প্রদত্ত রাশি = { 2⁽ⁿ⁺⁴⁾ - 4 × 2⁽ⁿ⁺¹⁾ } / { 2⁽ⁿ⁺²⁾ ÷ 2¹}

লব-এর calculation:
2⁽ⁿ⁺⁴⁾ - 4 × 2⁽ⁿ⁺¹⁾
= (2ⁿ × 2⁴) - { 2² × 2⁽ⁿ⁺¹⁾ }
= (2ⁿ × 16) - 2^(n+1+2) [Multiplication-এর সময় Base একই হলে Power-গুলো add হয়]
= 16 × 2ⁿ - 2⁽ⁿ⁺³⁾
= 16 × 2ⁿ - (2ⁿ × 2³)
= 16 × 2ⁿ - 8 × 2ⁿ
= 2ⁿ (16 - 8) [2ⁿ Common নিয়ে]
= 8 × 2ⁿ

হর-এর calculation:
2⁽ⁿ⁺²⁾ ÷ 2¹
= 2^(n+2-1)
= 2⁽ⁿ⁺¹⁾
= 2ⁿ × 2¹
= 2 × 2ⁿ

এখন লব ও হর-এর প্রাপ্ত মান বসিয়ে পাই:
= (8 × 2ⁿ) / (2 × 2ⁿ)
= 8 / 2 [উপর-নিচ থেকে 2ⁿ cancel out বা বাদ দিয়ে]
= 4

প্রদত্ত রাশি = 16^(2/3)
= (4²)^(2/3) 
= 4^{(2 × 2/3)} [পাওয়ারের ওপর পাওয়ার থাকলে গুণ হয়]
= 4^(4/3)
= 4(1 + 1/3) [4/3 কে মিশ্র ভগ্নাংশ বা 1 + 1/3 আকারে লেখা যায়]
= 4¹ × 4^(1/3) 
= 4 × ∛4 [যেহেতু a^(1/3) = ∛a]
= 4∛4

দেওয়া আছে,
log₂5 = a

প্রদত্ত রাশি
= log₈125
= log _(2³) (5³) 
= (3/3) lg₂5 
= 1 × log₂5 
= a [মান বসিয়ে]

প্রদত্ত রাশি
= 2³⁰ ÷ 2
= 2³⁰ ÷ 2¹ 
= 2³⁰ ⁻ ¹ 
= 2²⁹

√3x - 2 = 2√3 + 4

প্রথমে উভয় পাশে 2 যোগ করি:
√3x = 2√3 + 6

√3 দিয়ে ভাগ করি:
x = (2√3 + 6) / √3
x = 2 + 6/√3
x = 2 + 2√3

অতএব, x = 2(1 + √3)

√-16 × √-9

= √(16 × -1) × √(9 × -1)
= (4i) × (3i)
= 12 × i²
= 12 × (-1)
= -12

log₁₀x = - 1
x = 10^{- 1}
x = 1/10
x = 0.1

মনেকরি,
ভিত্তি = x 

প্রশ্নমতে,
⇒ logx1000 = 3
⇒ x3 = 1000
⇒ x3 = 103
∴ x = 10

∴ 1000 এর লগ 3 হলে, এর ভিত্তি হল 10

{2^{n + 4} - 2(2ⁿ)}/2(2^{n + 3})
= (2^{n + 4} - 2^{n + 1})/2^{n + 4}
= (2^{n + 4}/2^{n + 4}) - (2^{n + 1}/2^{n + 4})
= 1 - 2^{(n + 1) - (n + 4)}
= 1 - 2^{- 3}
= 1 - 1/8
= 7/8

দেয়া আছে 
x^a = y, y^b = z, z^c = x

এখানে,
z^c = x 
⇒ (y^b)^c = x
⇒ y^bc = x
⇒ (x^a)^bc = x
⇒ x^abc = x
∴ x = x^abc

ধাপ ১: প্রতিটি সংখ্যাকে মৌলিক উৎপাদকে বিশ্লেষণ করি
5⁴ = 5⁴
8 = 2³
16 = 2⁴
2⁵ = 2⁵
125 = 5³

ধাপ ২: রাশিটি পুনর্লিখন করি
(5⁴ × 2³ × 2⁴)/(2⁵ × 5³)

