একই বিষয়ের সব টপিক

• সরল সমীকরণ
• ঘন জ্যামিতি
• পরিমিতি
• এলিগেশন ও মিশ্রণ
• নৌকা ও স্রোত
• ট্রেন
• সরল ও যৌগিক মুনাফা
• রেখা ও কোণ
• বহুভুজ ও পীথাগোরাসের উপপাদ্য
• অসমতা
• সমান্তর ও গুণোওর ধারা
• অন্যান্য
• ত্রিভুজ
• বীজগাণিতিক সূত্রাবলী এবং প্রয়োগ
• বাস্তব সংখ্যা
• সূচক ও লগারিদম
• সম্ভাব্যতা
• পরিমাপ
• সাধারণ সমস্যা
• গড়
• বর্গ ও বর্গমূল
• ঐকিক নিয়ম
• চতুর্ভুজের পরিসীমা ও ক্ষেত্রফল
• ত্রিকোণমিতি ও এর প্রয়োগ
• রম্বস
• বৃত্ত
• চতুর্ভুজ
• দিক ও দূরত্ব
• সরলীকরণ
• সমাধান
• ফাংশন ও অন্বয়
• সেট ও ভেনচিত্র
• বিন্যাস ও সমাবেশ
• অনুপাত ও সমানুপাত
• উৎপাদকে বিশ্লেষণ
• ল সা গু ও গ সা গু
• সময় দূরত্ব ও গতিবেগ
• ধারা
• সুদকষা
• ভগ্নাংশ
• লাভ-ক্ষতি
• শতকরা
• সংখ্যা

১

যেকোনো তিনটি ক্রমিক স্বাভাবিক সংখ্যার গুণফল সর্বদাই কোন সংখ্যা দ্বারা বিভাজ্য?

ক) ৪ খ) ৫ গ) ৬ ঘ) ৮

ব্যাখ্যা (Explanation)

ধরি, যেকোনো তিনটি ক্রমিক স্বাভাবিক সংখ্যা হলো ক, ক+১ এবং ক+২।
যেকোনো তিনটি ক্রমিক স্বাভাবিক সংখ্যার মধ্যে অবশ্যই অন্তত একটি জোড় সংখ্যা (যা ২ দ্বারা বিভাজ্য) এবং ঠিক একটি সংখ্যা ৩ দ্বারা বিভাজ্য থাকে।
যেহেতু সংখ্যাগুলোর মধ্যে একটি ২ দ্বারা এবং একটি ৩ দ্বারা বিভাজ্য, তাই এদের গুণফল সর্বদা ২ × ৩ = ৬ দ্বারা নিঃশেষে বিভাজ্য হবে।
উদাহরণ হিসেবে পরপর তিনটি স্বাভাবিক সংখ্যা নিয়ে পরীক্ষা করা যাক:
- ১, ২, ৩ এর গুণফল: ১ × ২ × ৩ = ৬ (যা ৬ দ্বারা বিভাজ্য)।
- ২, ৩, ৪ এর গুণফল: ২ × ৩ × ৪ = ২৪ (যা ৬ দ্বারা বিভাজ্য)।
- ৩, ৪, ৫ এর গুণফল: ৩ × ৪ × ৫ = ৬০ (যা ৬ দ্বারা বিভাজ্য)।
অতএব, যেকোনো তিনটি ক্রমিক স্বাভাবিক সংখ্যার গুণফল সর্বদা ৬ দ্বারা নিঃশেষে বিভাজ্য।

শর্টকাট নিয়ম: যেকোনো 'n' সংখ্যক ক্রমিক স্বাভাবিক সংখ্যার গুণফল সর্বদা n! (ফ্যাক্টরিয়াল) দ্বারা বিভাজ্য। এখানে ৩টি সংখ্যার কথা বলা হয়েছে, তাই এটি ৩! = ৩ × ২ × ১ = ৬ দ্বারা বিভাজ্য হবে।
সঠিক উত্তর: অপশন 3: ৬

২

১৬ হতে ৩০ পর্যন্ত বিজোড় সংখ্যাগুলোর মধ্যক কত?

ক) ২১ খ) ২৩ গ) ২৪ ঘ) ২৫

ব্যাখ্যা (Explanation)

১৬ হতে ৩০ পর্যন্ত বিজোড় সংখ্যাগুলো হলো: ১৭, ১৯, ২১, ২৩, ২৫, ২৭, ২৯।
এখানে মোট বিজোড় সংখ্যার সংখ্যা, n = ৭ (যা একটি বিজোড় সংখ্যা)।

মধ্যক নির্ণয়ের নিয়ম অনুযায়ী, মোট পদ সংখ্যা (n) বিজোড় হলে:
মধ্যক = (n + ১)/২ তম পদ
= (৭ + ১)/২ তম পদ
= ৮/২ তম পদ
= ৪র্থ পদ

প্রদত্ত বিজোড় সংখ্যাগুলোর মধ্যে ৪র্থ পদটি হলো ২৩।

বিকল্প সংক্ষিপ্ত নিয়ম:
যেহেতু সংখ্যাগুলো ধারাবাহিক বিজোড় সংখ্যা, তাই এদের মধ্যক হবে প্রথম সংখ্যা ও শেষ সংখ্যার গড়।
মধ্যক = (১৭ + ২৯)/২ = ৪৬/২ = ২৩।

* সঠিক উত্তর: ২৩ (অপশন ২)
সোর্সঃ খাইরুল বেসিক গণিত

৩

৪৮ কে ন্যূনতম কত দ্বারা গুণ করলে গুণফল একটি পূর্ণবর্গ সংখ্যা হবে?

