প্রদত্ত অসমতা,
x² - 6x + 8 > 0

প্রথমে, x² - 6x + 8 = 0 সমীকরণটির মূল বের করি।

⇒ x² - 6x + 8 = 0
⇒ (x - 2)(x - 4) = 0
∴ x = 2, 4

এখন, এই দুটি মান দ্বারা সংখ্যারেখা তিনটি ভাগে বিভক্ত হবে:
(−∞, 2), (2, 4), (4, ∞)

প্রতিটি অংশ থেকে একটি করে মান নিয়ে দেখি অসমতাটি কোথায় সত্য।

১) x = 1 (যা ∈ (−∞, 2))
⇒ x² - 6x + 8 = 1 - 6 + 8 = 3 > 0 সত্য

২) x = 3 (যা ∈ (2, 4))
⇒ x² - 6x + 8 = 9 - 18 + 8 = -1 < 0 মিথ্যা

৩) x = 5 (যা ∈ (4, ∞))
⇒ x² - 6x + 8 = 25 - 30 + 8 = 3 > 0 সত্য

অতএব, অসমতা সত্য হব x ∈ (−∞, 2) ∪ (4, ∞)

প্রদত্ত, |2x + 5| > 3

অর্থাৎ,
2x + 5 > 3 অথবা 2x + 5 < -3

প্রথম ক্ষেত্রে:
2x + 5 > 3
⇒ 2x > 3 - 5
⇒ 2x > -2
⇒ x > -1

দ্বিতীয় ক্ষেত্রে:
2x + 5 < -3
⇒ 2x < -8
⇒ x < -4

অতএব, অসমতা সত্য হবে যখন x < -4 অথবা x > -1

প্রদত্ত অসমতাটি হলো:
1/(3x - 5) < 1/3

একে আমরা লিখতে পারি:
1/(3x - 5) - 1/3 < 0

লসাগু করে পাই:
(3 - (3x - 5)) / (3 * (3x - 5)) < 0
(3 - 3x + 5) / (9x - 15) < 0
(8 - 3x) / (9x - 15) < 0

এই অসমতাটি সত্য হবে যখন লব এবং হর বিপরীত চিহ্নযুক্ত হবে।

ক্ষেত্র ১: যখন 8 - 3x > 0 এবং 9x - 15 < 0
8 > 3x => x < 8/3
এবং
9x < 15 => x < 15/9 => x < 5/3
এই দুটি শর্তের সাধারণ সমাধান হলো x < 5/3।

ক্ষেত্র ২: যখন 8 - 3x < 0 এবং 9x - 15 > 0
8 < 3x => x > 8/3
এবং
9x > 15 => x > 15/9 => x > 5/3
এই দুটি শর্তের সাধারণ সমাধান হলো x > 8/3।

সুতরাং, অসমতাটির সমাধান হলো x < 5/3 অথবা x > 8/3।

প্রদত্ত অসমতাটি হলো:
1/|3x – 5| > 2

যেহেতু |3x – 5| সর্বদা ধনাত্মক (শূন্য বাদে), আমরা উভয় পক্ষকে |3x – 5| দিয়ে গুণ করতে পারি:
1 > 2 * |3x – 5|
1/2 > |3x – 5|
অর্থাৎ, |3x – 5| < 1/2

এই পরম মানের অসমতাকে আমরা লিখতে পারি:
-1/2 < 3x – 5 < 1/2

এখন, অসমতার সব অংশে 5 যোগ করে পাই:
5 - 1/2 < 3x < 5 + 1/2
9/2 < 3x < 11/2

সব অংশকে 3 দ্বারা ভাগ করে পাই:
(9/2)/3 < x < (11/2)/3
9/6 < x < 11/6

এছাড়াও, মূল অসমতার হর শূন্য হতে পারে না, অর্থাৎ 3x – 5 ≠ 0 বা x ≠ 5/3।
যেহেতু 5/3 = 10/6 এবং এটি 9/6 ও 11/6 এর মধ্যে অবস্থিত, তাই এই মানটি গ্রহণযোগ্য নয়।

