সেট (Set) এর সংজ্ঞা: বাস্তব বা চিন্তা জগতের সু-সংজ্ঞায়িত বস্তুর সমাবেশ বা সংগ্রহকে সেট বলে। যেমন: বাংলা, ইংরেজি ও গণিত বিষয়ে তিনটি বইয়ের সেট, পূর্ণ সংখ্যার সেট ইত্যাদি।
অন্বয়: দুটি সেটের উপাদানগুলোর মধ্যকার সম্পর্ক। ফাংশন: এক বিশেষ ধরনের অন্বয় যেখানে একটি চলকের মান অন্য একটি চলকের মানের উপর নির্ভরশীল। ম্যাট্রিক্স: বিজ্ঞান ও গণিতে বিভিন্ন তথ্যকে আয়তাকার ছকে সারি ও কলামে সাজিয়ে প্রকাশ করার পদ্ধতি।
কার্তেসীয় গুণজ (Cartesian Product) এর ধারণা: ধরি, A এবং B যেকোনো দুইটি সেট। A সেটের একটি উপাদান x এবং B সেটের একটি উপাদান y নিয়ে গঠিত (x, y) জোড়াকে ক্রমজোড় (Ordered pair) বলা হয়।
সেট A এবং সেট B এর সকল সম্ভাব্য ক্রমজোড়ের সেটকে A ও B এর কার্তেসীয় গুণজ বলা হয় এবং একে A × B দ্বারা প্রকাশ করা হয়। গাণিতিকভাবে, A × B = {(x, y) : x ∈ A এবং y ∈ B}
সুতরাং, কার্তেসীয় গুণজ সেটের অন্তর্ভুক্ত প্রতিটি উপাদানই এক একটি ক্রমজোড়।
ভেনচিত্র ও সসীম সেটের উপাদান সংখ্যা: যেকোনো দুইটি সসীম সেট A ও B এর ক্ষেত্রে, A ∪ B (A সংযোগ B) সেটের মোট উপাদান সংখ্যা নির্ণয়ের একটি সাধারণ সূত্র রয়েছে।
সূত্রটি হলো: n(A ∪ B) = n(A) + n(B) - n(A ∩ B)
ব্যাখ্যা: n(A) হলো শুধুমাত্র A সেটের উপাদান সংখ্যা এবং n(B) হলো B সেটের উপাদান সংখ্যা। যখন আমরা n(A) + n(B) যোগ করি, তখন A ও B এর সাধারণ বা ছেদ অংশটি (Common part) অর্থাৎ n(A ∩ B) দুইবার যোগ করা হয়ে যায়। তাই সেটের প্রকৃত উপাদান সংখ্যা বের করার জন্য যোগফল থেকে একবার n(A ∩ B) বিয়োগ করতে হয়।
- এখানে সেট A-এর উপাদানগুলো হলো স্বাভাবিক সংখ্যা এবং 5-এর চেয়ে ছোট। - স্বাভাবিক সংখ্যা 1 থেকে শুরু হয়। - তাই 5-এর চেয়ে ছোট স্বাভাবিক সংখ্যাগুলো হলো 1, 2, 3, 4। - সুতরাং, সেটটিকে তালিকা পদ্ধতিতে প্রকাশ করলে হবে A = {1, 2, 3, 4}।
এই সমস্যাটি সমাধানের জন্য সেটের সংযোগ ও ছেদের সূত্র ব্যবহার করা হয়। সূত্রটি হলো: n(A∪B) = n(A) + n(B) - n(A∩B) এখানে, n(A) = A সেটের উপাদান সংখ্যা = 5 n(B) = B সেটের উপাদান সংখ্যা = 3 n(A∩B) = A এবং B সেটের সাধারণ উপাদান সংখ্যা (ছেদ সেট) = 2
সূত্র অনুযায়ী মান বসিয়ে পাই: n(A∪B) = 5 + 3 - 2 n(A∪B) = 8 - 2 n(A∪B) = 6
A ⊂ B এর অর্থ হলো A সেটটি B সেটের একটি উপসেট। অর্থাৎ, A সেটের সকল উপাদান B সেটের মধ্যেও বিদ্যমান।