ক) ২ খ) ৩ গ) ৪ ঘ) ৬

ব্যাখ্যা (Explanation)

যেকোনো সংখ্যাকে পূর্ণবর্গ করতে হলে তার মৌলিক উৎপাদকগুলোকে জোড়ায় জোড়ায় থাকতে হয় ।
প্রথমে ৪৮ সংখ্যাটিকে মৌলিক উৎপাদকে বিশ্লেষণ করে পাই:
৪৮ = ২ × ২ × ২ × ২ × ৩ = ২⁴ × ৩
এখানে:
* ২ রয়েছে ৪ টি (যা ২ টি জোড়া গঠন করে: ২² × ২²)
* কিন্তু ৩ রয়েছে মাত্র ১ টি, অর্থাৎ ৩ হলো জোড়াবিহীন
কোনো সংখ্যাকে পূর্ণবর্গ করতে হলে জোড়াবিহীন উৎপাদককে জোড়ায় পরিণত করতে হয় ।
তাই ৪৮-কে ন্যূনতম ৩ দ্বারা গুণ করলে ৩-এর একটি জোড়া (৩ × ৩ = ৩²) তৈরি হবে এবং গুণফল (৪৮ × ৩ = ১৪৪ = ১২²) একটি পূর্ণবর্গ সংখ্যা হবে ।
* সঠিক উত্তর: ৩ (অপশন ২)

সোর্সঃ খাইরুল বেসিক গণিত

৪

যে কোনো পূর্ণবর্গ সংখ্যার মোট ভাজক সংখ্যা সর্বদাই কোন ধরনের সংখ্যা হয়?

ক) জোড় সংখ্যা খ) মৌলিক সংখ্যা গ) বিজোড় সংখ্যা ঘ) ভগ্নাংশ সংখ্যা

ব্যাখ্যা (Explanation)

যে কোনো পূর্ণবর্গ সংখ্যার মোট ভাজক সংখ্যা সর্বদাই বিজোড় সংখ্যা হয় ।
সাধারণ যেকোনো সংখ্যার ভাজক বা গুণনীয়কগুলো জোড়ায় জোড়ায় থাকে। যেমন: কোনো সংখ্যা n-এর একটি ভাজক a হলে, অপর ভাজকটি হবে n/a।
কিন্তু পূর্ণবর্গ সংখ্যার ক্ষেত্রে একটি ভাজক নিজেই নিজের সাথে জোড়া গঠন করে (যেমন: ১৬-এর ক্ষেত্রে ৪ × ৪ = ১৬)। ফলে সেই উৎপাদকটি একবারই গণনা করা হয় এবং মোট ভাজক সংখ্যা বিজোড় হয়।
গাণিতিক নিয়ম অনুযায়ী:
কোনো সংখ্যাকে মৌলিক উৎপাদকে প্রকাশ করার পর উৎপাদকগুলোর পাওয়ার বা ঘাতের সাথে ১ যোগ করে গুণ করলে মোট ভাজক সংখ্যা পাওয়া যায় ।
যেহেতু পূর্ণবর্গ সংখ্যার মৌলিক উৎপাদকের ঘাত বা পাওয়ার সর্বদা জোড় সংখ্যা হয়, তাই প্রতিটি পাওয়ারের সাথে ১ যোগ করলে তা বিজোড় সংখ্যায় রূপান্তরিত হয়। আর বিজোড় সংখ্যাগুলোর গুণফলও সর্বদাই একটি বিজোড় সংখ্যা হয়।
সহজ উদাহরণ:
১. ৯ একটি পূর্ণবর্গ সংখ্যা (৩²)। ৯-এর ভাজকগুলো হলো: ১, ৩, ৯। এখানে মোট ভাজক সংখ্যা = ৩টি (বিজোড় সংখ্যা) ।
২. ১৬ একটি পূর্ণবর্গ সংখ্যা (২⁴)। ১৬-এর ভাজকগুলো হলো: ১, ২, ৪, ৮, ১৬। এখানে মোট ভাজক সংখ্যা = ৫টি (বিজোড় সংখ্যা)।
অতএব, যেকোনো পূর্ণবর্গ সংখ্যার মোট ভাজক সংখ্যা সর্বদাই বিজোড় সংখ্যা হবে ।
সঠিক উত্তর: বিজোড় সংখ্যা
সোর্সঃ খাইরুল বেসিক গণিত

৫

একটি বৃত্তের পরিধি ও ব্যাসের অনুপাত কোন ধরনের সংখ্যা?