সুতরাং, সমাধানটি হলো 9/6 < x < 11/6 এবং x ≠ 5/3।

প্রদত্ত অসমতাটি:
5x - x² - 6 > 0

প্রথমে রাশিটিকে সাজিয়ে লিখি:
-x² + 5x - 6 > 0

উভয় পক্ষকে -1 দ্বারা গুণ করলে অসমতার চিহ্ন পাল্টে যাবে:
x² - 5x + 6 < 0

এখন, দ্বিঘাত রাশিটিকে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করি:
x² - 3x - 2x + 6 < 0
x(x - 3) - 2(x - 3) < 0
(x - 2)(x - 3) < 0

এই অসমতাটি তখনই সত্য হবে যখন (x - 2) এবং (x - 3) এর মধ্যে একটি ধনাত্মক এবং অন্যটি ঋণাত্মক হবে।

যেহেতু x - 2 > x - 3, তাই (x - 2) ধনাত্মক এবং (x - 3) ঋণাত্মক হতে হবে।
x - 2 > 0 => x > 2
এবং
x - 3 < 0 => x < 3

সুতরাং, সমাধানটি হলো 2 < x < 3।

প্রথমে আমরা |x - 2| < 3 অসমতাটি সমাধান করব:
-3 < x - 2 < 3
-3 + 2 < x < 3 + 2 [অসমতার সব অংশে 2 যোগ করে]
-1 < x < 5

এখন আমাদের 3x + 5 এর সীমা বের করতে হবে।
উপরের অসমতাকে 3 দ্বারা গুণ করে পাই:
3 * (-1) < 3x < 3 * 5
-3 < 3x < 15
-3 + 5 < 3x + 5 < 15 + 5 [সব অংশে 5 যোগ করে]
2 < 3x + 5 < 20

এই অসমতাটিকে m < 3x + 5 < n এর সাথে তুলনা করলে আমরা পাই:
m = 2 এবং n = 20

সুতরাং, সঠিক উত্তর হলো m = 2, n = 20।

প্রদত্ত শর্তগুলো হলো a এবং b উভয়ই ঋণাত্মক সংখ্যা এবং a < 1/b। এই শর্তগুলোর অধীনে a ও b এর মধ্যে যেকোনো সম্পর্ক (a < b, a = b, বা a > b) স্থাপন করা সম্ভব। নিচে প্রতিটি সম্পর্কের জন্য একটি করে উদাহরণ দেওয়া হলো:

যখন a > b:
ধরি, b = -3। তাহলে 1/b = -1/3।
শর্তানুযায়ী, a < 1/b হতে হবে, অর্থাৎ a < -1/3।
একই সাথে a > b হতে হবে, অর্থাৎ a > -3।
তাহলে, -3 < a < -1/3। আমরা a-এর মান -2 ধরতে পারি।
এখানে a = -2 এবং b = -3 হলে, a > b সম্পর্কটি সঠিক।

যখন a < b:
ধরি, b = -1/2। তাহলে 1/b = -2।
শর্তানুযায়ী, a < 1/b হতে হবে, অর্থাৎ a < -2।
আমরা a-এর মান -3 ধরতে পারি।
এখানে a = -3 এবং b = -1/2 হলে, a < b সম্পর্কটি সঠিক।

যখন a = b:
যদি a = b হয়, তাহলে শর্তটি দাঁড়ায় a < 1/a।
যেহেতু a একটি ঋণাত্মক সংখ্যা, আমরা অসমীকরণটির উভয় পক্ষকে a দ্বারা গুণ করলে অসমতার চিহ্নটি পাল্টে যাবে:
a * a > (1/a) * a
a² > 1
এর অর্থ হলো, a > 1 অথবা a < -1।
যেহেতু a < 0, তাই আমাদের a < -1 শর্তটি নিতে হবে।
ধরি, a = -4। তাহলে b = -4।
এখানে a = -4 এবং b = -4 হলে, a = b সম্পর্কটি সঠিক।

