংখ্যা * (বাহুর সংখ্যা - 3)} / 2
                   = {6(6 - 3)}/2
                   = 18/2
                   = 9 টি
ধরি,
অন্তঃস্থ কোণ = ৪ক
বহিঃস্থ কোণ = ক

প্রশ্নমতে,
৪ক + ক = ১৮০°
⇒ ৫ক = ১৮০°
∴ ক = ৩৬°

বহিঃস্থ কোণ = ৩৬°
∴ বহুভুজটির বাহুসংখ্যা = ৩৬০°/৩৬°
= ১০ টি
বর্গক্ষেত্রের একবাহু = a
বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা = 4a
বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = a2

একটি বর্গক্ষেত্রের একবাহু অপরটির একবাহুর দ্বিগুণ।
∴ অপর বর্গক্ষেত্রের একবাহু = 2a
∴ অপর বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = (2a)2 = 4a2

বর্গক্ষেত্র দুটির ক্ষেত্রফলের অনুপাত অনুপাত = 1 : 4
দেওয়া আছে,
ট্রাপিজিয়ামের ক্ষেত্রফল ১০৮ বর্গ সে.মি.
সমান্তরাল বাহু দুটির দৈর্ঘ্য যথাক্রমে ১৮ সে.মি. ও ৯ সে.মি.

আমরা জানি,
ট্রাপিজিয়ামের ক্ষেত্রফল = (১/২) × সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের যোগফল × উচ্চতা
বা, ১০৮ = (১/২) × (১৮ + ৯) × উচ্চতা
বা, ১০৮ = (২৭/২) × উচ্চতা
বা, উচ্চতা = (১০৮ × ২)/২৭
∴ উচ্চতা = ৮ সে.মি.
সুষম বহুভুজের বাহুর সংখ্যা n হলে তার কোণগুলোর সমষ্টি (2n - 4) সমকোণ।
বহুভুজটির বাহুর সংখ্যা = 360°/(180° - অন্তঃকোণ)
= 360°/(180° - 140°)
= 360°/40°
= 9 টি

∴ কর্ণের সংখ্যা = {বাহুর সংখ্যা * (বাহুর সংখ্যা - 3)} / 2
                   = {9(9 - 3)}/2
                   = 54/2
                   = 27 টি
ধরি,
ষড়ভুজের প্রতিটি বাহুর দৈর্ঘ্য a = 4 সে.মি
বাহুর সংখ্যা n = 6 টি

আমরা জানি,
সুষম বহুভুজের ক্ষেত্রফল = {(na2)/4} cot (180/n)

∴ ষড়ভুজের ক্ষেত্রফল = {(6 × 42)/4}cot(180°/6)
= 24cot30°
= 24√3
ধরি,
অন্তঃস্থ কোণ = ২ক
বহিঃস্থ কোণ = ক

প্রশ্নমতে,
২ক + ক = ১৮০°
⇒ ৩ক = ১৮০°
∴ ক = ৬০°

এখানে,
অন্তঃস্থ কোণ = ২ × ৬০° = ১২০°
বহিঃস্থ কোণ = ৬০°

∴ বহুভুজটির বাহুসংখ্যা = ৩৬০°/৬০° = ৬ টি
সুষম অষ্টভুজের
প্রতিটি বহিঃস্থ কোণের পরিমাপ = ৩৬০°/৮= ৪৫°

প্রতিটি অন্তঃকোণের পরিমাপ = (১৮০ - ৪৫)° = ১৩৫°
চাকার ব্যাস, 2r = 70 সে. মি.

একটি চাকা একবার ঘুরলে তার পরিধির সমান দুরত্ব অতিক্রম করে।
চাকার পরিধি = 2πr
          = 2r.π
          = 70 × 3.1416 সে. মি.
          = 219. 912 সে. মি.
আমরা জানি,
সুষম বহুভুজের বাহুর সংখ্যা n হলে, অন্তঃস্থ একটি কোণের পরিমাণ θ = 180° - 360°⁄n
বার বাহু বিশিষ্ট একটি সুষম বহুভুজের অন্তঃস্থ একটি কোণের পরিমাণ θ = 180° - 360°⁄ 12= 180° - 30° = 150°

