ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল নির্ণয়ের সূত্র:

ক্ষেত্রফল = (1/2) |x₁(y₂ - y₃) + x₂(y₃ - y₁) + x₃(y₁ - y₂)|

এখানে, (x₁, y₁) = (2, 3), (x₂, y₂) = (-1, 5), (x₃, y₃) = (4, -2)

ক্ষেত্রফল = (1/2) |2(5 - (-2)) + (-1)((-2) - 3) + 4(3 - 5)|

= (1/2) |2(7) + (-1)(-5) + 4(-2)|

= (1/2) |14 + 5 - 8|

= (1/2) |11|

= 5.5 বর্গ একক

- এটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের একটি মৌলিক বৈশিষ্ট্য।
- যে ত্রিভুজের দুটি বাহু সমান, তাকে সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ বলে।
- এই সমান বাহু দুটির বিপরীত কোণ দুটিও পরস্পর সমান হয়।
- এই সমান কোণ দুটিকে সাধারণত ভূমি সংলগ্ন কোণ বলা হয়।

এটি ত্রিভুজের মধ্যবিন্দু সংক্রান্ত উপপাদ্যের একটি প্রয়োগ। এই উপপাদ্য অনুযায়ী, ত্রিভুজের যেকোনো দুটি বাহুর মধ্যবিন্দুর সংযোজক সরলরেখা তৃতীয় বাহুর সমান্তরাল এবং তার অর্ধেক হয়।
- এখানে তৃতীয় বাহুর দৈর্ঘ্য দেওয়া আছে ১৪ সে.মি.।
- সুতরাং, সংযোজক রেখাংশের দৈর্ঘ্য হবে ১৪ ÷ ২ = ৭ সে.মি.।

ত্রিভুজের একটি বাহুকে বর্ধিত করলে যে বহিঃস্থ কোণ তৈরি হয়, তা ত্রিভুজটির বিপরীত অন্তঃস্থ কোণ দুটির সমষ্টির সমান হয়।
- এখানে, বহিঃস্থ কোণ ∠ACD = ১০০°।
- বিপরীত অন্তঃস্থ কোণ দুটি হলো ∠ABC এবং ∠BAC।
- প্রশ্নানুসারে, ∠ABC = ৪০°।
- সুতরাং, ∠BAC + ∠ABC = ∠ACD
  বা, ∠BAC + ৪০° = ১০০°
  বা, ∠BAC = ১০০° - ৪০° = ৬০°।

প্রথমত, ত্রিভুজের তিন কোণের সমষ্টি ১৮০°।
∆ABC-তে, ∠A + ∠B + ∠C = ১৮০°
বা, ৪০° + ৮০° + ∠C = ১৮০°
বা, ১২০° + ∠C = ১৮০°
বা, ∠C = ৬০°।

এখন, CD হলো ∠C-এর সমদ্বিখণ্ডক। অর্থাৎ, এটি ∠C-কে দুটি সমান ভাগে ভাগ করে।
সুতরাং, ∠ACD = ∠BCD = ৬০° ÷ ২ = ৩০°।
এখন ∆ACD-এর ক্ষেত্রে, তিনটি কোণের সমষ্টি ১৮০°।

∠CAD (যা ∠A) + ∠ACD + ∠CDA = ১৮০°
বা, ৪০° + ৩০° + ∠CDA = ১৮০°
বা, ৭০° + ∠CDA = ১৮০°
বা, ∠CDA = ১৮০° - ৭০° = ১১০°।

যেহেতু ত্রিভুজটির তিনটি বাহুর দৈর্ঘ্য ভিন্ন, এটি একটি বিষমবাহু ত্রিভুজ। বিষমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল নির্ণয়ের জন্য হেরনের সূত্র (Heron's Formula) ব্যবহার করা হয়।
সূত্রটি হলো: ক্ষেত্রফল = √{s(s-a)(s-b)(s-c)}, যেখানে a, b, c হলো ত্রিভুজের তিনটি বাহুর দৈর্ঘ্য এবং s হলো অর্ধপরিসীমা।

প্রথমে, অর্ধপরিসীমা (s) নির্ণয় করতে হবে:
s = (a + b + c) / ২
= (৫ + ৬ + ৭) / ২
= ১৮ / ২
= ৯ মিটার।

এখন, ক্ষেত্রফল নির্ণয় করা যাক:
ক্ষেত্রফল = √{৯(৯-৫)(৯-৬)(৯-৭)} বর্গমিটার
= √{৯ × ৪ × ৩ × ২} বর্গমিটার
= √২১৬ বর্গমিটার
= √(৩৬ × ৬) বর্গমিটার
= ৬√৬ বর্গমিটার।

সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল নির্ণয়ের সূত্র হলো: (√3/4) × (বাহুর দৈর্ঘ্য)²।
এখানে, ত্রিভুজের এক বাহুর দৈর্ঘ্য, a = ৪ সে.মি.।

