গড় (172 টি প্রশ্ন )
 Back to Subject Page   All Topics
i
ব্যাখ্যা (Explanation):
মধ্যক নির্ণয়ের নিয়ম: প্রথমে প্রদত্ত উপাত্তগুলোকে মানের ক্রমানুসারে (ছোট থেকে বড়) সাজাতে হবে।
উপাত্তগুলোকে ঊর্ধ্বক্রমে সাজিয়ে পাই:
৫, ৮, ৯, ৯, ১০, ১১, ১২, ১৩

এখানে মোট উপাত্তের সংখ্যা, n = ৮ (যা জোড় সংখ্যা)।
উপাত্তের সংখ্যা জোড় হলে মধ্যক হবে মাঝের দুটি পদের গড়ের সমান।
মাঝের পদ দুটি হলো (n/2) বা (8/2) = 4-তম পদ এবং (n/2 + 1) বা (4 + 1) = 5-তম পদ।

৪র্থ পদ = ৯
৫ম পদ = ১০

∴ মধ্যক = (৪র্থ পদ + ৫ম পদ) ÷ ২
= (৯ + ১০) ÷ ২
= ১৯ ÷ ২
= ৯.৫

শর্টকাট: ডেটাগুলোকে সাজানোর পর (৫, ৮, ৯, ৯, ১০, ১১, ১২, ১৩), দুই পাশ থেকে সমান সংখ্যক বাদ দিলে মাঝে থাকে ৯ এবং ১০। এদের গড়: (৯+১০)/২ = ৯.৫।
i
ব্যাখ্যা (Explanation):
সংজ্ঞা: পরিসংখ্যানের ভাষায়, প্রদত্ত কোনো উপাত্তের মধ্যে যে সংখ্যাটি সর্বাধিক বার বা সবচেয়ে বেশি বার উপস্থিত থাকে, তাকে ঐ উপাত্তের প্রচুরক (Mode) বলা হয়।
একটি উপাত্তে একাধিক প্রচুরক থাকতে পারে, আবার কোনো সংখ্যা পুনরাবৃত্তি না হলে প্রচুরক নাও থাকতে পারে।
উদাহরণস্বরূপ: ২, ৩, ৩, ৫, ৭ উপাত্তটিতে ৩ সংখ্যাটি সবচেয়ে বেশি বার (২ বার) আছে, তাই এই উপাত্তের প্রচুরক হলো ৩।
উত্তর: প্রচুরক (Mode)
i
ব্যাখ্যা (Explanation):
আমরা জানি, পরিসংখ্যানের উপাত্তগুলোকে মানের ক্রমানুসারে সাজানোর পর যে মানটি উপাত্তগুলোকে সমান দুই ভাগে ভাগ করে তাকে মধ্যক বলে।
উপাত্তের সংখ্যা (n) বিজোড় হলে, উপাত্তসমূহের ঠিক মাঝখানে একটিমাত্র পদ থাকে।
সেক্ষেত্রে মধ্যক নির্ণয়ের সূত্রটি হলো: (n + ১) / ২ তম পদ।

উদাহরণ বা শর্টকাট টেকনিক:
ধরি, যেকোনো একটি বিজোড় সংখ্যক উপাত্ত আছে, যেমন n = ৫।
তাহলে সূত্র অনুযায়ী মধ্যক হবে = (৫ + ১) / ২ তম পদ = ৬ / ২ তম পদ = ৩য় পদ।
বাস্তবেও ৫টি পদের (যেমন: হাতের ৫টি আঙুল) ঠিক মাঝের দ্বিতীয় পদটি হলো ৩য় পদ। সুতরাং সঠিক উত্তর: (n+1)/2 তম পদ।
i
ব্যাখ্যা (Explanation):
পরিসংখ্যানের সংজ্ঞানুসারে, প্রদত্ত উপাত্তগুলোকে মানের ক্রমানুসারে (ঊর্ধ্বক্রমে বা নিম্নক্রমে) সাজালে যে মানটি উপাত্তগুলোকে ঠিক সমান দুই ভাগে ভাগ করে, অর্থাৎ যার ডানপাশে এবং বামপাশে সমান সংখ্যক উপাত্ত থাকে, তাকে মধ্যক (Median) বলে।

