ত্রিভুজ (230 টি প্রশ্ন )
 Back to Subject Page   All Topics
i
ব্যাখ্যা (Explanation):
- এটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের একটি মৌলিক বৈশিষ্ট্য।
- যে ত্রিভুজের দুটি বাহু সমান, তাকে সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ বলে।
- এই সমান বাহু দুটির বিপরীত কোণ দুটিও পরস্পর সমান হয়।
- এই সমান কোণ দুটিকে সাধারণত ভূমি সংলগ্ন কোণ বলা হয়।
i
ব্যাখ্যা (Explanation):
এটি ত্রিভুজের মধ্যবিন্দু সংক্রান্ত উপপাদ্যের একটি প্রয়োগ। এই উপপাদ্য অনুযায়ী, ত্রিভুজের যেকোনো দুটি বাহুর মধ্যবিন্দুর সংযোজক সরলরেখা তৃতীয় বাহুর সমান্তরাল এবং তার অর্ধেক হয়।
- এখানে তৃতীয় বাহুর দৈর্ঘ্য দেওয়া আছে ১৪ সে.মি.।
- সুতরাং, সংযোজক রেখাংশের দৈর্ঘ্য হবে ১৪ ÷ ২ = ৭ সে.মি.।
i
ব্যাখ্যা (Explanation):
ত্রিভুজের একটি বাহুকে বর্ধিত করলে যে বহিঃস্থ কোণ তৈরি হয়, তা ত্রিভুজটির বিপরীত অন্তঃস্থ কোণ দুটির সমষ্টির সমান হয়।
- এখানে, বহিঃস্থ কোণ ∠ACD = ১০০°।
- বিপরীত অন্তঃস্থ কোণ দুটি হলো ∠ABC এবং ∠BAC।
- প্রশ্নানুসারে, ∠ABC = ৪০°।
- সুতরাং, ∠BAC + ∠ABC = ∠ACD
  বা, ∠BAC + ৪০° = ১০০°
  বা, ∠BAC = ১০০° - ৪০° = ৬০°।
i
ব্যাখ্যা (Explanation):
প্রথমত, ত্রিভুজের তিন কোণের সমষ্টি ১৮০°।
∆ABC-তে, ∠A + ∠B + ∠C = ১৮০°
বা, ৪০° + ৮০° + ∠C = ১৮০°
বা, ১২০° + ∠C = ১৮০°
বা, ∠C = ৬০°।

এখন, CD হলো ∠C-এর সমদ্বিখণ্ডক। অর্থাৎ, এটি ∠C-কে দুটি সমান ভাগে ভাগ করে।
সুতরাং, ∠ACD = ∠BCD = ৬০° ÷ ২ = ৩০°।
এখন ∆ACD-এর ক্ষেত্রে, তিনটি কোণের সমষ্টি ১৮০°।

∠CAD (যা ∠A) + ∠ACD + ∠CDA = ১৮০°
বা, ৪০° + ৩০° + ∠CDA = ১৮০°
বা, ৭০° + ∠CDA = ১৮০°
বা, ∠CDA = ১৮০° - ৭০° = ১১০°।
i
ব্যাখ্যা (Explanation):
যেহেতু ত্রিভুজটির তিনটি বাহুর দৈর্ঘ্য ভিন্ন, এটি একটি বিষমবাহু ত্রিভুজ। বিষমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল নির্ণয়ের জন্য হেরনের সূত্র (Heron's Formula) ব্যবহার করা হয়।
সূত্রটি হলো: ক্ষেত্রফল = √{s(s-a)(s-b)(s-c)}, যেখানে a, b, c হলো ত্রিভুজের তিনটি বাহুর দৈর্ঘ্য এবং s হলো অর্ধপরিসীমা।

প্রথমে, অর্ধপরিসীমা (s) নির্ণয় করতে হবে:
s = (a + b + c) / ২
= (৫ + ৬ + ৭) / ২
= ১৮ / ২
= ৯ মিটার।

এখন, ক্ষেত্রফল নির্ণয় করা যাক:
ক্ষেত্রফল = √{৯(৯-৫)(৯-৬)(৯-৭)} বর্গমিটার
= √{৯ × ৪ × ৩ × ২} বর্গমিটার
= √২১৬ বর্গমিটার
= √(৩৬ × ৬) বর্গমিটার
= ৬√৬ বর্গমিটার।
i
ব্যাখ্যা (Explanation):
সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল নির্ণয়ের সূত্র হলো: (√3/4) × (বাহুর দৈর্ঘ্য)²।

