একই বিষয়ের সব টপিক

• সরল সমীকরণ
• ঘন জ্যামিতি
• পরিমিতি
• এলিগেশন ও মিশ্রণ
• নৌকা ও স্রোত
• ট্রেন
• সরল ও যৌগিক মুনাফা
• রেখা ও কোণ
• বহুভুজ ও পীথাগোরাসের উপপাদ্য
• অসমতা
• সমান্তর ও গুণোওর ধারা
• অন্যান্য
• ত্রিভুজ
• বীজগাণিতিক সূত্রাবলী এবং প্রয়োগ
• বাস্তব সংখ্যা
• সূচক ও লগারিদম
• সম্ভাব্যতা
• পরিমাপ
• সাধারণ সমস্যা
• গড়
• বর্গ ও বর্গমূল
• ঐকিক নিয়ম
• চতুর্ভুজের পরিসীমা ও ক্ষেত্রফল
• ত্রিকোণমিতি ও এর প্রয়োগ
• রম্বস
• বৃত্ত
• চতুর্ভুজ
• দিক ও দূরত্ব
• সরলীকরণ
• সমাধান
• ফাংশন ও অন্বয়
• সেট ও ভেনচিত্র
• বিন্যাস ও সমাবেশ
• অনুপাত ও সমানুপাত
• উৎপাদকে বিশ্লেষণ
• ল সা গু ও গ সা গু
• সময় দূরত্ব ও গতিবেগ
• ধারা
• সুদকষা
• ভগ্নাংশ
• লাভ-ক্ষতি
• শতকরা
• সংখ্যা

১

কোনো পরীক্ষায় ৫২% পরীক্ষার্থী ইংরেজিতে এবং ৪২% পরীক্ষার্থী গণিতে ফেল করল। যদি উভয় বিষয়ে ১৭% ফেল করে থাকে, তবে কতজন পরীক্ষার্থী উভয় বিষয়ে পাস করেছে?

ক) ২৩% খ) ২১% গ) ২৩.৫% ঘ) ৭৭%

ব্যাখ্যা (Explanation)

দেওয়া আছে:
মোট পরীক্ষার্থী = ১০০%
ইংরেজিতে ফেল করে = ৫২%
গণিতে ফেল করে = ৪২%
উভয় বিষয়ে ফেল করে = ১৭%

ধাপ ১: ফেল করা পরীক্ষার্থীর সংখ্যা বের করা:
* শুধুমাত্র ইংরেজিতে ফেল করে = (৫২ - ১৭)% = ৩৫%
* শুধুমাত্র গণিতে ফেল করে = (৪২ - ১৭)% = ২৫%
* উভয় বিষয়ে ফেল করে = ১৭%

অতএব, অন্তত একটি বিষয়ে অথবা উভয় বিষয়ে মোট ফেল করে = (৩৫ + ২৫ + ১৭)% = ৭৭%

বিকল্প শর্টকাট সূত্র:
মোট ফেল = (ইংরেজিতে ফেল + গণিতে ফেল) - উভয় বিষয়ে ফেল
= (৫২ + ৪২ - ১৭)% = (৯৪ - ১৭)% = ৭৭%

ধাপ ২: উভয় বিষয়ে পাসের সংখ্যা বের করা:
যেহেতু মোট পরীক্ষার্থীর সংখ্যা ১০০%, তাই উভয় বিষয়ে পাস করা পরীক্ষার্থীর সংখ্যা = (১০০ - ৭৭)% = ২৩%

গাণিতিক হিসাব অনুযায়ী সঠিক উত্তর হলো ২৩% (অপশন ১)।
* সঠিক উত্তর: ২৩% (অপশন ১)
সোর্সঃ খাইরুল বেসিক গণিত

২

S = {1, 2, 3, 4} সেটের প্রকৃত উপসেট সংখ্যা কয়টি?

