একই বিষয়ের সব টপিক

• সরল সমীকরণ
• ঘন জ্যামিতি
• পরিমিতি
• এলিগেশন ও মিশ্রণ
• নৌকা ও স্রোত
• ট্রেন
• সরল ও যৌগিক মুনাফা
• রেখা ও কোণ
• বহুভুজ ও পীথাগোরাসের উপপাদ্য
• অসমতা
• সমান্তর ও গুণোওর ধারা
• অন্যান্য
• ত্রিভুজ
• বীজগাণিতিক সূত্রাবলী এবং প্রয়োগ
• বাস্তব সংখ্যা
• সূচক ও লগারিদম
• সম্ভাব্যতা
• পরিমাপ
• সাধারণ সমস্যা
• গড়
• বর্গ ও বর্গমূল
• ঐকিক নিয়ম
• চতুর্ভুজের পরিসীমা ও ক্ষেত্রফল
• ত্রিকোণমিতি ও এর প্রয়োগ
• রম্বস
• বৃত্ত
• চতুর্ভুজ
• দিক ও দূরত্ব
• সরলীকরণ
• সমাধান
• ফাংশন ও অন্বয়
• সেট ও ভেনচিত্র
• বিন্যাস ও সমাবেশ
• অনুপাত ও সমানুপাত
• উৎপাদকে বিশ্লেষণ
• ল সা গু ও গ সা গু
• সময় দূরত্ব ও গতিবেগ
• ধারা
• সুদকষা
• ভগ্নাংশ
• লাভ-ক্ষতি
• শতকরা
• সংখ্যা

১

কোনো ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দু হতে বিপরীত বাহুর মধ্যবিন্দুর সংযোজক রেখাকে কী বলে?

ক) উচ্চতা খ) লম্বদ্বিখণ্ডক গ) মধ্যমা ঘ) কোণদ্বিখণ্ডক

ব্যাখ্যা (Explanation)

কোনো ত্রিভুজের যেকোনো শীর্ষবিন্দু হতে তার বিপরীত বাহুর মধ্যবিন্দুর সংযোজক সরলরেখাকে মধ্যমা (Median) বলা হয়।

প্রশ্নোক্ত অপশনগুলোর সংক্ষিপ্ত ব্যাখ্যা:
* উচ্চতা: ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দু থেকে বিপরীত বাহুর উপর অঙ্কিত লম্বের দৈর্ঘ্যকে উচ্চতা বলে।
* লম্বদ্বিখণ্ডক: ত্রিভুজের কোনো বাহুকে সমকোণে বা ৯০° কোণে সমান দুই ভাগে বিভক্তকারী রেখাকে লম্বদ্বিখণ্ডক বলে।
* মধ্যমা: ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দু থেকে বিপরীত বাহুর মধ্যবিন্দু পর্যন্ত প্রসারিত সংযোজক রেখাংশকে মধ্যমা বলে।
* কোণদ্বিখণ্ডক: ত্রিভুজের যেকোনো কোণকে সমান দুই ভাগে সমদ্বিখণ্ডিতকারী রেখাকে কোণদ্বিখণ্ডক বলে।

সুতরাং, নির্ণেয় সঠিক উত্তর: অপশন ৩: মধ্যমা।
সোর্সঃ খাইরুল বেসিক গণিত

২

একটি ত্রিভুজের তিনটি শীর্ষবিন্দুর স্থানাঙ্ক যথাক্রমে A(2, 3), B(-1, 5), এবং C(4, -2) হলে, এই ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল কত?

ক) ৪.৫ বর্গ একক খ) ৫.৫ বর্গ একক গ) ৬.৫ বর্গ একক ঘ) ৭.৫ বর্গ একক

ব্যাখ্যা (Explanation)

ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল নির্ণয়ের সূত্র:

ক্ষেত্রফল = (1/2) |x₁(y₂ - y₃) + x₂(y₃ - y₁) + x₃(y₁ - y₂)|

এখানে, (x₁, y₁) = (2, 3), (x₂, y₂) = (-1, 5), (x₃, y₃) = (4, -2)

ক্ষেত্রফল = (1/2) |2(5 - (-2)) + (-1)((-2) - 3) + 4(3 - 5)|

= (1/2) |2(7) + (-1)(-5) + 4(-2)|

= (1/2) |14 + 5 - 8|

= (1/2) |11|

= 5.5 বর্গ একক

৩

যদি কোনো ত্রিভুজের দুই বাহু পরস্পর সমান হয়, তবে এদের বিপরীত কোণ দুটিও কীরূপ হবে?

