অসমতা (94 টি প্রশ্ন )
 Back to Subject Page   All Topics
১/(|x-১|) < ২

বা, ১ < ২|x-১| (যেহেতু |x-১| > ০)

বা, ১/২ < |x-১|

অর্থাৎ, |x-১| > ১/২

এর মানে, x-১ > ১/২ অথবা x-১ < -১/২

১. x-১ > ১/২
বা, x > ৩/২

২. x-১ < -১/২
বা, x < ১/২

সুতরাং, সমাধানটি হল (-∞, ১/২) U (৩/২, ∞)
ধরি,
জিনিসটির ক্রয়মূল্য = ক টাকা

প্রথম ক্ষেত্রে,
বিক্রয়মূল্য = ১৩৬ টাকা
ক্ষতি = ১৫%
অর্থাৎ, ১৩৬ টাকা হল ক্রয়মূল্যের ৮৫%
সুতরাং, ক x ৮৫/১০০ = ১৩৬
অতএব, ক = (১৩৬ x ১০০) / ৮৫ = ১৬০ টাকা

দ্বিতীয় ক্ষেত্রে,
বিক্রয়মূল্য = x টাকা
লাভ = ১৫%
অর্থাৎ, x টাকা হল ক্রয়মূল্যের ১১৫%
সুতরাং, x = ১৬০ x ১১৫/১০০ = ১৮৪ টাকা
সুতরাং, x এর মান ১৮০ এবং ১৯০ এর মধ্যে।

∴ ১৮০ < x < ১৯০
দেওয়া আছে, 1/।1 - 2x। ≥ 5
বা, ।1 - 2x। ≤ 1/5

ধনাত্মক চিহ্ন নিয়ে পাই,
1 - 2x ≤ 1/5
⇒ 1 - 2x - 1 ≤ - 1 + 1/5
⇒ - 2x ≤ (- 5 + 1)/5
⇒ - 2x ≤ - 4/5
⇒ 2x ≥ 4/5
⇒ x ≥ 2/5
⇒ 2/5 ≤ x

ঋণাত্মক চিহ্ন নিয়ে পাই,
- (1 - 2x) ≤ 1/5
⇒ - 1 + 2x ≤ 1/5
⇒ - 1 + 2x + 1 ≤ 1 + 1/5
⇒ 2x ≤ (5 + 1)/5
⇒ 2x ≤ 6/5
⇒ x ≤ 3/5

∴ নির্ণেয় সমাধান = (2/5) ≤ x ≤ (3/5)
12 - 8x ≤ 28
⇒ 12 - (8x) - 12 ≤ 28 - 12 [উভয় পক্ষ থেকে 12 বিয়োগ করে]
⇒ - 8x ≤ 16
⇒ - 8x/(- 8) ≥ 16/(- 8) [উভয় পক্ষকে - 8 দ্বারা ভাগ করে]
⇒ x ≥ - 2
|3x - 2| < 11

(3x - 2) অঋণাত্মক হলে প্রদত্ত অসমতা দাঁড়ায়,
(3x - 2) < 11
বা, 3x - 2 + 2 < 11 + 2
বা, 3x < 13
∴ x < 13/3

আবার,
(3x - 2) ঋণাত্মক হলে প্রদত্ত অসমতা দাঁড়ায় (3x - 2) > - 11
বা, 3x - 2 + 2 > - 11 + 2
বা, 3x > - 9
∴ x > - 3

∴ নির্ণেয় অসমতা - 3 < x < 13/3
|x - 5| ≤ 4
বা, - 4 ≤ x - 5 ≤ 4
বা, - 4 + 5 ≤ x - 5 + 5 ≤ 4 + 5
বা, 1 ≤ x ≤ 9

x এর সর্বনিম্ন মান 1
- 8 < x < 2
বা, - 8 + 3 < x + 3 < 2 + 3
বা, - 5 < x + 3 < 5
∴ |x + 3| < 5
2(x - 4) ≥ 3x - 5
বা, 2x - 8 ≥ 3x - 5
বা, 2x - 3x ≥ - 5 + 8
বা, - x ≥ 3
∴ x ≤ - 3
এখানে, ‍
a > b হলে, যখন c < 0 এর জন্য
ac < bc এবং a/c < b/c