ক) 16 খ) 15 গ) 14 ঘ) 8

ব্যাখ্যা (Explanation)

দেওয়া আছে, প্রদত্ত সেট S = {1, 2, 3, 4} ।
এখানে সেট S-এর উপাদান সংখ্যা n = 4 ।
আমরা জানি, কোনো সেটের উপাদান সংখ্যা n হলে তার মোট উপসেট সংখ্যা নির্ণয়ের সূত্র 2ⁿ ।
সুতরাং, সেট S-এর মোট উপসেট সংখ্যা = 2⁴ = 16 ।
কোনো সেটের উপসেটগুলোর মধ্যে মূল সেটটি বাদ দিলে বাকি উপসেটগুলোকে প্রকৃত উপসেট বলা হয় । অর্থাৎ, মূল সেটটি বাদ পড়ে বলে মোট উপসেট সংখ্যা থেকে 1 বিয়োগ করতে হয় ।
তাই প্রকৃত উপসেট সংখ্যা নির্ণয়ের সূত্র হলো: 2ⁿ - 1 ।
অতএব, সেট S-এর নির্ণেয় প্রকৃত উপসেট সংখ্যা = 2⁴ - 1 = 16 - 1 = 15 ।
* সঠিক উত্তর: অপশন 2 (15) ।
সোর্সঃ খাইরুল বেসিক গণিত

৩

কোনো প্রদত্ত সেটের সম্ভাব্য সকল উপসেট নিয়ে গঠিত সেটকে কী বলা হয়?

ক) সার্বিক সেট বা ইউনিভার্সাল সেট খ) পাওয়ার সেট বা শক্তি সেট গ) অসীম সেট বা ইনফিনিট সেট ঘ) পূরক সেট বা কমপ্লিমেন্ট সেট

৪

বাস্তব বা চিন্তা জগতের সু-সংজ্ঞায়িত বস্তুর সমাবেশ বা সংগ্রহকে কী বলে?

ক) ফাংশন খ) অন্বয় গ) সেট ঘ) ম্যাট্রিক্স

ব্যাখ্যা (Explanation)

সেট (Set) এর সংজ্ঞা: বাস্তব বা চিন্তা জগতের সু-সংজ্ঞায়িত বস্তুর সমাবেশ বা সংগ্রহকে সেট বলে। যেমন: বাংলা, ইংরেজি ও গণিত বিষয়ে তিনটি বইয়ের সেট, পূর্ণ সংখ্যার সেট ইত্যাদি।

অন্বয়: দুটি সেটের উপাদানগুলোর মধ্যকার সম্পর্ক।
ফাংশন: এক বিশেষ ধরনের অন্বয় যেখানে একটি চলকের মান অন্য একটি চলকের মানের উপর নির্ভরশীল।
ম্যাট্রিক্স: বিজ্ঞান ও গণিতে বিভিন্ন তথ্যকে আয়তাকার ছকে সারি ও কলামে সাজিয়ে প্রকাশ করার পদ্ধতি।

সুতরাং, সঠিক উত্তর হলো সেট।

৫

কার্তেসীয় গুণজ (Cartesian Product) A × B সেটের অন্তর্ভুক্ত প্রতিটি উপাদানকে কী বলা হয়?

ক) উপসেট খ) শক্তি সেট গ) পূরক সেট ঘ) ক্রমজোড়

ব্যাখ্যা (Explanation)

কার্তেসীয় গুণজ (Cartesian Product) এর ধারণা:
ধরি, A এবং B যেকোনো দুইটি সেট। A সেটের একটি উপাদান x এবং B সেটের একটি উপাদান y নিয়ে গঠিত (x, y) জোড়াকে ক্রমজোড় (Ordered pair) বলা হয়।

সেট A এবং সেট B এর সকল সম্ভাব্য ক্রমজোড়ের সেটকে A ও B এর কার্তেসীয় গুণজ বলা হয় এবং একে A × B দ্বারা প্রকাশ করা হয়।
গাণিতিকভাবে, A × B = {(x, y) : x ∈ A এবং y ∈ B}

সুতরাং, কার্তেসীয় গুণজ সেটের অন্তর্ভুক্ত প্রতিটি উপাদানই এক একটি ক্রমজোড়।

৬

ভেনচিত্রের সূত্রানুসারে, যদি A ও B দুটি সসীম সেট হয়, তবে n(A U B) এর মান নিচের কোনটি?

