প্রদত্ত অসমতা,
x² - 6x + 8 > 0

প্রথমে, x² - 6x + 8 = 0 সমীকরণটির মূল বের করি।

⇒ x² - 6x + 8 = 0
⇒ (x - 2)(x - 4) = 0
∴ x = 2, 4

এখন, এই দুটি মান দ্বারা সংখ্যারেখা তিনটি ভাগে বিভক্ত হবে:
(−∞, 2), (2, 4), (4, ∞)

প্রতিটি অংশ থেকে একটি করে মান নিয়ে দেখি অসমতাটি কোথায় সত্য।

১) x = 1 (যা ∈ (−∞, 2))
⇒ x² - 6x + 8 = 1 - 6 + 8 = 3 > 0 সত্য

২) x = 3 (যা ∈ (2, 4))
⇒ x² - 6x + 8 = 9 - 18 + 8 = -1 < 0 মিথ্যা

৩) x = 5 (যা ∈ (4, ∞))
⇒ x² - 6x + 8 = 25 - 30 + 8 = 3 > 0 সত্য

অতএব, অসমতা সত্য হব x ∈ (−∞, 2) ∪ (4, ∞)

প্রদত্ত, |2x + 5| > 3

অর্থাৎ,
2x + 5 > 3 অথবা 2x + 5 < -3

প্রথম ক্ষেত্রে:
2x + 5 > 3
⇒ 2x > 3 - 5
⇒ 2x > -2
⇒ x > -1

দ্বিতীয় ক্ষেত্রে:
2x + 5 < -3
⇒ 2x < -8
⇒ x < -4

অতএব, অসমতা সত্য হবে যখন x < -4 অথবা x > -1

প্রদত্ত অসমতাটি হলো:
1/(3x - 5) < 1/3

একে আমরা লিখতে পারি:
1/(3x - 5) - 1/3 < 0

লসাগু করে পাই:
(3 - (3x - 5)) / (3 * (3x - 5)) < 0
(3 - 3x + 5) / (9x - 15) < 0
(8 - 3x) / (9x - 15) < 0

এই অসমতাটি সত্য হবে যখন লব এবং হর বিপরীত চিহ্নযুক্ত হবে।

ক্ষেত্র ১: যখন 8 - 3x > 0 এবং 9x - 15 < 0
8 > 3x => x < 8/3
এবং
9x < 15 => x < 15/9 => x < 5/3
এই দুটি শর্তের সাধারণ সমাধান হলো x < 5/3।

ক্ষেত্র ২: যখন 8 - 3x < 0 এবং 9x - 15 > 0
8 < 3x => x > 8/3
এবং
9x > 15 => x > 15/9 => x > 5/3
এই দুটি শর্তের সাধারণ সমাধান হলো x > 8/3।

সুতরাং, অসমতাটির সমাধান হলো x < 5/3 অথবা x > 8/3।

প্রদত্ত অসমতাটি হলো:
1/|3x – 5| > 2

যেহেতু |3x – 5| সর্বদা ধনাত্মক (শূন্য বাদে), আমরা উভয় পক্ষকে |3x – 5| দিয়ে গুণ করতে পারি:
1 > 2 * |3x – 5|
1/2 > |3x – 5|
অর্থাৎ, |3x – 5| < 1/2

এই পরম মানের অসমতাকে আমরা লিখতে পারি:
-1/2 < 3x – 5 < 1/2

এখন, অসমতার সব অংশে 5 যোগ করে পাই:
5 - 1/2 < 3x < 5 + 1/2
9/2 < 3x < 11/2

সব অংশকে 3 দ্বারা ভাগ করে পাই:
(9/2)/3 < x < (11/2)/3
9/6 < x < 11/6

এছাড়াও, মূল অসমতার হর শূন্য হতে পারে না, অর্থাৎ 3x – 5 ≠ 0 বা x ≠ 5/3।
যেহেতু 5/3 = 10/6 এবং এটি 9/6 ও 11/6 এর মধ্যে অবস্থিত, তাই এই মানটি গ্রহণযোগ্য নয়।

