বাস্তব সংখ্যা (376 টি প্রশ্ন )
 Back to Subject Page   All Topics

প্রথম ৫টি মৌলিক সংখ্যা হলো: ২, ৩, ৫, ৭, ১১

এদের যোগফল: ২ + ৩ + ৫ + ৭ + ১১ = ২৮
যে সংখ্যাকে p/q  আকারে প্রকাশ করা যায় না, যেখানে p ও q পূর্ণসংখ্যা এবং q ≠ 0, সে সংখ্যাকে অমূলদ সংখ্যা বলা হয়।
পূর্ণবর্গ নয় এরূপ যে কোনাে স্বাভাবিক সংখ্যার বর্গমূল কিংবা তার ভগ্নাংশ একটি অমূলদ সংখ্যা।

এখানে,
√৭২ = √(৩৬ × ২) = √(2 × ৬২) = ৬√২; যা ভগ্নাংশ আকারে লেখা যায় না তাই অমূলদ সংখ্যা।

ক্ষুদ্রতম সংখ্যাটি = ক
বৃহত্তম সংখ্যাটি = ক + ১

প্রশ্নমতে,
(ক + ১)২ - ক২ = ১৫৫
বা, ক২+ ২ক + ১ - ক২ = ১৫৫
বা, ২ক = ১৫৫ - ১
বা, ২ক = ১৫৪
বা, ক = ৭৭

∴ বৃহত্তম সংখ্যাটি = ক + ১
= ৭৭ + ১ = ৭৮

4x2 + 4x + 1 = 0 কে ax2 + bx + c = 0 সমীকরণের সাথে তুলনা করে পাই, 
a = 4, b = 4, c = 1

নিশ্চায়ক = b2 - 4ac
= 42 - (4 × 4 × 1)
= 16 - 16
= 0

নিশ্চায়ক শূন্য হলে, মূলদ্বয় বাস্তব এবং সমান হয়।
অতএব, মূলদ্বয় বাস্তব ও সমান।
এটি একটি পাটিগণিত ধারা। যার প্রথম পদ (a) হলো ৪৮, কারণ ৪৮ সংখ্যাটি ৩ দ্বারা বিভাজ্য (৪৮=৩×১৬)। শেষ পদ (l) হলো ৯৯, কারণ ৯৯ সংখ্যাটি ৩ দ্বারা বিভাজ্য (৯৯=৩×৩৩) এবং ১০০ এর মধ্যে সবচেয়ে বড় ৩ এর গুণিতক। সাধারণ অন্তর (d) হলো ৩, কারণ আমরা ৩ এর গুণিতক নির্ণয় করছি।
যেখানে,
n = পদসংখ্যা (আমরা যা নির্ণয় করতে চাই)
l = শেষ পদ = ৯৯
a = প্রথম পদ = ৪৮
d = সাধারণ অন্তর = ৩

আমরা জানি,
n = (l−a)/d + ১
= (৯৯-৪৮)/৩ + ১
= ৫১/৩ + ১
= ১৭ + ১
= ১৮

অর্থাৎ, ৪৮ থেকে ১০০ পর্যন্ত ৩ এর গুণিতক সংখ্যা হলো ১৮টি।
৬৩০০ = ৬৩ × ১০০
= ৯ × ৭ × ১০০
= ৩² × ৭ × ১০²
= ৩² × ১০² × ৭
= ৩² × (২ × ৫)² × ৭
= ৩² × ২² × ৫² × ৭
অর্থাৎ ৬৩০০ = ২² × ৩² × ৫² × ৭¹

একটি সংখ্যা পূর্ণবর্গ হওয়ার জন্য এর সব মৌলিক উৎপাদকের ঘাত জোড় সংখ্যা হতে হবে।

৬৩০০ কে পূর্ণবর্গ বানাতে হলে ৭ এর ঘাত জোড় করতে হবে। যেহেতু ৭¹ আছে, তাই ৭ দিয়ে ভাগ করলে ৭ এর ঘাত ০ হবে (যা জোড়)।
৬৩০০ ÷ ৭ = ৯০০ = ২² × ৃ² × ৫² = (২ × ৩ × ৫)² = ৩০²
তাই ৬৩০০ কে ৭ দিয়ে ভাগ করলে ৯০০ পাওয়া যাবে, যা ৩০ এর পূর্ণবর্গ।
২০১৭২ সংখ্যক সৈন্যকে বর্গাকারে সাজাতে গিয়ে ৮ জন অতিরিক্ত হয়