যেহেতু তিনটি সম্পর্কই (a < b, a > b, a = b) সম্ভব, তাই সঠিক উত্তর হলো "সবগুলোই"।

১. প্রথমে, সংশ্লিষ্ট সমীকরণ x² + x - 2 = 0 এর মূলগুলো বের করতে হবে।
২. সমীকরণটিকে মধ্যপদ বিশ্লেষণের (middle-term factorization) মাধ্যমে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করা যায়:
x² + 2x - x - 2 = 0
x(x + 2) - 1(x + 2) = 0
(x + 2)(x - 1) = 0
৩. এখান থেকে মূল দুটি পাওয়া যায়: x = -2 এবং x = 1
৪. এই দুটি মূল সংখ্যারেখাকে তিনটি অংশে বিভক্ত করে: (-∞, -2), (-2, 1) এবং (1, ∞)।[
৫. এখন আমরা প্রতিটি অংশে অসমতাটি (x² + x - 2 > 0) সত্য কিনা তা পরীক্ষা করব।
* যখন x < -2 (যেমন, x = -3): (-3)² + (-3) - 2 = 9 - 3 - 2 = 4, যা 0 থেকে বড়। সুতরাং, (-∞, -2) ব্যবধিটি সমাধানের অংশ।
* যখন -2 < x < 1 (যেমন, x = 0): (0)² + 0 - 2 = -2, যা 0 থেকে বড় নয়। সুতরাং, (-2, 1) ব্যবধিটি সমাধানের অংশ নয়।
* যখন x > 1 (যেমন, x = 2): (2)² + 2 - 2 = 4 + 2 - 2 = 4, যা 0 থেকে বড়। সুতরাং, (1, ∞) ব্যবধিটি সমাধানের অংশ।

যেহেতু
q < r এবং r > p
অর্থাৎ r এর মান p ও q থেকে বড়।

p > q
অর্থাৎ p এর মান q থেকে বড়।

তাই,
r > p > q

|x + 3| ≤ 8
= - 8 ≤ x + 3 ≤ 8
= - 8 - 3 ≤ x + 3 - 3 ≤ 8 - 3
= - 11 ≤ x ≤ 5

∴ x এর সর্বনিম্ন মান - 11

{1/|4x - 5|} ≥ (1/8)
⇒ |4x - 5| ≤ 8
⇒ - 8 ≤ 4x - 5 ≤ 8
⇒ - 8 + 5 ≤ 4x - 5 + 5 ≤ 8 + 5
⇒ - 3 ≤ 4x ≤ 13
⇒ - 3/4 ≤ 4x/4 ≤ 13/4
⇒ - 3/4 ≤ x ≤ 13/4

|x + 1| ≤ 4
⇒ - 4 ≤ x + 1 ≤ 4
⇒ - 4 - 1 ≤ x + 1 - 1 ≤ 4 - 1
⇒ - 5 ≤ x ≤ 3
⇒ - 15 ≤ 3x ≤ 9
⇒ - 15 - 2 ≤ 3x - 2 ≤ 9 - 2
⇒ - 17 ≤ 3x - 2 ≤ 7
যেখানে, a ≤ 3x - 2 ≤ b
∴ a = - 17 এবং b = 7

5 ≤ 3x + 1 < 16
= 5 - 1 ≤ 3x + 1 - 1 < 16 - 1
= 4 ≤ 3x < 15
= 4/3 ≤ x < 15/3
= 4/3 ≤ x < 5

∴ অসমতাটির সমাধান [4/3, 5)

।4x - 3 Ι < 1
⇒ - 1 < 4x - 3 < 1
⇒  - 1 + 3 < 4x - 3 + 3 < 1 + 3
⇒  2 < 4x < 4
⇒  2/4 < 4x/4 < 4/4
⇒  1/2 < x < 1