সুতরাং, সমাধানটি হলো 9/6 < x < 11/6 এবং x ≠ 5/3।

প্রদত্ত অসমতাটি:
5x - x² - 6 > 0

প্রথমে রাশিটিকে সাজিয়ে লিখি:
-x² + 5x - 6 > 0

উভয় পক্ষকে -1 দ্বারা গুণ করলে অসমতার চিহ্ন পাল্টে যাবে:
x² - 5x + 6 < 0

এখন, দ্বিঘাত রাশিটিকে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করি:
x² - 3x - 2x + 6 < 0
x(x - 3) - 2(x - 3) < 0
(x - 2)(x - 3) < 0

এই অসমতাটি তখনই সত্য হবে যখন (x - 2) এবং (x - 3) এর মধ্যে একটি ধনাত্মক এবং অন্যটি ঋণাত্মক হবে।

যেহেতু x - 2 > x - 3, তাই (x - 2) ধনাত্মক এবং (x - 3) ঋণাত্মক হতে হবে।
x - 2 > 0 => x > 2
এবং
x - 3 < 0 => x < 3

সুতরাং, সমাধানটি হলো 2 < x < 3।

প্রথমে আমরা |x - 2| < 3 অসমতাটি সমাধান করব:
-3 < x - 2 < 3
-3 + 2 < x < 3 + 2 [অসমতার সব অংশে 2 যোগ করে]
-1 < x < 5

এখন আমাদের 3x + 5 এর সীমা বের করতে হবে।
উপরের অসমতাকে 3 দ্বারা গুণ করে পাই:
3 * (-1) < 3x < 3 * 5
-3 < 3x < 15
-3 + 5 < 3x + 5 < 15 + 5 [সব অংশে 5 যোগ করে]
2 < 3x + 5 < 20

এই অসমতাটিকে m < 3x + 5 < n এর সাথে তুলনা করলে আমরা পাই:
m = 2 এবং n = 20

সুতরাং, সঠিক উত্তর হলো m = 2, n = 20।

প্রদত্ত শর্তগুলো হলো a এবং b উভয়ই ঋণাত্মক সংখ্যা এবং a < 1/b। এই শর্তগুলোর অধীনে a ও b এর মধ্যে যেকোনো সম্পর্ক (a < b, a = b, বা a > b) স্থাপন করা সম্ভব। নিচে প্রতিটি সম্পর্কের জন্য একটি করে উদাহরণ দেওয়া হলো:

যখন a > b:
ধরি, b = -3। তাহলে 1/b = -1/3।
শর্তানুযায়ী, a < 1/b হতে হবে, অর্থাৎ a < -1/3।
একই সাথে a > b হতে হবে, অর্থাৎ a > -3।
তাহলে, -3 < a < -1/3। আমরা a-এর মান -2 ধরতে পারি।
এখানে a = -2 এবং b = -3 হলে, a > b সম্পর্কটি সঠিক।

যখন a < b:
ধরি, b = -1/2। তাহলে 1/b = -2।
শর্তানুযায়ী, a < 1/b হতে হবে, অর্থাৎ a < -2।
আমরা a-এর মান -3 ধরতে পারি।
এখানে a = -3 এবং b = -1/2 হলে, a < b সম্পর্কটি সঠিক।

যখন a = b:
যদি a = b হয়, তাহলে শর্তটি দাঁড়ায় a < 1/a।
যেহেতু a একটি ঋণাত্মক সংখ্যা, আমরা অসমীকরণটির উভয় পক্ষকে a দ্বারা গুণ করলে অসমতার চিহ্নটি পাল্টে যাবে:
a * a > (1/a) * a
a² > 1
এর অর্থ হলো, a > 1 অথবা a < -1।
যেহেতু a < 0, তাই আমাদের a < -1 শর্তটি নিতে হবে।
ধরি, a = -4। তাহলে b = -4।
এখানে a = -4 এবং b = -4 হলে, a = b সম্পর্কটি সঠিক।