আবার,
a > b হলে, যখন c > 0 এর জন্য
ac > bc এবং a/c > b/c
প্রদত্ত অসমতার প্রতিটি পদ -3 + 2/2 = 1/2; অসমতায় যোগ করলে, 
-3 + 1/2 < x + 1/2 < 2 + 1/2
⇒ -5/2 < 2x + 1/2 < 5/2
⇒ -5 < 2x + 1 < 5
[∴ -a < x < a = |x| < a]
∴ |2x + 1| < 5
1/Q > 1
⇒ Q × 1/Q > 1 × Q
⇒ 1 > Q
⇒ 1 > Q2
। 3x + 2 । < 7
⇒ - 7 < 3x + 2 < 7
⇒ - 7 - 2 < 3x + 2 - 2 < 7 - 2
⇒ - 9 < 3x < 5
⇒ (- 9/3) < (3x/3) < (5/3)
- 3 < x < (5/3)
│2x-5│>3

হয়,
2x-5>3 
⇒2x>8 
⇒x>4

অথবা,
-(2x-5)>3
⇒2x-5<-3
⇒2x<2
⇒x<1

অতএব, সমাধান সেট হল: x > 4 অথবা x < 1
x2-2x-15>0 
⇒ x2-5x+3x-15>0
⇒ x(x-5)+3(x-5)>0
⇒ (x-5)(x-3)>0 ....... (1)
এখন, (x-5)(x-3)=0 ধরে, x=5 এবং x= -3 বের করে,
x<a (ছোট মান) অথবা x>b (বড় মান) আকারে সাজালে পাই, x<-3 অথবা, x>5
নির্ণেয় সমাধান: x>5 অথবা x<-3
(x - 2)(x - 5) < 0 হবে, যখন একটি ধনাত্মক  একটি ঋণাত্মক হবে।
অতএব, x - 2 ধনাত্মক ও x - 5 ঋণাত্মক হবে।

x - 2 > 0
∴ x > 2

x - 5 < 0
∴ x < 5

(x - 2)(x - 5) < 0 হলে, এর সমাধান সেট = 2 < x < 5
ধরি, নিতুর বয়স x বছর
নিপার বয়স x/4 বছর
তন্দ্রার বয়স x + 4 বছর

প্রশ্নমতে,
x + x + 4 + (x/4) ≤ 22
⇒ 2x + (x/4) ≤ 22 - 4
⇒ (8x + x)/4 ≤ 18
⇒ 9x ≤ 18 × 4
⇒ x ≤ 18 × 4/9
⇒ x ≤ 8
⇒ x + 4 ≤ 8 + 4
∴ x + 4 ≤ 12

অতএব, তন্দ্রার বয়স ≤ 12 বছর
- 8 < x < 2
বা, - 8 + 3 < x + 3 < 2 + 3
বা, - 5 < x + 3 < 5
∴ |x + 3| < 5

আমাদের x এর মানগুলি খুঁজে বের করতে হবে যা অসমতাকে সত্য করে।

প্রথমত, আমরা পরম মানটিকে দুটি পৃথক অসমতায় বিভক্ত করতে পারি: x2 - 1 <3 এবং -(x2 - 1) <3

প্রথম অসমতা সমাধান করে, আমরা পাই:
x2 - 1 < 3
x2 < 4
x < ±2

দ্বিতীয় অসমতা সমাধান করে, আমরা পাই:
-(x2 - 1) < 3
x2 - 1 > -3
x2 > -2
x > ±√(-2)