ক) পরস্পর অসমান খ) পরস্পর সমান গ) পরস্পর পূরক ঘ) পরস্পর সম্পূরক

ব্যাখ্যা (Explanation)

- এটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের একটি মৌলিক বৈশিষ্ট্য।
- যে ত্রিভুজের দুটি বাহু সমান, তাকে সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ বলে।
- এই সমান বাহু দুটির বিপরীত কোণ দুটিও পরস্পর সমান হয়।
- এই সমান কোণ দুটিকে সাধারণত ভূমি সংলগ্ন কোণ বলা হয়।

৪

একটি ত্রিভুজের দুইটি বাহুর মধ্যবিন্দুর সংযোজক রেখাংশ তৃতীয় বাহুর অর্ধেক এবং সমান্তরাল। যদি তৃতীয় বাহুর দৈর্ঘ্য ১৪ সে.মি. হয়, তবে সংযোজক রেখাংশের দৈর্ঘ্য কত?

ক) 7 সে.মি. খ) 14 সে.মি. গ) 28 সে.মি. ঘ) 10.5 সে.মি.

ব্যাখ্যা (Explanation)

এটি ত্রিভুজের মধ্যবিন্দু সংক্রান্ত উপপাদ্যের একটি প্রয়োগ। এই উপপাদ্য অনুযায়ী, ত্রিভুজের যেকোনো দুটি বাহুর মধ্যবিন্দুর সংযোজক সরলরেখা তৃতীয় বাহুর সমান্তরাল এবং তার অর্ধেক হয়।
- এখানে তৃতীয় বাহুর দৈর্ঘ্য দেওয়া আছে ১৪ সে.মি.।
- সুতরাং, সংযোজক রেখাংশের দৈর্ঘ্য হবে ১৪ ÷ ২ = ৭ সে.মি.।

৫

∆ABC এর BC বাহুকে D পর্যন্ত এমনভাবে বর্ধিত করা হলো যেন বহিঃস্থ ∠ACD = 100° হয়। যদি ∠ABC = 40° হয়, তবে ∠BAC এর মান কত?

ক) 40° খ) 80° গ) 140° ঘ) 60°

Job Solutions

ব্যাখ্যা (Explanation)

ত্রিভুজের একটি বাহুকে বর্ধিত করলে যে বহিঃস্থ কোণ তৈরি হয়, তা ত্রিভুজটির বিপরীত অন্তঃস্থ কোণ দুটির সমষ্টির সমান হয়।
- এখানে, বহিঃস্থ কোণ ∠ACD = ১০০°।
- বিপরীত অন্তঃস্থ কোণ দুটি হলো ∠ABC এবং ∠BAC।
- প্রশ্নানুসারে, ∠ABC = ৪০°।
- সুতরাং, ∠BAC + ∠ABC = ∠ACD
  বা, ∠BAC + ৪০° = ১০০°
  বা, ∠BAC = ১০০° - ৪০° = ৬০°।

৬

∆ABC এর ∠A=40° এবং ∠B=80°। ∠C এর সমদ্বিখণ্ডক AB বাহুকে D বিন্দুতে ছেদ করলে ∠CDA এর মান কত?

ক) 100° খ) 110° গ) 70° ঘ) 120°

ব্যাখ্যা (Explanation)

প্রথমত, ত্রিভুজের তিন কোণের সমষ্টি ১৮০°।
∆ABC-তে, ∠A + ∠B + ∠C = ১৮০°
বা, ৪০° + ৮০° + ∠C = ১৮০°
বা, ১২০° + ∠C = ১৮০°
বা, ∠C = ৬০°।

এখন, CD হলো ∠C-এর সমদ্বিখণ্ডক। অর্থাৎ, এটি ∠C-কে দুটি সমান ভাগে ভাগ করে।
সুতরাং, ∠ACD = ∠BCD = ৬০° ÷ ২ = ৩০°।
এখন ∆ACD-এর ক্ষেত্রে, তিনটি কোণের সমষ্টি ১৮০°।

∠CAD (যা ∠A) + ∠ACD + ∠CDA = ১৮০°
বা, ৪০° + ৩০° + ∠CDA = ১৮০°
বা, ৭০° + ∠CDA = ১৮০°
বা, ∠CDA = ১৮০° - ৭০° = ১১০°।

৭

একটি ত্রিভুজের তিনটি বাহুর দৈর্ঘ্য যথাক্রমে ৫, ৬ ও ৭ মিটার। ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল কত?