তাহলে , সৈন্য বর্গাকারে সাজানো হয় = (২০১৭২ - ৮)জন = ২০১৬৪ জন

২০১৬৪ এর বর্গমূল = ১৪২ তাহলে, সারি ১৪২ টি
ধরি, সংখ্যাটি হল x
সংখ্যাটির অর্ধেক = x/2
সংখ্যাটির এক-তৃতীয়াংশ = x/3

প্রশ্নমতে,
x/2 = x/3 + 21
​বা, x/2 - x/3 = 21
বা, (3x - 2x)/6 = 21
বা, x/6 = 21
বা, x = 126
- ১ থেকে ১০০ পর্যন্ত মৌলিক সংখ্যা ২৫ট।
- সংখ্যা গুলো হলোঃ (২, ৩, ৫, ৭, ১১, ১৩, ১৭, ১৯, ২৩, ২৯, ৩১, ৩৭, ৪১, ৪৩, ৪৭, ৫৩, ৫৯, ৬১, ৬৭, ৭১, ৭৩, ৭৯, ৮৩, ৮৯, ৯৭)। 
- ৪৩ থেকে ৬০ এর মধ্যে মৌলিক সংখ্যার সংখ্যা ৪টি। 

ফ্রিতে ২ লাখ প্রশ্নের টপিক, সাব-টপিক ভিত্তিক ও ১০০০+ জব শুলুশন্স বিস্তারিতে ব্যাখ্যাসহ পড়তে ও আপনার পড়ার ট্র্যাকিং রাখতে সাইটে লগইন করুন।

লগইন করুন
৩ এর প্রথম পাচঁটি বিজোড় গুণিতক = ৩, ৯, ১৫, ২১, ২৭
সংখ্যাগুলোর যোগফল = ৩ + ৯ + ১৫ +২১ + ২৭
= ৭৫

নির্ণেয় গড় = ৭৫/৫
= ১৫
১ থেকে ৯৬ পর্যন্ত ৪ দ্বারা বিভাজ্য সংখ্যা আছে = ৯৬/৪ = ২৪ টি ।
কিন্তু এর মধ্যে ৪ ও ৮ আছে যা , ৪ দ্বার বিভাজ্য ।

∴ ১২ ও ৯৬ এর মধ্যে ৪ দ্বারা বিভাজ্য সংখ্যা = ২৪ - ২ = ২২ টি
কোন সংখ্যার অঙ্কদ্বয়ের যোগফল ৩ দ্বারা বিভাজ্য হলে , প্রদত্ত সংখ্যাটি ৩ দ্বারা বিভাজ্য হবে।
এখানে, 
১২৬ এ ১ + ২ + ৬ = ৯, যা ৩ দ্বারা বিভাজ্য
১৪১ এ ১ + ৪ + ১ = ৬, যা ৩ দ্বারা বিভাজ্য
৩২৪ এ ৩ + ২ + ৪ = ৯, যা ৩ দ্বারা বিভাজ্য
১৩৯ এ ১ + ৩ + ৯ = ১৩, যা ৩ দ্বারা বিভাজ্য নয়
সমাধান: যে কোনো ২ অংক বিশিষ্ট সংখ্যা এবং তার একক সংখ্যার বিয়োগফল সর্বদা ৯ দ্বারা বিভাজ্য। এখানে, ৭৫ সংখ্যাটির বিপরীত ৫৭। ৭৫- ৫৭= ১৮
আবার, ১৮ ÷ ৯ = ২
∴ ঘ অপশনটি ৯ দ্বারা বিভাজ্য
ধরি,
m = 3,
n = 5

mn = 3 × 5 = 15
mn + 1 = 15 + 1 = 16
mn + 2 = 15 + 2 = 17
mn + 4 = 15 + 4 = 19

ধরি, P = 2, Q = 4 এবং R = 3
-অপশন a) তে আছে, P × Q = 2 × 4 = 8 হবে । 
-অপশন b) তে আছে, P × R = 2×3 = 6 হবে । 
-অপশন c) তে আছে, RQ/P=(3×4)/2 = 6 হবে ।

-কিন্তু, অপশন d) তে আছে, R/P = 3/2 হবে না । তাই এটি উত্তর ।

 ২। ৩৬ 

 ২। ১৮  

 ৩। ৯   

 ৩ 

 ৩৬ = ২২ * ৩২   

 ৩৬ সংখ্যাটির মোট ভাজক সংখ্যা { (২ + ১) * (২ + ১) } টি  = ৯টি 
৭২
= ১ × ৭২
= ২ × ৩৬
= ৩ × ২৪
= ৪ × ১৮
= ৬ × ১২
= ৮ × ৯

