ভাগের ক্ষেত্রে যাকে ভাগ করা হয় তাকে ভাজ্য, যা দ্বারা ভাগ করা হয় তাকে ভাজক, ভাগ করার পর যা পাওয়া যায় তাকে ভাগফল এবং শেষে যা অবশিষ্ট থাকে তাকে ভাগশেষ বলে। এক্ষেত্রে, ভাজ্য = ভাগফল x ভাজক + ভাগশেষ।
প্রদত্ত রাশিটি পূর্ণ বর্গ হলে এর মূলদ্বয়ের মান সমান এবং নিশ্চায়কের মান শূন্য হবে, অর্থাৎ, b2 -4ac = 0 হবে ⇒ m2 - 4.4.9 = 0 ⇒ m2 - 144 = 0 ⇒ m2 = 144 ⇒ m2 = 122 ⇒ m = 12
ধরি, দুটি বিজোড় মৌলিক সংখ্যা যথাক্রমে $p_1$ এবং $p_2$। প্রশ্নমতে, সংখ্যা দুটির গুণফল $= 143$
এখন, $143$ কে মৌলিক উৎপাদকে বিশ্লেষণ করি। যেহেতু সংখ্যাটি বিজোড়, তাই এটি ২ দ্বারা বিভাজ্য নয়। আবার, সংখ্যাটির অঙ্কগুলোর যোগফল $(1 + 4 + 3) = 8$, যা ৩ দ্বারা বিভাজ্য নয়, তাই সংখ্যাটি ৩ দ্বারাও বিভাজ্য নয়। এককের ঘরে ৫ বা ০ নেই, তাই ৫ দ্বারাও বিভাজ্য নয়।
এখন ৭, ১১ বা ১৩ দ্বারা ভাগ করার চেষ্টা করি। $143 \div 11 = 13$ $\therefore 143 = 11 \times 13$ এখানে, $11$ এবং $13$ উভয়ই বিজোড় মৌলিক সংখ্যা এবং এরা ক্রমিক বা পরপর (কারণ ১১ এর পরবর্তী মৌলিক সংখ্যাটিই হলো ১৩)। সুতরাং, সংখ্যা দুটি হলো ১১ এবং ১৩।
বিকল্প পদ্ধতি বা শর্টকাট টেকনিক: অপশনগুলো লক্ষ্য করুন: ১) $11 \times 13 = 143$ (উভয়ই মৌলিক সংখ্যা) ২) $13 \times 15$; এখানে ১৫ মৌলিক সংখ্যা নয়। তাই এটি হবে না। ৩) $17 \times 19$; গুণফল ৩০০ এর চেয়ে বেশি হবে $(17 \times 20 = 340)$। তাই এটি হবে না। ৪) $9 \times 11$; এখানে ৯ মৌলিক সংখ্যা নয়। তাই এটি হবে না। সুতরাং, সঠিক উত্তর অপশন (১)।
আমরা জানি, যেসব সংখ্যার মাত্র দুইটি গুণনিয়ক থাকে (১ এবং ঐ সংখ্যাটি নিজে), তাদের মৌলিক সংখ্যা বলে। প্রশ্নানুসারে, ১০ কে ১, ২, ৫, ১০ দ্বারা ভাগ করা যায়। যেহেতু ১০ মৌলিক সংখ্যা নয়, তাই এটি গ্রহণযোগ্য নয়। ১১ কে শুধু ১ এবং ১১ দ্বারা ভাগ করা যায়। সুতরাং, ১১ একটি মৌলিক সংখ্যা।
একইভাবে, ১৭ কে শুধু ১ এবং ১৭ দ্বারা ভাগ করা যায়, তাই এটিও মৌলিক সংখ্যা। ১৯ কে শুধু ১ এবং ১৯ দ্বারা ভাগ করা যায়, তাই এটিও মৌলিক সংখ্যা। কিন্তু প্রশ্নে দুই অঙ্কের ক্ষুদ্রতম অর্থাৎ সবচেয়ে ছোট মৌলিক সংখ্যা জানতে চাওয়া হয়েছে। এখানে দুই অঙ্কের সংখ্যাগুলো হলো ১০, ১১, ১২, ১৩....... ইত্যাদি। ১০ মৌলিক সংখ্যা নয়। ১০ এর পরের সংখ্যাটি হলো ১১, যা একটি মৌলিক সংখ্যা। ∴ দুই অঙ্কের ক্ষুদ্রতম মৌলিক সংখ্যা = ১১।