যেহেতু তিনটি সম্পর্কই (a < b, a > b, a = b) সম্ভব, তাই সঠিক উত্তর হলো "সবগুলোই"।

১. প্রথমে, সংশ্লিষ্ট সমীকরণ x² + x - 2 = 0 এর মূলগুলো বের করতে হবে।
২. সমীকরণটিকে মধ্যপদ বিশ্লেষণের (middle-term factorization) মাধ্যমে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করা যায়:
x² + 2x - x - 2 = 0
x(x + 2) - 1(x + 2) = 0
(x + 2)(x - 1) = 0
৩. এখান থেকে মূল দুটি পাওয়া যায়: x = -2 এবং x = 1
৪. এই দুটি মূল সংখ্যারেখাকে তিনটি অংশে বিভক্ত করে: (-∞, -2), (-2, 1) এবং (1, ∞)।[
৫. এখন আমরা প্রতিটি অংশে অসমতাটি (x² + x - 2 > 0) সত্য কিনা তা পরীক্ষা করব।
* যখন x < -2 (যেমন, x = -3): (-3)² + (-3) - 2 = 9 - 3 - 2 = 4, যা 0 থেকে বড়। সুতরাং, (-∞, -2) ব্যবধিটি সমাধানের অংশ।
* যখন -2 < x < 1 (যেমন, x = 0): (0)² + 0 - 2 = -2, যা 0 থেকে বড় নয়। সুতরাং, (-2, 1) ব্যবধিটি সমাধানের অংশ নয়।
* যখন x > 1 (যেমন, x = 2): (2)² + 2 - 2 = 4 + 2 - 2 = 4, যা 0 থেকে বড়। সুতরাং, (1, ∞) ব্যবধিটি সমাধানের অংশ।

যেহেতু
q < r এবং r > p
অর্থাৎ r এর মান p ও q থেকে বড়।

p > q
অর্থাৎ p এর মান q থেকে বড়।

তাই,
r > p > q

|x + 3| ≤ 8
= - 8 ≤ x + 3 ≤ 8
= - 8 - 3 ≤ x + 3 - 3 ≤ 8 - 3
= - 11 ≤ x ≤ 5

∴ x এর সর্বনিম্ন মান - 11

{1/|4x - 5|} ≥ (1/8)
⇒ |4x - 5| ≤ 8
⇒ - 8 ≤ 4x - 5 ≤ 8
⇒ - 8 + 5 ≤ 4x - 5 + 5 ≤ 8 + 5
⇒ - 3 ≤ 4x ≤ 13
⇒ - 3/4 ≤ 4x/4 ≤ 13/4
⇒ - 3/4 ≤ x ≤ 13/4

|x + 1| ≤ 4
⇒ - 4 ≤ x + 1 ≤ 4
⇒ - 4 - 1 ≤ x + 1 - 1 ≤ 4 - 1
⇒ - 5 ≤ x ≤ 3
⇒ - 15 ≤ 3x ≤ 9
⇒ - 15 - 2 ≤ 3x - 2 ≤ 9 - 2
⇒ - 17 ≤ 3x - 2 ≤ 7
যেখানে, a ≤ 3x - 2 ≤ b
∴ a = - 17 এবং b = 7

5 ≤ 3x + 1 < 16
= 5 - 1 ≤ 3x + 1 - 1 < 16 - 1
= 4 ≤ 3x < 15
= 4/3 ≤ x < 15/3
= 4/3 ≤ x < 5

∴ অসমতাটির সমাধান [4/3, 5)

।4x - 3 Ι < 1
⇒ - 1 < 4x - 3 < 1
⇒  - 1 + 3 < 4x - 3 + 3 < 1 + 3
⇒  2 < 4x < 4
⇒  2/4 < 4x/4 < 4/4
⇒  1/2 < x < 1

অপশন অনুযায়ী সঠিক উত্তর: x < 1

x+3>2x-1
⇒ 3+1>2x-x
⇒ 4>x

So, x -এর মান -∞ থেকে 4 পর্যন্ত।

x = 5: এই মানটি 4 এর চেয়ে বড় এবং 6 এর চেয়ে ছোট। তাই এটি সত্য হতে পারে।

x = 6: এই মানটি 6 এর সমান। কিন্তু শর্তে বলা হয়েছে x<6, অর্থাৎ x এর মান 6 এর চেয়ে ছোট হতে হবে। 6 এর সমান হতে পারবে না। তাই এটি মিথ্যা হতে বাধ্য।

x = 4.5: এই মানটি 4 এর চেয়ে বড় এবং 6 এর চেয়ে ছোট। তাই এটি সত্য হতে পারে।

x = 5.9: এই মানটি 4 এর চেয়ে বড় এবং 6 এর চেয়ে ছোট। তাই এটি সত্য হতে পারে।

যেহেতু x এর মান 6 এর চেয়ে কঠোরভাবে ছোট হতে হবে (x<6), তাই x=6 হওয়া অসম্ভব। এই কারণে, বিকল্প x = 6 অবশ্যই মিথ্যা।

x² - 3x + 2 < 0
⇒ x² - x - 2x + 2 < 0
⇒ x(x - 1) - 2(x - 1) < 0
⇒ (x - 1)(x - 2) < 0