ক) 9 বর্গমিটার খ) 216 বর্গমিটার গ) 6√5 বর্গমিটার ঘ) 6√6 বর্গমিটার

Job Solutions

ব্যাখ্যা (Explanation)

যেহেতু ত্রিভুজটির তিনটি বাহুর দৈর্ঘ্য ভিন্ন, এটি একটি বিষমবাহু ত্রিভুজ। বিষমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল নির্ণয়ের জন্য হেরনের সূত্র (Heron's Formula) ব্যবহার করা হয়।
সূত্রটি হলো: ক্ষেত্রফল = √{s(s-a)(s-b)(s-c)}, যেখানে a, b, c হলো ত্রিভুজের তিনটি বাহুর দৈর্ঘ্য এবং s হলো অর্ধপরিসীমা।

প্রথমে, অর্ধপরিসীমা (s) নির্ণয় করতে হবে:
s = (a + b + c) / ২
= (৫ + ৬ + ৭) / ২
= ১৮ / ২
= ৯ মিটার।

এখন, ক্ষেত্রফল নির্ণয় করা যাক:
ক্ষেত্রফল = √{৯(৯-৫)(৯-৬)(৯-৭)} বর্গমিটার
= √{৯ × ৪ × ৩ × ২} বর্গমিটার
= √২১৬ বর্গমিটার
= √(৩৬ × ৬) বর্গমিটার
= ৬√৬ বর্গমিটার।

৮

একটি সমবাহু ত্রিভুজের এক বাহুর দৈর্ঘ্য ৪ সে.মি. হলে, ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল কত?

ক) 16√3 বর্গ সে.মি. খ) 4√3 বর্গ সে.মি. গ) 8√3 বর্গ সে.মি. ঘ) 12 বর্গ সে.মি.

ব্যাখ্যা (Explanation)

সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল নির্ণয়ের সূত্র হলো: (√3/4) × (বাহুর দৈর্ঘ্য)²।
এখানে, ত্রিভুজের এক বাহুর দৈর্ঘ্য, a = ৪ সে.মি.।

সুতরাং, ক্ষেত্রফল
= (√3/4) × (৪)² বর্গ সে.মি.
= (√3/4) × ১৬ বর্গ সে.মি.
= 4√3 বর্গ সে.মি.।

৯

একটি সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজ 13 সে.মি. এবং এক বাহু 5 সে.মি. হলে, অপর বাহুর দৈর্ঘ্য কত?

ক) 12 সে.মি. খ) 8 সে.মি. গ) 10 সে.মি. ঘ) 11 সে.মি.

ব্যাখ্যা (Explanation)

এখানে,

অতিভুজ = 13 সে.মি.
এক বাহু (ভূমি) = 5 সে.মি.
অপর বাহু (লম্ব) = ?
আমরা জানি, পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুযায়ী,
(অতিভুজ)² = (লম্ব)² + (ভূমি)²

বা, (13)² = (লম্ব)² + (5)²
বা, 169 = (লম্ব)² + 25
বা, (লম্ব)² = 169 - 25
বা, (লম্ব)² = 144
বা, লম্ব = √144
সুতরাং, লম্ব = 12 সে.মি.

অতএব, অপর বাহুর দৈর্ঘ্য 12 সে.মি.।

১০

একটি সমকোণী ত্রিভুজের ভূমি ও লম্বের অনুপাত 3:4 হলে, অতিভুজের সাথে ভূমির অনুপাত কত?