ক) মূলদ সংখ্যা খ) অমূলদ সংখ্যা গ) পূর্ণসংখ্যা ঘ) কাল্পনিক সংখ্যা

ব্যাখ্যা (Explanation)

ধরি, একটি বৃত্তের ব্যাসার্ধ r একক। তাহলে বৃত্তের পরিধি = 2πr এবং বৃত্তের ব্যাস = 2r ।
এখন, বৃত্তের পরিধি ও ব্যাসের অনুপাত = 2πr : 2r = 2πr / 2r = π ।
আমরা জানি, π (পাই) একটি অসীম অনাবৃত্ত দশমিক সংখ্যা, যার মান প্রায় 3.1415926... ।
যেহেতু π-এর মানকে দুটি পূর্ণসংখ্যার ভগ্নাংশ বা p/q আকারে প্রকাশ করা যায় না, তাই এটি একটি অমূলদ সংখ্যা ।
অতএব, বৃত্তের পরিধি ও ব্যাসের অনুপাত একটি অমূলদ সংখ্যা ।

* সঠিক উত্তর: অপশন 2 (অমূলদ সংখ্যা) ।
সোর্সঃ খাইরুল বেসিক গণিত

৬

ছয় অঙ্কের ক্ষুদ্রতম সংখ্যা এবং চার অঙ্কের বৃহত্তম সংখ্যার বিয়োগফল কত?

ক) ৮৯৯৯১ খ) ৯০০০১ গ) ৯০০১১ ঘ) ৯৯০০১

ব্যাখ্যা (Explanation)

ছয় অঙ্কের ক্ষুদ্রতম সংখ্যা নির্ণয় করার নিয়ম হলো ১ এর পর ৫টি ০ বসানো, অর্থাৎ ১০০০০০ ।
চার অঙ্কের বৃহত্তম সংখ্যা হলো ৪টি ৯, অর্থাৎ ৯৯৯৯ ।
এখন, ছয় অঙ্কের ক্ষুদ্রতম সংখ্যা থেকে চার অঙ্কের বৃহত্তম সংখ্যা বিয়োগ করলে পাওয়া যায়:
১০০০০০ - ৯৯৯৯ = ৯০০০১ ।
অতএব, সংখ্যা দুটির নির্ণেয় বিয়োগফল ৯০০০১ ।
সঠিক উত্তর: অপশন 2 (৯০০০১)
সোর্সঃ খাইরুল বেসিক গণিত

৭

যদি 'ক' এবং 'খ' উভয়ই জোড় সংখ্যা হয়, তবে নিচের কোনটি অবশ্যই বিজোড় সংখ্যা হবে?

ক) ২ক + খ + ২ খ) ক + ২খ + ৪ গ) ২ক + খ + ১ ঘ) ৩ক + খ + ২

ব্যাখ্যা (Explanation)

ধরি, 'ক' এবং 'খ' দুটি জোড় সংখ্যা । সহজ হিসাবের জন্য ধরি, ক = ২ এবং খ = ৪।
এখন প্রদত্ত অপশনগুলো পরীক্ষা করে পাই:
* অপশন ১: ২ক + খ + ২ = (২ × ২) + ৪ + ২ = ৪ + ৪ + ২ = ১০ (এটি একটি জোড় সংখ্যা)।
* অপশন ২: ক + ২খ + ৪ = ২ + (২ × ৪) + ৪ = ২ + ৮ + ৪ = ১৪ (এটি একটি জোড় সংখ্যা)।
* অপশন ৩: ২ক + খ + ১ = (২ × ২) + ৪ + ১ = ৪ + ৪ + ১ = ৯ (এটি একটি বিজোড় সংখ্যা)।
* অপশন ৪: ৩ক + খ + ২ = (৩ × ২) + ৪ + ২ = ৬ + ৪ + ২ = ১২ (এটি একটি জোড় সংখ্যা)।
গাণিতিক ব্যাখ্যা:
আমরা জানি, জোড় সংখ্যার সাথে যেকোনো সংখ্যা গুণ করলে গুণফল সর্বদা জোড় সংখ্যা হয় । তাই ২ক হলো একটি জোড় সংখ্যা।
আবার, দুটি জোড় সংখ্যার যোগফলও সর্বদা জোড় সংখ্যা হয় । ফলে (২ক + খ) রাশিটি একটি জোড় সংখ্যা হবে।
যেকোনো জোড় সংখ্যার সাথে ১ (বিজোড় সংখ্যা) যোগ করলে যোগফল অবশ্যই একটি বিজোড় সংখ্যা হয় ।
অতএব, ২ক + খ + ১ রাশিটি অবশ্যই একটি বিজোড় সংখ্যা হবে ।
* সঠিক উত্তর: অপশন ৩ (২ক + খ + ১)
সোর্সঃ খাইরুল বেসিক গণিত

৮

540 সংখ্যাটির মোট কতগুলো ভাজক রয়েছে?

ক) 16টি খ) 20টি গ) 24টি ঘ) 28টি

ব্যাখ্যা (Explanation)

বিস্তারিত সমাধান:
প্রথমে 540 এর মৌলিক উৎপাদকসমূহ বের করি,
540 = 2 × 270
       = 2 × 2 × 135
       = 2 × 2 × 3 × 45
       = 2 × 2 × 3 × 3 × 15
       = 2 × 2 × 3 × 3 × 3 × 5
       = 2² × 3³ × 5¹

ভাজক সংখ্যা নির্ণয়:
ভাজক সংখ্যা = মৌলিক উৎপাদকগুলোর সূচক বা পাওয়ারের সাথে 1 যোগ করে তাদের গুণফল।
∴ ভাজক সংখ্যা = (2 + 1) × (3 + 1) × (1 + 1)
                      = 3 × 4 × 2
                      = 24 টি।

৯

a যদি পূর্ণসংখ্যা হয় এবং b যদি অশূন্য পূর্ণসংখ্যা হয়, তবে a/b আকারের সংখ্যাকে কী বলা হয়?

