বাস্তব সংখ্যা (435 টি প্রশ্ন )
 Back to Subject Page   All Topics
i
ব্যাখ্যা (Explanation):

প্রথম ৫টি মৌলিক সংখ্যা হলো: ২, ৩, ৫, ৭, ১১

এদের যোগফল: ২ + ৩ + ৫ + ৭ + ১১ = ২৮
i
ব্যাখ্যা (Explanation):
যে সংখ্যাকে p/q  আকারে প্রকাশ করা যায় না, যেখানে p ও q পূর্ণসংখ্যা এবং q ≠ 0, সে সংখ্যাকে অমূলদ সংখ্যা বলা হয়।
পূর্ণবর্গ নয় এরূপ যে কোনাে স্বাভাবিক সংখ্যার বর্গমূল কিংবা তার ভগ্নাংশ একটি অমূলদ সংখ্যা।

এখানে,
√৭২ = √(৩৬ × ২) = √(2 × ৬২) = ৬√২; যা ভগ্নাংশ আকারে লেখা যায় না তাই অমূলদ সংখ্যা।
i
ব্যাখ্যা (Explanation):

ক্ষুদ্রতম সংখ্যাটি = ক
বৃহত্তম সংখ্যাটি = ক + ১

প্রশ্নমতে,
(ক + ১)২ - ক২ = ১৫৫
বা, ক২+ ২ক + ১ - ক২ = ১৫৫
বা, ২ক = ১৫৫ - ১
বা, ২ক = ১৫৪
বা, ক = ৭৭

∴ বৃহত্তম সংখ্যাটি = ক + ১
= ৭৭ + ১ = ৭৮
i
ব্যাখ্যা (Explanation):

4x2 + 4x + 1 = 0 কে ax2 + bx + c = 0 সমীকরণের সাথে তুলনা করে পাই, 
a = 4, b = 4, c = 1

নিশ্চায়ক = b2 - 4ac
= 42 - (4 × 4 × 1)
= 16 - 16
= 0

নিশ্চায়ক শূন্য হলে, মূলদ্বয় বাস্তব এবং সমান হয়।
অতএব, মূলদ্বয় বাস্তব ও সমান।
i
ব্যাখ্যা (Explanation):
এটি একটি পাটিগণিত ধারা। যার প্রথম পদ (a) হলো ৪৮, কারণ ৪৮ সংখ্যাটি ৩ দ্বারা বিভাজ্য (৪৮=৩×১৬)। শেষ পদ (l) হলো ৯৯, কারণ ৯৯ সংখ্যাটি ৩ দ্বারা বিভাজ্য (৯৯=৩×৩৩) এবং ১০০ এর মধ্যে সবচেয়ে বড় ৩ এর গুণিতক। সাধারণ অন্তর (d) হলো ৩, কারণ আমরা ৩ এর গুণিতক নির্ণয় করছি।
যেখানে,
n = পদসংখ্যা (আমরা যা নির্ণয় করতে চাই)
l = শেষ পদ = ৯৯
a = প্রথম পদ = ৪৮
d = সাধারণ অন্তর = ৩

আমরা জানি,
n = (l−a)/d + ১
= (৯৯-৪৮)/৩ + ১
= ৫১/৩ + ১
= ১৭ + ১
= ১৮

অর্থাৎ, ৪৮ থেকে ১০০ পর্যন্ত ৩ এর গুণিতক সংখ্যা হলো ১৮টি।
i
ব্যাখ্যা (Explanation):
৬৩০০ = ৬৩ × ১০০
= ৯ × ৭ × ১০০
= ৩² × ৭ × ১০²
= ৩² × ১০² × ৭
= ৩² × (২ × ৫)² × ৭
= ৩² × ২² × ৫² × ৭
অর্থাৎ ৬৩০০ = ২² × ৩² × ৫² × ৭¹

একটি সংখ্যা পূর্ণবর্গ হওয়ার জন্য এর সব মৌলিক উৎপাদকের ঘাত জোড় সংখ্যা হতে হবে।

৬৩০০ কে পূর্ণবর্গ বানাতে হলে ৭ এর ঘাত জোড় করতে হবে। যেহেতু ৭¹ আছে, তাই ৭ দিয়ে ভাগ করলে ৭ এর ঘাত ০ হবে (যা জোড়)।
৬৩০০ ÷ ৭ = ৯০০ = ২² × ৃ² × ৫² = (২ × ৩ × ৫)² = ৩০²
তাই ৬৩০০ কে ৭ দিয়ে ভাগ করলে ৯০০ পাওয়া যাবে, যা ৩০ এর পূর্ণবর্গ।
i
ব্যাখ্যা (Explanation):
ধরা যাক, লোকসংখ্যা হল x জন।
প্রশ্ন অনুযায়ী, যতজন লোক ছিল প্রত্যেকে তত ছয় টাকা করে চাঁদা দিয়েছে। এর মানে হল, প্রত্যেক ব্যক্তি 6x টাকা করে চাঁদা দিয়েছে।
মোট আদায়কৃত চাঁদার পরিমাণ,
x × 6x = 3456
বা, 6x2 = 3456
বা, x2 = 3456/6
বা, x2 = 576
বা, x = √576
বা, x = 24