শর্টকাট টেকনিক: মৌলিক সংখ্যা নির্ণয়ের জন্য প্রথমেই দেখবেন সংখ্যাটি ২, ৩ বা ৫ দ্বারা বিভাজ্য কি না। ১০ $\rightarrow$ জোড় সংখ্যা (২ দ্বারা বিভাজ্য), তাই মৌলিক নয়। ১১ $\rightarrow$ মৌলিক সংখ্যা (১ এবং ১১ ছাড়া অন্য কোনো উৎপাদক নেই)। যেহেতু ১০ এর পরেই ১১ এবং এটি মৌলিক, তাই সবচেয়ে ছোট দুই অঙ্কের মৌলিক সংখ্যা ১১।
পূর্ণবর্গ সংখ্যার একক স্থানে ০, ১, ৪, ৫, ৬ ও ৯ বসতে পারে। যেমন - ১, ৪, ৯, ১৬, ২৫, ৩৬, ৪৯, ৬৪, ৮১, ১০০, ১২১, ১৪৪, ১৬৯, ১৯৬, ২২৫ ইত্যাদি সংখ্যার একক স্থান খেয়াল করুন। তাই বলা যায়, পূর্ণ বর্গ সংখ্যার একক স্থানে কখনোই ২, ৩, ৭ বা ৮ বসতে পারবে না।
প্রদত্ত উপাত্তগুলো মানের ক্রমানুসারে সাজিয়ে পাই: ৬, ১১, ১১, ১৩, ১৩ এখানে, ৬ আছে ১ বার ১১ আছে ২ বার ১৩ আছে ২ বার আমরা জানি, কোনো উপাত্তে যে সংখ্যাটি বা সংখ্যাগুলো সর্বাধিক বার থাকে, তাকে প্রচুরক বলে। এখানে ১১ ও ১৩ সংখ্যা দুটি সর্বাধিক ২ বার করে আছে। ∴ নির্ণেয় প্রচুরক ১১ ও ১৩
শর্টকাট টেকনিক: তালিকায় যে সংখ্যাগুলো সবচেয়ে বেশিবার দেখা যাচ্ছে, সেগুলোই প্রচুরক। এখানে ১১ এবং ১৩ উভয়েই দুইবার করে আছে, বাকি সব একবার করে। তাই প্রচুরক ১১ ও ১৩।
সংখ্যাটির একক স্থানীয় অঙ্কটি = $x$ এবং দশক স্থানীয় অঙ্কটি = $y$ $\therefore$ সংখ্যাটি = $10y + x$ অঙ্কদ্বয় স্থান বিনিময় করলে গঠিত নতুন সংখ্যাটি = $10x + y$
১ম শর্তমতে, স্থান বিনিময়কৃত সংখ্যাটি মূল সংখ্যা অপেক্ষা 54 বেশি। $(10x + y) - (10y + x) = 54$ বা, $10x + y - 10y - x = 54$ বা, $9x - 9y = 54$ বা, $9(x - y) = 54$ বা, $x - y = \frac{54}{9}$ $\therefore x - y = 6$ .................... (i)
২য় শর্তমতে, অঙ্ক দুটির যোগফল 12. $\therefore x + y = 12$ ................... (ii)
এখন, সমীকরণ (i) ও (ii) যোগ করে পাই, $x - y + x + y = 6 + 12$ বা, $2x = 18$ বা, $x = \frac{18}{2}$ $\therefore x = 9$
বিকল্প ও শর্টকাট পদ্ধতি (অপশন টেস্ট): প্রশ্নে বলা আছে অংকদ্বয়ের যোগফল 12 এবং স্থান বিনিময় করলে সংখ্যাটি 54 বৃদ্ধি পাবে (অর্থাৎ ছোট সংখ্যা থেকে বড় হবে)।
অপশন ৩ (39) যাচাই করি: অংকদ্বয়ের যোগফল: $3 + 9 = 12$ (শর্ত পূরণ হয়েছে) স্থান বিনিময় করলে সংখ্যাটি হয়: 93 পার্থক্য: $93 - 39 = 54$ (শর্ত পূরণ হয়েছে) যেহেতু 39 সংখ্যাটি সব শর্ত পূরণ করে, তাই সঠিক উত্তর 39।