∴ অসমতাটির সমাধান: 1 < x < 2

2x − 3 ≤ 7
বা, 2x ≤ 7 + 3
বা, 2x ≤ 10
বা, x ≤ 5

1/(3x-5)<1/3
or,3x-5>3
or,3x>8
or,x>8/3  [ x এর মান 8/3  থেকে বড় অসীম পর্যন্ত বিস্তৃত ]

∴ 8/3<x<∞

x² - 7x + 12 ≤ 0
x² - 3x - 4x  + 12 ≤ 0
x(x - 3) - 4(x - 3) ≤ 0
∴ (x - 3)(x - 4) ≤ 0

x² - 7x + 12 ≤ 0 সত্য হবে যদি x - 3 ≤ 0 এবং x - 4 ≥ 0 হয়।
এখন, x - 3 ≤ 0 এবং x - 4 ≥ 0
অর্থাৎ,  x ≤ 3 এবং x ≥ 4
3 এর চেয়ে ছোট বা সমান এবং 4 এর চেয়ে বড় বা সমান x এর কোন মান নাই।
এক্ষেত্রে অসমতাটির কোন সমাধান পাওয়া যাবে না।

আবার,
x² - 7x + 12 ≤ 0 সত্য হবে যদি x - 3 > 0 এবং x - 4 ≤ 0 হয়।
এখন,  x - 3 ≥ 0 এবং x - 4 ≤ 0
অর্থাৎ x ≥ 3 এবং x ≤ 4
x এর মান 3 এর চেয়ে বড় বা সমান এবং 4 এর চেয়ে ছোট বা সমান।
সুতরাং অসমতাটির সমাধান পাওয়া যাবে.

সুতরাং নির্ণেয় সমাধান: 3 ≤ x ≤ 4

x² - 7x + 12 ≤ 0 এর সমাধান সেট [3, 4]

|2z-1| = |z-2|
⇒ |2(x+iy)-1| = |(x+iy)-2|
⇒ |(2x-1)+2iy| = |(x-2)+iy|
⇒ √[(2x-1)² + (2y)²] = √[(x-2)² + y²]
⇒ (2x-1)² + 4y² = (x-2)² + y²
⇒ 4x² - 4x + 1 + 4y² = x² - 4x + 4 + y²
⇒ 4x² + 4y² - 4x + 1 = x² + y² - 4x + 4
⇒ 3x² + 3y² = 3
⇒ x² + y² = 1

সুতরাং, সঞ্চার পথের সমীকরণ হল x² + y² = 1, যা একটি একক বৃত্তের সমীকরণ।

2x² + 2x + 3x + 3 < 0
⇒ 2x(x + 1) + 3(x + 1) < 0
⇒ (2x + 3)(x + 1) < 0

প্রথম ক্ষেত্রে:
(2x + 3) > 0 এবং (x + 1) < 0
⇒ 2x > -3 => x > -3/2
⇒ x < -1

সুতরাং, এই ক্ষেত্রে সমাধান হল -3/2 < x < -1।

দ্বিতীয় ক্ষেত্রে:
(2x + 3) < 0 এবং (x + 1) > 0
⇒ 2x < -3 => x < -3/2
⇒ x > -1

এই ক্ষেত্রে কোন সমাধান নেই, কারণ কোন সংখ্যা একই সাথে -3/2 এর চেয়ে ছোট এবং -1 এর চেয়ে বড় হতে পারে না (-3/2 = -1.5)।

অতএব, অসমীকরণটির একমাত্র সমাধান হল -3/2 < x < -1।

(2x + 1) / (x - 3) ≤ 0
এই অসমতা সত্য হবে যখন লব ও হরের একটি ধনাত্মক এবং অন্যটি ঋণাত্মক হবে।

