অসমতা

যদি 0 < x < 1 হয়, তবে নিচের কোনটির মান সবচেয়ে বড়?

ক) x খ) x² গ) √x ঘ) 1/x

ব্যাখ্যা (Explanation)

দেওয়া আছে, \(0 < x < 1\) অর্থাৎ \(x\)-এর মান \(0\) অপেক্ষা বড় এবং \(1\) অপেক্ষা ছোট।
এর মানে হলো \(x\) একটি ধনাত্মক প্রকৃত ভগ্নাংশ বা দশমিক সংখ্যা।
সহজে বোঝার জন্য আমরা \(x\)-এর একটি নির্দিষ্ট মান ধরে হিসাব করতে পারি।
ধরি, \(x = 0.5\) (বা \(\frac{1}{2}\))।
এখন প্রতিটি অপশনের মান বের করে তুলনা করি:
- অপশন ১: \(x = 0.5\)
- অপশন ২: \(x^2 = (0.5)^2 = 0.25\)
- অপশন ৩: \(\sqrt{x} = \sqrt{0.5} \approx 0.707\)
- অপশন ৪: \(\frac{1}{x} = \frac{1}{0.5} = 2\)
মানগুলো তুলনা করলে দেখা যায়:
\[2 > 0.707 > 0.5 > 0.25\]
অর্থাৎ, \[\frac{1}{x} > \sqrt{x} > x > x^2\]
অতএব, সবচেয়ে বড় মানটি হলো \(\frac{1}{x}\)।
- গুরুত্বপূর্ণ নিয়ম: \(0\) থেকে \(1\)-এর মধ্যবর্তী কোনো প্রকৃত ভগ্নাংশকে বর্গ (\(x^2\)) করলে তার মান মূল সংখ্যা থেকে ছোট হয়ে যায়। কিন্তু ভগ্নাংশটিকে বিপরীতকরণ বা উল্টিয়ে (\(\frac{1}{x}\)) দিলে তার মান \(1\) অপেক্ষা বড় হয়ে যায়, যা অন্য সব মানের চেয়ে বড় হবে।
- সঠিক উত্তর: অপশন ৪: \(\frac{1}{x}\)
সোর্সঃ খাইরুল বেসিক গণিত

|x - 3| < 5 পরমমান সংবলিত অসমতাটির সঠিক সমাধান কোনটি?

ক) -8 < x < 2 খ) -2 < x < 8 গ) 2 < x < 8 ঘ) -5 < x < 5

ব্যাখ্যা (Explanation)

দেওয়া আছে, পরমমান সংবলিত অসমতাটি হলো: \[|x - 3| < 5\]
পরমমান চিহ্নের নিয়ম অনুযায়ী, যদি \(|x| < a\) হয়, তবে আমরা লিখতে পারি: \[-a < x < a\]
- এই নিয়মানুযায়ী অসমতাটির পরমমান চিহ্ন তুলে দিয়ে পাই: \[-5 < x - 3 < 5\]
- এখন অসমতাটির প্রতিটি অংশের সাথে \(3\) যোগ করে পাই: \[-5 + 3 < x - 3 + 3 < 5 + 3\]
- হিসাব করার পর পাই: \[-2 < x < 8\]
অতএব, অসমতাটির সঠিক সমাধান হলো \(-2 < x < 8\)।
- সঠিক উত্তর: অপশন ২: \(-2 < x < 8\)
সোর্সঃ খাইরুল বেসিক গণিত

যদি x, y এবং z তিনটি পূর্ণ সংখ্যা (Integers) হয় এবং x > y ও z > 2 হয়, তবে নিচের কোনটি অবশ্যই ভুল?

ক) x + z > y খ) xz > y গ) y - xz > 0 ঘ) z - x < y

ব্যাখ্যা (Explanation)

দেওয়া আছে, অসমতার শর্ত দুটি হলো: \(x > y\) এবং \(z > 2\)
যেহেতু \(x\), \(y\) এবং \(z\) তিনটি পূর্ণসংখ্যা, তাই আমরা শর্ত মেনে সহজ কিছু মান ধরে অপশনগুলো পরীক্ষা করতে পারি।
- ধরি, \(z = 3\) (যেহেতু শর্ত অনুযায়ী \(z > 2\))
- ধরি, \(x = 5\) এবং \(y = 4\) (যেহেতু শর্ত অনুযায়ী \(x > y\))
এখন এই মানগুলো ব্যবহার করে প্রতিটি অপশন যাচাই করি:
- অপশন ১: \(x + z > y\)
মান বসিয়ে পাই: \(5 + 3 > 4\) বা \(8 > 4\), যা একটি সঠিক সম্পর্ক।
- অপশন ২: \(xz > y\)
মান বসিয়ে পাই: \(5 \times 3 > 4\) বা \(15 > 4\), যা-ও সঠিক।
- অপশন ৩: \(y - xz > 0\)
মান বসিয়ে পাই: \(4 - (5 \times 3) > 0\) বা \(4 - 15 > 0\) বা \(-11 > 0\)
আমরা জানি, ঋণাত্মক সংখ্যা কখনো শূন্যের চেয়ে বড় হতে পারে না। তাই সম্পর্কটি অবশ্যই ভুল।
- অপশন ৪: \(z - x < y\)
মান বসিয়ে পাই: \(3 - 5 < 4\) বা \(-2 < 4\), যা সঠিক।
অতএব, সঠিক উত্তরটি হলো অপশন ৩: \(y - xz > 0\)।
সোর্সঃ খাইরুল বেসিক গণিত