অন্যান্য অপশনগুলোর পরিচিতি:
গাণিতিক গড়: উপাত্তগুলোর সমষ্টিকে মোট উপাত্তের সংখ্যা দ্বারা ভাগ করলে গড় পাওয়া যায়।
প্রচুরক: কোনো উপাত্তে যে সংখ্যাটি সবচেয়ে বেশিবার থাকে, তাকে প্রচুরক বলে।
পরিসর: উপাত্তের সর্বোচ্চ মান ও সর্বনিম্ন মানের পার্থক্যকে পরিসর বলে।

যেহেতু প্রশ্নে সমান দুই ভাগে ভাগ করার কথা স্পষ্টভাবে বলা হয়েছে, তাই সঠিক উত্তর হবে মধ্যক।
i
ব্যাখ্যা (Explanation):
দেওয়া আছে,
৩টি সংখ্যার গড় = ৬
∴ ৩টি সংখ্যার সমষ্টি = (৩ × ৬) = ১৮

আবার,
৪টি সংখ্যার গড় = ৮
∴ ৪টি সংখ্যার সমষ্টি = (৪ × ৮) = ৩২

আমরা জানি,
চতুর্থ সংখ্যাটি = ৪টি সংখ্যার সমষ্টি - ৩টি সংখ্যার সমষ্টি
= ৩২ - ১৮
= ১৪

শর্টকাট টেকনিক (পরীক্ষার হলে দ্রুত সমাধানের জন্য):
নতুন গড় আগের গড়ের চেয়ে (৮ - ৬) = ২ বেশি।
এই বাড়তি ২ আগের ৩টি সংখ্যার প্রত্যেকের জন্য বেড়েছে, আবার নতুন সংখ্যাটির নিজের জন্যও ৮ লেগেছে।
অতএব, ৪র্থ সংখ্যাটি = নতুন গড় + (আগের মোট সংখ্যা × গড় বৃদ্ধির পরিমাণ)
= ৮ + (৩ × ২)
= ৮ + ৬
= ১৪
i
ব্যাখ্যা (Explanation):
আমরা জানি,
n সংখ্যক সংখ্যার গুণোত্তর গড় বা জ্যামিতিক গড় = n√(x1 . x2 ...... xn)
∴ 8, 32 এবং 128 এর জ্যামিতিক গড় = (8 × 32 × 128)1/3
= (23  × 25  × 27 )1/3
= (215)1/3
= 25
= 32
i
ব্যাখ্যা (Explanation):
সংখ্যাগুলোকে মানের ক্রমানুসারে সাজালে,
২, ৪, ৫, ৭, ৮, ৯, ১২, ১৩, ১৫, ১৭, ১৮, ১৯, ২০

এখানে মোট পদ আছে ১৩ টি।
এই ক্ষেত্রে, n = ১৩।
সুতরাং, মধ্যক হবে (১৩+১)/২ = ১৪/২ = ৭ম পদ।
৭ম পদ = ১২
i
ব্যাখ্যা (Explanation):
প্রথম ৪টি সংখ্যার গড় ৪০ হলে, তাদের মোট যোগফল = ৪ × ৪০ = ১৬০
শেষ ৫টি সংখ্যার গড় ৩০ হলে, তাদের মোট যোগফল = ৫ × ৩০ = ১৫০

প্রথম ৯টি সংখ্যার মোট যোগফল = ১৬০ + ১৫০ = ৩১০
মোট ১০টি সংখ্যার যোগফল ৩৮০ হলে, ৫ম সংখ্যাটি = ৩৮০ − ৩১০ = ৭০

এখানে প্রথম ৩০টি প্রশ্নের ব্যাখ্যা দেখতে পারবেন, বাকি সব প্রশ্নের সম্পূর্ণ ব্যাখ্যা পেতে এখনই অ্যাপ ইন্সটল করুন।

Install App
i
ব্যাখ্যা (Explanation):
৩ এর প্রথম পাচঁটি বিজোড় গুণিতক = ৩, ৯, ১৫, ২১, ২৭
সংখ্যাগুলোর যোগফল = ৩ + ৯ + ১৫ +২১ + ২৭
= ৭৫

নির্ণেয় গড় = ৭৫/৫
= ১৫
i
ব্যাখ্যা (Explanation):
ধরি, ৮ জনের অভিযাত্রী দলের গড় ওজন ছিল x কেজি।
তাহলে, ৮ জনের মোট ওজন ছিল 8x কেজি।