অপশন অনুযায়ী সঠিক উত্তর: x < 1

x+3>2x-1
⇒ 3+1>2x-x
⇒ 4>x

So, x -এর মান -∞ থেকে 4 পর্যন্ত।

x = 5: এই মানটি 4 এর চেয়ে বড় এবং 6 এর চেয়ে ছোট। তাই এটি সত্য হতে পারে।

x = 6: এই মানটি 6 এর সমান। কিন্তু শর্তে বলা হয়েছে x<6, অর্থাৎ x এর মান 6 এর চেয়ে ছোট হতে হবে। 6 এর সমান হতে পারবে না। তাই এটি মিথ্যা হতে বাধ্য।

x = 4.5: এই মানটি 4 এর চেয়ে বড় এবং 6 এর চেয়ে ছোট। তাই এটি সত্য হতে পারে।

x = 5.9: এই মানটি 4 এর চেয়ে বড় এবং 6 এর চেয়ে ছোট। তাই এটি সত্য হতে পারে।

যেহেতু x এর মান 6 এর চেয়ে কঠোরভাবে ছোট হতে হবে (x<6), তাই x=6 হওয়া অসম্ভব। এই কারণে, বিকল্প x = 6 অবশ্যই মিথ্যা।

ধরা যাক,
আফনানের অ্যালবামের বিক্রি হওয়া কপির সংখ্যা = A
ইভানের অ্যালবামের বিক্রি হওয়া কপির সংখ্যা = E
প্রশ্ন অনুযায়ী,
E = 5/6 × A
আরও বলা হয়েছে যে আফনানের অ্যালবাম কমপক্ষে ১৫০০ কপি বিক্রি হয়েছে। এর মানে A≥১৫০০।
এখন, ইভানের অ্যালবাম কত কপি বিক্রি হতে পারে তা নির্ণয় করতে, আমরা A-এর সর্বনিম্ন মান (১৫০০) ব্যবহার করব।
সুতরাং,
E = 5/6 × 1500
বা, E = 5 × 250
বা, E = 1250

যেহেতু আফনানের অ্যালবাম কমপক্ষে ১৫০০ কপি বিক্রি হয়েছে, ইভানের অ্যালবাম কমপক্ষে ১২৫০ কপি বিক্রি হয়েছে। প্রদত্ত বিকল্পগুলির মধ্যে ১২৫০ হলো সর্বনিম্ন সম্ভাব্য সংখ্যা।
সুতরাং, ইভানের অ্যালবাম ১২৫০ কপি বিক্রি হতে পারে।

দেওয়া আছে, ৩ টি সংখ্যার গড়=৬
অতএব ৩টি সংখ্যার সমষ্টি =3×৬=১৮
আবার ,৪ টি সংখ্যার গড় =৮
অতএব ৪ টি সংখ্যার সমষ্টি =৪×৮ =৩২
অতএব চতুর্থ সংখ্যাটি =৩২-১৮=১৪
অতএব অর্ধেক হবে (১৪ /২)=৭

x² - 3x + 2 < 0
⇒ x² - x - 2x + 2 < 0
⇒ x(x - 1) - 2(x - 1) < 0
⇒ (x - 1)(x - 2) < 0

∴ অসমতাটির সমাধান: 1 < x < 2

2x − 3 ≤ 7
বা, 2x ≤ 7 + 3
বা, 2x ≤ 10
বা, x ≤ 5

1/(3x-5)<1/3
or,3x-5>3
or,3x>8
or,x>8/3  [ x এর মান 8/3  থেকে বড় অসীম পর্যন্ত বিস্তৃত ]

∴ 8/3<x<∞

(2x + 1) / (x - 3) ≤ 0
এই অসমতা সত্য হবে যখন লব ও হরের একটি ধনাত্মক এবং অন্যটি ঋণাত্মক হবে।

যদি 2x + 1 ≤ 0 এবং x - 3 > 0:
x ≤ -1/2 এবং x > 3
এই দুটি শর্ত একসাথে পূরণ হতে পারে না।

যদি 2x + 1 ≥ 0 এবং x - 3 < 0:
x ≥ -1/2 এবং x < 3
∴ -1/2 ≤ x < 3

সাথে, x ≠ 3 (কারণ হর শূন্য হতে পারে না)

∴ সমাধান: [-1/2, 3)

