√৩ সংখ্যাটি কি সংখ্যা?
Solution
Correct Answer: Option D
আমরা জানি, পূর্ণবর্গ নয় এমন যেকোনো স্বাভাবিক সংখ্যার বর্গমূল একটি অমূলদ সংখ্যা।
এখানে, ৩ একটি পূর্ণবর্গ সংখ্যা নয়। কারণ, $1^{2} = 1$ এবং $2^{2} = 4$, কিন্তু ৩ সংখ্যাটি ১ ও ৪ এর মাঝামাঝি অবস্থিত। তাই $\sqrt{3}$ এর মান ১ অপেক্ষা বড় কিন্তু ২ অপেক্ষা ছোট।
ধরি, $\sqrt{3}$ একটি মূলদ সংখ্যা।
তাহলে, ধরি, $\sqrt{3} = \frac{p}{q}$; যেখানে $p$ ও $q$ উভয়ই স্বাভাবিক সংখ্যা, $p$ ও $q$ সহমৌলিক এবং $q > 1$।
বা, $(\sqrt{3})^2 = (\frac{p}{q})^2$ [উভয়পক্ষকে বর্গ করে]
বা, $3 = \frac{p^{2}}{q^{2}}$
বা, $3q = \frac{p^{2}}{q}$ [উভয়পক্ষকে $q$ দ্বারা গুণ করে]
এখানে, স্পষ্টত $3q$ পূর্ণ সংখ্যা।
কিন্তু $\frac{p^{2}}{q}$ পূর্ণ সংখ্যা নয়। কারণ $p$ ও $q$ স্বাভাবিক সংখ্যা, এরা পরস্পর সহমৌলিক এবং $q > 1$।
যেহেতু $3q$ পূর্ণ সংখ্যা এবং $\frac{p^{2}}{q}$ পূর্ণ সংখ্যা নয়, সেহেতু $3q$ এবং $\frac{p^{2}}{q}$ সমান হতে পারে না।
অর্থাৎ, $3q \neq \frac{p^{2}}{q}$
সুতরাং, $\sqrt{3}$ এর মান $\frac{p}{q}$ আকারের কোনো সংখ্যা হতে পারে না।
অর্থাৎ, $\sqrt{3} \neq \frac{p}{q}$
অতএব, $\sqrt{3}$ একটি অমূলদ সংখ্যা।
পরীক্ষার হলে চেনার উপায় (শর্টকাট):
সহজ কথায়, রুটের ($\sqrt{}$) ভেতরের সংখ্যাটি যদি পূর্ণবর্গ না হয় (যেমন: ২, ৩, ৫, ৬, ৭, ৮, ১০ ইত্যাদি), তবে সেটি অমূলদ সংখ্যা হবে। কিন্তু রুটের ভেতরের সংখ্যাটি পূর্ণবর্গ হলে (যেমন: ৪, ৯, ১৬, ২৫), সেটি মূলদ সংখ্যা হয়।
যেহেতু ৩ একটি পূর্ণবর্গ সংখ্যা নয়, তাই $\sqrt{3}$ একটি অমূলদ সংখ্যা।
এখানে, ৩ একটি পূর্ণবর্গ সংখ্যা নয়। কারণ, $1^{2} = 1$ এবং $2^{2} = 4$, কিন্তু ৩ সংখ্যাটি ১ ও ৪ এর মাঝামাঝি অবস্থিত। তাই $\sqrt{3}$ এর মান ১ অপেক্ষা বড় কিন্তু ২ অপেক্ষা ছোট।
ধরি, $\sqrt{3}$ একটি মূলদ সংখ্যা।
তাহলে, ধরি, $\sqrt{3} = \frac{p}{q}$; যেখানে $p$ ও $q$ উভয়ই স্বাভাবিক সংখ্যা, $p$ ও $q$ সহমৌলিক এবং $q > 1$।
বা, $(\sqrt{3})^2 = (\frac{p}{q})^2$ [উভয়পক্ষকে বর্গ করে]
বা, $3 = \frac{p^{2}}{q^{2}}$