ক) n(A) + n(B) + n(A ∩ B) খ) n(A) + n(B) - n(A ∩ B) গ) n(A) + n(B) ঘ) n(A) - n(B) + n(A ∩ B)

ব্যাখ্যা (Explanation)

ভেনচিত্র ও সসীম সেটের উপাদান সংখ্যা:
যেকোনো দুইটি সসীম সেট A ও B এর ক্ষেত্রে, A ∪ B (A সংযোগ B) সেটের মোট উপাদান সংখ্যা নির্ণয়ের একটি সাধারণ সূত্র রয়েছে।

সূত্রটি হলো: n(A ∪ B) = n(A) + n(B) - n(A ∩ B)

ব্যাখ্যা:
n(A) হলো শুধুমাত্র A সেটের উপাদান সংখ্যা এবং n(B) হলো B সেটের উপাদান সংখ্যা। যখন আমরা n(A) + n(B) যোগ করি, তখন A ও B এর সাধারণ বা ছেদ অংশটি (Common part) অর্থাৎ n(A ∩ B) দুইবার যোগ করা হয়ে যায়। তাই সেটের প্রকৃত উপাদান সংখ্যা বের করার জন্য যোগফল থেকে একবার n(A ∩ B) বিয়োগ করতে হয়।

সুতরাং, সঠিক উত্তর হলো n(A) + n(B) - n(A ∩ B)।

৭

C = {x | x একটি প্রাকৃতক সংখ্যা এবং 3x² - 7x - 6 = 0} হলে C সেটটি নির্ণয় করুন।

ক) {-2/3, 3} খ) {-3, 2/3} গ) {3} ঘ) {}

ব্যাখ্যা (Explanation)

দেওয়া আছে,
C = {x | x একটি প্রাকৃত সংখ্যা এবং 3x² − 7x − 6 = 0}

প্রথমে সমীকরণটি সমাধান করি।
3x² − 7x − 6 = 0

এখানে, a = 3, b = −7, c = −6

আমরা জানি,
x = [-b ± √(b² − 4ac)] / 2a
= [−(−7) ± √{(−7)² − 4×3×(−6)}] / (2×3)
= [7 ± √(49 + 72)] / 6
= [7 ± √121] / 6
= [7 ± 11] / 6

অতএব,
x = (7 + 11) / 6 = 18 / 6 = 3
অথবা,
x = (7 − 11) / 6 = −4 / 6 = −2/3

কিন্তু x একটি প্রাকৃত সংখ্যা।

প্রাকৃত সংখ্যা ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা হওয়ায় −2/3 প্রাকৃত সংখ্যা নয়।

অতএব, C = {3}

৮

A = {x : x স্বাভাবিক সংখ্যা এবং x < 5} সেটটিকে তালিকা পদ্ধতিতে প্রকাশ করলে কী হবে?

ক) {0, 1, 2, 3, 4} খ) {1, 2, 3, 4, 5} গ) {2, 3, 4} ঘ) {1, 2, 3, 4}

ব্যাখ্যা (Explanation)

- এখানে সেট A-এর উপাদানগুলো হলো স্বাভাবিক সংখ্যা এবং 5-এর চেয়ে ছোট।
- স্বাভাবিক সংখ্যা 1 থেকে শুরু হয়।
- তাই 5-এর চেয়ে ছোট স্বাভাবিক সংখ্যাগুলো হলো 1, 2, 3, 4।
- সুতরাং, সেটটিকে তালিকা পদ্ধতিতে প্রকাশ করলে হবে A = {1, 2, 3, 4}।

৯

n(A) = 5, n(B) = 3 এবং n(A∩B) = 2 হলে n(A∪B) = ?

ক) 6 খ) 8 গ) 10 ঘ) 5

ব্যাখ্যা (Explanation)

এই সমস্যাটি সমাধানের জন্য সেটের সংযোগ ও ছেদের সূত্র ব্যবহার করা হয়।
সূত্রটি হলো: n(A∪B) = n(A) + n(B) - n(A∩B)
এখানে,
n(A) = A সেটের উপাদান সংখ্যা = 5
n(B) = B সেটের উপাদান সংখ্যা = 3
n(A∩B) = A এবং B সেটের সাধারণ উপাদান সংখ্যা (ছেদ সেট) = 2

সূত্র অনুযায়ী মান বসিয়ে পাই:
n(A∪B) = 5 + 3 - 2
n(A∪B) = 8 - 2
n(A∪B) = 6

১০

যদি A = {1, 2} এবং B = {3, 4} হয়, তবে (A ∩ B) = ?