এখানে, ত্রিভুজের এক বাহুর দৈর্ঘ্য, a = ৪ সে.মি.।

সুতরাং, ক্ষেত্রফল
= (√3/4) × (৪)² বর্গ সে.মি.
= (√3/4) × ১৬ বর্গ সে.মি.
= 4√3 বর্গ সে.মি.।
i
ব্যাখ্যা (Explanation):

এখানে,

অতিভুজ = 13 সে.মি.
এক বাহু (ভূমি) = 5 সে.মি.
অপর বাহু (লম্ব) = ?
আমরা জানি, পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুযায়ী,
(অতিভুজ)² = (লম্ব)² + (ভূমি)²

বা, (13)² = (লম্ব)² + (5)²
বা, 169 = (লম্ব)² + 25
বা, (লম্ব)² = 169 - 25
বা, (লম্ব)² = 144
বা, লম্ব = √144
সুতরাং, লম্ব = 12 সে.মি.

অতএব, অপর বাহুর দৈর্ঘ্য 12 সে.মি.।
i
ব্যাখ্যা (Explanation):
আমরা জানি, একটি সমকোণী ত্রিভুজের ভূমি (b), লম্ব (p) এবং অতিভুজ (h) পিথাগোরাসের উপপাদ্য মেনে চলে: b2+p2=h2
দেওয়া আছে, ভূমি ও লম্বের অনুপাত 3:4।
ধরি, ভূমি (b) = 3x এবং লম্ব (p) = 4x।
এখন আমরা অতিভুজের (h) দৈর্ঘ্য নির্ণয় করব:
h2=(3x)2+(4x)2
h2=9x2+16x2
h2=25x2
h=√25x2
h=5x
তাহলে, অতিভুজের দৈর্ঘ্য 5x।
এখন আমরা অতিভুজের সাথে ভূমির অনুপাত বের করব:
অতিভুজ : ভূমি = 5x : 3x = 5:3
সুতরাং, অতিভুজের সাথে ভূমির অনুপাত 5:3।
সঠিক উত্তর হল B) 5:3।
i
ব্যাখ্যা (Explanation):
আমরা জানি, একটি ত্রিভুজের তিনটি কোণের সমষ্টি ১৮০ ডিগ্রি।
ধরি, কোণ তিনটি হল x, 2x এবং 3x।
তাহলে,
x + 2x + 3x = 180°
6x = 180°
x = 180° / 6
x = 30°
সুতরাং, কোণগুলি হল:
প্রথম কোণ = x = 30°
দ্বিতীয় কোণ = 2x = 2 * 30° = 60°
তৃতীয় কোণ = 3x = 3 * 30° = 90°
যেহেতু ত্রিভুজটির একটি কোণ ৯০ ডিগ্রি, তাই এটি একটি সমকোণী ত্রিভুজ।

এখানে প্রথম ৩০টি প্রশ্নের ব্যাখ্যা দেখতে পারবেন, বাকি সব প্রশ্নের সম্পূর্ণ ব্যাখ্যা পেতে এখনই অ্যাপ ইন্সটল করুন।

Install App
i
ব্যাখ্যা (Explanation):

এখানে, অতিভুজ (c) = ২৫ সে.মি. এবং এক বাহু ( ধরা যাক, a) = ২৪ সে.মি.। অন্য বাহু (b) নির্ণয় করতে হবে।

a² + b² = c²
২৪² + b² = ২৫²
৫৭৬ + b² = ৬২৫
b² = ৬২৫ - ৫৭৬
b² = ৪৯
b = √৪৯
b = ৭

সুতরাং, অন্য বাহুটির দৈর্ঘ্য ৭ সে.মি.।
i
ব্যাখ্যা (Explanation):
ত্রিভুজের বাহু তিনটি দিয়ে একটি সমকোণী ত্রিভুজ অঙ্কন করা যায়।
সমকোণ সংলগ্ন বাহু গুলো 5,12 সে.মি.

ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল  = (1/2) × 5 × 12 = 30 বর্গ সে.মি.
i
ব্যাখ্যা (Explanation):
আমরা জানি, 
ত্রিভুজের তিন কোণের সমষ্টি দুই সমকোণ বা 180° 
বা, x/3 + x/3 + 4x/3 = 180° 
বা, (x + x + 4x)/3 = 180° 
বা, 6x/3 = 180° 
বা, 2x = 180° 
∴ x = 90° 

∴ বৃহত্তম কোণটির পরিমাণ হবে = 4x/3 
= {(4 × 90)/3}° 
= 120°
i
ব্যাখ্যা (Explanation):

আমরা জানি যে একটি ত্রিভুজের তিনটি কোণের সমষ্টি ১৮০° হয়।

প্রশ্নানুযায়ী, ত্রিভুজের তিনটি কোণের পরিমাণ হলো:

  • প্রথম কোণ = a/3

  • দ্বিতীয় কোণ = a/3

  • তৃতীয় কোণ = 4a/3

এই তিনটি কোণের সমষ্টি ১৮০° হবে। সুতরাং, আমরা একটি সমীকরণ গঠন করতে পারি:
a/3 + a/3 + 4a/3 = ১৮০°

এখন, আমরা এই সমীকরণটি সমাধান করে 'a' এর মান বের করব:
(a + a + 4a) / 3 = ১৮০°
6a / 3 = ১৮০°
2a = ১৮০°
a = ১৮০° / 2
a = ৯০°

এখন আমরা 'a' এর মান (৯০°) ব্যবহার করে প্রতিটি কোণের মান নির্ণয় করব:

  • প্রথম কোণ = a/3 = ৯০° / 3 = ৩০°

  • দ্বিতীয় কোণ = a/3 = ৯০° / 3 = ৩০°

  • তৃতীয় কোণ = 4a/3 = (4 × ৯০°) / 3 = ৩৬০° / 3 = ১২০°
i
ব্যাখ্যা (Explanation):
মনে করি,
ABC ত্রিভুজের প্রত্যেক বাহুর দৈর্ঘ্য, a = 2√3 সে.মি 

আমরা জানি, 
সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = (√3/4) × a2 
= (√3/4) × (2√3)2 বর্গ সে.মি. 
= (√3/4) × (2√3) × (2√3) বর্গ সে.মি.
= √3 × √3 × √3 বর্গ সে.মি. 
= 3√3 বর্গ সে.মি. 

∴ নির্ণেয় ক্ষেত্রফল = 3√3 বর্গ সে.মি. ।
i
ব্যাখ্যা (Explanation):
দেওয়া আছে,
সমকোণী সমদ্বিবাহু সমান সমান ত্রিভুজের বাহুর দৈর্ঘ্য = ৮ সে.মি.

∴ ক্ষেত্রফল = (১/২) × ৮ × ৮
= ৩২ বর্গ সে.মি.
i
ব্যাখ্যা (Explanation):
দেওয়া আছে,
ভূমি, b = ৩২ মি. 
সমান সমান বাহুর দৈর্ঘ্য, a = ২০ মি.

আমরা জানি,
সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = (b/৪)√(৪a২ - b২)
= (৩২/৪)√{৪ × (২০)২ - (৩২)২}
= ৮{√(১৬০০ - ১০২৪)}
= ৮√৫৭৬
= ৮ × ২৪
= ১৯২ বর্গমিটার
i
ব্যাখ্যা (Explanation):

দেওয়া তথ্য:

  • প্রথম বাহু = ৭ একক
  • দ্বিতীয় বাহু = ১১ একক
  • তৃতীয় বাহু = একটি পূর্ণসংখ্যা (ধরি x একক)

ত্রিভুজের অসমতার নিয়ম: একটি ত্রিভুজে যেকোনো দুই বাহুর সমষ্টি তৃতীয় বাহু অপেক্ষা বৃহত্তর হতে হবে।

শর্তাবলী:
১) ৭ + ১১ > x
⟹ ১৮ > x
⟹ x < ১৮

২) ৭ + x > ১১
⟹ x > ১১ - ৭
⟹ x > ৪

৩) ১১ + x > ৭
⟹ x > ৭ - ১১
⟹ x > -৪
(এই শর্তটি সর্বদা সিদ্ধ কারণ দৈর্ঘ্য ধনাত্মক)