ক) অমূলদ সংখ্যা খ) মূলদ সংখ্যা গ) স্বাভাবিক সংখ্যা ঘ) অবাস্তব সংখ্যা

ব্যাখ্যা (Explanation)

যে সংখ্যাকে দুটি পূর্ণসংখ্যার অনুপাত অর্থাৎ a/b আকারে প্রকাশ করা যায় (যেখানে a একটি পূর্ণসংখ্যা এবং b একটি অশূন্য পূর্ণসংখ্যা অর্থাৎ b ≠ 0), তাকে মূলদ সংখ্যা (Rational Number) বলা হয় ।

গাণিতিক শর্ত ও ব্যাখ্যা:
১. লব (a): যেকোনো পূর্ণসংখ্যা হতে পারে (যেমন: ধনাত্মক, ঋণাত্মক বা 0) ।
২. হর (b): যেকোনো অশূন্য পূর্ণসংখ্যা হতে হবে, অর্থাৎ b ≠ 0 হতে হবে। কারণ যেকোনো সংখ্যাকে 0 দ্বারা ভাগ করা অসংজ্ঞায়িত ।
৩. আকার (a/b): 3/5, -2/7, 5 (কারণ 5 = 5/1), 0 (কারণ 0 = 0/1) ইত্যাদি প্রতিটি সংখ্যাকে a/b আকারে প্রকাশ করা যায়, তাই এগুলো সবই মূলদ সংখ্যা ।

অন্যান্য অপশনগুলোর বিশ্লেষণ:
* অমূলদ সংখ্যা: যেসব সংখ্যাকে a/b আকারে প্রকাশ করা যায় না (যেমন: √2, π) সেগুলোকে অমূলদ সংখ্যা বলা হয় ।
* স্বাভাবিক সংখ্যা: 1, 2, 3, 4 ... ইত্যাদি ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যাগুলোকে স্বাভাবিক সংখ্যা বলে ।
* অবাস্তব সংখ্যা: ঋণাত্মক সংখ্যার বর্গমূলযুক্ত সংখ্যা (যেমন: √-1) হলো অবাস্তব বা কাল্পনিক সংখ্যা ।

অতএব, a যদি পূর্ণসংখ্যা হয় এবং b যদি অশূন্য পূর্ণসংখ্যা হয়, তবে a/b আকারের সংখ্যাকে মূলদ সংখ্যা বলা হয় ।
* সঠিক উত্তর: অপশন 2: মূলদ সংখ্যা
সোর্সঃ খাইরুল বেসিক গণিত

১০

১ থেকে ৩১ পর্যন্ত মোট কতটি মৌলিক সংখ্যা রয়েছে?

ক) ৯টি খ) ১০টি গ) ১১টি ঘ) ১২টি

ব্যাখ্যা (Explanation)

যেসব সংখ্যা ১-এর চেয়ে বড় এবং ১ ও ঐ সংখ্যা ছাড়া অন্য কোনো সংখ্যা দ্বারা নিঃশেষে বিভাজ্য নয়, সেগুলোকে মৌলিক সংখ্যা বলা হয় ।
১ থেকে ৩১ পর্যন্ত সংখ্যাগুলোর মধ্যে মৌলিক সংখ্যাগুলো নিচে পর্যায়ক্রমে হিসাব করা হলো:
* ১ থেকে ১০ পর্যন্ত (৪টি): ২, ৩, ৫, ৭ ।
* ১১ থেকে ২০ পর্যন্ত (৪টি): ১১, ১৩, ১৭, ১৯ ।
* ২১ থেকে ৩০ পর্যন্ত (২টি): ২৩, ২৯ ।
* ৩১ পর্যন্ত (১টি): ৩১ ।
সুতরাং, ১ থেকে ৩১ পর্যন্ত মোট মৌলিক সংখ্যার পরিমাণ = ৪ + ৪ + ২ + ১ = ১১টি ।
* সঠিক উত্তর: অপশন ৩ (১১টি)

সোর্সঃ খাইরুল বেসিক গণিত

১১

দুটি ক্রমিক স্বাভাবিক সংখ্যার বর্গের অন্তর ৪৭ হলে, বড় সংখ্যাটি কত?