ক) {1, 2} খ) {3, 4} গ) {1, 2, 3, 4} ঘ) ∅

ব্যাখ্যা (Explanation)

দুটি সেটের ছেদ (intersection) বলতে বুঝায় — যেসব উপাদান উভয় সেটেই সাধারণভাবে আছে।
অর্থাৎ, A ∩ B = এমন সব উপাদান যা A এবং B উভয়ের মধ্যে আছে।

এখন,
A = {1, 2}
B = {3, 4}

A এবং B সেটের মধ্যে কোনো সাধারণ উপাদান নেই।
অতএব,
A ∩ B = ∅

১১

A = ∅ হলে, P(A) = ?

ক) ∅ খ) {∅} গ) { } ঘ) 0

ব্যাখ্যা (Explanation)

কোনো সেটের শক্তি সেট {Power Set, P(A)} হলো ওই সেটের সকল উপসেট (subset) নিয়ে গঠিত একটি সেট।

একটি গুরুত্বপূর্ণ নিয়ম হলো, ফাঁকা সেট (∅) যেকোনো সেটেরই একটি উপসেট।
এখানে, A নিজেই একটি ফাঁকা সেট। তাই A-এর একমাত্র উপসেট হলো ফাঁকা সেট (∅)।

শক্তি সেটের সংজ্ঞা অনুযায়ী, এই উপসেটটিকে নিয়ে যে সেট গঠিত হবে, সেটিই হবে A-এর শক্তি সেট।
সুতরাং, P(A) = {∅}।

১২

যদি A ⊂ B হয়, তবে A ∩ B = ?

ক) B খ) A ∪ B গ) A ঘ) ∅

ব্যাখ্যা (Explanation)

A ⊂ B এর অর্থ হলো A সেটটি B সেটের একটি উপসেট। অর্থাৎ, A সেটের সকল উপাদান B সেটের মধ্যেও বিদ্যমান।

ছেদ সেটের (A ∩ B) সংজ্ঞা হলো A এবং B-এর সাধারণ উপাদানগুলো নিয়ে গঠিত সেট।
যেহেতু A-এর সবগুলো উপাদানই B-এর মধ্যে আছে, সেহেতু তাদের সাধারণ উপাদানগুলো হবে A সেটের উপাদানগুলোই।

উদাহরণস্বরূপ, যদি A = {1, 2} এবং B = {1, 2, 3} হয়, তবে এখানে A ⊂ B।
তাদের ছেদ সেট হবে A ∩ B = {1, 2}, যা A সেটের সমান।

১৩

Q = {x | x, 12 এর গুণনীয়ক} হলে, নিচের কোনটি Q সেটের তালিকা রূপ?

ক) {1, 2, 3, 4, 6, 12} খ) {1, 2, 3, 6, 12} গ) {2, 3, 4, 6, 12} ঘ) {1, 2, 4, 6, 12}

ব্যাখ্যা (Explanation)

এখানে সেটটি সেট গঠন পদ্ধতিতে দেওয়া আছে, যার অর্থ হলো "Q একটি সেট, যার উপাদান x এবং x হলো 12-এর গুণনীয়ক"।
কোনো সংখ্যার গুণনীয়ক হলো সেই সব সংখ্যা যা দ্বারা ওই সংখ্যাটিকে নিঃশেষে ভাগ করা যায়।

12-এর গুণনীয়কগুলো হলো:
12 ÷ 1 = 12
12 ÷ 2 = 6
12 ÷ 3 = 4
12 ÷ 4 = 3
12 ÷ 6 = 2
12 ÷ 12 = 1

সুতরাং, 12-এর গুণনীয়কগুলো হলো 1, 2, 3, 4, 6 এবং 12।
এই উপাদানগুলো নিয়ে গঠিত তালিকা পদ্ধতির সেটটি হবে: Q = {1, 2, 3, 4, 6, 12}।

১৪

A = {a, b} এবং B = {c, d} হলে, A x B নিচের কোনটি?