সুতরাং, লোকসংখ্যা হল 24 জন। ​
i
ব্যাখ্যা (Explanation):
- ১ থেকে ১০০ পর্যন্ত মৌলিক সংখ্যা ২৫ট।
- সংখ্যা গুলো হলোঃ (২, ৩, ৫, ৭, ১১, ১৩, ১৭, ১৯, ২৩, ২৯, ৩১, ৩৭, ৪১, ৪৩, ৪৭, ৫৩, ৫৯, ৬১, ৬৭, ৭১, ৭৩, ৭৯, ৮৩, ৮৯, ৯৭)। 
- ৪৩ থেকে ৬০ এর মধ্যে মৌলিক সংখ্যার সংখ্যা ৪টি। 

এখানে প্রথম ৩০টি প্রশ্নের ব্যাখ্যা দেখতে পারবেন, বাকি সব প্রশ্নের সম্পূর্ণ ব্যাখ্যা পেতে এখনই অ্যাপ ইন্সটল করুন।

Install App
i
ব্যাখ্যা (Explanation):
ধরি,
m = 3,
n = 5

mn = 3 × 5 = 15
mn + 1 = 15 + 1 = 16
mn + 2 = 15 + 2 = 17
mn + 4 = 15 + 4 = 19
i
ব্যাখ্যা (Explanation):
দেওয়া আছে,
m ও n হলো দুইটি বিজোড় সংখ্যা।
আমরা জানি, দুইটি বিজোড় সংখ্যার গুণফল সর্বদা একটি বিজোড় সংখ্যা হয়।
যেহেতু, m ও n উভয়ই বিজোড়,
তাহলে, mn = একটি বিজোড় সংখ্যা।

এখন অপশনগুলো যাচাই করি:
option 1: mn = বিজোড় সংখ্যা।
option 2: mn + 1 = বিজোড় সংখ্যা + 1 = জোড় সংখ্যা। [যেমন: ৩ + ১ = ৪]
option 3: mn + 2 = বিজোড় সংখ্যা + 2 = বিজোড় সংখ্যা। [যেমন: ৩ + ২ = ৫]
option 4: mn + 4 = বিজোড় সংখ্যা + 4 = বিজোড় সংখ্যা। [যেমন: ৩ + ৪ = ৭]

যেহেতু mn একটি বিজোড় সংখ্যা এবং বিজোড় সংখ্যার সাথে 1 যোগ করলে পরবর্তী জোড় সংখ্যাটি পাওয়া যায়, তাই mn + 1 একটি জোড় সংখ্যা।
সুতরাং, সঠিক উত্তর হলো mn + 1।

শর্টকাট টেকনিক:
ধরি, দুইটি বিজোড় সংখ্যা m = 3 এবং n = 1
তাহলে, mn = 3 × 1 = 3
এখন অপশনগুলো দেখি:
1. mn = 3 (বিজোড়)
2. mn + 1 = 3 + 1 = 4 (জোড়)
3. mn + 2 = 3 + 2 = 5 (বিজোড়)
4. mn + 4 = 3 + 4 = 7 (বিজোড়)
শুধুমাত্র অপশন (2)-এর মান জোড় এসেছে। তাই সঠিক উত্তর mn + 1।
i
ব্যাখ্যা (Explanation):
ধরি, P = 2, Q = 4 এবং R = 3
-অপশন a) তে আছে, P × Q = 2 × 4 = 8 হবে । 
-অপশন b) তে আছে, P × R = 2×3 = 6 হবে । 
-অপশন c) তে আছে, RQ/P=(3×4)/2 = 6 হবে ।

-কিন্তু, অপশন d) তে আছে, R/P = 3/2 হবে না । তাই এটি উত্তর ।
i
ব্যাখ্যা (Explanation):

 ২। ৩৬ 

 ২। ১৮  

 ৩। ৯   

 ৩ 

 ৩৬ = ২২ * ৩২   

 ৩৬ সংখ্যাটির মোট ভাজক সংখ্যা { (২ + ১) * (২ + ১) } টি  = ৯টি 
i
ব্যাখ্যা (Explanation):
৭২
= ১ × ৭২
= ২ × ৩৬
= ৩ × ২৪
= ৪ × ১৮
= ৬ × ১২
= ৮ × ৯