ক) ২৩ খ) ২৪ গ) ২৫ ঘ) ২২

ব্যাখ্যা (Explanation)

ধরি, ছোট ক্রমিক স্বাভাবিক সংখ্যাটি x এবং বড় সংখ্যাটি x + ১।
প্রশ্নমতে, দুটি সংখ্যার বর্গের অন্তর ৪৭।
সমীকরণটি হলো: (x + ১)² - x² = ৪৭

সাধারণ পদ্ধতিতে সমাধান:
বা, x² + ২x + ১ - x² = ৪৭
বা, ২x + ১ = ৪৭
বা, ২x = ৪৭ - ১
বা, ২x = ৪৬
বা, x = ৪৬/২
বা, x = ২৩ (ছোট সংখ্যাটি)

অতএব, বড় সংখ্যাটি = ২৩ + ১ = ২৪।

শর্টকাট নিয়ম:
ক্রমিক সংখ্যার বর্গের অন্তর দেওয়া থাকলে,
বড় সংখ্যাটি = (বর্গের অন্তর + ১) / ২
বড় সংখ্যাটি = (৪৭ + ১) / ২
= ৪৮ / ২
= ২৪

* সঠিক উত্তর: অপশন ২: ২৪

সোর্সঃ খাইরুল বেসিক গণিত

১২

গাণিতিক ধ্রুবক 'π' (পাই) কোন ধরনের সংখ্যা?

ক) মূলদ সংখ্যা খ) অমূলদ সংখ্যা গ) পূর্ণসংখ্যা ঘ) স্বাভাবিক সংখ্যা

ব্যাখ্যা (Explanation)

যে সংখ্যাকে দুটি পূর্ণসংখ্যার অনুপাত (a/b) আকারে প্রকাশ করা যায় না, তাকে অমূলদ সংখ্যা বলা হয় ।
গাণিতিক ধ্রুবক π (পাই) হলো যেকোনো বৃত্তের পরিধি ও ব্যাসের অনুপাত (2πr / 2r = π) ।
π-এর মান দশমিকে প্রকাশ করলে তা অসীম এবং অনাবৃত্ত হয় (π = 3.14159265...), অর্থাৎ দশমিকের পর মানগুলো কখনো শেষ হয় না এবং পৌনঃপুনিকও হয় না ।
হিসাবের সুবিধার্থে π-এর মান 22/7 বা 3.1416 ব্যবহার করা হলেও এগুলো কেবল π-এর আসন্ন মান, প্রকৃত মান নয় ।
যেহেতু π-কে দুটি পূর্ণসংখ্যার ভগ্নাংশ হিসেবে প্রকাশ করা যায় না, তাই এটি একটি অমূলদ সংখ্যা ।
* সঠিক উত্তর: অপশন 2 (অমূলদ সংখ্যা) ।
সোর্সঃ খাইরুল বেসিক গণিত

১৩

পূর্ণবর্গ নয় এমন যেকোনো স্বাভাবিক সংখ্যার বর্গমূল কোন ধরনের সংখ্যা?

ক) মূলদ সংখ্যা খ) পূর্ণসংখ্যা গ) অমূলদ সংখ্যা ঘ) ভগ্নাংশ সংখ্যা

ব্যাখ্যা (Explanation)

পূর্ণবর্গ সংখ্যা: যেসকল স্বাভাবিক সংখ্যাকে অন্য যেকোনো স্বাভাবিক সংখ্যার বর্গ হিসেবে প্রকাশ করা যায়, সেগুলোকে পূর্ণবর্গ সংখ্যা বলে (যেমন: ১ = ১², ৪ = ২², ৯ = ৩² ইত্যাদি) ।
পূর্ণবর্গ সংখ্যার বর্গমূল সর্বদাই একটি পূর্ণসংখ্যা বা মূলদ সংখ্যা হয় (যেমন: √৪ = ২, √৯ = ৩) ।

অমূলদ সংখ্যা: যে সংখ্যাকে দুটি পূর্ণসংখ্যার অনুপাত বা a/b আকারে প্রকাশ করা যায় না এবং যাকে দশমিকে প্রকাশ করলে একটি অসীম ও অনাবৃত্ত দশমিক পাওয়া যায়, তাকে অমূলদ সংখ্যা বলে ।

পূর্ণবর্গ নয় এমন স্বাভাবিক সংখ্যা: ২, ৩, ৫, ৬, ৭, ৮ ইত্যাদি স্বাভাবিক সংখ্যাগুলো পূর্ণবর্গ নয় ।
পূর্ণবর্গ নয় এমন যেকোনো স্বাভাবিক সংখ্যার ওপর বর্গমূল (√) চিহ্ন দিলে তার মান একটি অসীম ও অনাবৃত্ত দশমিক সংখ্যা নির্দেশ করে ।
যেমন: √২ = ১.৪১৪..., √৩ = ১.৭৩২..., √৫ = ২.২৩৬... ইত্যাদি ।
এসব মানকে দুটি পূর্ণসংখ্যার ভগ্নাংশ বা a/b আকারে প্রকাশ করা অসম্ভব ।

অতএব, পূর্ণবর্গ নয় এমন যেকোনো স্বাভাবিক সংখ্যার বর্গমূল একটি অমূলদ সংখ্যা ।
* সঠিক উত্তর: অপশন ৩: অমূলদ সংখ্যা ।
সোর্সঃ খাইরুল বেসিক গণিত

১৪

সবচেয়ে ছোট মৌলিক সংখ্যা এবং একমাত্র জোড় মৌলিক সংখ্যা কোনটি?