যদি -2 ≤ x ≤ 2 এবং 3 ≤ y ≤ 8 হয়, তবে y - x এর মান নির্দেশক সঠিক অসমতা কোনটি?

ক) 1 ≤ y - x ≤ 10 খ) 5 ≤ y - x ≤ 6 গ) 1 ≤ y - x ≤ 6 ঘ) -5 ≤ y - x ≤ 10

ব্যাখ্যা (Explanation)

দেওয়া আছে, \(x\) এবং \(y\) এর অসমতা দুটি হলো :
\[-2 \le x \le 2\]
\[3 \le y \le 8\]
আমাদের \(y - x\) এর সঠিক অসমতাটি বের করতে হবে। অসমতার বিয়োগ সরাসরি করা যায় না, তাই আমরা এটি দুইটি পদ্ধতিতে সহজভাবে সমাধান করতে পারি ।
- পদ্ধতি ১: সর্বোচ্চ ও সর্বনিম্ন মান ব্যবহার করে
যেকোনো বিয়োগফল \(y - x\) এর মানকে সর্বনিম্ন এবং সর্বোচ্চ সীমার মধ্যে রাখতে হলে আমাদের নিচের নিয়মটি বুঝতে হবে:
- \(y - x\) এর সর্বনিম্ন মান পেতে হলে \(y\) এর মান সবচেয়ে ছোট এবং \(x\) এর মান সবচেয়ে বড় হতে হবে।
এখানে, \(y\) এর সর্বনিম্ন মান \(3\) এবং \(x\) এর সর্বোচ্চ মান \(2\)।
অতএব, সর্বনিম্ন মান = \(3 - 2 = 1\)।
- \(y - x\) এর সর্বোচ্চ মান পেতে হলে \(y\) এর মান সবচেয়ে বড় এবং \(x\) এর মান সবচেয়ে ছোট হতে হবে।
এখানে, \(y\) এর সর্বোচ্চ মান \(8\) এবং \(x\) এর সর্বনিম্ন মান \(-2\)।
অতএব, সর্বোচ্চ মান = \(8 - (-2) = 8 + 2 = 10\)।
যেহেতু সর্বনিম্ন মান \(1\) এবং সর্বোচ্চ মান \(10\), তাই সঠিক অসমতাটি হবে: \[1 \le y - x \le 10\]
- পদ্ধতি ২: অসমতার বীজগণিতীয় নিয়ম ব্যবহার করে
প্রথমে \(x\) এর অসমতাটি লিখি: \[-2 \le x \le 2\]
যেহেতু আমাদের \(-x\) এর মান লাগবে, তাই অসমতাটিকে \(-1\) দ্বারা গুণ করি। আমরা জানি, ঋণাত্মক সংখ্যা দ্বারা গুণ করলে অসমতার দিক পরিবর্তন হয়ে যায়:
\[2 \ge -x \ge -2\]
এটিকে ছোট থেকে বড় ক্রমে সাজিয়ে লিখলে পাই: \[-2 \le -x \le 2\]
এখন, \(y\) এর অসমতাটি হলো: \[3 \le y \le 8\]
এবার এই দুটি অসমতা সরাসরি যোগ করি:
বাম পাশের সর্বনিম্ন মানগুলোর যোগফল: \(3 + (-2) = 1\)
ডান পাশের সর্বোচ্চ মানগুলোর যোগফল: \(8 + 2 = 10\)
সুতরাং, যোগফলটি হবে: \[1 \le y - x \le 10\]
- সঠিক উত্তর: সঠিক উত্তর হলো অপশন ১: \(1 \le y - x \le 10\) ।

সোর্সঃ খাইরুল বেসিক গণিত

যদি x > y এবং a > b হয়, তবে নিচের কোনটি সঠিক?