৫৬ কেজি ওজনের একজন চলে গেলে, দলের ওজন হয় 8x−56 কেজি।
নতুন অভিযাত্রীর ওজন ধরি y কেজি।
নতুন অভিযাত্রী যুক্ত হলে দলের মোট ওজন হয় 8x−56+y কেজি।



নতুন গড় ওজন = x−2.5 কেজি।
সুতরাং, নতুন মোট ওজন = 8(x−2.5)
= 8x−20 কেজি।

এখন,
8x−56+y = 8x−20
বা, −56+y = −20
বা, y = 36

সুতরাং, নতুন অভিযাত্রীর ওজন হলো ৩৬ কেজি।
i
ব্যাখ্যা (Explanation):
দেওয়া আছে, ছয়টি সংখ্যার গড় ৭।
সুতরাং, ছয়টি সংখ্যার যোগফল = গড় × মোট সংখ্যা = 7×6 = 42

দুটি সংখ্যা সরিয়ে নেওয়ার পর বাকি থাকে 6−2 = 4 টি সংখ্যা।
দেওয়া আছে, বাকি চারটি সংখ্যার গড় ৮।
সুতরাং, বাকি চারটি সংখ্যার যোগফল = গড় × মোট সংখ্যা = 8×4 = 32

অপসারণ করা দুটি সংখ্যার যোগফল = (প্রথম ছয়টি সংখ্যার যোগফল) - (বাকি চারটি সংখ্যার যোগফল)
= 42−32
= 10

সুতরাং, যে দুটি সংখ্যা সরিয়ে নেওয়া হয়েছিল তাদের যোগফল হলো 10।
i
ব্যাখ্যা (Explanation):
ধরি, ৯ ইনিংস খেলার পর ক্রিকেটারের গড় রান ছিল X।

তাহলে, ৯ ইনিংসের মোট রান ছিল 9X।

১০ম ইনিংসে সে ১০০ রান করার পর তার গড় রান X+8 হয়ে যায়।

সুতরাং, ১০ ইনিংসের মোট রান হবে 10(X+8)।

আমরা জানি যে, ১০ ইনিংসের মোট রান হলো ৯ ইনিংসের মোট রান + ১০ম ইনিংসের রান।
অর্থাৎ, 10(X+8) = 9X+100

এখন,
10X+80 = 9X+100
বা, 10X−9X = 100−80
বা, X = 20
এটি ছিল ৯ ইনিংসের পর তার গড় রান।

১০ম ইনিংসে ১০০ রান করার পর তার নতুন গড় = X+8 = 20+8 = 28

সুতরাং, তার নতুন গড় হলো ২৮।
i
ব্যাখ্যা (Explanation):
দেওয়া আছে,
পিতা ও মাতার গড় বয়স ৩৫ বছর
পিতা ও মাতার মোট বয়স = ৩৫ × ২ = ৭০ বছর

পিতা, মাতা ও পুত্রের গড় বয়স ৩০ বছর।
তিনজনের মোট বয়স হবে = ৩০ × ৩ = ৯০ বছর

∴ পুত্রের বয়স = ৯০ বছর − ৭০ বছর = ২০ বছর
i
ব্যাখ্যা (Explanation):
দেওয়া আছে, ৩ টি সংখ্যার গড়=৬
অতএব ৩টি সংখ্যার সমষ্টি =3×৬=১৮
আবার ,৪ টি সংখ্যার গড় =৮
অতএব ৪ টি সংখ্যার সমষ্টি =৪×৮ =৩২
অতএব চতুর্থ সংখ্যাটি =৩২-১৮=১৪
অতএব অর্ধেক হবে (১৪ /২)=৭
i
ব্যাখ্যা (Explanation):

ছয়টি সংখ্যার গড় ৬ 

 "       "   সমষ্টি = (৬ × ৬) = ৩৬ 

প্রত্যেকটি সংখ্যা থেকে ৩ বিয়োগ করা হলে

 ছয়টি সংখ্যার সমষ্টি = {৩৬ - (৬ × ৩)} = (৩৬ - ১৮) = ১৮ 

   "     "       গড় = (১৮ ÷ ৬) = ৩ 

 
i
ব্যাখ্যা (Explanation):
দেওয়া আছে,
P সংখ্যক সংখ্যার গড় = M
∴ P সংখ্যক সংখ্যার সমষ্টি = PM

