যে সংখ্যাকে p/q আকারে প্রকাশ করা যায় না, যেখানে p ও q পূর্ণসংখ্যা এবং q ≠ 0, সে সংখ্যাকে অমূলদ সংখ্যা বলা হয়। পূর্ণবর্গ নয় এরূপ যে কোনাে স্বাভাবিক সংখ্যার বর্গমূল কিংবা তার ভগ্নাংশ একটি অমূলদ সংখ্যা।
এখানে, √৭২ = √(৩৬ × ২) = √(2 × ৬২) = ৬√২; যা ভগ্নাংশ আকারে লেখা যায় না তাই অমূলদ সংখ্যা।
এটি একটি পাটিগণিত ধারা। যার প্রথম পদ (a) হলো ৪৮, কারণ ৪৮ সংখ্যাটি ৩ দ্বারা বিভাজ্য (৪৮=৩×১৬)। শেষ পদ (l) হলো ৯৯, কারণ ৯৯ সংখ্যাটি ৩ দ্বারা বিভাজ্য (৯৯=৩×৩৩) এবং ১০০ এর মধ্যে সবচেয়ে বড় ৩ এর গুণিতক। সাধারণ অন্তর (d) হলো ৩, কারণ আমরা ৩ এর গুণিতক নির্ণয় করছি। যেখানে, n = পদসংখ্যা (আমরা যা নির্ণয় করতে চাই) l = শেষ পদ = ৯৯ a = প্রথম পদ = ৪৮ d = সাধারণ অন্তর = ৩
আমরা জানি, n = (l−a)/d + ১ = (৯৯-৪৮)/৩ + ১ = ৫১/৩ + ১ = ১৭ + ১ = ১৮
অর্থাৎ, ৪৮ থেকে ১০০ পর্যন্ত ৩ এর গুণিতক সংখ্যা হলো ১৮টি।
৬৩০০ = ৬৩ × ১০০ = ৯ × ৭ × ১০০ = ৩² × ৭ × ১০² = ৩² × ১০² × ৭ = ৩² × (২ × ৫)² × ৭ = ৩² × ২² × ৫² × ৭ অর্থাৎ ৬৩০০ = ২² × ৩² × ৫² × ৭¹
একটি সংখ্যা পূর্ণবর্গ হওয়ার জন্য এর সব মৌলিক উৎপাদকের ঘাত জোড় সংখ্যা হতে হবে।
৬৩০০ কে পূর্ণবর্গ বানাতে হলে ৭ এর ঘাত জোড় করতে হবে। যেহেতু ৭¹ আছে, তাই ৭ দিয়ে ভাগ করলে ৭ এর ঘাত ০ হবে (যা জোড়)। ৬৩০০ ÷ ৭ = ৯০০ = ২² × ৃ² × ৫² = (২ × ৩ × ৫)² = ৩০² তাই ৬৩০০ কে ৭ দিয়ে ভাগ করলে ৯০০ পাওয়া যাবে, যা ৩০ এর পূর্ণবর্গ।
- ১ থেকে ১০০ পর্যন্ত মৌলিক সংখ্যা ২৫ট। - সংখ্যা গুলো হলোঃ (২, ৩, ৫, ৭, ১১, ১৩, ১৭, ১৯, ২৩, ২৯, ৩১, ৩৭, ৪১, ৪৩, ৪৭, ৫৩, ৫৯, ৬১, ৬৭, ৭১, ৭৩, ৭৯, ৮৩, ৮৯, ৯৭)। - ৪৩ থেকে ৬০ এর মধ্যে মৌলিক সংখ্যার সংখ্যা ৪টি।
ফ্রিতে ২ লাখ প্রশ্নের টপিক, সাব-টপিক ভিত্তিক ও ১০০০+ জব শুলুশন্স বিস্তারিতে ব্যাখ্যাসহ পড়তে ও আপনার পড়ার ট্র্যাকিং রাখতে সাইটে লগইন করুন।
কোন সংখ্যার অঙ্কদ্বয়ের যোগফল ৩ দ্বারা বিভাজ্য হলে , প্রদত্ত সংখ্যাটি ৩ দ্বারা বিভাজ্য হবে। এখানে, ১২৬ এ ১ + ২ + ৬ = ৯, যা ৩ দ্বারা বিভাজ্য ১৪১ এ ১ + ৪ + ১ = ৬, যা ৩ দ্বারা বিভাজ্য ৩২৪ এ ৩ + ২ + ৪ = ৯, যা ৩ দ্বারা বিভাজ্য ১৩৯ এ ১ + ৩ + ৯ = ১৩, যা ৩ দ্বারা বিভাজ্য নয়
সমাধান: যে কোনো ২ অংক বিশিষ্ট সংখ্যা এবং তার একক সংখ্যার বিয়োগফল সর্বদা ৯ দ্বারা বিভাজ্য। এখানে, ৭৫ সংখ্যাটির বিপরীত ৫৭। ৭৫- ৫৭= ১৮ আবার, ১৮ ÷ ৯ = ২ ∴ ঘ অপশনটি ৯ দ্বারা বিভাজ্য