ক) ১ খ) ২ গ) ০ ঘ) ৩

ব্যাখ্যা (Explanation)

যে সকল সংখ্যাকে কেবল ১ এবং ঐ সংখ্যা ছাড়া অন্য কোনো সংখ্যা দ্বারা ভাগ করা যায় না, তাদেরকে মৌলিক সংখ্যা বলা হয় ।
মৌলিক সংখ্যার কেবল ২টি ভিন্ন গুণনীয়ক বা উৎপাদক থাকে (১ এবং ঐ সংখ্যাটি নিজে) ।

* ০ এবং ১ মৌলিক সংখ্যা নয়; কারণ ১-এর গুণনীয়ক মাত্র ১টি (১ নিজে) ।
* ২ হলো সবচেয়ে ছোট মৌলিক সংখ্যা, কারণ ২-এর গুণনীয়ক ঠিক ২টি (১ এবং ২) ।
* ২ অপেক্ষা বড় অন্য সকল জোড় সংখ্যা ২ দ্বারা বিভাজ্য হওয়ায় সেগুলোর গুণনীয়ক ২-এর বেশি থাকে (ফলে সেগুলো যৌগিক সংখ্যা)। তাই ২-ই হলো গণিতের একমাত্র জোড় মৌলিক সংখ্যা ।
* সঠিক উত্তর: ২ (অপশন ২) ।

সোর্সঃ খাইরুল বেসিক গণিত

১৫

প্রথম ৫টি মৌলিক সংখ্যার যোগফল কত?

ক) ১১ খ) ১৮ গ) ২৬ ঘ) ২৮

ব্যাখ্যা (Explanation)

প্রথম ৫টি মৌলিক সংখ্যা হলো: ২, ৩, ৫, ৭, ১১

এদের যোগফল: ২ + ৩ + ৫ + ৭ + ১১ = ২৮

১৬

০.১২, √২৫, √৭২, √৪৯/৭ প্রদত্ত সংখ্যাগুলোর মধ্যে অমূলদ সংখ্যা কোনটি?

ক) ০.১২ খ) √২৫ গ) √৪৯/৭ ঘ) √৭২

ব্যাখ্যা (Explanation)

যে সংখ্যাকে p/q  আকারে প্রকাশ করা যায় না, যেখানে p ও q পূর্ণসংখ্যা এবং q ≠ 0, সে সংখ্যাকে অমূলদ সংখ্যা বলা হয়।
পূর্ণবর্গ নয় এরূপ যে কোনাে স্বাভাবিক সংখ্যার বর্গমূল কিংবা তার ভগ্নাংশ একটি অমূলদ সংখ্যা।

এখানে,
√৭২ = √(৩৬ × ২) = √(2 × ৬২) = ৬√২; যা ভগ্নাংশ আকারে লেখা যায় না তাই অমূলদ সংখ্যা।

১৭

দুটি ক্রমিক সংখ্যার বর্গের অন্তর ১৫৫ হলে বড় সংখ্যাটি কত?

ক) ৮০ খ) ৭৬ গ) ৭৮ ঘ) ৭৪

ব্যাখ্যা (Explanation)

ক্ষুদ্রতম সংখ্যাটি = ক
বৃহত্তম সংখ্যাটি = ক + ১

প্রশ্নমতে,
(ক + ১)^২ - ক^২ = ১৫৫
বা, ক^২+ ২ক + ১ - ক^২ = ১৫৫
বা, ২ক = ১৫৫ - ১
বা, ২ক = ১৫৪
বা, ক = ৭৭

∴ বৃহত্তম সংখ্যাটি = ক + ১
= ৭৭ + ১ = ৭৮

১৮

4x² + 4x + 1 = 0 সমীকরণের মূলদ্বয়ের প্রকৃতি কী?

ক) বাস্তব এবং অসমান খ) বাস্তব এবং সমান গ) কাল্পনিক ঘ) বাস্তব

ব্যাখ্যা (Explanation)

4x² + 4x + 1 = 0 কে ax2 + bx + c = 0 সমীকরণের সাথে তুলনা করে পাই, 
a = 4, b = 4, c = 1

নিশ্চায়ক = b² - 4ac
= 4² - (4 × 4 × 1)
= 16 - 16
= 0

নিশ্চায়ক শূন্য হলে, মূলদ্বয় বাস্তব এবং সমান হয়।
অতএব, মূলদ্বয় বাস্তব ও সমান।

১৯

৪৮ থেকে ১০০ পর্যন্ত ৩ এর গুণিতক সংখ্যা মোট কতটি?

ক) ১৬টি খ) ১৭টি গ) ১৮টি ঘ) ১৯টি

ব্যাখ্যা (Explanation)

এটি একটি পাটিগণিত ধারা। যার প্রথম পদ (a) হলো ৪৮, কারণ ৪৮ সংখ্যাটি ৩ দ্বারা বিভাজ্য (৪৮=৩×১৬)। শেষ পদ (l) হলো ৯৯, কারণ ৯৯ সংখ্যাটি ৩ দ্বারা বিভাজ্য (৯৯=৩×৩৩) এবং ১০০ এর মধ্যে সবচেয়ে বড় ৩ এর গুণিতক। সাধারণ অন্তর (d) হলো ৩, কারণ আমরা ৩ এর গুণিতক নির্ণয় করছি।
যেখানে,
n = পদসংখ্যা (আমরা যা নির্ণয় করতে চাই)
l = শেষ পদ = ৯৯
a = প্রথম পদ = ৪৮
d = সাধারণ অন্তর = ৩

আমরা জানি,
n = (l−a)/d + ১
= (৯৯-৪৮)/৩ + ১
= ৫১/৩ + ১
= ১৭ + ১
= ১৮

অর্থাৎ, ৪৮ থেকে ১০০ পর্যন্ত ৩ এর গুণিতক সংখ্যা হলো ১৮টি।

২০

যদি a, b এবং c তিনটি ক্রমিক ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা এবং a < b < c হয়, তাহলে নিচের কোনটি অবশ্যই সত্য হবে?