ক) 3:5 খ) 5:3 গ) 4:5 ঘ) 5:4

ব্যাখ্যা (Explanation)

আমরা জানি, একটি সমকোণী ত্রিভুজের ভূমি (b), লম্ব (p) এবং অতিভুজ (h) পিথাগোরাসের উপপাদ্য মেনে চলে: b²+p²=h²
দেওয়া আছে, ভূমি ও লম্বের অনুপাত 3:4।
ধরি, ভূমি (b) = 3x এবং লম্ব (p) = 4x।
এখন আমরা অতিভুজের (h) দৈর্ঘ্য নির্ণয় করব:
h²=(3x)²+(4x)²
h²=9x²+16x²
h²=25x²
h=√25x²
h=5x
তাহলে, অতিভুজের দৈর্ঘ্য 5x।
এখন আমরা অতিভুজের সাথে ভূমির অনুপাত বের করব:
অতিভুজ : ভূমি = 5x : 3x = 5:3
সুতরাং, অতিভুজের সাথে ভূমির অনুপাত 5:3।
সঠিক উত্তর হল B) 5:3।

১১

একটি ত্রিভুজের তিনটি কোণের অনুপাত ১:২:৩ হলে, ত্রিভুজটি কোন ধরনের?

ক) সমবাহু ত্রিভুজ খ) সমকোণী ত্রিভুজ গ) সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ ঘ) স্থূলকোণী ত্রিভুজ

Job Solutions

ব্যাখ্যা (Explanation)

আমরা জানি, একটি ত্রিভুজের তিনটি কোণের সমষ্টি ১৮০ ডিগ্রি।
ধরি, কোণ তিনটি হল x, 2x এবং 3x।
তাহলে,
x + 2x + 3x = 180°
6x = 180°
x = 180° / 6
x = 30°
সুতরাং, কোণগুলি হল:
প্রথম কোণ = x = 30°
দ্বিতীয় কোণ = 2x = 2 * 30° = 60°
তৃতীয় কোণ = 3x = 3 * 30° = 90°
যেহেতু ত্রিভুজটির একটি কোণ ৯০ ডিগ্রি, তাই এটি একটি সমকোণী ত্রিভুজ।

১২

কোনো সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজ 25 সে.মি. এবং এক বাহু 24 সে.মি. হলে, অন্য বাহু কত?

ক) 5 সে.মি. খ) 9 সে.মি. গ) 7 সে.মি. ঘ) 6 সে.মি.

ব্যাখ্যা (Explanation)

এখানে, অতিভুজ (c) = ২৫ সে.মি. এবং এক বাহু ( ধরা যাক, a) = ২৪ সে.মি.। অন্য বাহু (b) নির্ণয় করতে হবে।

a² + b² = c²
২৪² + b² = ২৫²
৫৭৬ + b² = ৬২৫
b² = ৬২৫ - ৫৭৬
b² = ৪৯
b = √৪৯
b = ৭

সুতরাং, অন্য বাহুটির দৈর্ঘ্য ৭ সে.মি.।

১৩

একটি ত্রিভুজের তিনটি কোণের অনুপাত ১:২:৩ হলে, বৃহত্তম কোণটির মান কত?

ক) ৩০ ডিগ্রী খ) ৯০ ডিগ্রী গ) ৬০ ডিগ্রী ঘ) ১৮০ ডিগ্রী

ব্যাখ্যা (Explanation)

আমরা জানি, একটি ত্রিভুজের তিনটি কোণের সমষ্টি বা যোগফল হলো ১৮০ ডিগ্রী।

এখানে কোণ তিনটির অনুপাত দেওয়া আছে ১:২:৩।
ধরা যাক, কোণ তিনটি হলো যথাক্রমে ১ক, ২ক, এবং ৩ক।

প্রশ্ন অনুযায়ী,
১ক + ২ক + ৩ক = ১৮০
=> ৬ক = ১৮০
=> ক = ১৮০ / ৬
=> ক = ৩০

এখন কোণগুলোর মান বের করা যাক:
প্রথম কোণ = ১ক = ১ × ৩০ = ৩০ ডিগ্রী
দ্বিতীয় কোণ = ২ক = ২ × ৩০ = ৬০ ডিগ্রী
তৃতীয় কোণ = ৩ক = ৩ × ৩০ = ৯০ ডিগ্রী

এই তিনটি কোণের মধ্যে সবচেয়ে বড় বা বৃহত্তম কোণটি হলো ৯০ ডিগ্রী।

১৪

কোনো ত্রিভুজের বাহুর দৈর্ঘ্য যথাক্রমে 5, 12, 13 সে.মি. হলে ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল কত?