প্রদত্ত গাণিতিক সমস্যাটি একটি লজিক্যাল প্যাটার্ন অনুসরণ করছে। এখানে দুইটি সংখ্যার যোগফল নির্ণয় করতে প্রথমে সংখ্যাদুটোর বিয়োগফল এবং এরপর তাদের যোগফল পাশাপাশি বসিয়ে ফলাফল তৈরি করা হয়েছে।
১ম রাশি: $5 + 3 = 28$ দেখুন, প্রথমে সংখ্যা দুটির বিয়োগফল $5 - 3 = 2$ এরপর সংখ্যা দুটির যোগফল $5 + 3 = 8$ উভয় ফলাফল পাশাপাশি বসালে পাওয়া যায়: $28$ ২য় রাশি: $9 + 1 = 810$ একইভাবে, প্রথমে বিয়োগফল $9 - 1 = 8$ এরপর যোগফল $9 + 1 = 10$ উভয় ফলাফল পাশাপাশি বসালে পাওয়া যায়: $810$ ৩য় রাশি: $2 + 1 = 13$ বিয়োগফল $2 - 1 = 1$ যোগফল $2 + 1 = 3$ উভয় ফলাফল পাশাপাশি বসালে পাওয়া যায়: $13$
অতএব, নির্ণেয় রাশি: $5 + 4 = ?$ প্রথমে সংখ্যা দুটির বিয়োগফল $5 - 4 = 1$ এরপর সংখ্যা দুটির যোগফল $5 + 4 = 9$ উভয় ফলাফল পাশাপাশি বসালে পাই: $19$ সুতরাং, সঠিক উত্তর ১৯।
শর্টকাট টেকনিক: প্রথম অংশ = (১ম সংখ্যা - ২য় সংখ্যা) দ্বিতীয় অংশ = (১ম সংখ্যা + ২য় সংখ্যা) তাই, উত্তর = $(5 - 4)$ এবং $(5 + 4)$ পাশাপাশি বসালে হয় $19$।
প্রশ্নটি হলো: 'a সংখ্যাটি ৪০ হতে ১১ কম'। এখানে প্রশ্নের ভাষাগত গঠনটি একটু বিভ্রান্তিকর এবং এর সঠিক উত্তর হিসেবে 'a = 40 + 11' দেওয়া হয়েছে। সাধারণত 'কম' বলতে বিয়োগ বোঝায় (a = 40 - 11)। তবে, প্রদত্ত উত্তর অনুযায়ী প্রশ্নটির অর্থ দাঁড়ায়: '৪০ সংখ্যাটি a হতে ১১ কম'।
গাণিতিক শর্তমতে, ৪০ = a - ১১ বা, a - ১১ = ৪০ বা, a = ৪০ + ১১ অর্থাৎ, সংখ্যাটি (a) ৪০ এর চেয়ে ১১ বেশি, তাই ৪০ সংখ্যাটি a থেকে ১১ কম। সুতরাং, প্রদত্ত উত্তর অনুযায়ী সঠিক গাণিতিক রূপ: a = 40 + 11.
আমরা জানি, ১ কোটি = ১,০০,০০,০০০ এবং, ১ মিলিয়ন = ১০,০০,০০০ $\therefore$ ১ কোটিতে মিলিয়নের সংখ্যা হবে, $$= \frac{১,০০,০০,০০০}{১০,০০,০০০}$$ $$= \frac{১০০}{১০}$$ $$= ১০$$ সুতরাং, ১ কোটি = ১০ মিলিয়ন (Ten Million)।
শর্টকাট টেকনিক: মনে রাখবেন, আন্তর্জাতিক পদ্ধতিতে প্রতি ৩ ঘর পর কমা (,) বসে এবং দেশীয় পদ্ধতিতে প্রথমে ৩ ঘর পর এবং পরে ২ ঘর পর কমা (,) বসে। ১ কোটি = ১,০০,০০,০০০ (দেশীয় রীতি) ১ কোটি = ১০,০০০,০০০ (আন্তর্জাতিক রীতি) আন্তর্জাতিক রীতিতে ১০,০০০,০০০ কে ১০ মিলিয়ন পড়া হয়। তাই ১ কোটি = ১০ মিলিয়ন।
আমরা জানি, ১ কোটি = ১,০০০,০০,০০০ (এক-এর পিঠে সাতটি শূন্য) আবার আন্তর্জাতিক পদ্ধতিতে, ১ মিলিয়ন = ১০,০০,০০০ (এক-এর পিঠে ছয়টি শূন্য)
