একই বিষয়ের সব টপিক

• সরল সমীকরণ
• ঘন জ্যামিতি
• পরিমিতি
• এলিগেশন ও মিশ্রণ
• নৌকা ও স্রোত
• ট্রেন
• সরল ও যৌগিক মুনাফা
• রেখা ও কোণ
• বহুভুজ ও পীথাগোরাসের উপপাদ্য
• অসমতা
• সমান্তর ও গুণোওর ধারা
• অন্যান্য
• ত্রিভুজ
• বীজগাণিতিক সূত্রাবলী এবং প্রয়োগ
• বাস্তব সংখ্যা
• সূচক ও লগারিদম
• সম্ভাব্যতা
• পরিমাপ
• সাধারণ সমস্যা
• গড়
• বর্গ ও বর্গমূল
• ঐকিক নিয়ম
• চতুর্ভুজের পরিসীমা ও ক্ষেত্রফল
• ত্রিকোণমিতি ও এর প্রয়োগ
• রম্বস
• বৃত্ত
• চতুর্ভুজ
• দিক ও দূরত্ব
• সরলীকরণ
• সমাধান
• ফাংশন ও অন্বয়
• সেট ও ভেনচিত্র
• বিন্যাস ও সমাবেশ
• অনুপাত ও সমানুপাত
• উৎপাদকে বিশ্লেষণ
• ল সা গু ও গ সা গু
• সময় দূরত্ব ও গতিবেগ
• ধারা
• সুদকষা
• ভগ্নাংশ
• লাভ-ক্ষতি
• শতকরা
• সংখ্যা

১

১ থেকে ৯ পর্যন্ত স্বাভাবিক সংখ্যাগুলোর বর্গের যোগফল কত?

ক) ২৫৫ খ) ২৮৫ গ) ২৯৫ ঘ) ৩৮৫

ব্যাখ্যা (Explanation)

১ থেকে n পর্যন্ত স্বাভাবিক সংখ্যাগুলোর বর্গের যোগফলের সূত্র:
সমষ্টি = n(n + 1)(2n + 1) / 6

এখানে, n = 9

সূত্রে n-এর মান বসিয়ে পাই:
যোগফল = 9 × (9 + 1) × (2 × 9 + 1) / 6
= 9 × 10 × (18 + 1) / 6
= 9 × 10 × 19 / 6
= 1710 / 6
= ২৮৫

বিকল্প পদ্ধতি (সরাসরি বর্গ করে যোগ):
১² + ২² + ৩² + ৪² + ৫² + ৬² + ৭² + ৮² + ৯²
= ১ + ৪ + ৯ + ১৬ + ২৫ + ৩৬ + ৪৯ + ৬৪ + ৮১
= ২৮৫

অতএব, নির্ণেয় সঠিক উত্তর: ২৮৫ (অপশন 2)

সোর্সঃ খাইরুল বেসিক গণিত

২

গণিতে প্রথম যোগসিদ্ধ বা আদর্শ (Perfect Number) সংখ্যা কোনটি?

ক) ১ খ) ৩ গ) ৬ ঘ) ২৮

ব্যাখ্যা (Explanation)

যে ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যার নিজের মান ব্যতীত অন্য সকল প্রকৃত গুণনীয়কের (ভাজক) যোগফল সংখ্যাটির সমান হয়, তাকে যোগসিদ্ধ বা আদর্শ সংখ্যা (Perfect Number) বলে।

৬ সংখ্যাটির প্রকৃত গুণনীয়কগুলো হলো: ১, ২ এবং ৩।
এখন, গুণনীয়কগুলোর যোগফল = ১ + ২ + ৩ = ৬।
যেহেতু ৬ এর প্রকৃত গুণনীয়কগুলোর যোগফল সংখ্যাটির (৬) সমান, তাই ৬ হলো প্রথম বা ক্ষুদ্রতম যোগসিদ্ধ সংখ্যা।

অপশনগুলোর বিশ্লেষণ:
* ১: ১ এর কোনো প্রকৃত গুণনীয়ক নেই।
* ৩: ৩ এর প্রকৃত গুণনীয়ক কেবল ১ (১ ≠ ৩)।
* ৬: ১ + ২ + ৩ = ৬ (প্রথম যোগসিদ্ধ সংখ্যা)।
* ২৮: এটি দ্বিতীয় যোগসিদ্ধ সংখ্যা (১ + ২ + ৪ + ৭ + ১৪ = ২৮)।

* সঠিক উত্তর: ৬
সোর্সঃ খাইরুল বেসিক গণিত

৩

গণিতে ব্যবহৃত ০, ১, ২, ..... ৯ পর্যন্ত প্রতীকগুলোকে কী বলা হয়?