ক) ৬০ বর্গ সে.মি. খ) 30 বর্গ সে.মি. গ) ৩০ সে.মি. ঘ) ৬৫ বর্গ সে.মি.

ব্যাখ্যা (Explanation)

ত্রিভুজের বাহু তিনটি দিয়ে একটি সমকোণী ত্রিভুজ অঙ্কন করা যায়।
সমকোণ সংলগ্ন বাহু গুলো 5,12 সে.মি.

ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল  = (1/2) × 5 × 12 = 30 বর্গ সে.মি.

১৫

একটি ত্রিভুজের তিনটি কোণের পরিমাণ যথাক্রমে x/3, x/3 এবং 4x/3 হলে, বৃহত্তম কোণটির মান কত?

ক) ৩০° খ) ৬০° গ) ৯০° ঘ) ১২০°

ব্যাখ্যা (Explanation)

আমরা জানি, 
ত্রিভুজের তিন কোণের সমষ্টি দুই সমকোণ বা 180° 
বা, x/3 + x/3 + 4x/3 = 180° 
বা, (x + x + 4x)/3 = 180° 
বা, 6x/3 = 180° 
বা, 2x = 180° 
∴ x = 90° 

∴ বৃহত্তম কোণটির পরিমাণ হবে = 4x/3 
= {(4 × 90)/3}° 
= 120°

১৬

একটি ত্রিভুজের তিনটি কোণের পরিমাণ যথাক্রমে a/3, a/3 এবং 4a/3 হলে, বৃহত্তম কোণটির মান কত?

ক) 90° খ) 60° গ) 30° ঘ) 120°

ব্যাখ্যা (Explanation)

আমরা জানি যে একটি ত্রিভুজের তিনটি কোণের সমষ্টি ১৮০° হয়।

প্রশ্নানুযায়ী, ত্রিভুজের তিনটি কোণের পরিমাণ হলো:

• প্রথম কোণ = a/3

• দ্বিতীয় কোণ = a/3

• তৃতীয় কোণ = 4a/3

এই তিনটি কোণের সমষ্টি ১৮০° হবে। সুতরাং, আমরা একটি সমীকরণ গঠন করতে পারি:
a/3 + a/3 + 4a/3 = ১৮০°

এখন, আমরা এই সমীকরণটি সমাধান করে 'a' এর মান বের করব:
(a + a + 4a) / 3 = ১৮০°
6a / 3 = ১৮০°
2a = ১৮০°
a = ১৮০° / 2
a = ৯০°

এখন আমরা 'a' এর মান (৯০°) ব্যবহার করে প্রতিটি কোণের মান নির্ণয় করব:

• প্রথম কোণ = a/3 = ৯০° / 3 = ৩০°

• দ্বিতীয় কোণ = a/3 = ৯০° / 3 = ৩০°

• তৃতীয় কোণ = 4a/3 = (4 × ৯০°) / 3 = ৩৬০° / 3 = ১২০°

১৭

একটি সমবাহু ত্রিভুজের প্রত্যেক বাহুর দৈর্ঘ্য 2√3 সে.মি। এর ক্ষেত্রফল নির্ণয় করুন।

ক) 12 বর্গ সে.মি. খ) 6√3 বর্গ সে.মি. গ) 3√3 বর্গ সে.মি. ঘ) 9 বর্গ সে.মি.

শিক্ষক নিবন্ধন

ব্যাখ্যা (Explanation)

মনে করি,
ABC ত্রিভুজের প্রত্যেক বাহুর দৈর্ঘ্য, a = 2√3 সে.মি 

আমরা জানি, 
সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = (√3/4) × a² 
= (√3/4) × (2√3)² বর্গ সে.মি. 
= (√3/4) × (2√3) × (2√3) বর্গ সে.মি.
= √3 × √3 × √3 বর্গ সে.মি. 
= 3√3 বর্গ সে.মি. 