৭২ এর ভাজকসমূহ
১, ২, ৩, ৪, ৬, ৮, ৯, ১২, ১৮, ২৪, ৩৬, ৭২

∴ মোট ভাজক সংখ্যা ১২টি
i
ব্যাখ্যা (Explanation):
মনে করি,
ক্রমিক সংখ্যা দুটি যথাক্রমে x এবং (x + 1)

প্রশ্নমতে,
(x + 1)² - x² = 37
বা, x² + 2x + 1 - x² = 37 [∵ (a + b)² = a² + 2ab + b² সূত্র প্রয়োগ করে]
বা, 2x + 1 = 37
বা, 2x = 37 - 1
বা, 2x = 36
বা, x = 36 / 2
বা, x = 18
অতএব, ছোট সংখ্যাটি = 18
এবং বড় সংখ্যাটি = 18 + 1 = 19
সুতরাং, সংখ্যা দুটি ১৮ ও ১৯।


বিকল্প পদ্ধতি (শর্টকাট টেকনিক):
দুটি ক্রমিক সংখ্যার বর্গের অন্তর দেওয়া থাকলে সংখ্যা দুটি বের করার নিয়ম হলো:
বড় সংখ্যা = (বর্গের অন্তর + ১) ÷ ২
= (৩৭ + ১) ÷ ২
= ৩৮ ÷ ২
= ১৯

ছোট সংখ্যা = (বর্গের অন্তর - ১) ÷ ২
= (৩৭ - ১) ÷ ২
= ৩৬ ÷ ২
= ১৮
i
ব্যাখ্যা (Explanation):
দুটি ক্রমিক পূর্ণসংখ্যার বর্গ 4²=16 ও 5²=25
বর্গের অন্তর  ২৫-১৬
                     =৯
i
ব্যাখ্যা (Explanation):
ছোট সংখ্যা = (বর্গের অন্তর - ১)/২ 
= (৩৭ - ১)/২ 
= ৩৬/২ 
= ১৮

আবার, 
বড় সংখ্যা = (বর্গের অন্তর + ১)/২ 
= (৩৭ + ১)/২ 
= ৩৮/২ 
= ১৯ 

∴ সংখ্যা দুটি = ১৮, ১৯।
i
ব্যাখ্যা (Explanation):
৩৬ কে মৌলিক উৎপাদকে বিশ্লেষণ করলে আমরা পাই = 2 × 2 × 3 × 3 = 22 × 32

অতএব, ৩৬ এর স্বতন্ত্র মৌলিক উৎপাদক হলো ২ এবং ৩। অর্থাৎ, ২টি স্বতন্ত্র মৌলিক উৎপাদক রয়েছে।
i
ব্যাখ্যা (Explanation):
তিনটি ক্রমিক বিজোড় সংখ্যার মধ্যে অবশ্যই একটি সংখ্যা ৩ দ্বারা বিভাজ্য হবে। এজন্য সংখ্যা তিনটির গুণফল অবশ্যই ৩ দ্বারা বিভাজ্য হবে। 

এখানে প্রথম ৩০টি প্রশ্নের ব্যাখ্যা দেখতে পারবেন, বাকি সব প্রশ্নের সম্পূর্ণ ব্যাখ্যা পেতে এখনই অ্যাপ ইন্সটল করুন।

Install App
i
ব্যাখ্যা (Explanation):
তিনটি স্বাভাবিক  ক্রমিক সংখ্যার মধ্যে কমপক্ষে একটি জোড় সংখ্যা থাকবে। এজন্য তিনটি স্বাভাবিক ক্রমিক সংখ্যার গুনফল অবশ্যই ২ দ্বারা বিভাজ্য হবে।
যেমনঃ তিনটি ক্রমিক সংখ্যা ৩, ৪, ৫ এবং তাদের গুনফল ৬০ যা ২ দ্বারা বিভাজ্য। 
i
ব্যাখ্যা (Explanation):
ধরি, সবথেকে ছোট সংখ্যাটি x

তাহলে অপর সংখ্যা দুটি (x+2) এবং (x+4)

প্রশ্নমতে,  (x+4)*3 - 40 = x
⇒ 3x + 12 -40 = x
⇒ 2x = 40 - 12
⇒ x = 28/2 = 14
⇒ x = 14
∴ বৃহত্তম সংখ্যাটি, x + 4 = 14 + 4 = 18  
 
i
ব্যাখ্যা (Explanation):
মনে করি সংখ্যাত্রয় যথাক্রমে ,x,x+১,x+২
অতএব, x+x+১+x+২=৩০
          বা৩x+৩=৩০
           বা,৩x=২৭
          বা ,x=৯
অতএব ,বড় সংখ্যাটি ৯+২=১১
i
ব্যাখ্যা (Explanation):
দেওয়া আছে,
দুইটি ক্রমিক স্বাভাবিক বিজোড় সংখ্যার যোগফল = ২৪
এবং একটি সংখ্যা = ১৩