অর্থাৎ, ১ কোটি = ১০ $ \times $ ১০,০০,০০০ বা, ১ কোটি = ১০ মিলিয়ন এখন, ৯ কোটিকে মিলিয়নে প্রকাশ করতে হলে: ৯ কোটি = ৯ $ \times $ ১ কোটি = ৯ $ \times $ ১০ মিলিয়ন = ৯০ মিলিয়ন
শর্টকাট টেকনিক: আমরা জানি, ১ কোটি = ১০ মিলিয়ন। যেকোনো 'কোটি'র সংখ্যাকে 'মিলিয়ন'-এ রূপান্তর করতে চাইলে সংখ্যাটির শেষে শুধু একটি '0' বসিয়ে দিলেই বা ১০ দিয়ে গুণ করলেই উত্তর পাওয়া যায়। যেমন: ৫ কোটি = ৫০ মিলিয়ন ৭ কোটি = ৭০ মিলিয়ন সুতরাং, ৯ কোটি = ৯০ মিলিয়ন।
এখানে প্রথম ৩০টি প্রশ্নের ব্যাখ্যা দেখতে পারবেন, বাকি সব প্রশ্নের সম্পূর্ণ ব্যাখ্যা পেতে এখনই অ্যাপ ইন্সটল করুন।
চাকরি পরীক্ষায় ভাল ফলাফল পেতে নিয়মিত অনুশীলন ও লাইভ পরীক্ষার কোন বিকল্প নেই।
অনুশীলন প্রশ্ন ব্যাংক বিষয়ভিত্তিক, টপিক ও সাবটপিক আকারে সাজানো। ২০০৫ থেকে সব জব সলিউশন ও টপিকভিত্তিক জব সলিউশন বিস্তারিত ব্যাখ্যাসহ, রুটিন ভিত্তিক নিয়মিত লাইভ পরীক্ষা, পিডিএফ লেকচার শীট।
২০০৫ – ২০২৬ সাল পর্যন্ত সব জব সলিউশন্স প্রশ্ন টপিক ও সাব-টপিক আকারে যোগ করা হয়েছে — সর্বমোট প্রায় ২৫ হাজার ইউনিক প্রশ্ন। ১২তম – ২০তম গ্রেডের পরীক্ষার্থীরা শুধু এইগুলো পড়লেই হবে।
▶ প্রশ্ন ব্যাংক → অনুশীলন → এরপর উপরের ডানে হলুদ বাটনে ক্লিক করে Job Solutions ফিল্টার করে নিন। ↻ প্রতি সপ্তাহে নতুন জব প্রশ্ন টপিক ও সাব-টপিক আকারে যোগ করা হয়।
★ বর্তমান চলমান কোর্স
১) ১৯তম শিক্ষক নিবন্ধন — লেকচারশীট ভিত্তিক ২) ১৯তম শিক্ষক নিবন্ধন (স্কুল পর্যায়) — বাংলা নতুন ৩) ১৯তম শিক্ষক নিবন্ধন (কলেজ পর্যায়) — বাংলা নতুন ৪) ১৯তম শিক্ষক নিবন্ধন — সমাজবিজ্ঞান ৫) ১৯তম নিবন্ধন (প্রভাষক) — গ্রন্থাগার ও তথ্য বিজ্ঞান ৬) ৫১তম বিসিএস প্রস্তুতি — ২৩৬ দিনে সম্পূর্ণ সিলেবাস ৭) টপিক ভিত্তিক জব সলিউশন রুটিন (১৬৫ দিনের) ৮) প্রাইমারি প্রধান শিক্ষক নিয়োগ প্রস্তুতি (৩য় ব্যাচ) ৯) স্পেশাল বিসিএস (স্বাস্থ্য) সমন্বিত প্রস্তুতি রুটিন ১০) সাম্প্রতিক বাংলাদেশ ও আন্তর্জাতিক বিষয়াবলী
➤ আপকামিং কোর্স ও রুটিন
✦ ১৯তম নিবন্ধন শিক্ষক নিয়োগ প্রস্তুতি (৬ষ্ঠ ব্যাচ)
◆ অগ্রদূত বাংলা বই অনুসারে বাংলা সাহিত্য ও ভাষা — রুটিনে টপিক ও বইয়ের পৃষ্ঠা নম্বর উল্লেখ থাকবে। ◆ English মাস্টার বই অনুসারে রুটিন — টপিক ও বইয়ের পৃষ্ঠা নম্বর উল্লেখ থাকবে। ◆ ১৯তম নিবন্ধন — ইতিহাস ও প্রাণীবিজ্ঞান (স্কুল ও কলেজ পর্যায় আলাদা রুটিনে পরীক্ষা হবে)।