∴ নির্ণেয় ক্ষেত্রফল = 3√3 বর্গ সে.মি. ।

১৮

একটি সমকোণী ত্রিভুজের অন্য দুটি কোণের সমষ্টি কত হবে?

ক) 60° খ) 90° গ) 120° ঘ) 180°

Job Solutions

ব্যাখ্যা (Explanation)

আমরা জানি,
ত্রিভুজের তিন কোণের সমষ্টি = ১৮০°
সমকোণী ত্রিভুজের একটি কোণ = ৯০
তাহলে, অপর দুটি কোণের সমষ্টি হবে = ১৮০° - ৯০° = ৯০°

১৯

একটি ত্রিভুজের দুটি বাহুর দৈর্ঘ্য যথাক্রমে ৭ একক ও ১১ একক। যদি তৃতীয় বাহুর দৈর্ঘ্য একটি পূর্ণসংখ্যা হয়, তাহলে ত্রিভুজটির সর্বনিম্ন সম্ভাব্য পরিসীমা কত হবে?

ক) ১৯ একক খ) ২৩ একক গ) ১৭ একক ঘ) ২০ একক

ব্যাখ্যা (Explanation)

দেওয়া তথ্য:

• প্রথম বাহু = ৭ একক
• দ্বিতীয় বাহু = ১১ একক
• তৃতীয় বাহু = একটি পূর্ণসংখ্যা (ধরি x একক)

ত্রিভুজের অসমতার নিয়ম: একটি ত্রিভুজে যেকোনো দুই বাহুর সমষ্টি তৃতীয় বাহু অপেক্ষা বৃহত্তর হতে হবে।

শর্তাবলী:
১) ৭ + ১১ > x
⟹ ১৮ > x
⟹ x < ১৮

২) ৭ + x > ১১
⟹ x > ১১ - ৭
⟹ x > ৪

৩) ১১ + x > ৭
⟹ x > ৭ - ১১
⟹ x > -৪
(এই শর্তটি সর্বদা সিদ্ধ কারণ দৈর্ঘ্য ধনাত্মক)

তৃতীয় বাহুর সীমা: ৪ < x < ১৮

যেহেতু x একটি পূর্ণসংখ্যা, তাই x এর সম্ভাব্য মান: ৫, ৬, ৭, ৮, ৯, ১০, ১১, ১২, ১৩, ১৪, ১৫, ১৬, ১৭

সর্বনিম্ন পরিসীমার জন্য: তৃতীয় বাহুর সর্বনিম্ন মান নিতে হবে। সর্বনিম্ন মান = ৫ একক

সর্বনিম্ন পরিসীমা: পরিসীমা = ৭ + ১১ + ৫ = ২৩ একক

অতএব, ত্রিভুজটির সর্বনিম্ন সম্ভাব্য পরিসীমা ২৩ একক।

২০

একটি ত্রিভুজের কোণগুলির অনুপাত 2:3:4 হলে, বৃহত্তম কোণটির পরিপূরক কোণ (supplementary angle) কত?

ক) 80° খ) 100° গ) 120° ঘ) 140°

ব্যাখ্যা (Explanation)

ত্রিভুজের কোণগুলির অনুপাত 2:3:4

ধরি, কোণগুলি = 2x, 3x, 4x
মোট কোণ = 2x + 3x + 4x = 9x = 180°
তাহলে x = 180°/9 = 20°

বৃহত্তম কোণ = 4x = 80°
এর পরিপূরক কোণ = 180° - 80° = 100°

২১

কোনো একটি ত্রিভুজের দুইটি কোণের পরিমাণ ২৮° ও ৬২°। ত্রিভুজটি কোন ধরনের?

ক) সমকোণী খ) সূক্ষ্মকোণী গ) স্থূলকোণী ঘ) সমদ্বিবাহু সমকোণী

Job Solutions বিসিএস

ব্যাখ্যা (Explanation)

আমরা জানি,
ত্রিভুজের তিন কোণের সমষ্টি দুই সমকোণ বা ১৮০°।

ধরি,
৩য় কোণটি ‘ক’

প্রশ্নমতে,
২৮° + ৬২° + ক = ১৮০°
বা, ৯০° + ক = ১৮০°
∴ ক = ৯০°

সমকোণী ত্রিভুজের একটি কোণ এক সমকোণ বা ৯০° এবং অন্য দুটি কোণের সমষ্টি এক সমকোণ।

২২

একটি ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দুগুলোর স্থানাঙ্ক (1, 1), (4, 5) এবং (6, -2) হলে, ত্রিভুজটি কী ধরনের ত্রিভুজ?