আবার,
Q সংখ্যক সংখ্যার গড় = N
∴ Q সংখ্যক সংখ্যার সমষ্টি = QN

মোট সংখ্যা = P + Q
তাদের সমষ্টি = PM + QN
∴ তাদের গড় = (PM + Qn)/(P + Q)
i
ব্যাখ্যা (Explanation):
ধরি, ৭টি ক্রমিক সংখ্যার গড় = ৩৩
⇒ মোট যোগফল = গড় × সংখ্যা = ৩৩ × ৭ = ২৩১

এবার, ৭টি ক্রমিক সংখ্যা হলে, তাদের মাঝখানের সংখ্যা হবে গড়টি নিজেই (কারণ সংখ্যাগুলো সমান ব্যবধানে ছড়িয়ে থাকে)।
অতএব, সংখ্যাগুলো হবে:
৩০, ৩১, ৩২, ৩৩, ৩৪, ৩৫, ৩৬

সবচেয়ে বড় সংখ্যা = ৩৬
i
ব্যাখ্যা (Explanation):
১ হতে ৫৯ পর্যন্ত ক্রমিক সংখ্যাগুলোর সমষ্টি ৫৯(৫৯+১)/২
                                               =৫৯×৩০
∴  ১ হতে ৫৯ পর্যন্ত ক্রমিক সংখ্যাগুলোর  গড় (৫৯×৩০)/৫৯ =৩০

এখানে প্রথম ৩০টি প্রশ্নের ব্যাখ্যা দেখতে পারবেন, বাকি সব প্রশ্নের সম্পূর্ণ ব্যাখ্যা পেতে এখনই অ্যাপ ইন্সটল করুন।

Install App
i
ব্যাখ্যা (Explanation):
পিতা  ও মাতার  বয়সের গড় ৪৫ বছর
∴ "          "     "      "    মোট বয়স (৪৫×২) "   =৯০ বছর

পিতা ও মাতা ও এক পুত্রের বয়সের গড় ৩৬ বছর
∴ "              "      মোট বয়স(৩৬×৩ )"     =১০৮ বছর


∴ পুত্রের  বয়স (১০৮-৯০) বছর =১৮ বছর

i
ব্যাখ্যা (Explanation):
পিতা ও মাতার মোট বয়স = ( ৪২×২) = ৮৪ বছর 

পিতা+মাতা+ এক পুত্রের মোট বয়স (৩২×৩) = ৯৬ বছর 

∴ পুত্রের বয়স = ( ৯৬-৮৪) বছর 

                 = ১২ বছর 
i
ব্যাখ্যা (Explanation):
পিতা ও মাতার বয়সের গড় ২৫ বছর
∴ "              "      মোট বয়স (২৫×২ )"     =৫০ বছর

  পিতা ,মাতা ও পুত্রের বয়সের গড় ১৮ বছর
∴ "          "     "      "    মোট বয়স (১৮×৩) "   =৫৪ বছর

∴পুত্রের  বয়স (৫৪-৫০) বছর =৪ বছর

i
ব্যাখ্যা (Explanation):
ছোট থেকে বড় ক্রমে সাজিয়ে = ১৫৫, ১৫৮, ১৬০, ১৬৩, ১৬৫, ১৬৮, ১৭০, ১৭২, ১৭৫
মোট তথ্যের সংখ্যা, n = ৯ (বিজোড় সংখ্যা)

বিজোড় সংখ্যক তথ্যের জন্য মধ্যকের অবস্থান = (n + 1) ÷ 2
= (৯ + ১) ÷ ২
= ১০ ÷ ২
= ৫ম অবস্থান

৫ম অবস্থান অবস্থিত মধ্যক = ১৬৫ সে.মি.
i
ব্যাখ্যা (Explanation):

১ থেকে ৪৯ পর্যন্ত সংখ্যাগুলোর গড় = (১ + ৪৯) / ২ = ২৫
i
ব্যাখ্যা (Explanation):
পিতা ও মাতার বয়সের গড় ৬৫ বছর
∴ পিতা ও মাতার মোট বয়স (৬৫ ✕ ২) = ১৩০ বছর।

আবার,
পিতা, মাতা ও এক পুত্রের বয়সের গড় ৪৬ বছর
∴ পিতা, মাতা ও এক পুত্রের মোট বয়স (৪৬ ✕ ৩) = ১৩৮ বছর


