ত্রিভুজ (204 টি প্রশ্ন )
ধরি, ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দুগুলো হল A(1, 1), B(4, 5) এবং C(6, -2)।

AB এর দৈর্ঘ্য = √[(4 - 1)² + (5 - 1)²] = √[3² + 4²] = √(9 + 16) = √25 = 5 একক
BC এর দৈর্ঘ্য = √[(6 - 4)² + (-2 - 5)²] = √[2² + (-7)²] = √(4 + 49) = √53 একক
CA এর দৈর্ঘ্য = √[(1 - 6)² + (1 - (-2))²] = √[(-5)² + 3²] = √(25 + 9) = √34 একক

যেহেতু AB, BC এবং CA এর দৈর্ঘ্য ভিন্ন, তাই ত্রিভুজটি একটি বিষমবাহু ত্রিভুজ।
মনেকরি,
সমবাহু ত্রিভুজের প্রত্যেক বাহুর দৈর্ঘ্য a মিটার
ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল = √3a2/4
ত্রিভুজের প্রত্যেক বাহুর দৈর্ঘ্য 2 মিটার বাড়ালে ক্ষেত্রফল= √3(a + 2)2/4

প্রশ্নমতে,
√3(a + 2)2/4 - √3a2/4= 2√3
⇒ a2 + 4a + 4 - a2 = 8
⇒ 4a + 4 = 8
⇒ 4a = 8 - 4
⇒ 4a = 4
⇒ a = 1
∴ a = 1 মিটার
ধরি,
সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের সমান বাহুর দৈর্ঘ্য, a = ৩ মিটার
সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের ভূমির দৈর্ঘ্য, b = ৪ মিটার

সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = (b/৪) × √(৪a - b)
= (৪/৪) × √(৪ × ৩ - ৪)
= √(৪ × ৯ - ১৬)
= √(৩৬ - ১৬)
= √২০
= ২√৫ বর্গমিটার
আমরা জানি,
সমবাহু ত্রিভুজের মধ্যমা = (√3/2) × বাহু
= (√3/2) × (10/√3)
= 5 সেমি. 
আমরা জানি,
বিষমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = √{s(s - a)(s - b)(s - c)}
এখানে,
s = (a + b + c)/২
= (১০ + ১৭ + ২১)/২
= ৪৮/২
= ২৪ মিটার

ক্ষেত্রফল = √[২৪ (২৪ - ১০) (২৪ - ১৭) (২৪ - ২১)]
= √(২৪ × ১৪ × ৭ × ৩)
= √৭০৫৬
= ৮৪ বর্গমিটার
দেওয়া আছে,
ত্রিভুজাকৃতি জমির ক্ষেত্রফল = ৫২৮ বর্গমিটার
ত্রিভুজাকৃতি জমির ভূমি = ২৪ মিটার

আমরা জানি,
ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = (১/২) × ভূমি × উচ্চতা
বা, ৫২৮ = (১/২) × ২৪ × উচ্চতা
বা, ১২ × উচ্চতা = ৫২৮
বা, উচ্চতা = ৫২৮/১২
  ∴ উচ্চতা = ৪৪ মিটার
ধরি, অপর বাহু দুইটির দৈর্ঘ্য 3x এবং 4x ফুট
তাহলে,
(3x)² + (4x)² = 25²
⇒ 9x² + 16x² = 25²
⇒ 25x² = 25²
⇒ x² = 25
∴ x = 5
∴ অপর বাহু দুইটির দৈর্ঘ্য (3×5)= 15 ফুট এবং (4×5)= 20 ফুট
- যে ত্রিভুজের তিনটি বাহুই পরস্পর সমান তাকে সমবাহু ত্রিভুজ বলে।

- সমবাহু ত্রিভুজের তিনটি কোণ পরস্পর সমান এবং প্রত্যেকটি কোণের পরিমান ৬০º।
প্রথম ও দ্বিতীয় কোণদ্বয় যথাক্রমে 3x ও 4x হলে-
শর্তমতে, 3x + 4x + 75º = 180º
⇒ 7x = 105º
∴ x = 15