সুতরাং, ক্ষেত্রফল
= (√3/4) × (৪)² বর্গ সে.মি.
= (√3/4) × ১৬ বর্গ সে.মি.
= 4√3 বর্গ সে.মি.।

এখানে,

অতিভুজ = 13 সে.মি.
এক বাহু (ভূমি) = 5 সে.মি.
অপর বাহু (লম্ব) = ?
আমরা জানি, পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুযায়ী,
(অতিভুজ)² = (লম্ব)² + (ভূমি)²

বা, (13)² = (লম্ব)² + (5)²
বা, 169 = (লম্ব)² + 25
বা, (লম্ব)² = 169 - 25
বা, (লম্ব)² = 144
বা, লম্ব = √144
সুতরাং, লম্ব = 12 সে.মি.

অতএব, অপর বাহুর দৈর্ঘ্য 12 সে.মি.।

আমরা জানি, একটি সমকোণী ত্রিভুজের ভূমি (b), লম্ব (p) এবং অতিভুজ (h) পিথাগোরাসের উপপাদ্য মেনে চলে: b²+p²=h²
দেওয়া আছে, ভূমি ও লম্বের অনুপাত 3:4।
ধরি, ভূমি (b) = 3x এবং লম্ব (p) = 4x।
এখন আমরা অতিভুজের (h) দৈর্ঘ্য নির্ণয় করব:
h²=(3x)²+(4x)²
h²=9x²+16x²
h²=25x²
h=√25x²
h=5x
তাহলে, অতিভুজের দৈর্ঘ্য 5x।
এখন আমরা অতিভুজের সাথে ভূমির অনুপাত বের করব:
অতিভুজ : ভূমি = 5x : 3x = 5:3
সুতরাং, অতিভুজের সাথে ভূমির অনুপাত 5:3।
সঠিক উত্তর হল B) 5:3।

আমরা জানি, একটি ত্রিভুজের তিনটি কোণের সমষ্টি ১৮০ ডিগ্রি।
ধরি, কোণ তিনটি হল x, 2x এবং 3x।
তাহলে,
x + 2x + 3x = 180°
6x = 180°
x = 180° / 6
x = 30°
সুতরাং, কোণগুলি হল:
প্রথম কোণ = x = 30°
দ্বিতীয় কোণ = 2x = 2 * 30° = 60°
তৃতীয় কোণ = 3x = 3 * 30° = 90°
যেহেতু ত্রিভুজটির একটি কোণ ৯০ ডিগ্রি, তাই এটি একটি সমকোণী ত্রিভুজ।

এখানে, অতিভুজ (c) = ২৫ সে.মি. এবং এক বাহু ( ধরা যাক, a) = ২৪ সে.মি.। অন্য বাহু (b) নির্ণয় করতে হবে।

a² + b² = c²
২৪² + b² = ২৫²
৫৭৬ + b² = ৬২৫
b² = ৬২৫ - ৫৭৬
b² = ৪৯
b = √৪৯
b = ৭

সুতরাং, অন্য বাহুটির দৈর্ঘ্য ৭ সে.মি.।

আমরা জানি, একটি ত্রিভুজের তিনটি কোণের সমষ্টি বা যোগফল হলো ১৮০ ডিগ্রী।

এখানে কোণ তিনটির অনুপাত দেওয়া আছে ১:২:৩।
ধরা যাক, কোণ তিনটি হলো যথাক্রমে ১ক, ২ক, এবং ৩ক।

প্রশ্ন অনুযায়ী,
১ক + ২ক + ৩ক = ১৮০
=> ৬ক = ১৮০
=> ক = ১৮০ / ৬
=> ক = ৩০

এখন কোণগুলোর মান বের করা যাক:
প্রথম কোণ = ১ক = ১ × ৩০ = ৩০ ডিগ্রী
দ্বিতীয় কোণ = ২ক = ২ × ৩০ = ৬০ ডিগ্রী
তৃতীয় কোণ = ৩ক = ৩ × ৩০ = ৯০ ডিগ্রী

এই তিনটি কোণের মধ্যে সবচেয়ে বড় বা বৃহত্তম কোণটি হলো ৯০ ডিগ্রী।

ত্রিভুজের বাহু তিনটি দিয়ে একটি সমকোণী ত্রিভুজ অঙ্কন করা যায়।
সমকোণ সংলগ্ন বাহু গুলো 5,12 সে.মি.

ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল  = (1/2) × 5 × 12 = 30 বর্গ সে.মি.