ক) a - x > b - y খ) ax > by গ) a/x > b/y ঘ) a + x > b + y

ব্যাখ্যা (Explanation)

দেওয়া আছে, অসমতা দুটি হলো: \(x > y\) এবং \(a > b\)
অসমতার মৌলিক নিয়ম অনুযায়ী, দুটি একই চিহ্নের অসমতা পরস্পর যোগ করা যায়।
- প্রথম অসমতা: \[x > y\]
- দ্বিতীয় অসমতা: \[a > b\]
এই অসমতা দুটিকে যোগ করলে অসমতার চিহ্ন অপরিবর্তিত থাকে । অর্থাৎ:
\[(a + x) > (b + y)\]
সহজভাবে বোঝার জন্য আমরা কিছু বাস্তব সংখ্যা ধরে বিষয়টি পরীক্ষা করতে পারি। ধরা যাক:
- \(x = 5\) এবং \(y = 3\) (যেহেতু \(5 > 3\))
- \(a = 4\) এবং \(b = 2\) (যেহেতু \(4 > 2\))
এখন মানগুলো অপশনগুলোতে বসিয়ে যাচাই করি:
- অপশন ৪ (সঠিক উত্তর): বামপক্ষ \(a + x = 4 + 5 = 9\) এবং ডানপক্ষ \(b + y = 2 + 3 = 5\)। যেহেতু \(9 > 5\), তাই \(a + x > b + y\) সম্পর্কটি সর্বদা সঠিক।
- অপশন ১: \(a - x > b - y\) বা \(4 - 5 > 2 - 3 \Rightarrow -1 > -1\), যা সঠিক নয়।
- অপশন ২: \(ax > by\) বা \(4 \times 5 > 2 \times 3 \Rightarrow 20 > 6\)。 ধনাত্মক সংখ্যার ক্ষেত্রে এটি সঠিক মনে হলেও চলকগুলোর মান ঋণাত্মক হলে এই নিয়মটি খাটবে না। যেমন: \(x = -2, y = -3\) এবং \(a = -4, b = -5\) হলে \(ax = 8\) এবং \(by = 15\) হয়, কিন্তু \(8 > 15\) সঠিক নয়।
- অপশন ৩: \(\frac{a}{x} > \frac{b}{y}\) বা \(\frac{4}{5} > \frac{2}{3} \Rightarrow 0.8 > 0.66\)। এটিও ঋণাত্মক বা ভগ্নাংশ মানের ক্ষেত্রে সর্বদা সঠিক হয় না।
অতএব, অসমতার ক্ষেত্রে কেবল যোগের নিয়মটিই সকল বাস্তব মানের জন্য সর্বদা সত্য।
- সঠিক উত্তর: অপশন ৪: \(a + x > b + y\)

সোর্সঃ খাইরুল বেসিক গণিত

-100 < x < y < 0 হলে নিচের কোনটি সবচেয়ে বড় (Largest Value) হবে?

ক) x খ) y² গ) y ঘ) x + y

x² - 6x + 8 > 0 অসমতাটির সমাধান করুন।

ক) (2, 4) খ) (-∞, 3) U (5, ∞) গ) (-∞, 1) U (8, ∞) ঘ) (-∞, 2) U (4, ∞)

ব্যাখ্যা (Explanation)

প্রদত্ত অসমতা,
x² - 6x + 8 > 0

প্রথমে, x² - 6x + 8 = 0 সমীকরণটির মূল বের করি।

⇒ x² - 6x + 8 = 0
⇒ (x - 2)(x - 4) = 0
∴ x = 2, 4

এখন, এই দুটি মান দ্বারা সংখ্যারেখা তিনটি ভাগে বিভক্ত হবে:
(−∞, 2), (2, 4), (4, ∞)

প্রতিটি অংশ থেকে একটি করে মান নিয়ে দেখি অসমতাটি কোথায় সত্য।

১) x = 1 (যা ∈ (−∞, 2))
⇒ x² - 6x + 8 = 1 - 6 + 8 = 3 > 0 সত্য

২) x = 3 (যা ∈ (2, 4))
⇒ x² - 6x + 8 = 9 - 18 + 8 = -1 < 0 মিথ্যা

৩) x = 5 (যা ∈ (4, ∞))
⇒ x² - 6x + 8 = 25 - 30 + 8 = 3 > 0 সত্য

অতএব, অসমতা সত্য হব x ∈ (−∞, 2) ∪ (4, ∞)

|2x + 5| > 3 অসমতাটির সমাধান করুন।

ক) x < -3 অথবা x > 0 খ) x < -4 অথবা x > -1 গ) -4 < x < -1 ঘ) x < -5 অথবা x > -2

ব্যাখ্যা (Explanation)

প্রদত্ত, |2x + 5| > 3

অর্থাৎ,
2x + 5 > 3 অথবা 2x + 5 < -3

প্রথম ক্ষেত্রে:
2x + 5 > 3
⇒ 2x > 3 - 5
⇒ 2x > -2
⇒ x > -1

দ্বিতীয় ক্ষেত্রে:
2x + 5 < -3
⇒ 2x < -8
⇒ x < -4

অতএব, অসমতা সত্য হবে যখন x < -4 অথবা x > -1

বাস্তব সংখ্যায় 1/(3x - 5) < 1/3 অসমতাটির সমাধান কী?