∴ ছোট কোণটির পরিমাণ ( 3 x 15) = 45º
ধরি,

কোণ তিনটি x, ২x, ৩x

শর্তমতে, x + ২x + ৩x = ১৮০°

⇒৬x = ১৮০º

⇒x = ১৮০º/৬ = ৩০°

আবার,

৩x = ৩ ×৩০ ° = ৯০°

∴ ত্রিভুজটি সমকোণী।

এটি একটি ৩০-৬০-৯০ ত্রিভুজ।
এই ধরনের ত্রিভুজের বাহুগুলির অনুপাত হল:
ক্ষুদ্রতম বাহু : মধ্যম বাহু : বৃহত্তম বাহু = ১ : √৩ : ২
আমরা জানি, বৃহত্তম বাহুর দৈর্ঘ্য ৬ সেমি। যদি আমরা এটিকে ২x ধরি, তাহলে
২x = ৬
বা, x = ৩
যেহেতু ক্ষুদ্রতম বাহুর দৈর্ঘ্য x, তাই এর মান হবে ৩ সেমি।
যে ত্রিভুজের তিনটি বাহুই পরস্পর সমান তাকে সমবাহু ত্রিভুজ বলে। সমবাহু ত্রিভুজের বৈশিষ্ট্য 
১। তিনটি বাহু সমান হয়। তিনটি কোণ সমান হয়। 
২। মধ্যমাত্রয় পরস্পর সমান 
৩। প্রতিটি কোণের পরিমান ৬০ ডিগ্রি হয়, যেহেতু তিনটি বাহুর পরিমান সমান। 
৪। সমবাহু ত্রিভুজের প্রতিটি বহি:স্থ কোণের মান ১২০ ডিগ্রি। 
৫। সমবাহু ত্রিভুজের প্রত্যেকটি কোণ সূক্ষ্ম কোণ। 
৬। সমবাহু ত্রিভুজের বাহুগুলোর মধ্যবিন্দু যোগ করলে যে ত্রিভুজটি পাওয়া যায়, সেটিও সমবাহু ত্রিভুজ।

যে ত্রিভুজের তিনটি বাহুই পরস্পর সমান তাকে সমবাহু ত্রিভুজ বলে। সমবাহু ত্রিভুজের বৈশিষ্ট্য 
১। তিনটি বাহু সমান হয়। তিনটি কোণ সমান হয়। 
২। মধ্যমাত্রয় পরস্পর সমান 
৩। প্রতিটি কোণের পরিমান ৬০ ডিগ্রি হয়, যেহেতু তিনটি বাহুর পরিমান সমান। 
৪। সমবাহু ত্রিভুজের প্রতিটি বহি:স্থ কোণের মান ১২০ ডিগ্রি। 
৫। সমবাহু ত্রিভুজের প্রত্যেকটি কোণ সূক্ষ্ম কোণ। 
৬। সমবাহু ত্রিভুজের বাহুগুলোর মধ্যবিন্দু যোগ করলে যে ত্রিভুজটি পাওয়া যায়, সেটিও সমবাহু ত্রিভুজ।

- যে কোণের মান ৯০° এর চেয়ে বড় এবং ১৮০ ° এর চেয়ে ছোট তাকে স্থূলকোণ বলে ।
- একটি স্থূলকোণী ত্রিভুজের স্থূলকোণ ব্যতীত বাকি দুটি কোণ অবশ্যই সূক্ষ্মকোণ। 


মনে করি, কোণের অনুপাত 1:2:3= x:2x:3x

আমরা জানি, ত্রিভুজের তিন কোণের সমষ্টি 180°

প্রশ্নমতে,

x+2x+3x=180°

বা, 6x=180°

বা, x=30°

∴ x=30°

∴ 2x=2×30°=60° এবং 3x=3×30°=90°

লক্ষ্যণীয়, ত্রিভুজটির একটি কোণ 90° অর্থাৎ, ত্রিভুজটি সমকোণী ত্রিভুজ।
যেকোনো সমকোণী ত্রিভুজের বৃহত্তম বাহুটি তার অতিভূজ। অর্থাৎ, এখানে বৃহত্তম বাহু AC.
একটি ত্রিভুজের ক্ষুদ্রতম বাহু সর্বদা ক্ষুদ্রতম কোণের বিপরীতে থাকে। সুতরাং, AB ক্ষুদ্রতম বাহু = 1 মিটার 

এখন ত্রিভুজের ত্রিকোণমিতিক সূত্রানুসারে,
sin ∠ACB = (লম্ব/অতিভূজ)
              =(AB/AC)
বা, sin30° = (1/AC)
বা, AC = 1/sin30°
         = 1/(1/2)
         = 2cm