১/(|x-১|) < ২

বা, ১ < ২|x-১| (যেহেতু |x-১| > ০)

বা, ১/২ < |x-১|

অর্থাৎ, |x-১| > ১/২

এর মানে, x-১ > ১/২ অথবা x-১ < -১/২

১. x-১ > ১/২
বা, x > ৩/২

২. x-১ < -১/২
বা, x < ১/২

সুতরাং, সমাধানটি হল (-∞, ১/২) U (৩/২, ∞)

ধরি,
জিনিসটির ক্রয়মূল্য = ক টাকা

প্রথম ক্ষেত্রে,
বিক্রয়মূল্য = ১৩৬ টাকা
ক্ষতি = ১৫%
অর্থাৎ, ১৩৬ টাকা হল ক্রয়মূল্যের ৮৫%
সুতরাং, ক x ৮৫/১০০ = ১৩৬
অতএব, ক = (১৩৬ x ১০০) / ৮৫ = ১৬০ টাকা

দ্বিতীয় ক্ষেত্রে,
বিক্রয়মূল্য = x টাকা
লাভ = ১৫%
অর্থাৎ, x টাকা হল ক্রয়মূল্যের ১১৫%
সুতরাং, x = ১৬০ x ১১৫/১০০ = ১৮৪ টাকা
সুতরাং, x এর মান ১৮০ এবং ১৯০ এর মধ্যে।

∴ ১৮০ < x < ১৯০

দেওয়া আছে, 1/।1 - 2x। ≥ 5
বা, ।1 - 2x। ≤ 1/5

ধনাত্মক চিহ্ন নিয়ে পাই,
1 - 2x ≤ 1/5
⇒ 1 - 2x - 1 ≤ - 1 + 1/5
⇒ - 2x ≤ (- 5 + 1)/5
⇒ - 2x ≤ - 4/5
⇒ 2x ≥ 4/5
⇒ x ≥ 2/5
⇒ 2/5 ≤ x

ঋণাত্মক চিহ্ন নিয়ে পাই,
- (1 - 2x) ≤ 1/5
⇒ - 1 + 2x ≤ 1/5
⇒ - 1 + 2x + 1 ≤ 1 + 1/5
⇒ 2x ≤ (5 + 1)/5
⇒ 2x ≤ 6/5
⇒ x ≤ 3/5

∴ নির্ণেয় সমাধান = (2/5) ≤ x ≤ (3/5)

12 - 8x ≤ 28
⇒ 12 - (8x) - 12 ≤ 28 - 12 [উভয় পক্ষ থেকে 12 বিয়োগ করে]
⇒ - 8x ≤ 16
⇒ - 8x/(- 8) ≥ 16/(- 8) [উভয় পক্ষকে - 8 দ্বারা ভাগ করে]
⇒ x ≥ - 2

|3x - 2| < 11

(3x - 2) অঋণাত্মক হলে প্রদত্ত অসমতা দাঁড়ায়,
(3x - 2) < 11
বা, 3x - 2 + 2 < 11 + 2
বা, 3x < 13
∴ x < 13/3

আবার,
(3x - 2) ঋণাত্মক হলে প্রদত্ত অসমতা দাঁড়ায় (3x - 2) > - 11
বা, 3x - 2 + 2 > - 11 + 2
বা, 3x > - 9
∴ x > - 3

∴ নির্ণেয় অসমতা - 3 < x < 13/3

|x - 5| ≤ 4
বা, - 4 ≤ x - 5 ≤ 4
বা, - 4 + 5 ≤ x - 5 + 5 ≤ 4 + 5
বা, 1 ≤ x ≤ 9

x এর সর্বনিম্ন মান 1

- 8 < x < 2
বা, - 8 + 3 < x + 3 < 2 + 3
বা, - 5 < x + 3 < 5
∴ |x + 3| < 5

2(x - 4) ≥ 3x - 5
বা, 2x - 8 ≥ 3x - 5
বা, 2x - 3x ≥ - 5 + 8
বা, - x ≥ 3
∴ x ≤ - 3