ক) সমদ্বিবাহু খ) সমকোণী গ) বিষমবাহু ঘ) সমবাহু

ব্যাখ্যা (Explanation)

ধরি, ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দুগুলো হল A(1, 1), B(4, 5) এবং C(6, -2)।

AB এর দৈর্ঘ্য = √[(4 - 1)² + (5 - 1)²] = √[3² + 4²] = √(9 + 16) = √25 = 5 একক
BC এর দৈর্ঘ্য = √[(6 - 4)² + (-2 - 5)²] = √[2² + (-7)²] = √(4 + 49) = √53 একক
CA এর দৈর্ঘ্য = √[(1 - 6)² + (1 - (-2))²] = √[(-5)² + 3²] = √(25 + 9) = √34 একক

যেহেতু AB, BC এবং CA এর দৈর্ঘ্য ভিন্ন, তাই ত্রিভুজটি একটি বিষমবাহু ত্রিভুজ।

২৩

একটি সমবাহু ত্রিভুজের প্রত্যেক বাহুর দৈর্ঘ্য 2 মিটার বাড়ালে এর ক্ষেত্রফল 2√3 বর্গমিটার বেড়ে যায়। ত্রিভুজটির বাহুর দৈর্ঘ্য কত?

ক) 1 মিটার খ) 2 মিটার গ) 3 মিটার ঘ) 4 মিটার

ব্যাখ্যা (Explanation)

মনেকরি,
সমবাহু ত্রিভুজের প্রত্যেক বাহুর দৈর্ঘ্য a মিটার
ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল = √3a²/4
ত্রিভুজের প্রত্যেক বাহুর দৈর্ঘ্য 2 মিটার বাড়ালে ক্ষেত্রফল= √3(a + 2)²/4

প্রশ্নমতে,
√3(a + 2)²/4 - √3a²/4= 2√3
⇒ a² + 4a + 4 - a² = 8
⇒ 4a + 4 = 8
⇒ 4a = 8 - 4
⇒ 4a = 4
⇒ a = 1
∴ a = 1 মিটার

২৪

সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের সমান বাহুর দৈর্ঘ্য ৩ মিটার এবং ভূমির দৈর্ঘ্য ৪ মিটার হলে ক্ষেত্রফল কত হবে?

ক) ৪ বর্গমিটার খ) ২ বর্গমিটার গ) ২√৫ বর্গমিটার ঘ) ৩√৫ বর্গমিটার

ব্যাখ্যা (Explanation)

ধরি,
সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের সমান বাহুর দৈর্ঘ্য, a = ৩ মিটার
সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের ভূমির দৈর্ঘ্য, b = ৪ মিটার

সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = (b/৪) × √(৪a^২ - b^২)
= (৪/৪) × √(৪ × ৩^২ - ৪^২)
= √(৪ × ৯ - ১৬)
= √(৩৬ - ১৬)
= √২০
= ২√৫ বর্গমিটার

২৫

একটি সমবাহু ত্রিভুজের বাহু (10/√3) সে.মি. হলে, ত্রিভুজটির মধ্যমা কত?

ক) 5 সেমি. খ) 6 সেমি. গ) 7 সেমি. ঘ) 9 সেমি.

ব্যাখ্যা (Explanation)

আমরা জানি,
সমবাহু ত্রিভুজের মধ্যমা = (√3/2) × বাহু
= (√3/2) × (10/√3)
= 5 সেমি. 

২৬

একটি বিষমবাহু ত্রিভুজের তিনটি বাহুর দৈর্ঘ্য যথাক্রমে ১০ মিটার, ১৭ মিটার ও ২১ মিটার হলে, ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল কত?