অতিভূজ = √(ভুমি + লম্ব)
            = √(৮ + ৬)
            = √(৬৪ + ৩৬)
            = √১০০
            = ১০
আমরা জানি, অতিভুজ²= ভূমি² + উচ্চতা²
ধরি, ভূমি x মি. এবং উচ্চতা y মি.
অতএব ,( 1/2)xy=6
               xy=12
এখন, 5²=x²+y²
বা,(x+y)²-2xy=25
বা,(x+y)²=25+24
বা,(x+y)²=49
বা, x+y=±7
(-) মান গ্রহণযোগ্য নয়
অতএব,x+y=7
অতএব, নির্ণেয় পরিসীমা(7+5)=12 মিটার

AB = CA হলে ∠ABC = ∠ACB হবে।
একটি ত্রিভুজের এ একটি বৃত্ত সর্বনিম্ন ২টি বিন্দুতে ছেদ করে এবং সর্ব্বোচ ৬টি বিন্দুতে ছেদ করে।

ΔABC এর AB = AC
∴ ∠C = ∠B

এখন, ∠C + ∠B + ∠A = 180°
বা, 2∠B = 180° - 60°
বা,∠B = 60°
সমকোণী ত্রিভুজের যেকোনো তিন কোণের সমষ্টি 180°
সমকোণী ত্রিভুজের একটি কোণ 90°
সূক্ষ্মকোণদ্বয়ের সমষ্টি = 180° - 90°
                           = 90°
দেওয়া আছে,
১৩ = ১২ + ৫
১৬৯ = ১৪৪ + ২৫

আমরা জানি,
সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজ = ভূমি + লম্ব

∴ ১৩ মিটার, ১২ মিটার ও ৫ মিটার বাহু বিশিষ্ট ত্রিভুজটি হবে সমকোণী ত্রিভুজ।
অথবা, এটি বিষমবাহু ত্রিভুজও হয়।
ধরি,
 সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের ভূমি b = 16 মিটার এবং বাহুর দৈর্ঘ্য a = 10 মিটার।

সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = (b/4)√(4a2 - b2)
= (16/4)√(4×102 - 162)
= 4 × 12
= 48 বর্গমিটার
আমরা জানি,
সমবাহু ত্রিভুজের মধ্যমা = (√3/2) × বাহু
= (√3/2) × 8√3
= 12 সেমি. 

মনেকরি, একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের সমান সমান

বাহুর দৈর্ঘ্য a একক, ভূমির দৈর্ঘ্য b একক হলে,সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = b/৪√(৪a2-b2)

= ১৬/৪√{৪×(১০)- (১৬)}

= ৪ × √(৪০০-২৫৬)

= ৪× √১৪৪

=৪ × ১২ = ৪৮ ব.মি.

 

ত্রিভুজের তিন কোণের সমষ্টি = 180°

প্রশমতে 
x + 2x + 3x = 180°
6x = 180°
x = 180°/6
x =30°
আমরা জানি, একটি ত্রিভুজের তিনটি কোণের সমষ্টি ১৮০°।

কোণগুলোর অনুপাত ৩ : ৪ : ৫ হলে, কোণগুলোর মান হবে ৩x, ৪x, এবং ৫x।
তাহলে,
৩x + ৪x + ৫x = ১৮০°
⇒ ১২x = ১৮০°
⇒ x = ১৫°

সুতরাং, ক্ষুদ্রতম কোণটি হলো ৩x, যার মান হলো ৩ * ১৫° = ৪৫°।

দেওয়া আছে,
সমকোণী ত্রিভুজের ভূমি ৩ সে.মি. এবং অতিভুজ ৫ সে.মি.
∴ লম্ব = অতিভুজ - ভূমি
     = ৫ - ৩
     = ২৫ - ৯
     = ১৬
∴ লম্ব=√১৬= ৪

∴ ক্ষেত্রফল = ১/২ x ভূমি x লম্ব
               = ১/২ x ৩ x ৪
               = ৬ বর্গ সে.মি.
ধরি, সমান বাহু ক ।
+ ক =  (৩√২)
⇒ ২ক = ১৮
⇒ ক  = ৯ 
∴ ক = ৩

ক্ষেত্রফল = ১/২ × ৩ × ৩ 
= ৪.৫ বর্গমিটার
একটি ত্রিভুজের তিনটি কোণের অনুপাত ৬ : ৮ : ১০
কোণগুলি হল ৬ক, ৮ক, ১০ক

প্রশ্নমতে,
৬ক + ৮ক + ১০ক = ১৮০
⇒ ২৪ক = ১৮০
∴ ক = ৭.৫

ক্ষুদ্রতম কোণ = ৬ক
= ৬ × ৭.৫
= ৪৫°
সঠিক উত্তর: 0 | ভুল উত্তর: 0