দেওয়া আছে, m ও n হলো দুইটি বিজোড় সংখ্যা। আমরা জানি, দুইটি বিজোড় সংখ্যার গুণফল সর্বদা একটি বিজোড় সংখ্যা হয়। যেহেতু, m ও n উভয়ই বিজোড়, তাহলে, mn = একটি বিজোড় সংখ্যা।
এখন অপশনগুলো যাচাই করি: option 1: mn = বিজোড় সংখ্যা। option 2: mn + 1 = বিজোড় সংখ্যা + 1 = জোড় সংখ্যা। [যেমন: ৩ + ১ = ৪] option 3: mn + 2 = বিজোড় সংখ্যা + 2 = বিজোড় সংখ্যা। [যেমন: ৩ + ২ = ৫] option 4: mn + 4 = বিজোড় সংখ্যা + 4 = বিজোড় সংখ্যা। [যেমন: ৩ + ৪ = ৭]
যেহেতু mn একটি বিজোড় সংখ্যা এবং বিজোড় সংখ্যার সাথে 1 যোগ করলে পরবর্তী জোড় সংখ্যাটি পাওয়া যায়, তাই mn + 1 একটি জোড় সংখ্যা। সুতরাং, সঠিক উত্তর হলো mn + 1।
শর্টকাট টেকনিক: ধরি, দুইটি বিজোড় সংখ্যা m = 3 এবং n = 1 তাহলে, mn = 3 × 1 = 3 এখন অপশনগুলো দেখি: 1. mn = 3 (বিজোড়) 2. mn + 1 = 3 + 1 = 4 (জোড়) 3. mn + 2 = 3 + 2 = 5 (বিজোড়) 4. mn + 4 = 3 + 4 = 7 (বিজোড়) শুধুমাত্র অপশন (2)-এর মান জোড় এসেছে। তাই সঠিক উত্তর mn + 1।
মনে করি, ক্রমিক সংখ্যা দুটি যথাক্রমে x এবং (x + 1)
প্রশ্নমতে, (x + 1)² - x² = 37 বা, x² + 2x + 1 - x² = 37 [∵ (a + b)² = a² + 2ab + b² সূত্র প্রয়োগ করে] বা, 2x + 1 = 37 বা, 2x = 37 - 1 বা, 2x = 36 বা, x = 36 / 2 বা, x = 18 অতএব, ছোট সংখ্যাটি = 18 এবং বড় সংখ্যাটি = 18 + 1 = 19 সুতরাং, সংখ্যা দুটি ১৮ ও ১৯।
বিকল্প পদ্ধতি (শর্টকাট টেকনিক): দুটি ক্রমিক সংখ্যার বর্গের অন্তর দেওয়া থাকলে সংখ্যা দুটি বের করার নিয়ম হলো: বড় সংখ্যা = (বর্গের অন্তর + ১) ÷ ২ = (৩৭ + ১) ÷ ২ = ৩৮ ÷ ২ = ১৯
ছোট সংখ্যা = (বর্গের অন্তর - ১) ÷ ২ = (৩৭ - ১) ÷ ২ = ৩৬ ÷ ২ = ১৮
ফ্রিতে ২ লাখ প্রশ্নের টপিক, সাব-টপিক ভিত্তিক ও ১০০০+ জব শুলুশন্স বিস্তারিতে ব্যাখ্যাসহ পড়তে ও আপনার পড়ার ট্র্যাকিং রাখতে সাইটে লগইন করুন।
দেওয়া আছে, দুইটি ক্রমিক স্বাভাবিক বিজোড় সংখ্যার যোগফল = ২৪ এবং একটি সংখ্যা = ১৩
আমরা জানি, দুইটি সংখ্যার যোগফল থেকে একটি সংখ্যা বিয়োগ করলে অপর সংখ্যাটি পাওয়া যায়। ∴ অপর সংখ্যাটি = (দুইটি সংখ্যার যোগফল − একটি সংখ্যা) = (২৪ − ১৩) = ১১ এখানে লক্ষনীয় যে, ১১ এবং ১৩ দুইটি ক্রমিক স্বাভাবিক বিজোড় সংখ্যা। অর্থাৎ, শর্তানুযায়ী ১১ ও ১৩ এর যোগফল (১১ + ১৩) = ২৪। সুতরাং, অপর সংখ্যাটি হলো ১১।
শর্টকাট টেকনিক: ক্রমিক বিজোড় সংখ্যাগুলোর মধ্যে পার্থক্য সব সময় ২ হয়। এখানে একটি সংখ্যা ১৩। যেহেতু যোগফল ২৪, তাই অপর সংখ্যাটি অবশ্যই ১৩ এর চেয়ে ছোট হবে। সুতরাং, ১৩ এর ঠিক আগের বিজোড় সংখ্যাটিই হবে নির্ণেয় সংখ্যা। ১৩ − ২ = ১১।