ক) x < 5/3 অথবা x > 7/3 খ) x > 5/3 এবং x < 8/3 গ) x < 5/3 অথবা x > 8/3 ঘ) 5/3 < x < 8/3

ব্যাখ্যা (Explanation)

প্রদত্ত অসমতাটি হলো:
1/(3x - 5) < 1/3

একে আমরা লিখতে পারি:
1/(3x - 5) - 1/3 < 0

লসাগু করে পাই:
(3 - (3x - 5)) / (3 * (3x - 5)) < 0
(3 - 3x + 5) / (9x - 15) < 0
(8 - 3x) / (9x - 15) < 0

এই অসমতাটি সত্য হবে যখন লব এবং হর বিপরীত চিহ্নযুক্ত হবে।

ক্ষেত্র ১: যখন 8 - 3x > 0 এবং 9x - 15 < 0
8 > 3x => x < 8/3
এবং
9x < 15 => x < 15/9 => x < 5/3
এই দুটি শর্তের সাধারণ সমাধান হলো x < 5/3।

ক্ষেত্র ২: যখন 8 - 3x < 0 এবং 9x - 15 > 0
8 < 3x => x > 8/3
এবং
9x > 15 => x > 15/9 => x > 5/3
এই দুটি শর্তের সাধারণ সমাধান হলো x > 8/3।

সুতরাং, অসমতাটির সমাধান হলো x < 5/3 অথবা x > 8/3।

1/|3x – 5| > 2 অসমতাটির সমাধান করুন।

ক) 9/6 < x < 11/6 এবং x ≠ 5/3 খ) 7/6 < x < 13/6 এবং x ≠ 5/3 গ) 8/6 < x < 12/6 এবং x ≠ 5/3 ঘ) 10/6 < x < 14/6 এবং x ≠ 5/3

ব্যাখ্যা (Explanation)

প্রদত্ত অসমতাটি হলো:
1/|3x – 5| > 2

যেহেতু |3x – 5| সর্বদা ধনাত্মক (শূন্য বাদে), আমরা উভয় পক্ষকে |3x – 5| দিয়ে গুণ করতে পারি:
1 > 2 * |3x – 5|
1/2 > |3x – 5|
অর্থাৎ, |3x – 5| < 1/2

এই পরম মানের অসমতাকে আমরা লিখতে পারি:
-1/2 < 3x – 5 < 1/2

এখন, অসমতার সব অংশে 5 যোগ করে পাই:
5 - 1/2 < 3x < 5 + 1/2
9/2 < 3x < 11/2

সব অংশকে 3 দ্বারা ভাগ করে পাই:
(9/2)/3 < x < (11/2)/3
9/6 < x < 11/6

এছাড়াও, মূল অসমতার হর শূন্য হতে পারে না, অর্থাৎ 3x – 5 ≠ 0 বা x ≠ 5/3।
যেহেতু 5/3 = 10/6 এবং এটি 9/6 ও 11/6 এর মধ্যে অবস্থিত, তাই এই মানটি গ্রহণযোগ্য নয়।

সুতরাং, সমাধানটি হলো 9/6 < x < 11/6 এবং x ≠ 5/3।

5x - x² - 6 > 0 অসমতাটির সমাধান কী?

ক) 1 < x < 4 খ) 3 < x < 5 গ) -1 < x < 6 ঘ) 2 < x < 3

ব্যাখ্যা (Explanation)

প্রদত্ত অসমতাটি:
5x - x² - 6 > 0

প্রথমে রাশিটিকে সাজিয়ে লিখি:
-x² + 5x - 6 > 0

উভয় পক্ষকে -1 দ্বারা গুণ করলে অসমতার চিহ্ন পাল্টে যাবে:
x² - 5x + 6 < 0

এখন, দ্বিঘাত রাশিটিকে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করি:
x² - 3x - 2x + 6 < 0
x(x - 3) - 2(x - 3) < 0
(x - 2)(x - 3) < 0

এই অসমতাটি তখনই সত্য হবে যখন (x - 2) এবং (x - 3) এর মধ্যে একটি ধনাত্মক এবং অন্যটি ঋণাত্মক হবে।

যেহেতু x - 2 > x - 3, তাই (x - 2) ধনাত্মক এবং (x - 3) ঋণাত্মক হতে হবে।
x - 2 > 0 => x > 2
এবং
x - 3 < 0 => x < 3

সুতরাং, সমাধানটি হলো 2 < x < 3।

|x - 2| < 3 হলে, m এবং n এর কোন মানের জন্য m < 3x + 5 < n হবে?