ক) {a, b, c, d} খ) {(a, b), (c, d)} গ) {(a, c), (b, d)} ঘ) {(a, c), (a, d), (b, c), (b, d)}

ব্যাখ্যা (Explanation)

A x B দ্বারা A এবং B সেটের কার্তেসীয় গুণজ (Cartesian Product) বোঝানো হয়। এটি এমন একটি সেট যা ক্রমজোড় (ordered pairs) নিয়ে গঠিত। প্রতিটি ক্রমজোড়ের প্রথম উপাদানটি প্রথম সেট (A) থেকে এবং দ্বিতীয় উপাদানটি দ্বিতীয় সেট (B) থেকে আসে।

গঠন প্রক্রিয়া:
- A সেটের প্রথম উপাদান a নিয়ে B সেটের প্রতিটি উপাদানের সাথে জোড়া তৈরি করি: (a, c), (a, d)
- A সেটের দ্বিতীয় উপাদান b নিয়ে B সেটের প্রতিটি উপাদানের সাথে জোড়া তৈরি করি: (b, c), (b, d)

এই সব ক্রমজোড় নিয়ে গঠিত সেটটিই হলো A x B।
সুতরাং, A x B = {(a, c), (a, d), (b, c), (b, d)}।

১৫

যদি U = {1, 2, 3, 4, 5, 6} এবং A = {1, 3, 5} হয়, তবে A' = ?

ক) {1, 3, 5} খ) {2, 4, 6} গ) {1, 2, 3, 4, 5, 6} ঘ) {2, 3, 4, 5, 6}

ব্যাখ্যা (Explanation)

A' (A-এর পরিপূরক) বলতে বুঝায়— Universal set U-এর সেই সব উপাদান যা A-তে নেই।
অর্থাৎ,
A' = U - A

এখন,
U = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
A = {1, 3, 5}

তাহলে,
A' = {1, 2, 3, 4, 5, 6} - {1, 3, 5}
= {2, 4, 6}

১৬

কোনো সেটের উপাদান সংখ্যা n হলে, ঐ সেটের প্রকৃত উপসেটের সংখ্যা কত?

ক) 2ⁿ খ) n² গ) 2ⁿ - 1 ঘ) 2ⁿ + 1

ব্যাখ্যা (Explanation)

উপসেট (Subset):
- কোনো সেটের উপাদানগুলো নিয়ে যতগুলো নতুন সেট গঠন করা যায়, তাদের প্রত্যেকটিকে মূল সেটের উপসেট বলে।
- কোনো সেটের উপাদান সংখ্যা n হলে, তার মোট উপসেটের সংখ্যা হয় 2ⁿ।
- ফাঁকা সেট (∅) এবং মূল সেট নিজেও তার উপসেট।

প্রকৃত উপসেট (Proper Subset):
- মূল সেট ব্যতীত বাকি সব উপসেটকে প্রকৃত উপসেট বলা হয়।
- অর্থাৎ, একটি সেটের সকল উপসেটের মধ্য থেকে শুধু মূল সেটটিকে বাদ দিলেই প্রকৃত উপসেটগুলো পাওয়া যায়।

- যেহেতু মোট উপসেটের সংখ্যা 2ⁿ এবং এর মধ্যে একটি হলো মূল সেট নিজেই, তাই প্রকৃত উপসেটের সংখ্যা হবে 2ⁿ - 1।

১৭

A = {x : x মৌলিক সংখ্যা এবং x ≤ 7}, B = {x : x বিজোড় সংখ্যা এবং x < 8} হলে A ∩ B = ?

ক) {3, 5, 7} খ) {2, 3, 5, 7} গ) {1, 3, 5, 7} ঘ) {3, 5}

ব্যাখ্যা (Explanation)

প্রথমে সেট দুটিকে তালিকা পদ্ধতিতে প্রকাশ করতে হবে।

সেট A: ৭ বা তার চেয়ে ছোট মৌলিক সংখ্যাগুলো হলো 2, 3, 5, 7।
সুতরাং, A = {2, 3, 5, 7}।

সেট B: ৮-এর চেয়ে ছোট বিজোড় সংখ্যাগুলো হলো 1, 3, 5, 7।
সুতরাং, B = {1, 3, 5, 7}।

এখন, A এবং B সেটের ছেদ (A ∩ B) নির্ণয় করতে হবে, অর্থাৎ উভয় সেটের সাধারণ উপাদানগুলো খুঁজে বের করতে হবে।
A = {2, 3, 5, 7}
B = {1, 3, 5, 7}

উভয় সেটের সাধারণ উপাদানগুলো হলো 3, 5, এবং 7।
সুতরাং, A ∩ B = {3, 5, 7}।

১৮

A = {1, 2, 3}, B = {2, 4, 6} হলে, A ∪ B = ?