ধরি ,সংখ্যাগুলো x-২ ,x-১,x,x+১,x+২ x-২+x-১+x+x+১+x+২ বা , ৫x =১০০ বা x =২০ ∴ প্রথম সংখ্যা =২০-২=১৮ শেষ সংখ্যা =২০+২=২২ ∴ সংখ্যা দুটির গুনফল = (১৮×২২)=৩৯৬
✅চাকরি পরীক্ষার আপডেট ============================= ১। ২৩ তারিখের অফিসার জেনারেল পিছিয়ে ৩১ তারিখ বিকাল হবে ৩-৪টা।
✅ ১৯তারিখ থেকে ৫০তম বিসিএস ফুল মডলে টেস্ট ১০টি নেওয়া হবে।
✅প্রাইমারী, নিবন্ধন বা ১১তম-২০তম গ্রেডের যেকোনো চাকরি জন্য প্রশ্ন ব্যাংক লেগে থেকে শেষ করুন। অ্যাপ এর প্রশ্ন ব্যাংক থেকে ১০০% কমন আসবে। বাকি চাকরি পরীক্ষা জন্য ৭০%-৮০% কমন আসবে। আপনার চর্চার সময় আপনার ভুল প্রশ্ন, বুকমার্ক প্রশ্ন সব ডাটাবেজে জমা থাকে। মনে করুন বাংলা সাহিত্য ৪০০০ প্রশ্ন আছে, আপনি একবার ভালো করে পড়বেন, এর মধ্যে দেখবেন ৪০% প্রশ্ন আপনার জানা, যেগুলো কখনও ভুল হবে না, বাকি আছে ৬০%, এই প্রশ্নগুলো আলাদা বাটনে জমা হয়, যেগুলো আপনি ভুল করছেন, এখন এইগুলো ভালো করে রিভিশন দিন। এতে সহজে কম সময় প্রস্তুতি শেষ হবে। যারা একেবারে নতুন তারা জব শুলুশন্স বাটন দিয়ে শুরু করতে পারেন।
✅ব্যাংক নিয়োগ প্রস্তুতি'র লং কোর্স (রুটিনের জন্য পিডিএফ বাটন দেখুন) - পরীক্ষা শুরুঃ ১০ নভেম্বর। - মোট পরীক্ষাঃ ১২৮টি, - টপিক ভিত্তিকঃ ১১২টি, - রিভিশন পরীক্ষাঃ ২২টি, - Vocabulary রিভিশনঃ ৩বার
অ্যাপ এর হোম screen -এ পিডিএফ বাটন ক্লিক করুন, এখান থেকে রুটিন ডাউনলোড করতে পারবেন। রুটিনের তারিখ অনুযায়ী পরীক্ষা রাত ১২ থেকে ২৪ ঘণ্টার মধ্যে যেকোন সময় দিতে পারবেন, ফলাফল সাথে সাথে বিস্তারিত ব্যাখ্যাসহ দেওয়া হয়। missed পরীক্ষাগুলো আর্কাইভ থেকে দিতে পারবেন, তবে মেরিট লিস্ট আসবে না, মেরিট লিস্টে থাকতে হলে রুটিন অনুযায়ী নির্দিষ্ট তারিখে দিতে হবে। আর্কাইভ থেকে পরীক্ষা দিতে হলে ভিজিট করুনঃ অ্যাপ এর হোম স্ক্রীনে 'পরীক্ষার সেকশন' বাটনে ক্লিক করুন -> বিসিএস বাটন -> [ফ্রি কোর্স] ৫০তম বিসিএস প্রিলি ২২০ দিনের সেকশনের All Exam বাটন ক্লিক করুন -> এখান Upcoming, Expired ট্যাব পাবেন।
✅ প্রধান শিক্ষক প্রস্তুতি - লেকচারশীট ভিত্তিকঃ রুটিন আপলোড করা হয়েছে। পরীক্ষা শুরুঃ ১৫ আগস্ট। মোট পরীক্ষাঃ ৫৮টি
✅ আপকামিং রুটিনঃ
- ১০০ দিনের বিসিএস বিষয়ভিত্তিক প্রস্তুতি। - অগ্রদূত বাংলা বই অনুসারে বাংলা সাহিত্য ও ভাষা রুটিনে টপিক ও বইয়ের পৃষ্ঠা নম্বর উল্লেখ থাকবে।। - English মাস্টার বই অনুসারে রুটিনে টপিক ও বইয়ের পৃষ্ঠা নম্বর উল্লেখ থাকবে।