ক) সংখ্যা খ) অংক গ) রাশি ঘ) চলক

ব্যাখ্যা (Explanation)

গণিতে হিসাব বা গণনার কাজে ব্যবহৃত ০, ১, ২, ৩, ৪, ৫, ৬, ৭, ৮, ৯ - এই ১০টি প্রতীক বা চিহ্নকে অংক (Digit) বলা হয় ।
এই অংকগুলোকে একত্রে ব্যবহার করেই বিভিন্ন সংখ্যা (Number) গঠন করা হয় ।

অংকের প্রকারভেদ:
অংক প্রধানত ২টি ভাগে বিভক্ত :
১. সার্থক অংক: ১ থেকে ৯ পর্যন্ত মোট ৯টি অংক (এদের নিজস্ব মান রয়েছে) ।
২. সাহায্যকারী বা অভাবজ্ঞাপক অংক: ০ (শূন্য) ।

অংক ও সংখ্যার পার্থক্য:
* ০ থেকে ৯ পর্যন্ত প্রতিটি প্রতীক পৃথকভাবে এক একটি অংক ।
* যেমন: ৫১২ একটি সংখ্যা, যা ৫, ১ এবং ২ - এই তিনটি অংক দিয়ে গঠিত হয়েছে ।

* সঠিক উত্তর: অপশন 2 (অংক)

সোর্সঃ খাইরুল বেসিক গণিত

৪

১ ন্যানোসেকেন্ড (Nanosecond) সময় হলো ১ সেকেন্ডের কত ভাগের এক ভাগ?

ক) ১০ লাখ ভাগের এক ভাগ খ) ১ কোটি ভাগের এক ভাগ গ) ১০০ কোটি ভাগের এক ভাগ ঘ) ১০ হাজার কোটি ভাগের এক ভাগ

ব্যাখ্যা (Explanation)

ন্যানোসেকেন্ড সময়ের একটি অতি ক্ষুদ্র একক। ১ ন্যানোসেকেন্ড হলো ১ সেকেন্ডের ১০০ কোটি ভাগের এক ভাগ (১০⁻⁹ সেকেন্ড)।
সময়ের অন্যান্য ক্ষুদ্র একক:
- ১ মিলিসেকেন্ড = ১০⁻³ সেকেন্ড
- ১ মাইক্রোসেকেন্ড = ১০⁻⁶ সেকেন্ড
- ১ ন্যানোসেকেন্ড = ১০⁻⁹ সেকেন্ড

সোর্সঃ এমপিথ্রি বিজ্ঞান

৫

তিনটি পূর্ণ সংখ্যার গড় ৮৬ এবং ক্ষুদ্রতম সংখ্যা দুইটির গড় ৮০ হলে, বৃহত্তম সংখ্যাটি কত?

ক) ৯৬ খ) ১০০ গ) ৯৮ ঘ) ৯৪

ব্যাখ্যা (Explanation)

তিনটি পূর্ণ সংখ্যার গড় ৮৬
তিনটি সংখ্যার সমষ্টি (৮৬ × ৩) = ২৫৮

ক্ষুদ্রতম সংখ্যা দুইটির গড় ৮০
ক্ষুদ্রতম সংখ্যা দুইটির সমষ্টি (৮০ × ২) = ১৬০

বৃহত্তম সংখ্যাটি (২৫৮ - ১৬০) = ৯৮

৬

২০ থেকে ৬০ পর্যন্ত যে সকল মৌলিক সংখ্যার একক স্থানের অঙ্ক ৯, তাদের সমষ্টি কত?