ধাপ ৩: একই ভিত্তির ঘাতগুলো একত্রিত করি
= (5⁴ × 2³⁺⁴)/(2⁵ × 5³)
= (5⁴ × 2⁷)/(2⁵ × 5³)

ধাপ ৪: ভাগ করি
= 5⁴⁻³ × 2⁷⁻⁵
= 5¹ × 2²
= 5 × 4
= 20

log_√3243
= log_√33⁵
= 5log_√33
= 5log_√3(√3)²
= 5 × 2 × log_√3√3
= 5 × 2 × 1 [∴ log_aa = 1]
= 10

(√2)^{3x + 1} = 16
⇒ (2^1/2)^{3x + 1} = 2⁴
⇒ 2^{(1/2)(3x + 1)} = 2⁴
⇒ 2^{(3x + 1)/2} = 2⁴
⇒ (3x + 1)/2 = 4
⇒ 3x + 1 = 4 × 2
⇒ 3x = 8 - 1
⇒ 3x = 7
∴ x = 7/3

প্রদত্ত ফাংশন:
- f(x) = x³ - 2x + 10

f(1) বের করতে x = 1 বসাই:

- f(1) = (1)³ - 2(1) + 10
- f(1) = 1 - 2 + 10
- f(1) = 9

উত্তর: f(1) = 9

দেওয়া আছে,
x³ = 24 - 15√3
বা, x³ = 30 + 15√3 - 6 - 30√3 [এই অংশটি জটিল। আমাদের ডানপক্ষকে (a-b)³ আকারে সাজাতে হবে।]
এখানে আমাদের লক্ষ্য হলো, ডানপক্ষকে কিছু একটা ঘনফল (cube) আকারে প্রকাশ করা যাতে উভয় পক্ষ থেকে ঘন (cube) বাদ দেওয়া যায়।
সাধারণত, a - b√3 আকারে থাকলে আমরা (a - √3)³ বা এমন আকারে চিন্তা করি।

সহজ উপায়ে ভাবলে, যদি আমরা x = a - √3 ধরি এবং দেখি মেলে কিনা:
(2 - √3)³ = 2³ - 3⋅2²⋅√3 + 3⋅2⋅(√3)² - (√3)³
= 8 - 12√3 + 18 - 3√3
= 26 - 15√3
এটি মূল প্রশ্নের সাথে (24-15√3) মিলছে না।
আসলে এই প্রশ্নটিতে একটি প্রিন্টিং মিস্টেক বা টাইপিং ভুল থাকার সম্ভাবনা প্রবল। সাধারণত প্রশ্নটি হয় x³ = 26 - 15√3। তাহলে x = 2 - √3 হয়। অথবা x = 2 - √3 হলে x² + 1/x² = 14 হয়।
যেহেতু উত্তর 14 বলা হয়েছে, তাই অবশ্যই x এর মান (2 - √3) আসবে।
ধরে নেই, সঠিক সমীকরণটি থেকে আমরা পাই,
x = 2 - √3
অতএব, 1/x = 1/(2 - √3)
লব ও হরকে (2 + √3) দ্বারা গুণ করে পাই,
= (2 + √3) / {(2 - √3)(2 + √3)}
= (2 + √3) / (2² - (√3)²)
= (2 + √3) / (4 - 3)
= 2 + √3

এখন,
x + 1/x = (2 - √3) + (2 + √3)
= 4

প্রদত্ত রাশি,
x² + 1/x²
= (x + 1/x)² - 2⋅x⋅(1/x) [সূত্র: a² + b² = (a + b)² - 2ab]
= (4)² - 2
= 16 - 2
= 14


বিকল্প বা শর্টকাট টেকনিক:
সাধারণত এই ধরনের অংকে x এর মান a ± √b আকারে আসে।
যদি দেখেন উত্তরে 14 আছে এবং রাশিটি বর্গের যোগফল (sqaure sum), তবে মনে রাখবেন x + 1/x এর মান অবশ্যই 4 হতে হবে। কারণ 4² - 2 = 14।
আবার x + 1/x = 4 হতে হলে x এর মান সাধারনত (2 ± √3) হয়।
যদি প্রশ্নের ফরম্যাট x³ = ... বা x = ... থাকে এবং উত্তর 14 এর আশেপাশে হয়, তবে অধিকাংশ ক্ষেত্রে x + 1/x = 4 ধরে নিয়ে দ্রুত সমাধান করা যায়।

শর্টকাট সূত্র: x + 1/x = n হলে, x² + 1/x² = n² - 2.
এখানে n = 4, তাই 4² - 2 = 14.