৭২ এর ভাজকসমূহ
১, ২, ৩, ৪, ৬, ৮, ৯, ১২, ১৮, ২৪, ৩৬, ৭২

∴ মোট ভাজক সংখ্যা ১২টি

ফ্রিতে ২ লাখ প্রশ্নের টপিক, সাব-টপিক ভিত্তিক ও ১০০০+ জব শুলুশন্স বিস্তারিতে ব্যাখ্যাসহ পড়তে ও আপনার পড়ার ট্র্যাকিং রাখতে সাইটে লগইন করুন।

লগইন করুন
দুটি ক্রমিক পূর্ণসংখ্যার বর্গ 4²=16 ও 5²=25
বর্গের অন্তর  ২৫-১৬
                     =৯
ছোট সংখ্যা = (বর্গের অন্তর - ১)/২ 
= (৩৭ - ১)/২ 
= ৩৬/২ 
= ১৮

আবার, 
বড় সংখ্যা = (বর্গের অন্তর + ১)/২ 
= (৩৭ + ১)/২ 
= ৩৮/২ 
= ১৯ 

∴ সংখ্যা দুটি = ১৮, ১৯।
ধরি, সংখ্যাটি x
প্রশ্নমতে,
x × 30% + 112 = x
⇒ 0.30x + 112 = x
⇒ 112 = x − 0.30x
⇒ 112 = (1−0.30)x
⇒ 112 = 0.70x
⇒ x = 112/0.70
⇒ x = 160

সুতরাং, সংখ্যাটি হলো ১৬০।
তিনটি ক্রমিক বিজোড় সংখ্যার মধ্যে অবশ্যই একটি সংখ্যা ৩ দ্বারা বিভাজ্য হবে। এজন্য সংখ্যা তিনটির গুণফল অবশ্যই ৩ দ্বারা বিভাজ্য হবে। 
তিনটি স্বাভাবিক  ক্রমিক সংখ্যার মধ্যে কমপক্ষে একটি জোড় সংখ্যা থাকবে। এজন্য তিনটি স্বাভাবিক ক্রমিক সংখ্যার গুনফল অবশ্যই ২ দ্বারা বিভাজ্য হবে।
যেমনঃ তিনটি ক্রমিক সংখ্যা ৩, ৪, ৫ এবং তাদের গুনফল ৬০ যা ২ দ্বারা বিভাজ্য। 
ধরি, সবথেকে ছোট সংখ্যাটি x

তাহলে অপর সংখ্যা দুটি (x+2) এবং (x+4)

প্রশ্নমতে,  (x+4)*3 - 40 = x
⇒ 3x + 12 -40 = x
⇒ 2x = 40 - 12
⇒ x = 28/2 = 14
⇒ x = 14
∴ বৃহত্তম সংখ্যাটি, x + 4 = 14 + 4 = 18  
 
মনে করি সংখ্যাত্রয় যথাক্রমে ,x,x+১,x+২
অতএব, x+x+১+x+২=৩০
          বা৩x+৩=৩০
           বা,৩x=২৭
          বা ,x=৯
অতএব ,বড় সংখ্যাটি ৯+২=১১
অপর সংখ্যাটি = ২৪-১৩ = ১১
ধরি ,সংখ্যাগুলো x-২ ,x-১,x,x+১,x+২ x-২+x-১+x+x+১+x+২
                     বা , ৫x =১০০
                     বা x =২০
∴  প্রথম সংখ্যা =২০-২=১৮
শেষ সংখ্যা  =২০+২=২২
∴  সংখ্যা দুটির গুনফল = (১৮×২২)=৩৯৬
মনেকরি, সংখ্যা তিনটি = x, x + ১, x + ২
প্রশ্নমতে, x + x + ১ + x + ২ = ৩৩
⇒ ৩x+৩ = ৩০
⇒ ৩x = ৩৩
⇒ x = ১০
সংখ্যা তিনটি ১০, ১১, ১২

ফ্রিতে ২ লাখ প্রশ্নের টপিক, সাব-টপিক ভিত্তিক ও ১০০০+ জব শুলুশন্স বিস্তারিতে ব্যাখ্যাসহ পড়তে ও আপনার পড়ার ট্র্যাকিং রাখতে সাইটে লগইন করুন।

লগইন করুন
মনে করি ,
সংখ্যা ৫টি যথাক্রমে x,x+১,x+২,x+৩,x+৪
প্রশ্নমতে ,x+x+১+x+২+x+৩+x+৪
বা, ৫x+১০=৫৫৫
বা ,৫x=৫৪৫
বা,x=১০৯
অতএব ,সবেচেয়ে বড় সংখ্যাটি =১০৯+৪=১১৩


সঠিক উত্তর: 0 | ভুল উত্তর: 0