ক) ৭৮ খ) ৮৮ গ) ৯৮ ঘ) ৬৮

ব্যাখ্যা (Explanation)

২০ থেকে ৬০ পর্যন্ত একক স্থানীয় অঙ্ক ৯ বিশিষ্ট মৌলিক সংখ্যাগুলো হলো- ২৯ এবং ৫৯

∴ তাদের সমষ্টি = (২৯ + ৫৯) 
= ৮৮ ।

৭

১৮ ও ৭২ এর গুণোত্তর গড় কোনটি?

ক) ৪ খ) ৬ গ) ৩৬ ঘ) ১৬

Job Solutions

ব্যাখ্যা (Explanation)

১৮ ও ৭২ এর গুণোত্তর গড়,
= ^২√(১৮ x ৭২)
= ^২√(৯ x ২ x ৩৬ x ২)
= ^২√(৪ x ৯ x ৩৬)
=  ^২√৪ x ^২√৯ x ^২√৩৬
= ২ x ৩ x ৬ 
= ৩৬

৮

একটি ভাগ অঙ্কের ভাগফলের এক তৃতীয়াংশ ভাজক, ভাগশেষ ভাজকের অর্ধেক। ভাগফল ১২৬ হলে ভাজ্য কত?

ক) ৫২৭১ খ) ৫৩১৩ গ) ৯০৩ ঘ) ৮৬১

Job Solutions

ব্যাখ্যা (Explanation)

ধরি, ভাজক = x
ভাগফলের এক তৃতীয়াংশ ভাজকের সমান, অর্থাৎ (ভাগফল/৩) = x
ভাগশেষ ভাজকের অর্ধেক, অর্থাৎ ভাগশেষ = (x/2)

আমরা জানি, 
ভাজ্য = (ভাগফল * ভাজক) + ভাগশেষ
⇒ ভাজ্য = (126 * x) + (x/2)
ভাগফলের এক তৃতীয়াংশ ভাজকের সমান, অর্থাৎ (126/3) = x
x এর মান বের করলে, x = 42
এখন,
ভাজ্য = (126 * 42) + (42/2)
⇒ ভাজ্য = 5292 + 21
⇒ ভাজ্য = 5313

৯

ভাজক ভাগফলের ১০ গুণ, ভাজক ০.৫ হলে ভাজ্য কত?

ক) ২.৫ খ) ২৫ গ) ০.২৫ ঘ) ০.০২৫

Job Solutions প্রাইমারি

ব্যাখ্যা (Explanation)

আমরা জানি,
ভাজ্য = ভাজক * ভাগফল + ভাগশেষ

প্রশ্নমতে,
ভাজক = ০.৫
ভাগফল = ০.৫/১০ = ০.০৫
ভাগশেষ = ০

অতএব, ভাজ্য = ০.৫ * ০.০৫ = ০.০২৫

১০

কোনটি সঠিক?

ক) ভাজ্য/ ভাজক= ভাগফল খ) ভাজক/ ভাজ্য= ভাগফল গ) কোনোটিই সঠিক নয় ঘ) ক ও খ দুইটিই সঠিক

Job Solutions

ব্যাখ্যা (Explanation)

ভাজ্য/ ভাজক= ভাগফল+ ভাগশেষ।

১১

ভাজ্য = কোন সূত্রটি প্রযোজ্য?

ক) ভাজ্য = ভাগফল × ভাজক + ভাগশেষ খ) ভাজ্য = ভাগফল - ভাজক + ভাগশেষ গ) ভাজ্য = ভাগফল ÷ ভাজক + ভাগশেষ ঘ) ভাজ্য = ভাগফল ÷ ভাজক × ভাগশেষ

Job Solutions

ব্যাখ্যা (Explanation)

ভাগের ক্ষেত্রে যাকে ভাগ করা হয় তাকে ভাজ্য, যা দ্বারা ভাগ করা হয় তাকে ভাজক, ভাগ করার পর যা পাওয়া যায় তাকে ভাগফল এবং শেষে যা অবশিষ্ট থাকে তাকে ভাগশেষ বলে। এক্ষেত্রে, ভাজ্য = ভাগফল x ভাজক + ভাগশেষ।

১২

যদি দুই অংকবিশিষ্ট কোন সংখ্যার অঙ্কদ্বয়ের সমষ্টি ৭, অঙ্কদ্বয় দুটি স্থান বিনিময় করলে যে সংখ্যা পাওয়া যায় তা প্রদত্ত সংখ্যা হতে ২৭ বেশি। সংখ্যাটি কত হবে?