(-2)^2m = 2^{9 - m}
⇒ ((-2)²)^m = 2^{9 - m}
⇒ (2)^2m = 2^{9 - m}
⇒ 2m = 9 - m
⇒ 3m = 9
⇒ m = 3

log₂ log_√ee²
= log₂ log_√e(√e)⁴
= log₂ (4 log_√e√e)
= log₂ (4 × 1)
= log₂ 4
= log₂ 2²
= 2 log₂ 2
= 2.1
= 2

x^{(b - c)(b + c - a)} .  x^{(c - a)(c + a - b)} .  x^{(a - b)(a + b - c)}

= x^{(b - c)(b + c) - a(b - c)}  .  x^{(c - a)(c + a) - b(c - a)} .  x^{(a - b)(a + b) - c(a - b)}

= x^{(b^2 - c^2 + c^2 - a^2 + a^2 - b^2)}  .  x^{-a(b - c) - b(c - a) - c(a – b)}

= (x⁰ . x⁰)

= (1 x 1)

= 1

log_(√3)81

= log_(√3)3⁴ 
= log_(√3)√3⁸
= 8 log_√3√3
= 8  

log36 / log6
= log(6²) / log6
= 2log6/ log6
= 2

দেওয়া আছে, a = 3/2
আমরা জানি, x^-n = 1/xⁿ
সুতরাং, a^-4
= 1/a⁴
= 1/(3/2)⁴
= 1/(81/16)
= 16/81

4^x + 4^x + 4^x + 4^x 
= 4^x(1 + 1 + 1 + 1)
= 4^x . 4
= 4^x + 1
= (2²)^x + 1
= 2^{2x+ 2}

দেওয়া রাশি: 4log√5 + 3log2 - (1/4)log10000

ধাপ ১: প্রতিটি পদ সরল করা

প্রথম পদ: 4log√5

• √5 = 5^1/2
• 4log√5 = 4log(5^1/2) = 4 × (1/2)log5 = 2log5

দ্বিতীয় পদ: 3log2

• এটি ইতিমধ্যে সরল আকারে আছে = 3log2

তৃতীয় পদ: (1/4)log10000

• 10000 = 10⁴
• (1/4)log10000 = (1/4)log(10⁴) = (1/4) × 4log10 = log10

ধাপ ২: রাশিটি 4log√5 + 3log2 - (1/4)log10000 = 2log5 + 3log2 - log10

ধাপ ৩: লগারিদমের নিয়ম প্রয়োগ

• nlogx = log(xⁿ)
• loga + logb = log(ab)
• loga - logb = log(a/b)

= log(5²) + log(2³) - log10
= log25 + log8 - log10
= log(25 × 8) - log10
= log200 - log10
= log(200/10)
= log20

(x/2)^a+1 = 1

⇒ (x/2)^a+1 = (x/2)⁰

⇒ a + 1 = 0

∴ a = -1

log₅(125√5)
= log₅125 + log₅√5
= log₅53 + log₅(5)^1/2
= 3log₅5 + (1/2)log₅5
= 3 + (1/2)
= 7/2

9.3^{2x - 2} = 27^{x + 1} হলে
⇒ 3². 3^{2x - 2} = 3^{3(x + 1)}
⇒ 3^2x = 3^{3(x + 1)}
⇒ 2x = 3x + 3
⇒ 3x - 2x = - 3
⇒ x = - 3

a^-3 = 0.2

log(a³b³/c³) + log(b³c³/d³) + log(c³d³/a³) - 3logb²c
= log[(a³b³/c³) × (b³c³/d³) × (c³d³/a³)] - 3logb²c
= logb⁶c³ - 3logb²c
= log(b²c)³ - 3logb²c
= 3logb²c - 3logb²c
= 0

[{(-1/2)²}⁻²]⁻¹
= [{1/4}⁻²]⁻¹
= [{4/1}²]⁻¹
= [16/1]⁻¹
= 1/16

log₁₀(100) × log₁₀(1000) = log₁₀10² × log₁₀10³ = 2log₁₀ × 3log₁₀ = 2 × 3 = 6