বা, $3q = \frac{p^{2}}{q}$ [উভয়পক্ষকে $q$ দ্বারা গুণ করে]
এখানে, স্পষ্টত $3q$ পূর্ণ সংখ্যা।
কিন্তু $\frac{p^{2}}{q}$ পূর্ণ সংখ্যা নয়। কারণ $p$ ও $q$ স্বাভাবিক সংখ্যা, এরা পরস্পর সহমৌলিক এবং $q > 1$।
যেহেতু $3q$ পূর্ণ সংখ্যা এবং $\frac{p^{2}}{q}$ পূর্ণ সংখ্যা নয়, সেহেতু $3q$ এবং $\frac{p^{2}}{q}$ সমান হতে পারে না।
অর্থাৎ, $3q \neq \frac{p^{2}}{q}$
সুতরাং, $\sqrt{3}$ এর মান $\frac{p}{q}$ আকারের কোনো সংখ্যা হতে পারে না।
অর্থাৎ, $\sqrt{3} \neq \frac{p}{q}$
অতএব, $\sqrt{3}$ একটি অমূলদ সংখ্যা।
পরীক্ষার হলে চেনার উপায় (শর্টকাট):
সহজ কথায়, রুটের ($\sqrt{}$) ভেতরের সংখ্যাটি যদি পূর্ণবর্গ না হয় (যেমন: ২, ৩, ৫, ৬, ৭, ৮, ১০ ইত্যাদি), তবে সেটি অমূলদ সংখ্যা হবে। কিন্তু রুটের ভেতরের সংখ্যাটি পূর্ণবর্গ হলে (যেমন: ৪, ৯, ১৬, ২৫), সেটি মূলদ সংখ্যা হয়।
যেহেতু ৩ একটি পূর্ণবর্গ সংখ্যা নয়, তাই $\sqrt{3}$ একটি অমূলদ সংখ্যা।
অ্যাপ/ওয়েবসাইটে রুটিনভিত্তিক নিয়মিত লাইভ পরীক্ষা হচ্ছে।
পরীক্ষা – ১১২
কোর্স নামঃ
১৯ তম শিক্ষক নিবন্ধন - লেকচারশীট ভিত্তিক।
টপিকসঃ
সাধারণ জ্ঞান – বাংলাদেশ
বাংলাদেশের জাতিগোষ্ঠী ও উপজাতি সংক্রান্ত বিষয়াদি ষষ্ঠ জনশুমারি ও গৃহগণনা ২০২২। বাংলাদেশের খেলাধুলা বাংলাদেশের কৃষ্টি ও সংস্কৃতি বাংলার সংগীত
বাংলাদেশের জাতিগোষ্ঠী ও উপজাতি সংক্রান্ত বিষয়াদি ষষ্ঠ জনশুমারি ও গৃহগণনা ২০২২। বাংলাদেশের খেলাধুলা বাংলাদেশের কৃষ্টি ও সংস্কৃতি বাংলার সংগীত
পরীক্ষা শুরুঃ ৩য় ব্যাচ শুরু ৫ নভেম্বর, ২০২৫।
রুটিন দেখুন
পরীক্ষা – ৩৮
কোর্স নামঃ
প্রাইমারি প্রধান শিক্ষক নিয়োগ প্রস্তুতি (২য় ব্যাচ)
টপিকসঃ
বাংলা: বানান
ইংরেজি: Literary Terms
গণিত: স্থানাঙ্ক জ্যামিতি, সমস্যা সমাধান
সাধারণ জ্ঞান: শিল্প-বাণিজ্য
ইংরেজি: Literary Terms
গণিত: স্থানাঙ্ক জ্যামিতি, সমস্যা সমাধান
সাধারণ জ্ঞান: শিল্প-বাণিজ্য
৫ ফেব্রুয়ারি থেকে শুরু।
রুটিন দেখুন
Practice More Questions on Our App!
Download our app for free and access thousands of MCQ questions with detailed solutions