ক) 32 খ) 25 গ) 35 ঘ) 27

ব্যাখ্যা (Explanation)

ধরি, একক স্থানীয় অংক = x
দশক স্থানীয় অংক = y
সংখ্যাটি = 10y + x
প্রশ্নমতে,
x + y = 7
⇒ y = 7 - x -----------(1)

প্রশ্নমতে,
10x + y = 10y + x + 27
⇒ 10x + (7 - x) = 10(7 - x) + x + 27
⇒ 10x + 7 - x = 70 - 10x + x + 27
⇒ 18x = 70 + 20 (y এর মান বসিয়ে)
⇒ x = 90/18 = 5
এবং y = 7 - 5 = 2

∴ সংখ্যাটি = 10 × 2 + 5
           = 25

১৩

এমন একটি ধনাত্মক সংখ্যা নির্ণয় করুন যা তার বর্গের চেয়ে ৭২ কম।

ক) ৩ খ) ৯ গ) ৬ ঘ) ১২

ব্যাখ্যা (Explanation)

৯ = ৯^২ - ৭২

১৪

m এর মান কত হলে 4x² - mx + 9 একটি পূর্ণবর্গ সংখ্যা হবে?

ক) ১৬ খ) ১২ গ) ১০ ঘ) ৯

প্রাইমারি

ব্যাখ্যা (Explanation)

প্রদত্ত রাশিটি পূর্ণ বর্গ হলে এর মূলদ্বয়ের মান সমান এবং নিশ্চায়কের মান শূন্য হবে, 
অর্থাৎ, b² -4ac = 0 হবে 
⇒ m² - 4.4.9 = 0
⇒ m² - 144 = 0 
⇒ m² = 144 
⇒ m² = 12²
⇒ m = 12

১৫

৭২৮ এবং ৯০০ কে সর্বাপেক্ষা বড় কোন সংখ্যা দ্বারা ভাগ করলে যথাক্রমে ৮ এবং ৪ অবশিষ্ট থাকেবে?

ক) ১২ খ) ১৩ গ) ১৪ ঘ) ১৬

ব্যাখ্যা (Explanation)

৭২৮ - ৮ = ৭২০ এবং ৯০০ - ৪ = ৮৯৬।

এখানে, ৭২০ এবং ৮৯৬ এর গ.সা.গু. হচ্ছে ২x২x২x২ = ১৬।

সুতরাং, ৭২৮ ও ৯০০ কে ১৬ দিয়ে ভাগ করলে যথাক্রমে ৮ ও ৪ অবশিষ্ট থাকবে।

১৬

5, 7, 11, 19 -------?

ক) 27 খ) 29 গ) 35 ঘ) 31

ব্যাখ্যা (Explanation)

5+ 2 =7
7+ 4 =11
11+ 8= 19

সুতরাং,
19+ 16= 35

১৭

১০০ এর সকল গুণনীয়কের যোগফল কত?

ক) 115 খ) 216 গ) 217 ঘ) 223

ব্যাখ্যা (Explanation)

The sum of all the factors of a^m × bⁿ is (a0 + a1 +......+ a^m) × (b0 + b1 +............+ bⁿ)

Calculation:

Factors of 100 = 2² × 5²

Sum of factors = (2⁰ + 2¹ + 2²) × (5⁰ + 5¹ + 5²)

⇒ (1 + 2 + 4) × (1 + 5 + 25)

⇒ 7 × 31

⇒ 217

∴ The sum of all factors of 100 is 217.

১৮

পরপর দুটি বিজোড় মৌলিক সংখ্যার গুনফল ১৪৩ হলে, সংখ্যা দুটি কতো?