ক) m = -1, n = 14 খ) m = 2, n = 20 গ) m = 0, n = 18 ঘ) m = 3, n = 21

ব্যাখ্যা (Explanation)

প্রথমে আমরা |x - 2| < 3 অসমতাটি সমাধান করব:
-3 < x - 2 < 3
-3 + 2 < x < 3 + 2 [অসমতার সব অংশে 2 যোগ করে]
-1 < x < 5

এখন আমাদের 3x + 5 এর সীমা বের করতে হবে।
উপরের অসমতাকে 3 দ্বারা গুণ করে পাই:
3 * (-1) < 3x < 3 * 5
-3 < 3x < 15
-3 + 5 < 3x + 5 < 15 + 5 [সব অংশে 5 যোগ করে]
2 < 3x + 5 < 20

এই অসমতাটিকে m < 3x + 5 < n এর সাথে তুলনা করলে আমরা পাই:
m = 2 এবং n = 20

সুতরাং, সঠিক উত্তর হলো m = 2, n = 20।

যদি a < 0 b < 0 এবং a/1 < 1/b হয় তবে a এবং b এর মধ্যে কী সম্পর্ক?

ক) a < b খ) a = b গ) a > b ঘ) সবগুলোই

ব্যাখ্যা (Explanation)

প্রদত্ত শর্তগুলো হলো a এবং b উভয়ই ঋণাত্মক সংখ্যা এবং a < 1/b। এই শর্তগুলোর অধীনে a ও b এর মধ্যে যেকোনো সম্পর্ক (a < b, a = b, বা a > b) স্থাপন করা সম্ভব। নিচে প্রতিটি সম্পর্কের জন্য একটি করে উদাহরণ দেওয়া হলো:

যখন a > b:
ধরি, b = -3। তাহলে 1/b = -1/3।
শর্তানুযায়ী, a < 1/b হতে হবে, অর্থাৎ a < -1/3।
একই সাথে a > b হতে হবে, অর্থাৎ a > -3।
তাহলে, -3 < a < -1/3। আমরা a-এর মান -2 ধরতে পারি।
এখানে a = -2 এবং b = -3 হলে, a > b সম্পর্কটি সঠিক।

যখন a < b:
ধরি, b = -1/2। তাহলে 1/b = -2।
শর্তানুযায়ী, a < 1/b হতে হবে, অর্থাৎ a < -2।
আমরা a-এর মান -3 ধরতে পারি।
এখানে a = -3 এবং b = -1/2 হলে, a < b সম্পর্কটি সঠিক।

যখন a = b:
যদি a = b হয়, তাহলে শর্তটি দাঁড়ায় a < 1/a।
যেহেতু a একটি ঋণাত্মক সংখ্যা, আমরা অসমীকরণটির উভয় পক্ষকে a দ্বারা গুণ করলে অসমতার চিহ্নটি পাল্টে যাবে:
a * a > (1/a) * a
a² > 1
এর অর্থ হলো, a > 1 অথবা a < -1।
যেহেতু a < 0, তাই আমাদের a < -1 শর্তটি নিতে হবে।
ধরি, a = -4। তাহলে b = -4।
এখানে a = -4 এবং b = -4 হলে, a = b সম্পর্কটি সঠিক।

যেহেতু তিনটি সম্পর্কই (a < b, a > b, a = b) সম্ভব, তাই সঠিক উত্তর হলো "সবগুলোই"।

x² + x - 2 > 0 অসমতাটির সমাধান করুন-

ক) {-2, 1} খ) {-2, 2} গ) (-∞, -2) ∪ (1, ∞) ঘ) (-2, ∞)

ব্যাখ্যা (Explanation)