ক) {1, 2, 3, 4} খ) {2, 4, 6} গ) {1, 3, 4, 6} ঘ) {1, 2, 3, 4, 6}

ব্যাখ্যা (Explanation)

দুটি সেটের সংযোগ (Union, ∪) বলতে ওই সেট দুটির সকল উপাদান নিয়ে গঠিত নতুন একটি সেটকে বোঝায়, যেখানে কোনো উপাদানের পুনরাবৃত্তি হয় না।
সেট A: {1, 2, 3}
সেট B: {2, 4, 6}

A এবং B সেটের সকল উপাদান বের করলে আমরা পাই: 1, 2, 3, 2, 4, 6।
যেহেতু সেটে একই উপাদান একাধিকবার লেখা হয় না, তাই '2' কে একবার লিখব।
সুতরাং, সংযোগ সেটটি হবে A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 6}।

১৯

A = {x | x স্বাভাবিক সংখ্যা এবং x ≤ 5} হলে, P(A) এর উপাদান সংখ্যা কত?

ক) 25 খ) 32 গ) 16 ঘ) 64

ব্যাখ্যা (Explanation)

প্রথমে সেট A-কে তালিকা পদ্ধতিতে প্রকাশ করি।
"x স্বাভাবিক সংখ্যা এবং x ≤ 5" এর অর্থ হলো ৫ বা তার চেয়ে ছোট সকল স্বাভাবিক সংখ্যা।
সুতরাং, A = {1, 2, 3, 4, 5}।

এখন, A সেটের উপাদান সংখ্যা, n(A) = 5।

কোনো সেটের শক্তি সেট (Power Set, P(A)) হলো ঐ সেটের সকল উপসেট নিয়ে গঠিত একটি সেট। শক্তি সেটের উপাদান সংখ্যা নির্ণয়ের সূত্র হলো 2ⁿ, যেখানে n হলো মূল সেটের উপাদান সংখ্যা।

এখানে n = 5,
সুতরাং, P(A)-এর উপাদান সংখ্যা হবে = 2⁵ = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 32।

২০

C = {x : x ঋণাত্মক পূর্ণসংখ্যা এবং x² < 18}; C সেটের উপাদানগুলো হবে-

ক) 1, 2, 3, 4 খ) 1, 3, 5, 7 গ) -2, -4, -6, -8 ঘ) -1, -2, -3, -4

ব্যাখ্যা (Explanation)

C সেটের উপাদানগুলো হবে সেইসব ঋণাত্মক পূর্ণসংখ্যা (negative integers) যাদের বর্গ 18 এর চেয়ে ছোট।
আমরা প্রতিটি ঋণাত্মক পূর্ণসংখ্যার বর্গ করে দেখি:
(-1)² = 1 (যা 18 এর চেয়ে ছোট)
(-2)² = 4 (যা 18 এর চেয়ে ছোট)
(-3)² = 9 (যা 18 এর চেয়ে ছোট)
(-4)² = 16 (যা 18 এর চেয়ে ছোট)
(-5)² = 25 (যা 18 এর চেয়ে বড়)
সুতরাং, যে ঋণাত্মক পূর্ণসংখ্যাগুলোর বর্গ 18 এর চেয়ে ছোট, সেগুলো হলো -1, -2, -3, এবং -4।
অতএব, C = {-1, -2, -3, -4}।
সঠিক উত্তর হলো D) -1, -2, -3, -4।

২১

U = {1, 2, 3, 4, 5, 6} এবং A= {1, 2, 5} হলে A' এর মান কত?

ক) {1, 3, 4} খ) {2, 4, 6} গ) {3, 4, 6} ঘ) {3, 5, 6}

ব্যাখ্যা (Explanation)

দেওয়া আছে, 
U = {1, 2, 3, 4, 5, 6} এবং 
A = {1, 2, 5} 

∴ A' = U - A 
= {1, 2, 3, 4, 5, 6} - {1, 2, 5}
= {3, 4, 6}

২২

কোনো বিদ্যালয়ে একটি পরীক্ষায় ৭০% শিক্ষার্থী গণিতে এবং ৮০% শিক্ষার্থী বাংলায় পাশ করেছে । কিন্তু ১০% শিক্ষার্থী উভয় বিষয়ে ফেল করেছে । যদি উভয় বিষয়ে ৩৬০ জন শিক্ষার্থী পাস করে থাকে, তবে ঐ বিদ্যালয়ের কতজন শিক্ষার্থী দিয়েছে?