ক) ৮৪ বর্গমিটার খ) ৯২ বর্গমিটার গ) ৭২ বর্গমিটার ঘ) ৭৬ বর্গমিটার

ব্যাখ্যা (Explanation)

আমরা জানি,
বিষমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = √{s(s - a)(s - b)(s - c)}
এখানে,
s = (a + b + c)/২
= (১০ + ১৭ + ২১)/২
= ৪৮/২
= ২৪ মিটার

ক্ষেত্রফল = √[২৪ (২৪ - ১০) (২৪ - ১৭) (২৪ - ২১)]
= √(২৪ × ১৪ × ৭ × ৩)
= √৭০৫৬
= ৮৪ বর্গমিটার

২৭

একটি সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজের দৈর্ঘ্য ২৫ ফুট। অপর বাহুর অনুপাত ৪ : ৩ হলে বাহু দুইটির দৈর্ঘ্য কত?

ক) ১২ ফুট এবং ৮ ফুট খ) ১৬ ফুট এবং ১২ ফুট গ) ৪ ফুট এবং ৬ ফুট ঘ) ১৫ ফুট এবং ২০ ফুট

Job Solutions

ব্যাখ্যা (Explanation)

ধরি, অপর বাহু দুইটির দৈর্ঘ্য 3x এবং 4x ফুট
তাহলে,
(3x)² + (4x)² = 25²
⇒ 9x² + 16x² = 25²
⇒ 25x² = 25²
⇒ x² = 25
∴ x = 5
∴ অপর বাহু দুইটির দৈর্ঘ্য (3×5)= 15 ফুট এবং (4×5)= 20 ফুট

২৮

কোন সমবাহু ত্রিভুজের একটি কোণ ৬০º হলে অপর দুটি কোণের মান হবে-

ক) ৩০º, ৯০º খ) ৪০º, ৮০º গ) ৫০º, ৭০º ঘ) ৬০º, ৬০º

Job Solutions

ব্যাখ্যা (Explanation)

- যে ত্রিভুজের তিনটি বাহুই পরস্পর সমান তাকে সমবাহু ত্রিভুজ বলে।

- সমবাহু ত্রিভুজের তিনটি কোণ পরস্পর সমান এবং প্রত্যেকটি কোণের পরিমান ৬০º।

২৯

একটি ত্রিভূজের দুৃটি কোণের অনুপাত 3 : 4। তৃতীয় কোণটি ৭৫º হলে ছোট কোণটির পরিমাণ কত?

ক) ৪৮º খ) ৮০º গ) ৬৭º ঘ) ৪৫º

ব্যাখ্যা (Explanation)

প্রথম ও দ্বিতীয় কোণদ্বয় যথাক্রমে 3x ও 4x হলে-
শর্তমতে, 3x + 4x + 75º = 180º
⇒ 7x = 105º
∴ x = 15

∴ ছোট কোণটির পরিমাণ ( 3 x 15) = 45º

৩০

একটি ত্রিভুজের তিনটি কোণের অনুপাত ১:২:৩ । বৃহত্তম বাহুর দৈর্ঘ্য ৬ সেমি হলে ক্ষুদ্রতম বাহুর দৈর্ঘ্য কত? 

ক) √৩ সেমি  খ) ৩ সেমি  গ) ২√৩ সেমি  ঘ) ২ সেমি 

Job Solutions

ব্যাখ্যা (Explanation)

ধরি,

কোণ তিনটি x, ২x, ৩x

শর্তমতে, x + ২x + ৩x = ১৮০°

⇒৬x = ১৮০º

⇒x = ১৮০º/৬ = ৩০°

আবার,

৩x = ৩ ×৩০ ° = ৯০°

∴ ত্রিভুজটি সমকোণী।

এটি একটি ৩০-৬০-৯০ ত্রিভুজ।
এই ধরনের ত্রিভুজের বাহুগুলির অনুপাত হল:
ক্ষুদ্রতম বাহু : মধ্যম বাহু : বৃহত্তম বাহু = ১ : √৩ : ২
আমরা জানি, বৃহত্তম বাহুর দৈর্ঘ্য ৬ সেমি। যদি আমরা এটিকে ২x ধরি, তাহলে
২x = ৬
বা, x = ৩
যেহেতু ক্ষুদ্রতম বাহুর দৈর্ঘ্য x, তাই এর মান হবে ৩ সেমি।