১. প্রথমে, সংশ্লিষ্ট সমীকরণ x² + x - 2 = 0 এর মূলগুলো বের করতে হবে।
২. সমীকরণটিকে মধ্যপদ বিশ্লেষণের (middle-term factorization) মাধ্যমে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করা যায়:
x² + 2x - x - 2 = 0
x(x + 2) - 1(x + 2) = 0
(x + 2)(x - 1) = 0
৩. এখান থেকে মূল দুটি পাওয়া যায়: x = -2 এবং x = 1
৪. এই দুটি মূল সংখ্যারেখাকে তিনটি অংশে বিভক্ত করে: (-∞, -2), (-2, 1) এবং (1, ∞)।[
৫. এখন আমরা প্রতিটি অংশে অসমতাটি (x² + x - 2 > 0) সত্য কিনা তা পরীক্ষা করব।
* যখন x < -2 (যেমন, x = -3): (-3)² + (-3) - 2 = 9 - 3 - 2 = 4, যা 0 থেকে বড়। সুতরাং, (-∞, -2) ব্যবধিটি সমাধানের অংশ।
* যখন -2 < x < 1 (যেমন, x = 0): (0)² + 0 - 2 = -2, যা 0 থেকে বড় নয়। সুতরাং, (-2, 1) ব্যবধিটি সমাধানের অংশ নয়।
* যখন x > 1 (যেমন, x = 2): (2)² + 2 - 2 = 4 + 2 - 2 = 4, যা 0 থেকে বড়। সুতরাং, (1, ∞) ব্যবধিটি সমাধানের অংশ।

p > q, q < r, r > p হলে নিচের কোন সম্পর্কটি সঠিক?

ক) p > r > q খ) r > p > q গ) q > p > r ঘ) r > q > p

ব্যাখ্যা (Explanation)

যেহেতু
q < r এবং r > p
অর্থাৎ r এর মান p ও q থেকে বড়।

p > q
অর্থাৎ p এর মান q থেকে বড়।

তাই,
r > p > q

|x + 3| ≤ 8 হলে, x এর সর্বনিম্ন মান কত?

ক) -11 খ) -8 গ) -5 ঘ) -3

ব্যাখ্যা (Explanation)

|x + 3| ≤ 8
= - 8 ≤ x + 3 ≤ 8
= - 8 - 3 ≤ x + 3 - 3 ≤ 8 - 3
= - 11 ≤ x ≤ 5

∴ x এর সর্বনিম্ন মান - 11

{1/|4x - 5|} ≥ (1/8) অসমতাটির সমাধান কত?

ক) (-3/4) ≤ x ≤ (13/4) খ) (-3/4) < x < (13/4) গ) (-3/4) ≤ x < (13/4) ঘ) (-3/4) < x ≤ (13/4)

ব্যাখ্যা (Explanation)

{1/|4x - 5|} ≥ (1/8)
⇒ |4x - 5| ≤ 8
⇒ - 8 ≤ 4x - 5 ≤ 8
⇒ - 8 + 5 ≤ 4x - 5 + 5 ≤ 8 + 5
⇒ - 3 ≤ 4x ≤ 13
⇒ - 3/4 ≤ 4x/4 ≤ 13/4
⇒ - 3/4 ≤ x ≤ 13/4

|x + 1| ≤ 4 হলে, a এবং b এর কোন মানের জন্য a ≤ 3x - 2 ≤ b হবে?

ক) a = -17, b = 7 খ) a = -7, b = 17 গ) a = -15, b = 5 ঘ) a = -5, b = 15

ব্যাখ্যা (Explanation)

|x + 1| ≤ 4
⇒ - 4 ≤ x + 1 ≤ 4
⇒ - 4 - 1 ≤ x + 1 - 1 ≤ 4 - 1
⇒ - 5 ≤ x ≤ 3
⇒ - 15 ≤ 3x ≤ 9
⇒ - 15 - 2 ≤ 3x - 2 ≤ 9 - 2
⇒ - 17 ≤ 3x - 2 ≤ 7
যেখানে, a ≤ 3x - 2 ≤ b
∴ a = - 17 এবং b = 7

5 ≤ 3x + 1 < 16 অসমতাটির সমাধান কোনটি?

ক) [4/3, 5) খ) (4/3, 5] গ) [4/3, 5] ঘ) (4/3, 5)

ব্যাখ্যা (Explanation)

5 ≤ 3x + 1 < 16
= 5 - 1 ≤ 3x + 1 - 1 < 16 - 1
= 4 ≤ 3x < 15
= 4/3 ≤ x < 15/3
= 4/3 ≤ x < 5

∴ অসমতাটির সমাধান [4/3, 5)

।4x - 3। < 1 অসমতাটির সমাধান কত?

ক) x < 1 খ) x < 3 গ) x < 3/4 ঘ) x < 5/4

Job Solutions

ব্যাখ্যা (Explanation)

।4x - 3 Ι < 1
⇒ - 1 < 4x - 3 < 1
⇒ - 1 + 3 < 4x - 3 + 3 < 1 + 3
⇒ 2 < 4x < 4
⇒ 2/4 < 4x/4 < 4/4
⇒ 1/2 < x < 1

অপশন অনুযায়ী সঠিক উত্তর: x < 1

X+3>2x-1 অসমতাটির সমাধান সেট হবে?