ছেদ সেটের (A ∩ B) সংজ্ঞা হলো A এবং B-এর সাধারণ উপাদানগুলো নিয়ে গঠিত সেট। যেহেতু A-এর সবগুলো উপাদানই B-এর মধ্যে আছে, সেহেতু তাদের সাধারণ উপাদানগুলো হবে A সেটের উপাদানগুলোই।
উদাহরণস্বরূপ, যদি A = {1, 2} এবং B = {1, 2, 3} হয়, তবে এখানে A ⊂ B। তাদের ছেদ সেট হবে A ∩ B = {1, 2}, যা A সেটের সমান।
এখানে প্রথম ৩০টি প্রশ্নের ব্যাখ্যা দেখতে পারবেন, বাকি সব প্রশ্নের সম্পূর্ণ ব্যাখ্যা পেতে এখনই অ্যাপ ইন্সটল করুন।
এখানে সেটটি সেট গঠন পদ্ধতিতে দেওয়া আছে, যার অর্থ হলো "Q একটি সেট, যার উপাদান x এবং x হলো 12-এর গুণনীয়ক"। কোনো সংখ্যার গুণনীয়ক হলো সেই সব সংখ্যা যা দ্বারা ওই সংখ্যাটিকে নিঃশেষে ভাগ করা যায়।
A x B দ্বারা A এবং B সেটের কার্তেসীয় গুণজ (Cartesian Product) বোঝানো হয়। এটি এমন একটি সেট যা ক্রমজোড় (ordered pairs) নিয়ে গঠিত। প্রতিটি ক্রমজোড়ের প্রথম উপাদানটি প্রথম সেট (A) থেকে এবং দ্বিতীয় উপাদানটি দ্বিতীয় সেট (B) থেকে আসে।
গঠন প্রক্রিয়া: - A সেটের প্রথম উপাদান a নিয়ে B সেটের প্রতিটি উপাদানের সাথে জোড়া তৈরি করি: (a, c), (a, d) - A সেটের দ্বিতীয় উপাদান b নিয়ে B সেটের প্রতিটি উপাদানের সাথে জোড়া তৈরি করি: (b, c), (b, d)
এই সব ক্রমজোড় নিয়ে গঠিত সেটটিই হলো A x B। সুতরাং, A x B = {(a, c), (a, d), (b, c), (b, d)}।
উপসেট (Subset): - কোনো সেটের উপাদানগুলো নিয়ে যতগুলো নতুন সেট গঠন করা যায়, তাদের প্রত্যেকটিকে মূল সেটের উপসেট বলে। - কোনো সেটের উপাদান সংখ্যা n হলে, তার মোট উপসেটের সংখ্যা হয় 2ⁿ। - ফাঁকা সেট (∅) এবং মূল সেট নিজেও তার উপসেট।
প্রকৃত উপসেট (Proper Subset): - মূল সেট ব্যতীত বাকি সব উপসেটকে প্রকৃত উপসেট বলা হয়। - অর্থাৎ, একটি সেটের সকল উপসেটের মধ্য থেকে শুধু মূল সেটটিকে বাদ দিলেই প্রকৃত উপসেটগুলো পাওয়া যায়।
- যেহেতু মোট উপসেটের সংখ্যা 2ⁿ এবং এর মধ্যে একটি হলো মূল সেট নিজেই, তাই প্রকৃত উপসেটের সংখ্যা হবে 2ⁿ - 1।
দুটি সেটের সংযোগ (Union, ∪) বলতে ওই সেট দুটির সকল উপাদান নিয়ে গঠিত নতুন একটি সেটকে বোঝায়, যেখানে কোনো উপাদানের পুনরাবৃত্তি হয় না। সেট A: {1, 2, 3} সেট B: {2, 4, 6}
A এবং B সেটের সকল উপাদান বের করলে আমরা পাই: 1, 2, 3, 2, 4, 6। যেহেতু সেটে একই উপাদান একাধিকবার লেখা হয় না, তাই '2' কে একবার লিখব। সুতরাং, সংযোগ সেটটি হবে A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 6}।