ক) ৫০০ জন খ) ৫৫০ জন গ) ৬০০ জন ঘ) ৬৫০ জন

Job Solutions

ব্যাখ্যা (Explanation)

প্রথমে ১টি বিষয়ে ফেলের হার বের করুন,কেননা উভয় বিষয়ে ফেলের হার দেয়া আছে ১০%।
তাই শুধু গণিতে ফেল ১০০ - ৭০ = ৩০% এবং শুধু বাংলায় ফেল = ১০০ - ৮০ = ২০%
মোট ফেল = ৩০ + ২০ - ১০ = ৪০%
তাহলে উভয় বিষয়ে পাশ হলো ১০০ - ৪০% = ৬০%

এই ৬০% = ৩৬০ জন কেননা, ৩৬০ জন হলো উভয় বিষয়ে মোট পাশ করা শিক্ষার্থী সংখ্যা।
এখন ১০০% এর মান হবে = ৩৬০×(১০০/৬০) = ৬০০ জন ।

২৩

A = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, B = {2, 3, 4, 6} এবং C = {1, 5, 6} হলে (A - B) ∪ C = কত?

ক) {2, 3, 4, 5, 6} খ) {1, 5, 6} গ) {1, 2, 3, 4, 5, 6} ঘ) {1, 5}

ব্যাখ্যা (Explanation)

দেওয়া আছে,
A = {1,2,3,4,5,6}
B = {2,3,4,6}
C = {1,5,6}

A−B = {1,5} (কারণ 1 এবং 5 A সেটে আছে কিন্তু B সেটে নেই)।

(A−B) ∪ C = {1,5} ∪ {1,5,6}
= {1,5,6}

২৪

একটি পরীক্ষায় ৬০% গণিতে এবং ৭০% ইংরেজিতে পাস করে। উভয় বিষয়ে ১৫% ফেল করলে উভয় বিষয়ে পাস করে-

ক) ৬০.০০% খ) ৪৫.০০% গ) ৩০.০০% ঘ) ৬৫.০০%

Job Solutions

ব্যাখ্যা (Explanation)

গণিতে ফেল করে = (১০০ - ৬০)% = ৪০% 

          শুধু  "       "      "  = (৪০ - ১৫)% = ২৫% 

           ইংরেজিতে ফেল করে = (১০০ - ৭০)% = ৩০% 

        শুধু   "          "      "  = (৩০ - ১৫)% = ১৫% 

     এক ও উভয় বিষয়ে ফেল = (২৫ + ১৫ + ১৫)% = ৫৫% 

              উভয় বিষয়ে পাশ করে = (১০০ - ৫৫)% = ৪৫%  

২৫

কোনো পরীক্ষায় পরীক্ষার্থীর ৭০% গণিত এবং ৬০% ইংরেজীতে পাশ করলো। উভয় বিষয়ে ৫০% পাশ করলে শতকরা কতজন উভয় বিষয়ে ফেল করলো?

ক) ২০ খ) ২৫ গ) ৪০ ঘ) কোনোটিই নয়

Job Solutions

ব্যাখ্যা (Explanation)

ধরি,
মোট পরীক্ষার্থী = 100 জন

দেওয়া আছে,
গণিতে পাশ করেছে = 70%
ইংরেজিতে পাশ করেছে = 60%
উভয় বিষয়ে পাশ করেছে = 50%

শুধু গণিতে পাশ করেছে = (70 - 50) = 20%
শুধু ইংরেজিতে পাশ করেছে = (60 - 50) = 10%
উভয় বিষয়ে পাশ করেছে = 50%

এখন, যারা উভয় বিষয়ে ফেল করেছে, তাদের শতকরা হার:
= 100% - (শুধু গণিতে পাশ + শুধু ইংরেজিতে পাশ + উভয় বিষয়ে পাশ)
= 100% - (20% + 10% + 50%)
= 100% - 80%
= 20%

অতএব, উভয় বিষয়ে ফেল করেছে = 20%

২৬

কোনো পরীক্ষায় পরীক্ষার্থীর ৮০% গণিত এবং ৭০% বাংলায় পাস করল। উভয় বিষয়ে পাস করল ৬০%। উভয় বিষয়ে শতকরা কতজন ফেল করল?