ক) ১১ এবং ১৩ খ) ১৩ এবং ১৫ গ) ১৭ এবং ১৯ ঘ) ৯ এবং ১১

প্রাইমারি

ব্যাখ্যা (Explanation)

ধরি, দুটি বিজোড় মৌলিক সংখ্যা যথাক্রমে $p_1$ এবং $p_2$।
প্রশ্নমতে, সংখ্যা দুটির গুণফল $= 143$

এখন, $143$ কে মৌলিক উৎপাদকে বিশ্লেষণ করি।
যেহেতু সংখ্যাটি বিজোড়, তাই এটি ২ দ্বারা বিভাজ্য নয়। আবার, সংখ্যাটির অঙ্কগুলোর যোগফল $(1 + 4 + 3) = 8$, যা ৩ দ্বারা বিভাজ্য নয়, তাই সংখ্যাটি ৩ দ্বারাও বিভাজ্য নয়। এককের ঘরে ৫ বা ০ নেই, তাই ৫ দ্বারাও বিভাজ্য নয়।

এখন ৭, ১১ বা ১৩ দ্বারা ভাগ করার চেষ্টা করি।
$143 \div 11 = 13$
$\therefore 143 = 11 \times 13$
এখানে, $11$ এবং $13$ উভয়ই বিজোড় মৌলিক সংখ্যা এবং এরা ক্রমিক বা পরপর (কারণ ১১ এর পরবর্তী মৌলিক সংখ্যাটিই হলো ১৩)।
সুতরাং, সংখ্যা দুটি হলো ১১ এবং ১৩।

বিকল্প পদ্ধতি বা শর্টকাট টেকনিক:
অপশনগুলো লক্ষ্য করুন:
১) $11 \times 13 = 143$ (উভয়ই মৌলিক সংখ্যা)
২) $13 \times 15$; এখানে ১৫ মৌলিক সংখ্যা নয়। তাই এটি হবে না।
৩) $17 \times 19$; গুণফল ৩০০ এর চেয়ে বেশি হবে $(17 \times 20 = 340)$। তাই এটি হবে না।
৪) $9 \times 11$; এখানে ৯ মৌলিক সংখ্যা নয়। তাই এটি হবে না।
সুতরাং, সঠিক উত্তর অপশন (১)।

১৯

নিচের কোনটি মূলদ সংখ্যা?

ক) ৩√৫ খ) ^৩√২৭ গ) √৩/২ ঘ) √২

ব্যাখ্যা (Explanation)

^৩√২৭
=^৩√৩^৩
=৩

২০

একটি সংখ্যার শতক, দশক ও একক স্থানীয় অংক যথাক্রমে m, n, p হলে সংখ্যাটি হবে-

ক) 100n+ 10m+p খ) 100m+ 10n+p গ) 100n+10p+m ঘ) 100 mn+ p

ব্যাখ্যা (Explanation)

(m×100)+(n×10)+p=100m+10n+p

২১

দুই অঙ্কের ক্ষুদ্রতম মৌলিক সংখ্যা কোনটি?

ক) ১০ খ) ১১ গ) ১৭ ঘ) ১৯

ব্যাখ্যা (Explanation)

আমরা জানি, যেসব সংখ্যার মাত্র দুইটি গুণনিয়ক থাকে (১ এবং ঐ সংখ্যাটি নিজে), তাদের মৌলিক সংখ্যা বলে।
প্রশ্নানুসারে,
১০ কে ১, ২, ৫, ১০ দ্বারা ভাগ করা যায়। যেহেতু ১০ মৌলিক সংখ্যা নয়, তাই এটি গ্রহণযোগ্য নয়।
১১ কে শুধু ১ এবং ১১ দ্বারা ভাগ করা যায়। সুতরাং, ১১ একটি মৌলিক সংখ্যা।