আমরা জানি, 
ত্রিভুজের তিন কোণের সমষ্টি দুই সমকোণ বা 180° 
বা, x/3 + x/3 + 4x/3 = 180° 
বা, (x + x + 4x)/3 = 180° 
বা, 6x/3 = 180° 
বা, 2x = 180° 
∴ x = 90° 

∴ বৃহত্তম কোণটির পরিমাণ হবে = 4x/3 
= {(4 × 90)/3}° 
= 120°

আমরা জানি যে একটি ত্রিভুজের তিনটি কোণের সমষ্টি ১৮০° হয়।

প্রশ্নানুযায়ী, ত্রিভুজের তিনটি কোণের পরিমাণ হলো:

• প্রথম কোণ = a/3

• দ্বিতীয় কোণ = a/3

• তৃতীয় কোণ = 4a/3

এই তিনটি কোণের সমষ্টি ১৮০° হবে। সুতরাং, আমরা একটি সমীকরণ গঠন করতে পারি:
a/3 + a/3 + 4a/3 = ১৮০°

এখন, আমরা এই সমীকরণটি সমাধান করে 'a' এর মান বের করব:
(a + a + 4a) / 3 = ১৮০°
6a / 3 = ১৮০°
2a = ১৮০°
a = ১৮০° / 2
a = ৯০°

এখন আমরা 'a' এর মান (৯০°) ব্যবহার করে প্রতিটি কোণের মান নির্ণয় করব:

• প্রথম কোণ = a/3 = ৯০° / 3 = ৩০°

• দ্বিতীয় কোণ = a/3 = ৯০° / 3 = ৩০°

• তৃতীয় কোণ = 4a/3 = (4 × ৯০°) / 3 = ৩৬০° / 3 = ১২০°

মনে করি,
ABC ত্রিভুজের প্রত্যেক বাহুর দৈর্ঘ্য, a = 2√3 সে.মি 

আমরা জানি, 
সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = (√3/4) × a² 
= (√3/4) × (2√3)² বর্গ সে.মি. 
= (√3/4) × (2√3) × (2√3) বর্গ সে.মি.
= √3 × √3 × √3 বর্গ সে.মি. 
= 3√3 বর্গ সে.মি. 

∴ নির্ণেয় ক্ষেত্রফল = 3√3 বর্গ সে.মি. ।

আমরা জানি,
ত্রিভুজের তিন কোণের সমষ্টি = ১৮০°
সমকোণী ত্রিভুজের একটি কোণ = ৯০
তাহলে, অপর দুটি কোণের সমষ্টি হবে = ১৮০° - ৯০° = ৯০°

দেওয়া তথ্য:

• প্রথম বাহু = ৭ একক
• দ্বিতীয় বাহু = ১১ একক
• তৃতীয় বাহু = একটি পূর্ণসংখ্যা (ধরি x একক)

ত্রিভুজের অসমতার নিয়ম: একটি ত্রিভুজে যেকোনো দুই বাহুর সমষ্টি তৃতীয় বাহু অপেক্ষা বৃহত্তর হতে হবে।

শর্তাবলী:
১) ৭ + ১১ > x
⟹ ১৮ > x
⟹ x < ১৮

২) ৭ + x > ১১
⟹ x > ১১ - ৭
⟹ x > ৪

৩) ১১ + x > ৭
⟹ x > ৭ - ১১
⟹ x > -৪
(এই শর্তটি সর্বদা সিদ্ধ কারণ দৈর্ঘ্য ধনাত্মক)

তৃতীয় বাহুর সীমা: ৪ < x < ১৮

যেহেতু x একটি পূর্ণসংখ্যা, তাই x এর সম্ভাব্য মান: ৫, ৬, ৭, ৮, ৯, ১০, ১১, ১২, ১৩, ১৪, ১৫, ১৬, ১৭

সর্বনিম্ন পরিসীমার জন্য: তৃতীয় বাহুর সর্বনিম্ন মান নিতে হবে। সর্বনিম্ন মান = ৫ একক

সর্বনিম্ন পরিসীমা: পরিসীমা = ৭ + ১১ + ৫ = ২৩ একক

অতএব, ত্রিভুজটির সর্বনিম্ন সম্ভাব্য পরিসীমা ২৩ একক।

ত্রিভুজের কোণগুলির অনুপাত 2:3:4

ধরি, কোণগুলি = 2x, 3x, 4x
মোট কোণ = 2x + 3x + 4x = 9x = 180°
তাহলে x = 180°/9 = 20°

বৃহত্তম কোণ = 4x = 80°
এর পরিপূরক কোণ = 180° - 80° = 100°

আমরা জানি,
ত্রিভুজের তিন কোণের সমষ্টি দুই সমকোণ বা ১৮০°।

ধরি,
৩য় কোণটি ‘ক’

প্রশ্নমতে,
২৮° + ৬২° + ক = ১৮০°
বা, ৯০° + ক = ১৮০°
∴ ক = ৯০°

সমকোণী ত্রিভুজের একটি কোণ এক সমকোণ বা ৯০° এবং অন্য দুটি কোণের সমষ্টি এক সমকোণ।

ধরি, ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দুগুলো হল A(1, 1), B(4, 5) এবং C(6, -2)।