তৃতীয় বাহুর সীমা: ৪ < x < ১৮

যেহেতু x একটি পূর্ণসংখ্যা, তাই x এর সম্ভাব্য মান: ৫, ৬, ৭, ৮, ৯, ১০, ১১, ১২, ১৩, ১৪, ১৫, ১৬, ১৭

সর্বনিম্ন পরিসীমার জন্য: তৃতীয় বাহুর সর্বনিম্ন মান নিতে হবে। সর্বনিম্ন মান = ৫ একক

সর্বনিম্ন পরিসীমা: পরিসীমা = ৭ + ১১ + ৫ = ২৩ একক

অতএব, ত্রিভুজটির সর্বনিম্ন সম্ভাব্য পরিসীমা ২৩ একক।
i
ব্যাখ্যা (Explanation):

বহিঃস্থ কোণ তিনটির সমষ্টি,
= ∠ACD + ∠BAE + ∠CBF
= 180° - γ + 180° - α + 180° - β
= 540° - (α + β + γ)
= 540° - 180°
= 360°
i
ব্যাখ্যা (Explanation):

ধরি, ABC একটি ত্রিভুজ।
এই ত্রিভুজের তিনটি কোণ যথাক্রমে: ∠A, ∠B, ∠C।
প্রতিটি বাহু বর্ধিত করলে একটি করে বহিঃস্থ কোণ তৈরি হয়, যা প্রতিটি অভ্যন্তরীণ কোণের সম্পূরক।
অর্থাৎ:

বাহু BC বর্ধিত করলে ∠A-এর বহিঃস্থ কোণ = 180° − ∠A
বাহু AC বর্ধিত করলে ∠B-এর বহিঃস্থ কোণ = 180° − ∠B
বাহু AB বর্ধিত করলে ∠C-এর বহিঃস্থ কোণ = 180° − ∠C

তাহলে, তিনটি বহিঃস্থ কোণের যোগফল:
= (180° − ∠A) + (180° − ∠B) + (180° − ∠C)
= 3×180° − (∠A + ∠B + ∠C)
= 540° − 180° [কারণ ত্রিভুজের তিনটি কোণের সমষ্টি = 180°]
= 360°

অতএব, সঠিক উত্তর: 360°

এখানে প্রথম ৩০টি প্রশ্নের ব্যাখ্যা দেখতে পারবেন, বাকি সব প্রশ্নের সম্পূর্ণ ব্যাখ্যা পেতে এখনই অ্যাপ ইন্সটল করুন।

Install App
i
ব্যাখ্যা (Explanation):
একটি ১৬ বাহু বিশিষ্ট সমতলিক ক্ষেত্রে ১৬টি কৌণিক বিন্দু আছে। যেকোনো ৩টি বিন্দু নিয়ে একটি ত্রিভুজ গঠন করা যায়।
ত্রিভুজের সংখ্যা = 16!/(3! × 13!)
= (16 × 15 × 14)/(3 × 2 × 1)
= 3360/6
= 560টি ত্রিভুজ

১৬-বাহু বিশিষ্ট ক্ষেত্রের জন্য মোট সম্ভাব্য রেখাংশ = 16 × 15/2 = 120
বাহুর সংখ্যা = 16
কর্ণের সংখ্যা = 120 - 16 = 104টি কর্ণ
i
ব্যাখ্যা (Explanation):
ত্রিভুজের কোণগুলির অনুপাত 2:3:4

ধরি, কোণগুলি = 2x, 3x, 4x
মোট কোণ = 2x + 3x + 4x = 9x = 180°
তাহলে x = 180°/9 = 20°

বৃহত্তম কোণ = 4x = 80°
এর পরিপূরক কোণ = 180° - 80° = 100°
i
ব্যাখ্যা (Explanation):
আমরা জানি,
ত্রিভুজের তিন কোণের সমষ্টি দুই সমকোণ বা ১৮০°।

ধরি,
৩য় কোণটি ‘ক’

প্রশ্নমতে,
২৮° + ৬২° + ক = ১৮০°
বা, ৯০° + ক = ১৮০°
∴ ক = ৯০°

সমকোণী ত্রিভুজের একটি কোণ এক সমকোণ বা ৯০° এবং অন্য দুটি কোণের সমষ্টি এক সমকোণ।
i
ব্যাখ্যা (Explanation):
ধরি, ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দুগুলো হল A(1, 1), B(4, 5) এবং C(6, -2)।