সুতরাং অসমতার সমাধান হল: -2 < x < 2

মনে রাখবেন √(-2) এর মান একটি বাস্তব সংখ্যা নয়, তাই x > √(-2) এর কোনো সমাধান নেই.
এখানে,0 < x < 1
সুতরাং স্পষ্টতই x একটি ধনাত্মক দশমিক সংখ্যা। কোনো সংখ্যাকে দশমিক কোনো সংখ্যা দ্বারা গুণ করলে যে মান পাওয়া যায় তা ঐ দশমিক সংখ্যা দ্বারা ঐ সংখ্যাকে ভাগ করলে যে মান পাওয়া যায়, তার চেয়ে ছোট। সুতরাং সবচেয়ে বড় সংখ্যাটি হলো 1/x2
x + y > 5 এবং x-y> 3
ধরি, x = 5 এবং y = 1
∴ x + y = 5 + 1 = 6> 5
এবং x-y=5-1=4>3
∴ x> 4
x2 - 3x - 10 > 0
(x - 5)(x + 2) > 0
দুইটি রাশির গুনফল তখনই ধনাত্মক বা শূন্য অপেক্ষা বড় হবে যদি উভয়ই ধনাত্মক বা ঋণাত্মক হয়।
∴ নির্ণেয় সমাধান = (-∞, -2) ∪ (5, +∞)
x2 + x - 2 ≥ 0
বা, x2 + 2x - x - 2 ≥ 0
বা, x(x + 2) - 1(x + 2) ≥ 0
বা, (x + 2)(x - 1) ≥ 0
বা, x ≤ -2 অথবা x ≥ 1
-7 < x < -1
-3<x+4<3   [ উভয়পাশে 4 যোগ করে পাই]
|x+4|<3
5x - 2 < 2x + 13
বা, 5x - 2x < 13 + 2
বা, 3x < 15
বা, x < 5
x এর মান 5 এর চেয়ে ছোট যে কোন সংখ্যা হতে পারে।
কিন্তু x এর মান 5 বা 5 এর চেয়ে বড় হতে পারে না।
কারণ  এর মান 5 বা 5 এর চেয়ে বড় হলে প্রদত্ত অসমতাটি সিদ্ধ হয় না।
সুতরাং সমাধান সেট = ( - ∞, 5)
x2-7x+12<0
or,x2 -4x-3x+12<0
or,x(x-4) -3(x-4)<0
or,(x-4)(x-3)<0
or,3<x<4    [ x-4=0 or x=4 ; x-3=0 or x=3 ]
x3<x2<x
 এখানে শুধু  x ই বড় কিন্তু যখন তার উপর বর্গ করা হচ্ছে তখন তা ছোট হয়ে যাচ্ছে আবার ঘন করা হলেও ছোট হচ্ছে ।সুতরাং x একটি ভগ্নাংশ ।অপশনে শুধু মাত্র
একটি ভগ্নাংশ আছে  1/3  তাই ভগ্নাংশ ধরে মিলিয়ে নেয়া যায়।
  (1/3)3< (1/3)2 <1/3
 or,1/27<1/9<1/3
Since n is a positive integer, assume n = 1
(√3+1)³ + (√3−1)³
= {3√3 + 1 + 3√3(√3 + 1)} + {3√3 – 1 – 3√3(√3 – 1)}
= 3√3 + 1 + 9 + 3√3 + 3√3 – 1 – 9 + 3√3
= 12√3, which is an irrational number.

যেহেতু, দুইটাই > চিহ্ন। তাই, 3 এবং 0 হল p এবং q এর সর্বনিম্ন মান। তাহলে, pq এর মান অন্তত (3 X 0) = 0 এর চেয়ে বেশি হবে। অর্থাৎ, pq > -2 সবসময়ই সঠিক।
x<0 তাই এখানে x নেতিবাচক।
xz >0 তাই এখানে x  & z উভয়ই ঋনাত্মক, এবং তাদের গুনফল ধনাত্মক।
xy<0 মানে  যদি x ঋণাত্মক হয়, তাই y অবশ্যই ইতিবাচক হতে হবে।
সুতরা, y>0 হল সঠিক উত্তর।
 

সঠিক উত্তর: 0 | ভুল উত্তর: 0