যদি 2x + 1 ≤ 0 এবং x - 3 > 0:
x ≤ -1/2 এবং x > 3
এই দুটি শর্ত একসাথে পূরণ হতে পারে না।

যদি 2x + 1 ≥ 0 এবং x - 3 < 0:
x ≥ -1/2 এবং x < 3
∴ -1/2 ≤ x < 3

সাথে, x ≠ 3 (কারণ হর শূন্য হতে পারে না)

∴ সমাধান: [-1/2, 3)

১/(|x-১|) < ২

বা, ১ < ২|x-১| (যেহেতু |x-১| > ০)

বা, ১/২ < |x-১|

অর্থাৎ, |x-১| > ১/২

এর মানে, x-১ > ১/২ অথবা x-১ < -১/২

১. x-১ > ১/২
বা, x > ৩/২

২. x-১ < -১/২
বা, x < ১/২

সুতরাং, সমাধানটি হল (-∞, ১/২) U (৩/২, ∞)

ধরি,
জিনিসটির ক্রয়মূল্য = ক টাকা

প্রথম ক্ষেত্রে,
বিক্রয়মূল্য = ১৩৬ টাকা
ক্ষতি = ১৫%
অর্থাৎ, ১৩৬ টাকা হল ক্রয়মূল্যের ৮৫%
সুতরাং, ক x ৮৫/১০০ = ১৩৬
অতএব, ক = (১৩৬ x ১০০) / ৮৫ = ১৬০ টাকা

দ্বিতীয় ক্ষেত্রে,
বিক্রয়মূল্য = x টাকা
লাভ = ১৫%
অর্থাৎ, x টাকা হল ক্রয়মূল্যের ১১৫%
সুতরাং, x = ১৬০ x ১১৫/১০০ = ১৮৪ টাকা
সুতরাং, x এর মান ১৮০ এবং ১৯০ এর মধ্যে।

∴ ১৮০ < x < ১৯০

দেওয়া আছে, 1/।1 - 2x। ≥ 5
বা, ।1 - 2x। ≤ 1/5

ধনাত্মক চিহ্ন নিয়ে পাই,
1 - 2x ≤ 1/5
⇒ 1 - 2x - 1 ≤ - 1 + 1/5
⇒ - 2x ≤ (- 5 + 1)/5
⇒ - 2x ≤ - 4/5
⇒ 2x ≥ 4/5
⇒ x ≥ 2/5
⇒ 2/5 ≤ x

ঋণাত্মক চিহ্ন নিয়ে পাই,
- (1 - 2x) ≤ 1/5
⇒ - 1 + 2x ≤ 1/5
⇒ - 1 + 2x + 1 ≤ 1 + 1/5
⇒ 2x ≤ (5 + 1)/5
⇒ 2x ≤ 6/5
⇒ x ≤ 3/5

∴ নির্ণেয় সমাধান = (2/5) ≤ x ≤ (3/5)

12 - 8x ≤ 28
⇒ 12 - (8x) - 12 ≤ 28 - 12 [উভয় পক্ষ থেকে 12 বিয়োগ করে]
⇒ - 8x ≤ 16
⇒ - 8x/(- 8) ≥ 16/(- 8) [উভয় পক্ষকে - 8 দ্বারা ভাগ করে]
⇒ x ≥ - 2

|3x - 2| < 11

(3x - 2) অঋণাত্মক হলে প্রদত্ত অসমতা দাঁড়ায়,
(3x - 2) < 11
বা, 3x - 2 + 2 < 11 + 2
বা, 3x < 13
∴ x < 13/3

আবার,
(3x - 2) ঋণাত্মক হলে প্রদত্ত অসমতা দাঁড়ায় (3x - 2) > - 11
বা, 3x - 2 + 2 > - 11 + 2
বা, 3x > - 9
∴ x > - 3

∴ নির্ণেয় অসমতা - 3 < x < 13/3

|x - 5| ≤ 4
বা, - 4 ≤ x - 5 ≤ 4
বা, - 4 + 5 ≤ x - 5 + 5 ≤ 4 + 5
বা, 1 ≤ x ≤ 9

x এর সর্বনিম্ন মান 1

- 8 < x < 2
বা, - 8 + 3 < x + 3 < 2 + 3
বা, - 5 < x + 3 < 5
∴ |x + 3| < 5