প্রথমে সেট A-কে তালিকা পদ্ধতিতে প্রকাশ করি। "x স্বাভাবিক সংখ্যা এবং x ≤ 5" এর অর্থ হলো ৫ বা তার চেয়ে ছোট সকল স্বাভাবিক সংখ্যা। সুতরাং, A = {1, 2, 3, 4, 5}।
এখন, A সেটের উপাদান সংখ্যা, n(A) = 5।
কোনো সেটের শক্তি সেট (Power Set, P(A)) হলো ঐ সেটের সকল উপসেট নিয়ে গঠিত একটি সেট। শক্তি সেটের উপাদান সংখ্যা নির্ণয়ের সূত্র হলো 2ⁿ, যেখানে n হলো মূল সেটের উপাদান সংখ্যা।
এখানে n = 5, সুতরাং, P(A)-এর উপাদান সংখ্যা হবে = 2⁵ = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 32।
C সেটের উপাদানগুলো হবে সেইসব ঋণাত্মক পূর্ণসংখ্যা (negative integers) যাদের বর্গ 18 এর চেয়ে ছোট। আমরা প্রতিটি ঋণাত্মক পূর্ণসংখ্যার বর্গ করে দেখি: (-1)² = 1 (যা 18 এর চেয়ে ছোট) (-2)² = 4 (যা 18 এর চেয়ে ছোট) (-3)² = 9 (যা 18 এর চেয়ে ছোট) (-4)² = 16 (যা 18 এর চেয়ে ছোট) (-5)² = 25 (যা 18 এর চেয়ে বড়) সুতরাং, যে ঋণাত্মক পূর্ণসংখ্যাগুলোর বর্গ 18 এর চেয়ে ছোট, সেগুলো হলো -1, -2, -3, এবং -4। অতএব, C = {-1, -2, -3, -4}। সঠিক উত্তর হলো D) -1, -2, -3, -4।
প্রথমে ১টি বিষয়ে ফেলের হার বের করুন,কেননা উভয় বিষয়ে ফেলের হার দেয়া আছে ১০%। তাই শুধু গণিতে ফেল ১০০ - ৭০ = ৩০% এবং শুধু বাংলায় ফেল = ১০০ - ৮০ = ২০% মোট ফেল = ৩০ + ২০ - ১০ = ৪০% তাহলে উভয় বিষয়ে পাশ হলো ১০০ - ৪০% = ৬০%
এই ৬০% = ৩৬০ জন কেননা, ৩৬০ জন হলো উভয় বিষয়ে মোট পাশ করা শিক্ষার্থী সংখ্যা। এখন ১০০% এর মান হবে = ৩৬০×(১০০/৬০) = ৬০০ জন ।
এখানে প্রথম ৩০টি প্রশ্নের ব্যাখ্যা দেখতে পারবেন, বাকি সব প্রশ্নের সম্পূর্ণ ব্যাখ্যা পেতে এখনই অ্যাপ ইন্সটল করুন।
দেওয়া আছে, A = {x : x হলো 5, 7 দ্বারা বিভাজ্য এবং x < 150} বা, A = {35, 70, 105, 140} A সেটের উপাদান সংখ্যা 4টি। আমরা জানি, কোনো সেটের সদস্য সংখ্যা n হলে উপসেট সংখ্যা = 2n সুতরাং, P(A) = 24 = 16
ধরি, E হলো ইংরেজি পড়তে পারা ছাত্রদের সেট এবং B হলো বাংলা পড়তে পারা ছাত্রদের সেট।
দেওয়া আছে, ∣E∣=25, ∣B∣=20 এবং ∣E∩B∣=10.
ইংরেজি অথবা বাংলা পড়তে পারা ছাত্রদের সেট হলো E∪B, এবং এর উপাদান সংখ্যা: ∣E∪B∣=∣E∣+∣B∣−∣E∩B∣ =25+20−10 =35
যে সকল ছাত্র ইংরেজি বা বাংলা কোনোটিই পড়তে পারে না, তারা E∪B সেটের বাইরে অবস্থিত। সুতরাং, তাদের সংখ্যা হলো সার্বিক সেট U থেকে E∪B এর উপাদান সংখ্যা বাদ দিলে পাওয়া যায়।
সুতরাং, নির্ণেয় ছাত্র সংখ্যা = ∣U∣−∣E∪B∣ =40−35 =5.