ক) (∞,০] খ) (-∞,4] গ) (-∞,4) ঘ) (4,0)

Job Solutions

ব্যাখ্যা (Explanation)

x+3>2x-1
⇒ 3+1>2x-x
⇒ 4>x

So, x -এর মান -∞ থেকে 4 পর্যন্ত।

If 4 < x < 6, which of the following must be false?

ক) x = 5 খ) x = 6 গ) x = 4.5 ঘ) x = 5.9

ব্যাখ্যা (Explanation)

x = 5: এই মানটি 4 এর চেয়ে বড় এবং 6 এর চেয়ে ছোট। তাই এটি সত্য হতে পারে।

x = 6: এই মানটি 6 এর সমান। কিন্তু শর্তে বলা হয়েছে x<6, অর্থাৎ x এর মান 6 এর চেয়ে ছোট হতে হবে। 6 এর সমান হতে পারবে না। তাই এটি মিথ্যা হতে বাধ্য।

x = 4.5: এই মানটি 4 এর চেয়ে বড় এবং 6 এর চেয়ে ছোট। তাই এটি সত্য হতে পারে।

x = 5.9: এই মানটি 4 এর চেয়ে বড় এবং 6 এর চেয়ে ছোট। তাই এটি সত্য হতে পারে।

যেহেতু x এর মান 6 এর চেয়ে কঠোরভাবে ছোট হতে হবে (x<6), তাই x=6 হওয়া অসম্ভব। এই কারণে, বিকল্প x = 6 অবশ্যই মিথ্যা।

x² - 3x + 2 < 0 অসমতাটির সমাধান কোনটি?

ক) 1 < x < 2 খ) - 2 < x < - 1 গ) - 2 < x ≤ - 1 ঘ) 1 ≤ x ≤ 2

Job Solutions

ব্যাখ্যা (Explanation)

x² - 3x + 2 < 0
⇒ x² - x - 2x + 2 < 0
⇒ x(x - 1) - 2(x - 1) < 0
⇒ (x - 1)(x - 2) < 0

∴ অসমতাটির সমাধান: 1 < x < 2

2x − 3 ≤ 7 অসমতাটির সমাধান কোনটি?

ক) x > 5 খ) x ≤ 1 গ) x ≤ 5 ঘ) x > 2

ব্যাখ্যা (Explanation)

2x − 3 ≤ 7
বা, 2x ≤ 7 + 3
বা, 2x ≤ 10
বা, x ≤ 5

বাস্তব সংখ্যায় 1/(3x-5)<1/3 অসমতাটির সমাধান -

ক) -∞<x<5/3 খ) 8/3<x<∞ গ) -∞<x<5/2 অথবা 8/3<x<∞ ঘ) -∞<x<5/2 এবং 8/3<x<∞

বিসিএস

ব্যাখ্যা (Explanation)

1/(3x-5)<1/3
or,3x-5>3
or,3x>8
or,x>8/3 [ x এর মান 8/3 থেকে বড় অসীম পর্যন্ত বিস্তৃত ]

∴ 8/3<x<∞

x² - 7x + 12 ≤ 0 এর সমাধান সেট -

ক) (- ∞, 3] খ) (3, 4) গ) [3, 4] ঘ) [4, ∞)

বিসিএস

ব্যাখ্যা (Explanation)

x² - 7x + 12 ≤ 0
x² - 3x - 4x + 12 ≤ 0
x(x - 3) - 4(x - 3) ≤ 0
∴ (x - 3)(x - 4) ≤ 0

x² - 7x + 12 ≤ 0 সত্য হবে যদি x - 3 ≤ 0 এবং x - 4 ≥ 0 হয়।
এখন, x - 3 ≤ 0 এবং x - 4 ≥ 0
অর্থাৎ, x ≤ 3 এবং x ≥ 4
3 এর চেয়ে ছোট বা সমান এবং 4 এর চেয়ে বড় বা সমান x এর কোন মান নাই।
এক্ষেত্রে অসমতাটির কোন সমাধান পাওয়া যাবে না।

আবার,
x² - 7x + 12 ≤ 0 সত্য হবে যদি x - 3 > 0 এবং x - 4 ≤ 0 হয়।
এখন, x - 3 ≥ 0 এবং x - 4 ≤ 0
অর্থাৎ x ≥ 3 এবং x ≤ 4
x এর মান 3 এর চেয়ে বড় বা সমান এবং 4 এর চেয়ে ছোট বা সমান।
সুতরাং অসমতাটির সমাধান পাওয়া যাবে.