AB এর দৈর্ঘ্য = √[(4 - 1)² + (5 - 1)²] = √[3² + 4²] = √(9 + 16) = √25 = 5 একক
BC এর দৈর্ঘ্য = √[(6 - 4)² + (-2 - 5)²] = √[2² + (-7)²] = √(4 + 49) = √53 একক
CA এর দৈর্ঘ্য = √[(1 - 6)² + (1 - (-2))²] = √[(-5)² + 3²] = √(25 + 9) = √34 একক

যেহেতু AB, BC এবং CA এর দৈর্ঘ্য ভিন্ন, তাই ত্রিভুজটি একটি বিষমবাহু ত্রিভুজ।

মনেকরি,
সমবাহু ত্রিভুজের প্রত্যেক বাহুর দৈর্ঘ্য a মিটার
ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল = √3a²/4
ত্রিভুজের প্রত্যেক বাহুর দৈর্ঘ্য 2 মিটার বাড়ালে ক্ষেত্রফল= √3(a + 2)²/4

প্রশ্নমতে,
√3(a + 2)²/4 - √3a²/4= 2√3
⇒ a² + 4a + 4 - a² = 8
⇒ 4a + 4 = 8
⇒ 4a = 8 - 4
⇒ 4a = 4
⇒ a = 1
∴ a = 1 মিটার

ধরি,
সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের সমান বাহুর দৈর্ঘ্য, a = ৩ মিটার
সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের ভূমির দৈর্ঘ্য, b = ৪ মিটার

সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = (b/৪) × √(৪a^২ - b^২)
= (৪/৪) × √(৪ × ৩^২ - ৪^২)
= √(৪ × ৯ - ১৬)
= √(৩৬ - ১৬)
= √২০
= ২√৫ বর্গমিটার

আমরা জানি,
সমবাহু ত্রিভুজের মধ্যমা = (√3/2) × বাহু
= (√3/2) × (10/√3)
= 5 সেমি. 

আমরা জানি,
বিষমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = √{s(s - a)(s - b)(s - c)}
এখানে,
s = (a + b + c)/২
= (১০ + ১৭ + ২১)/২
= ৪৮/২
= ২৪ মিটার

ক্ষেত্রফল = √[২৪ (২৪ - ১০) (২৪ - ১৭) (২৪ - ২১)]
= √(২৪ × ১৪ × ৭ × ৩)
= √৭০৫৬
= ৮৪ বর্গমিটার

ধরি, অপর বাহু দুইটির দৈর্ঘ্য 3x এবং 4x ফুট
তাহলে,
(3x)² + (4x)² = 25²
⇒ 9x² + 16x² = 25²
⇒ 25x² = 25²
⇒ x² = 25
∴ x = 5
∴ অপর বাহু দুইটির দৈর্ঘ্য (3×5)= 15 ফুট এবং (4×5)= 20 ফুট

- যে ত্রিভুজের তিনটি বাহুই পরস্পর সমান তাকে সমবাহু ত্রিভুজ বলে।

- সমবাহু ত্রিভুজের তিনটি কোণ পরস্পর সমান এবং প্রত্যেকটি কোণের পরিমান ৬০º।

প্রথম ও দ্বিতীয় কোণদ্বয় যথাক্রমে 3x ও 4x হলে-
শর্তমতে, 3x + 4x + 75º = 180º
⇒ 7x = 105º
∴ x = 15

∴ ছোট কোণটির পরিমাণ ( 3 x 15) = 45º

ধরি,

কোণ তিনটি x, ২x, ৩x

শর্তমতে, x + ২x + ৩x = ১৮০°

⇒৬x = ১৮০º

⇒x = ১৮০º/৬ = ৩০°

আবার,

৩x = ৩ ×৩০ ° = ৯০°

∴ ত্রিভুজটি সমকোণী।

এটি একটি ৩০-৬০-৯০ ত্রিভুজ।
এই ধরনের ত্রিভুজের বাহুগুলির অনুপাত হল:
ক্ষুদ্রতম বাহু : মধ্যম বাহু : বৃহত্তম বাহু = ১ : √৩ : ২
আমরা জানি, বৃহত্তম বাহুর দৈর্ঘ্য ৬ সেমি। যদি আমরা এটিকে ২x ধরি, তাহলে
২x = ৬
বা, x = ৩
যেহেতু ক্ষুদ্রতম বাহুর দৈর্ঘ্য x, তাই এর মান হবে ৩ সেমি।

যে ত্রিভুজের তিনটি বাহুই পরস্পর সমান তাকে সমবাহু ত্রিভুজ বলে। সমবাহু ত্রিভুজের বৈশিষ্ট্য