ক) a + b > c খ) b + c > a গ) a + c > b ঘ) উপরের সবগুলো

২১

৬৩০০ সংখ্যাটিকে কত দ্বারা ভাগ করলে সংখ্যাটি পূর্ণবর্গ হবে?

ক) ৭ খ) ৯ গ) ১৪ ঘ) ২১

ব্যাখ্যা (Explanation)

৬৩০০ = ৬৩ × ১০০
= ৯ × ৭ × ১০০
= ৩² × ৭ × ১০²
= ৩² × ১০² × ৭
= ৩² × (২ × ৫)² × ৭
= ৩² × ২² × ৫² × ৭
অর্থাৎ ৬৩০০ = ২² × ৩² × ৫² × ৭¹

একটি সংখ্যা পূর্ণবর্গ হওয়ার জন্য এর সব মৌলিক উৎপাদকের ঘাত জোড় সংখ্যা হতে হবে।

৬৩০০ কে পূর্ণবর্গ বানাতে হলে ৭ এর ঘাত জোড় করতে হবে। যেহেতু ৭¹ আছে, তাই ৭ দিয়ে ভাগ করলে ৭ এর ঘাত ০ হবে (যা জোড়)।
৬৩০০ ÷ ৭ = ৯০০ = ২² × ৃ² × ৫² = (২ × ৩ × ৫)² = ৩০²
তাই ৬৩০০ কে ৭ দিয়ে ভাগ করলে ৯০০ পাওয়া যাবে, যা ৩০ এর পূর্ণবর্গ।

২২

কোন স্থানে যতজন লোক ছিল প্রত্যেকে তত ছয় টাকা করে চাঁদা দেয়ায় মোট ৩৪৫৬ টাকা আদায় হলো। এখানে লোক সংখ্যা কত?

ক) ২৪ জন খ) ২৬ জন গ) ২৮ জন ঘ) ৩০ জন

ব্যাখ্যা (Explanation)

ধরা যাক, লোকসংখ্যা হল x জন।
প্রশ্ন অনুযায়ী, যতজন লোক ছিল প্রত্যেকে তত ছয় টাকা করে চাঁদা দিয়েছে। এর মানে হল, প্রত্যেক ব্যক্তি 6x টাকা করে চাঁদা দিয়েছে।
মোট আদায়কৃত চাঁদার পরিমাণ,
x × 6x = 3456
বা, 6x² = 3456
বা, x² = 3456/6
বা, x² = 576
বা, x = √576
বা, x = 24

সুতরাং, লোকসংখ্যা হল 24 জন। ​

২৩

৪৩ থেকে ৬০ এর মধ্যে মৌলিক সংখ্যার সংখ্যা?

ক) ৫ খ) ৩ গ) ৭ ঘ) ৪

Job Solutions

ব্যাখ্যা (Explanation)

- ১ থেকে ১০০ পর্যন্ত মৌলিক সংখ্যা ২৫ট।
- সংখ্যা গুলো হলোঃ (২, ৩, ৫, ৭, ১১, ১৩, ১৭, ১৯, ২৩, ২৯, ৩১, ৩৭, ৪১, ৪৩, ৪৭, ৫৩, ৫৯, ৬১, ৬৭, ৭১, ৭৩, ৭৯, ৮৩, ৮৯, ৯৭)। 
- ৪৩ থেকে ৬০ এর মধ্যে মৌলিক সংখ্যার সংখ্যা ৪টি। 

২৪

m ও n বিজোড় সংখ্যা হলে নিচের কোনটি জোড়?

ক) mn খ) mn+1 গ) mn+2 ঘ) mn+4

ব্যাখ্যা (Explanation)

ধরি,
m = 3,
n = 5

mn = 3 × 5 = 15
mn + 1 = 15 + 1 = 16
mn + 2 = 15 + 2 = 17
mn + 4 = 15 + 4 = 19

২৫

m ও n বিজোড় সংখ্যা হলে নিচের কোনটি জোড়?

ক) mn খ) mn+1 গ) mn+2 ঘ) mn+4

Job Solutions

ব্যাখ্যা (Explanation)

দেওয়া আছে,
m ও n হলো দুইটি বিজোড় সংখ্যা।
আমরা জানি, দুইটি বিজোড় সংখ্যার গুণফল সর্বদা একটি বিজোড় সংখ্যা হয়।
যেহেতু, m ও n উভয়ই বিজোড়,
তাহলে, mn = একটি বিজোড় সংখ্যা।

এখন অপশনগুলো যাচাই করি:
option 1: mn = বিজোড় সংখ্যা।
option 2: mn + 1 = বিজোড় সংখ্যা + 1 = জোড় সংখ্যা। [যেমন: ৩ + ১ = ৪]
option 3: mn + 2 = বিজোড় সংখ্যা + 2 = বিজোড় সংখ্যা। [যেমন: ৩ + ২ = ৫]
option 4: mn + 4 = বিজোড় সংখ্যা + 4 = বিজোড় সংখ্যা। [যেমন: ৩ + ৪ = ৭]