ক) ১৫ খ) ১২ গ) ১০ ঘ) ৯

Job Solutions প্রাইমারি

ব্যাখ্যা (Explanation)

শুধু গণিতে পাশ করে (৮০-৬০ )%=২০%
শুধু বাংলায় পাশ করে (৭০-৬০ )%=১০%
 
গণিতে বা বাংলায় অথবা উভয় বিষয়য়েই পাশ করে =(২০+১০+৬০)%=৯০%
∴  উভয় বিষয়য়ে ফেল করে (১০০-৯০)%=১০%

২৭

যদি A = {1, 2, 3, 4} এবং B = {3, 4, 5, 6} হয়, তাহলে A - (A ∩ B) এর মান কত?

ক) {1, 5} খ) {2, 3} গ) {1, 3} ঘ) {1, 2}

ব্যাখ্যা (Explanation)

A ∩ B = {3, 4}
A - (A ∩ B) = {1, 2, 3, 4} - {3, 4} = {1, 2}
A - B = {1, 2, 3, 4} - {3, 4, 5, 6} = {1, 2}

সুতরাং A - (A ∩ B) = A - B = {1, 2}

২৮

R = {x :x, 4 এর গুণিতক এবং x < 16 সেটটির তালিকায় প্রকাশিত রূপ কোনটি?

ক) {1,2,4} খ) {4,8,12} গ) {0,4,12,16} ঘ) {4,8,12,16}

ব্যাখ্যা (Explanation)

সেট R-এর শর্ত অনুযায়ী, x হলো 4 এর গুণিতক এবং x 16 এর থেকে ছোট অথবা সমান।

4 এর গুণিতক সংখ্যাগুলো হলো: 4, 8, 12, 16, 20, ...

যেহেতু x এর মান 16 এর থেকে ছোট হতে হবে (x < 16), তাই আমরা 16 এবং তার পরবর্তী গুণিতকগুলো বাদ দেব।

সুতরাং, সেট R-এর তালিকাভুক্ত রূপ হবে: {4, 8, 12, 16}।

২৯

যদি A = {x : x হলো 5, 7 দ্বারা বিভাজ্য এবং x < 150} হয় তবে P(A) এর সদস্য সংখ্যা কত?

ক) 8 খ) 12 গ) 14 ঘ) 16

বিসিএস

ব্যাখ্যা (Explanation)

দেওয়া আছে,
A = {x : x হলো 5, 7 দ্বারা বিভাজ্য এবং x < 150}
বা, A = {35, 70, 105, 140}
A সেটের উপাদান সংখ্যা 4টি।
আমরা জানি,
কোনো সেটের সদস্য সংখ্যা n হলে উপসেট সংখ্যা = 2ⁿ
সুতরাং, P(A) = 2⁴ = 16

৩০

একটি শ্রেণীতে ৪০ জন ছাত্র আছে। তাদের মধ্যে ২৫ জন ইংরেজি এবং ২০ জন বাংলা পড়তে পারে। যদি ১০ জন ছাত্র উভয় ভাষাই পড়তে পারে, তবে কতজন ছাত্র ইংরেজি বা বাংলা কোনোটিই পড়তে পারে না?

ক) ৫ জন খ) ১০ জন গ) ১২ জন ঘ) ১৫ জন

ব্যাখ্যা (Explanation)

ধরি, E হলো ইংরেজি পড়তে পারা ছাত্রদের সেট এবং
B হলো বাংলা পড়তে পারা ছাত্রদের সেট।

দেওয়া আছে, ∣E∣=25, ∣B∣=20 এবং ∣E∩B∣=10.

ইংরেজি অথবা বাংলা পড়তে পারা ছাত্রদের সেট হলো E∪B, এবং এর উপাদান সংখ্যা:
∣E∪B∣=∣E∣+∣B∣−∣E∩B∣
       =25+20−10
       =35

যে সকল ছাত্র ইংরেজি বা বাংলা কোনোটিই পড়তে পারে না, তারা E∪B সেটের বাইরে অবস্থিত। সুতরাং, তাদের সংখ্যা হলো সার্বিক সেট U থেকে E∪B এর উপাদান সংখ্যা বাদ দিলে পাওয়া যায়।

সুতরাং, নির্ণেয় ছাত্র সংখ্যা = ∣U∣−∣E∪B∣
                                =40−35
                                =5.