∴ পুত্রের বয়স = ১৩৮ - ১৩০ বছর
= ৮ বছর
i
ব্যাখ্যা (Explanation):
- ডেটা সেটকে মানের ক্রমানুসারে সাজানোর পর মাঝের মানটি হলো মধ্যক।
- যদি ডেটা সেটে জোড় সংখ্যক মান থাকে, তবে মাঝের দুটি মানের গড় হলো মধ্যক।
- মধ্যক অস্বাভাবিক বড় বা ছোট মান দ্বারা তেমন প্রভাবিত হয় না, কারণ এটি কেবল ডেটার মাঝামাঝি অবস্থানের উপর নির্ভর করে।
- যেহেতু প্রশ্নে অস্বাভাবিক বড় ও ছোট মানের কথা বলা হয়েছে, যা গড়কে প্রভাবিত করতে পারে, তাই কেন্দ্রিয় প্রবণতা নির্ণয়ের জন্য মধ্যক একটি নির্ভরযোগ্য পরিমাপক হিসেবে বিবেচিত হয়।
i
ব্যাখ্যা (Explanation):
ধরি,
ধারাবাহিক পাঁচটি পূর্ণসংখ্যা X, X + ১, X + ২, X + ৩, X + ৪

প্রশ্নমতে,
(X + X + ১ + X + ২ + X + ৩ + X + ৪)/৫ = ১৫
বা, ৫X + ১০ = ১৫ × ৫
বা, ৫X + ১০ = ৭৫
বা, ৫X = ৬৫
∴ X = ১৩

সবচেয়ে বড় পূর্ণ সংখ্যা = ১৩ + ৪ = ১৭
i
ব্যাখ্যা (Explanation):
৩০ জন ছাত্রের গড় বয়স ১৪ বছর।
সুতরাং, ৩০ জন ছাত্রের মোট বয়স = ১৪ বছর × ৩০ = ৪২০ বছর।

যখন শিক্ষকের বয়স যোগ করা হয়, তখন মোট সদস্য সংখ্যা হয় ৩০ + ১ = ৩১ জন।
এবং গড় বয়স ১ বছর বেড়ে হয় ১৪ + ১ = ১৫ বছর।

সুতরাং, শিক্ষকসহ ৩১ জন সদস্যের মোট বয়স = ১৫ বছর × ৩১ = ৪৬৫ বছর।

এখন, শিক্ষকের বয়স বের করার জন্য, শিক্ষকসহ মোট বয়স থেকে ছাত্রদের মোট বয়স বাদ দিই।
শিক্ষকের বয়স = (শিক্ষকসহ মোট বয়স) - (ছাত্রদের মোট বয়স)
শিক্ষকের বয়স = ৪৬৫ বছর - ৪২০ বছর = ৪৫ বছর।
i
ব্যাখ্যা (Explanation):
পরিবারে মোট সদস্য সংখ্যা ৪ জন এবং তাদের গড় বয়স ২৫ বছর।
সুতরাং, পরিবারের ৪ জন সদস্যের মোট বয়স = ২৫ বছর × ৪ = ১০০ বছর।

যদি কনিষ্ঠ সদস্যের বয়স বাদ দেওয়া হয়, তবে সদস্য সংখ্যা হয় ৪ - ১ = ৩ জন।
এই ৩ জন সদস্যের গড় বয়স ৩০ বছর।
সুতরাং, কনিষ্ঠ সদস্যকে বাদ দেওয়ার পর বাকি ৩ জন সদস্যের মোট বয়স = ৩০ বছর × ৩ = ৯০ বছর।

এখন, কনিষ্ঠ সদস্যের বয়স = (৪ জন সদস্যের মোট বয়স) - (৩ জন সদস্যের মোট বয়স)
কনিষ্ঠ সদস্যের বয়স = ১০০ বছর - ৯০ বছর = ১০ বছর।

অতএব, পরিবারের কনিষ্ঠ সদস্যের বয়স ১০ বছর।

এখানে প্রথম ৩০টি প্রশ্নের ব্যাখ্যা দেখতে পারবেন, বাকি সব প্রশ্নের সম্পূর্ণ ব্যাখ্যা পেতে এখনই অ্যাপ ইন্সটল করুন।

Install App
i
ব্যাখ্যা (Explanation):
৩টি সংখ্যার গড় ২৯ হলে এদের সমষ্টি = ৩ × ২৯ = ৮৭
দুইটি সংখ্যা ২৪ এবং ৩৫ হলে অপর সংখ্যাটি হবে = ৮৭ - (২৪ + ৩৫) = ২৮
সঠিক উত্তর: 0 | ভুল উত্তর: 0