যেহেতু mn একটি বিজোড় সংখ্যা এবং বিজোড় সংখ্যার সাথে 1 যোগ করলে পরবর্তী জোড় সংখ্যাটি পাওয়া যায়, তাই mn + 1 একটি জোড় সংখ্যা।
সুতরাং, সঠিক উত্তর হলো mn + 1।

শর্টকাট টেকনিক:
ধরি, দুইটি বিজোড় সংখ্যা m = 3 এবং n = 1
তাহলে, mn = 3 × 1 = 3
এখন অপশনগুলো দেখি:
1. mn = 3 (বিজোড়)
2. mn + 1 = 3 + 1 = 4 (জোড়)
3. mn + 2 = 3 + 2 = 5 (বিজোড়)
4. mn + 4 = 3 + 4 = 7 (বিজোড়)
শুধুমাত্র অপশন (2)-এর মান জোড় এসেছে। তাই সঠিক উত্তর mn + 1।

২৬

যদি P এবং Q জোড় সংখ্যা ও R বিজোড় সংখ্যা হয়, নিচের কোনটি জোড় সংখ্যা হতে পারবে না ?

ক) PQ খ) PR গ) RQ/P ঘ) R/P

Job Solutions

ব্যাখ্যা (Explanation)

ধরি, P = 2, Q = 4 এবং R = 3
-অপশন a) তে আছে, P × Q = 2 × 4 = 8 হবে । 
-অপশন b) তে আছে, P × R = 2×3 = 6 হবে । 
-অপশন c) তে আছে, RQ/P=(3×4)/2 = 6 হবে ।

-কিন্তু, অপশন d) তে আছে, R/P = 3/2 হবে না । তাই এটি উত্তর ।

২৭

৩৬ সংখ্যাটির মোট কতগুলো ভাজক রয়েছে?

ক) ৬টি খ) ৮টি গ) ৯টি ঘ) ১০টি

Job Solutions

ব্যাখ্যা (Explanation)

 ২। ৩৬ 

 ২। ১৮  

 ৩। ৯   

 ৩ 

 ৩৬ = ২^২ * ৩^২   

 ৩৬ সংখ্যাটির মোট ভাজক সংখ্যা { (২ + ১) * (২ + ১) } টি  = ৯টি 

২৮

৭২ সংখ্যাটির মোট ভাজক আছে কতটি?

ক) ৯টি খ) ১২টি গ) ১৩টি ঘ) ১৪টি

Job Solutions

ব্যাখ্যা (Explanation)

৭২
= ১ × ৭২
= ২ × ৩৬
= ৩ × ২৪
= ৪ × ১৮
= ৬ × ১২
= ৮ × ৯

৭২ এর ভাজকসমূহ
১, ২, ৩, ৪, ৬, ৮, ৯, ১২, ১৮, ২৪, ৩৬, ৭২

∴ মোট ভাজক সংখ্যা ১২টি

২৯

দুটি ক্রমিক সংখ্যার বর্গের অন্তর ৩৭। সংখ্যা দুটি কি কি?

ক) ১২, ১৩ খ) ১৫, ১৬ গ) ১৮, ১৯ ঘ) ২০, ২১

Job Solutions

ব্যাখ্যা (Explanation)

মনে করি,
ক্রমিক সংখ্যা দুটি যথাক্রমে x এবং (x + 1)

প্রশ্নমতে,
(x + 1)² - x² = 37
বা, x² + 2x + 1 - x² = 37 [∵ (a + b)² = a² + 2ab + b² সূত্র প্রয়োগ করে]
বা, 2x + 1 = 37
বা, 2x = 37 - 1
বা, 2x = 36
বা, x = 36 / 2
বা, x = 18
অতএব, ছোট সংখ্যাটি = 18
এবং বড় সংখ্যাটি = 18 + 1 = 19
সুতরাং, সংখ্যা দুটি ১৮ ও ১৯।


বিকল্প পদ্ধতি (শর্টকাট টেকনিক):
দুটি ক্রমিক সংখ্যার বর্গের অন্তর দেওয়া থাকলে সংখ্যা দুটি বের করার নিয়ম হলো:
বড় সংখ্যা = (বর্গের অন্তর + ১) ÷ ২
= (৩৭ + ১) ÷ ২
= ৩৮ ÷ ২
= ১৯

ছোট সংখ্যা = (বর্গের অন্তর - ১) ÷ ২
= (৩৭ - ১) ÷ ২
= ৩৬ ÷ ২
= ১৮

৩০

দুটি ক্রমিক পূর্ণসংখ্যা নির্ণয় করুন যাদের বর্গের অন্তর ৯ হবে।

ক) ৪ এবং ৫ খ) ৫ এবং ৬ গ) ৬ এবং ৭ ঘ) ৭ এবং ৮

Job Solutions

ব্যাখ্যা (Explanation)

দুটি ক্রমিক পূর্ণসংখ্যার বর্গ 4²=16 ও 5²=25
বর্গের অন্তর  ২৫-১৬
                     =৯