সুষম কোণ সংখ্যা  = ১৮০° - ১৬২ ° = ১৮

আমরা জানি; বাহুর সংখ্যা = ৩৬০ ডিগ্রি / বহি:স্থ

                                 =৩৬০/১৮

                                 = ২০
একটি গোলকের ব্যাস ১২ সেমি।
অতএব, ব্যাসার্ধ = ১২/২ সেমি = ৬ সেমি
গোলকের আয়তন=৩/৪πr3
সুতরাং, গোলকের আয়তন = (৪π × ৬৩) / ৩ = ২৮৮π
পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুযায়ী-সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজের উপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল অপর দুই বাহুর উপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফলের সমষ্টির সমান ।
মনে করি, সমান্তরাল বাহুদ্বয় x ও (x+1) মিটার
বাহুদ্বয়ের মধ্যে লম্ব দূরত্ব 3 মিটার।
∴ ট্রাপিজিয়ামের ক্ষেত্রফল = (3/2)(x + x+ 1) বর্গ মিটার
প্রশমতে, (3/2)(2x+1) = 30
বা, 2x + 1 = 20
বা, 2x = 19
বা, x = 9.5
∴বৃহত্তম বাহুটির দৈর্ঘ্য = (9.5 + 1) = 10.5 মিটার।
পিথাগোরাসের সূত্র থেকে,
মইয়ের দৈর্ঘ্য = √(৩০²+১৬²)
= √(৯০০+২৫৬)
= √১১৫৬
= ৩৪ ফুট
 আমরা জানি,
ঘনকের কর্ণের দৈর্ঘ্য =√3a
                          =√3×1=√3
ধরি,কিউব ক এর সাইড ২x একক
  এবং কিউব খ এর সাইড  x একক
অতএব তল দুটির অনুপাত =৬(২x)২ ঃ৬(x)২
                 =২৪x২ ঃ ৬x২=৪ঃ১


মনে করি পিলারের উচ্চতা AB=h
মই এর দৈর্ঘ্য AC=18 মিটার
 A বিন্দুতে কোণ ∠BAC=60°
এখন cos60°=AB/AC
   or, 1/2 =h/18
     ∴ h=9 মিটার
ধরি ঘনবস্তুর দৈর্ঘ্য ,প্রস্থ ও উচ্চতা যথাক্রমে   6x,5x এবং 4x

আমরা জানি,ঘনবস্তুর সমগ্র পৃষ্টতলের ক্ষেত্রফল = 2(ab+bc+ca)
প্রশ্নমতে,
2{(6x×5x) + (5x×4x) + (4x×6x)} =2368
or,2{30x2+20x2+24x2}=2368
or,74x2=1184
or,x2=1184/74=16
 অতএব, x=4
সুতরাং আয়তাকার ঘনবস্তুর দৈর্ঘ্য  6×4=24

বলের ব্যাস = 4 মিটার =ঘনবাক্সের একবাহু (কারণ বলটি ঘনবক্সের চারপাশে লেগে আছে )

অতএব ঘনবাক্সের আয়তন = দৈর্ঘ্য × প্রস্থ × উচ্চতা = 4×4×4=64 ঘনমিটার
দেওয়া আছে,  θ=60° এবং ভূমি/ছায়া =√3
 খুটির দৈর্ঘ্য =?
আমরা জানি,
tanθ= লম্ব/ভূমি
সুতরাং tan60°= h/√3
     √3=h/√3
  অতএব   h=3
মনে করি,সুষম পঞ্চভুজের বাহুর দৈর্ঘ্য a = 4 সেমি
বাহুর সংখ্যা n=5
আমরা জানি,সুষম বহুভুজের ক্ষেত্রফল = na2/4 × cot(180º/n)
  অতএব সুষম পঞ্চভুজের ক্ষেত্রফল =(5×42)/4 ×cot (180º/5)=20×cot36º
=20×1.376  [ক্যালকুলেটরের সাহায্যে]
=27.528 বর্গসেমি।
 কুয়াটির উচ্চতা  h=10 মিটার এবং ব্যাসার্ধ  r=1 মিটার
সুতরাং কুয়াটির আয়তন =πr2h =π×12×10=10π


ধরি,মাটি থেকে h ফুট উচুতে খুটিটি ভেঙ্গে যায়
আমরা জানি, sin30º= লম্ব/অতিভুজ
 or, 1/2 =h/(18-h)
or,2h =18-h
or,3h=18
  অতএব h=6 ফুট
১৮" =১.৫ ফুট।কেননা অন্য দুটি ফুটে দেওয়া আছে।
তাহলে বাক্সটির আয়তন হবে =দৈর্ঘ্য×প্রস্থ× উচ্চতা=১.৫×৩×২=৯ ঘনফুট

[১' =১ ফুট কিন্ত ১"=১ ইঞ্চি ]
 

দেওয়ালে মই হেলান দিয়ে রাখায় একটি সমকোণী ত্রিভুজের সৃষ্টি হয়েছে যার অতিভুজ ১৩ মিটার এবং ভূমি ৫ মিটার।
  ABC সমকোণী ত্রিভুজ হতে,
AB2=AC2+BC2
OR,(13)2=h2+(5)2
or,h2=144
 অতএব, h=12
 সুতরাং দেয়ালের উচ্চতা  12 মিটার
সঠিক উত্তর: 0 | ভুল উত্তর: 0