সুতরাং নির্ণেয় সমাধান: 3 ≤ x ≤ 4

x² - 7x + 12 ≤ 0 এর সমাধান সেট [3, 4]

যদি z=x+iy হয়, তবে |2z-1|=|z-2| দ্বারা বর্ণিত সঞ্চার পথের সমীকরণ নির্ণয় করুন।

ক) x²+y²=1 খ) z²+y²=1 গ) 2(x²+y²)=1 ঘ) 3(x²+y²)=4

Job Solutions

ব্যাখ্যা (Explanation)

|2z-1| = |z-2|
⇒ |2(x+iy)-1| = |(x+iy)-2|
⇒ |(2x-1)+2iy| = |(x-2)+iy|
⇒ √[(2x-1)² + (2y)²] = √[(x-2)² + y²]
⇒ (2x-1)² + 4y² = (x-2)² + y²
⇒ 4x² - 4x + 1 + 4y² = x² - 4x + 4 + y²
⇒ 4x² + 4y² - 4x + 1 = x² + y² - 4x + 4
⇒ 3x² + 3y² = 3
⇒ x² + y² = 1

সুতরাং, সঞ্চার পথের সমীকরণ হল x² + y² = 1, যা একটি একক বৃত্তের সমীকরণ।

2x² + 5x + 3 < 0 এর সমাধান কোনটি?

ক) -3/2 < x < -1 খ) -3/2 < x < 1 গ) -3/2 ≤ x ≤ 1 ঘ) -3/2 < x ≤ 1

বিসিএস

ব্যাখ্যা (Explanation)

2x² + 2x + 3x + 3 < 0
⇒ 2x(x + 1) + 3(x + 1) < 0
⇒ (2x + 3)(x + 1) < 0

প্রথম ক্ষেত্রে:
(2x + 3) > 0 এবং (x + 1) < 0
⇒ 2x > -3 => x > -3/2
⇒ x < -1

সুতরাং, এই ক্ষেত্রে সমাধান হল -3/2 < x < -1।

দ্বিতীয় ক্ষেত্রে:
(2x + 3) < 0 এবং (x + 1) > 0
⇒ 2x < -3 => x < -3/2
⇒ x > -1

এই ক্ষেত্রে কোন সমাধান নেই, কারণ কোন সংখ্যা একই সাথে -3/2 এর চেয়ে ছোট এবং -1 এর চেয়ে বড় হতে পারে না (-3/2 = -1.5)।

অতএব, অসমীকরণটির একমাত্র সমাধান হল -3/2 < x < -1।

(2x + 1) / (x - 3) ≤ 0 অসমতাটি সমাধান করুন।

ক) [3, -1/2) খ) (-1/2, 3] গ) (3, -1/2] ঘ) [-1/2, 3)

ব্যাখ্যা (Explanation)

(2x + 1) / (x - 3) ≤ 0
এই অসমতা সত্য হবে যখন লব ও হরের একটি ধনাত্মক এবং অন্যটি ঋণাত্মক হবে।

যদি 2x + 1 ≤ 0 এবং x - 3 > 0:
x ≤ -1/2 এবং x > 3
এই দুটি শর্ত একসাথে পূরণ হতে পারে না।

যদি 2x + 1 ≥ 0 এবং x - 3 < 0:
x ≥ -1/2 এবং x < 3
∴ -1/2 ≤ x < 3

সাথে, x ≠ 3 (কারণ হর শূন্য হতে পারে না)

∴ সমাধান: [-1/2, 3)

১/(|x - ১|) < ২ অসমতার সমাধান কত?

ক) (-∞, ১/২) U (৩/২, ∞) খ) ১/২, ৩/২ গ) (-∞, ১) U (৩, ৮) ঘ) (-∞, ২) U (৫/২, ∞)

ব্যাখ্যা (Explanation)

১/(|x-১|) < ২

বা, ১ < ২|x-১| (যেহেতু |x-১| > ০)

বা, ১/২ < |x-১|

অর্থাৎ, |x-১| > ১/২

এর মানে, x-১ > ১/২ অথবা x-১ < -১/২

১. x-১ > ১/২
বা, x > ৩/২

২. x-১ < -১/২
বা, x < ১/২

সুতরাং, সমাধানটি হল (-∞, ১/২) U (৩/২, ∞)

প্রথম ৩০টি প্রশ্নের ব্যাখ্যা ওয়েবসাইটে; সবগুলোর সম্পূর্ণ ব্যাখ্যা পেতে অ্যাপ ইন্সটল করুন।

নিজের প্রস্তুতি যাচাই করুন — অ্যাপে লাইভ পরীক্ষা দিয়ে মেরিট লিস্টে নিজের অবস্থান দেখুন।

এই টপিকের সব প্রশ্ন ব্যাখ্যাসহ, ভুল-সঠিক-বুকমার্ক আলাদা করে রিভিশন — অ্যাপে।