AB এর দৈর্ঘ্য = √[(4 - 1)² + (5 - 1)²] = √[3² + 4²] = √(9 + 16) = √25 = 5 একক
BC এর দৈর্ঘ্য = √[(6 - 4)² + (-2 - 5)²] = √[2² + (-7)²] = √(4 + 49) = √53 একক
CA এর দৈর্ঘ্য = √[(1 - 6)² + (1 - (-2))²] = √[(-5)² + 3²] = √(25 + 9) = √34 একক

যেহেতু AB, BC এবং CA এর দৈর্ঘ্য ভিন্ন, তাই ত্রিভুজটি একটি বিষমবাহু ত্রিভুজ।
i
ব্যাখ্যা (Explanation):
মনেকরি,
সমবাহু ত্রিভুজের প্রত্যেক বাহুর দৈর্ঘ্য a মিটার
ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল = √3a2/4
ত্রিভুজের প্রত্যেক বাহুর দৈর্ঘ্য 2 মিটার বাড়ালে ক্ষেত্রফল= √3(a + 2)2/4

প্রশ্নমতে,
√3(a + 2)2/4 - √3a2/4= 2√3
⇒ a2 + 4a + 4 - a2 = 8
⇒ 4a + 4 = 8
⇒ 4a = 8 - 4
⇒ 4a = 4
⇒ a = 1
∴ a = 1 মিটার
i
ব্যাখ্যা (Explanation):
ধরি,
সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের সমান বাহুর দৈর্ঘ্য, a = ৩ মিটার
সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের ভূমির দৈর্ঘ্য, b = ৪ মিটার

সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = (b/৪) × √(৪a২ - b২)
= (৪/৪) × √(৪ × ৩২ - ৪২)
= √(৪ × ৯ - ১৬)
= √(৩৬ - ১৬)
= √২০
= ২√৫ বর্গমিটার
i
ব্যাখ্যা (Explanation):
আমরা জানি,
সমবাহু ত্রিভুজের মধ্যমা = (√3/2) × বাহু
= (√3/2) × (10/√3)
= 5 সেমি. 
i
ব্যাখ্যা (Explanation):
আমরা জানি,
বিষমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = √{s(s - a)(s - b)(s - c)}
এখানে,
s = (a + b + c)/২
= (১০ + ১৭ + ২১)/২
= ৪৮/২
= ২৪ মিটার

ক্ষেত্রফল = √[২৪ (২৪ - ১০) (২৪ - ১৭) (২৪ - ২১)]
= √(২৪ × ১৪ × ৭ × ৩)
= √৭০৫৬
= ৮৪ বর্গমিটার
i
ব্যাখ্যা (Explanation):
দেওয়া আছে,
ত্রিভুজাকৃতি জমির ক্ষেত্রফল = ৫২৮ বর্গমিটার
ত্রিভুজাকৃতি জমির ভূমি = ২৪ মিটার

আমরা জানি,
ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = (১/২) × ভূমি × উচ্চতা
বা, ৫২৮ = (১/২) × ২৪ × উচ্চতা
বা, ১২ × উচ্চতা = ৫২৮
বা, উচ্চতা = ৫২৮/১২
  ∴ উচ্চতা = ৪৪ মিটার
i
ব্যাখ্যা (Explanation):
ধরি, অপর বাহু দুইটির দৈর্ঘ্য 3x এবং 4x ফুট
তাহলে,
(3x)² + (4x)² = 25²
⇒ 9x² + 16x² = 25²
⇒ 25x² = 25²
⇒ x² = 25
∴ x = 5
∴ অপর বাহু দুইটির দৈর্ঘ্য (3×5)= 15 ফুট এবং (4×5)= 20 ফুট

এখানে প্রথম ৩০টি প্রশ্নের ব্যাখ্যা দেখতে পারবেন, বাকি সব প্রশ্নের সম্পূর্ণ ব্যাখ্যা পেতে এখনই অ্যাপ ইন্সটল করুন।

Install App
i
ব্যাখ্যা (Explanation):
- যে ত্রিভুজের তিনটি বাহুই পরস্পর সমান তাকে সমবাহু ত্রিভুজ বলে।

- সমবাহু ত্রিভুজের তিনটি কোণ পরস্পর সমান এবং প্রত্যেকটি কোণের পরিমান ৬০º।
সঠিক উত্তর: 0 | ভুল উত্তর: 0