আমরা জানি, দুইটি সংখ্যার যোগফল থেকে একটি সংখ্যা বিয়োগ করলে অপর সংখ্যাটি পাওয়া যায়।
∴ অপর সংখ্যাটি = (দুইটি সংখ্যার যোগফল − একটি সংখ্যা)
= (২৪ − ১৩)
= ১১
এখানে লক্ষনীয় যে, ১১ এবং ১৩ দুইটি ক্রমিক স্বাভাবিক বিজোড় সংখ্যা। অর্থাৎ, শর্তানুযায়ী ১১ ও ১৩ এর যোগফল (১১ + ১৩) = ২৪।
সুতরাং, অপর সংখ্যাটি হলো ১১।

শর্টকাট টেকনিক:
ক্রমিক বিজোড় সংখ্যাগুলোর মধ্যে পার্থক্য সব সময় ২ হয়।
এখানে একটি সংখ্যা ১৩। যেহেতু যোগফল ২৪, তাই অপর সংখ্যাটি অবশ্যই ১৩ এর চেয়ে ছোট হবে।
সুতরাং, ১৩ এর ঠিক আগের বিজোড় সংখ্যাটিই হবে নির্ণেয় সংখ্যা।
১৩ − ২ = ১১।
i
ব্যাখ্যা (Explanation):
ধরি ,সংখ্যাগুলো x-২ ,x-১,x,x+১,x+২ x-২+x-১+x+x+১+x+২
                     বা , ৫x =১০০
                     বা x =২০
∴  প্রথম সংখ্যা =২০-২=১৮
শেষ সংখ্যা  =২০+২=২২
∴  সংখ্যা দুটির গুনফল = (১৮×২২)=৩৯৬
i
ব্যাখ্যা (Explanation):
মনেকরি, সংখ্যা তিনটি = x, x + ১, x + ২
প্রশ্নমতে, x + x + ১ + x + ২ = ৩৩
⇒ ৩x+৩ = ৩০
⇒ ৩x = ৩৩
⇒ x = ১০
সংখ্যা তিনটি ১০, ১১, ১২
i
ব্যাখ্যা (Explanation):
মনে করি ,
সংখ্যা ৫টি যথাক্রমে x,x+১,x+২,x+৩,x+৪
প্রশ্নমতে ,x+x+১+x+২+x+৩+x+৪
বা, ৫x+১০=৫৫৫
বা ,৫x=৫৪৫
বা,x=১০৯
অতএব ,সবেচেয়ে বড় সংখ্যাটি =১০৯+৪=১১৩

i
ব্যাখ্যা (Explanation):
পরপর চারটি সংখ্যার গুণফল =৩৬০
এখানে পরপর চারটি সংখ্যা ৩,৪,৫,৬
এগুলোর গুণফল হল ৩৬০
এদের যোগফল ৩+৪+৫+৬=১৮
i
ব্যাখ্যা (Explanation):
ধরি,
তিনটি ক্রমিক সংখ্যা যথাক্রমে, ক-১, ক, ক+১

সুতরাং শর্তমতে, (ক-১) × ক × (ক+১) = ৬০
৬০ = ৩ × ৪ × ৫

সুতরাং সংখ্যা তিনটির যোগফল = ৩ + ৪ + ৫ = ১২
i
ব্যাখ্যা (Explanation):
এখানে,
১২০ = ২ × ২ × ২ × ৩ × ৫
      = ৪ × ৬ × ৫

সুতরাং, সংখ্যা তিনটি ৪, ৫, ৬

এদের যোগফল = ৪ + ৫ + ৬ = ১৫

এখানে প্রথম ৩০টি প্রশ্নের ব্যাখ্যা দেখতে পারবেন, বাকি সব প্রশ্নের সম্পূর্ণ ব্যাখ্যা পেতে এখনই অ্যাপ ইন্সটল করুন।

Install App
i
ব্যাখ্যা (Explanation):

০, ১, ২, ও ৩ দ্বারা গঠিত চার অংকের বৃহত্তম সংখ্যা ৩২১০ 

০, ১, ২ ও  ৩   "    "       "      "    ক্ষুদ্রতম  " (-)  ১০২৩  

______________________________________________

                                              বিয়োগফল   = ২১৮৭  
সঠিক উত্তর: 0 | ভুল উত্তর: 0