A একটি সেট যার উপাদানগুলো হলো -1, 1, এবং 2। অর্থাৎ, A = {-1, 1, 2}। B হলো একটি ফাঁকা সেট (empty set), যার কোনো উপাদান নেই। এটিকে ∅ চিহ্ন দ্বারা প্রকাশ করা হয়। দুটি সেটের ছেদ (Intersection) হলো সেই সেট, যার মধ্যে উভয় সেটের সাধারণ উপাদানগুলো বিদ্যমান। যেহেতু B সেটে কোনো উপাদান নেই, তাই A এবং B সেটের মধ্যে কোনো সাধারণ উপাদান থাকা সম্ভব নয়।
১২ অথবা ১২ এর চেয়ে ছোট ৩ এর গুণিতকগুলো হলো: ৩, ৬, ৯, ১২। সুতরাং, C = {৩, ৬, ৯, ১২}। C সেটের উপাদান সংখ্যা ৪। P(C) হলো C সেটের শক্তি সেট, যা C সেটের সকল উপসেটের সেট। যদি কোনো সেটের উপাদান সংখ্যা n হয়, তবে তার শক্তি সেটের সদস্য সংখ্যা ২ⁿ। এখানে, n = ৪, তাই P(C) এর সদস্য সংখ্যা ২⁴ = ১৬। সুতরাং, P(C) এর সদস্য সংখ্যা ১৬।
এখানে প্রথম ৩০টি প্রশ্নের ব্যাখ্যা দেখতে পারবেন, বাকি সব প্রশ্নের সম্পূর্ণ ব্যাখ্যা পেতে এখনই অ্যাপ ইন্সটল করুন।
চাকরি পরীক্ষায় ভাল ফলাফল পেতে নিয়মিত অনুশীলন ও লাইভ পরীক্ষার কোন বিকল্প নেই।
অনুশীলন প্রশ্ন ব্যাংক বিষয়ভিত্তিক, টপিক ও সাবটপিক আকারে সাজানো। ২০০৫ থেকে সব জব সলিউশন ও টপিকভিত্তিক জব সলিউশন বিস্তারিত ব্যাখ্যাসহ, রুটিন ভিত্তিক নিয়মিত লাইভ পরীক্ষা, পিডিএফ লেকচার শীট।
২০০৫ – ২০২৬ সাল পর্যন্ত সব জব সলিউশন্স প্রশ্ন টপিক ও সাব-টপিক আকারে যোগ করা হয়েছে — সর্বমোট প্রায় ২৫ হাজার ইউনিক প্রশ্ন। ১২তম – ২০তম গ্রেডের পরীক্ষার্থীরা শুধু এইগুলো পড়লেই হবে।
▶ প্রশ্ন ব্যাংক → অনুশীলন → এরপর উপরের ডানে হলুদ বাটনে ক্লিক করে Job Solutions ফিল্টার করে নিন। ↻ প্রতি সপ্তাহে নতুন জব প্রশ্ন টপিক ও সাব-টপিক আকারে যোগ করা হয়।
★ বর্তমান চলমান কোর্স
১) ১৯তম শিক্ষক নিবন্ধন — লেকচারশীট ভিত্তিক ২) ১৯তম শিক্ষক নিবন্ধন (স্কুল পর্যায়) — বাংলা নতুন ৩) ১৯তম শিক্ষক নিবন্ধন (কলেজ পর্যায়) — বাংলা নতুন ৪) ১৯তম শিক্ষক নিবন্ধন — সমাজবিজ্ঞান ৫) ১৯তম নিবন্ধন (প্রভাষক) — গ্রন্থাগার ও তথ্য বিজ্ঞান ৬) ৫১তম বিসিএস প্রস্তুতি — ২৩৬ দিনে সম্পূর্ণ সিলেবাস ৭) টপিক ভিত্তিক জব সলিউশন রুটিন (১৬৫ দিনের) ৮) প্রাইমারি প্রধান শিক্ষক নিয়োগ প্রস্তুতি (৩য় ব্যাচ) ৯) স্পেশাল বিসিএস (স্বাস্থ্য) সমন্বিত প্রস্তুতি রুটিন ১০) সাম্প্রতিক বাংলাদেশ ও আন্তর্জাতিক বিষয়াবলী
➤ আপকামিং কোর্স ও রুটিন
✦ ১৯তম নিবন্ধন শিক্ষক নিয়োগ প্রস্তুতি (৬ষ্ঠ ব্যাচ)
◆ অগ্রদূত বাংলা বই অনুসারে বাংলা সাহিত্য ও ভাষা — রুটিনে টপিক ও বইয়ের পৃষ্ঠা নম্বর উল্লেখ থাকবে। ◆ English মাস্টার বই অনুসারে রুটিন — টপিক ও বইয়ের পৃষ্ঠা নম্বর উল্লেখ থাকবে। ◆ ১৯তম নিবন্ধন — ইতিহাস ও প্রাণীবিজ্ঞান (স্কুল ও কলেজ পর্যায় আলাদা রুটিনে পরীক্ষা হবে)।