একইভাবে,
১৭ কে শুধু ১ এবং ১৭ দ্বারা ভাগ করা যায়, তাই এটিও মৌলিক সংখ্যা।
১৯ কে শুধু ১ এবং ১৯ দ্বারা ভাগ করা যায়, তাই এটিও মৌলিক সংখ্যা।
কিন্তু প্রশ্নে দুই অঙ্কের ক্ষুদ্রতম অর্থাৎ সবচেয়ে ছোট মৌলিক সংখ্যা জানতে চাওয়া হয়েছে। এখানে দুই অঙ্কের সংখ্যাগুলো হলো ১০, ১১, ১২, ১৩....... ইত্যাদি।
১০ মৌলিক সংখ্যা নয়। ১০ এর পরের সংখ্যাটি হলো ১১, যা একটি মৌলিক সংখ্যা।
∴ দুই অঙ্কের ক্ষুদ্রতম মৌলিক সংখ্যা = ১১।

শর্টকাট টেকনিক:
মৌলিক সংখ্যা নির্ণয়ের জন্য প্রথমেই দেখবেন সংখ্যাটি ২, ৩ বা ৫ দ্বারা বিভাজ্য কি না।
১০ $\rightarrow$ জোড় সংখ্যা (২ দ্বারা বিভাজ্য), তাই মৌলিক নয়।
১১ $\rightarrow$ মৌলিক সংখ্যা (১ এবং ১১ ছাড়া অন্য কোনো উৎপাদক নেই)।
যেহেতু ১০ এর পরেই ১১ এবং এটি মৌলিক, তাই সবচেয়ে ছোট দুই অঙ্কের মৌলিক সংখ্যা ১১।

২২

পূর্ণবর্গ সংখ্যার একক স্থানে কোন অংক বসতে পারে?

ক) ২ খ) ৩ গ) ৪ ঘ) ৮

ব্যাখ্যা (Explanation)

পূর্ণবর্গ সংখ্যার একক স্থানে ০, ১, ৪, ৫, ৬ ও ৯ বসতে পারে।
যেমন - ১, ৪, ৯, ১৬, ২৫, ৩৬, ৪৯, ৬৪, ৮১, ১০০, ১২১, ১৪৪, ১৬৯, ১৯৬, ২২৫ ইত্যাদি সংখ্যার একক স্থান খেয়াল করুন।
তাই বলা যায়, পূর্ণ বর্গ সংখ্যার একক স্থানে কখনোই ২, ৩, ৭ বা ৮ বসতে পারবে না।

২৩

২০০ থেকে বড় সবচেয়ে ছোট মৌলিক সংখ্যা কোনটি?

ক) ২০৩ খ) ২০৭ গ) ২১১ ঘ) ২১৩

ব্যাখ্যা (Explanation)

২০৩ সংখ্যাটি ৭ দ্বারা বিভাজ্য। 
২০৭, ২১৩ সংখ্যাটি ৩ দ্বারা বিভাজ্য। 
সুতরাং, ২০০ থেকে বড় সবচেয়ে ছোট মৌলিক সংখ্যা হলো ২১১

২৪

একটি সংখ্যার একক, দশক, শতক স্থানীয় অংক যথাক্রমে c, b, a হলে, সংখ্যাটি কত?

ক) abc খ) a + b + c গ) 100c + 10b + a ঘ) 100a + 10b + c

ব্যাখ্যা (Explanation)

100a + 10b + c সংখ্যাটিতে c একক স্থানে, b দশক স্থানে এবং a শতক স্থানে আছে।

২৫

১১, ১৩, ৬, ১৩, ও ১১ এর প্রচুরক কোনটি ?

ক)  ১৩ ও ৫  খ)  ১১ ও ৬  গ)  ৫ ও ৬  ঘ)  ১১ ও ১৩ 

ব্যাখ্যা (Explanation)

প্রদত্ত উপাত্তগুলো মানের ক্রমানুসারে সাজিয়ে পাই:
৬, ১১, ১১, ১৩, ১৩
এখানে,
৬ আছে ১ বার
১১ আছে ২ বার
১৩ আছে ২ বার
আমরা জানি, কোনো উপাত্তে যে সংখ্যাটি বা সংখ্যাগুলো সর্বাধিক বার থাকে, তাকে প্রচুরক বলে।
এখানে ১১ ও ১৩ সংখ্যা দুটি সর্বাধিক ২ বার করে আছে।
∴ নির্ণেয় প্রচুরক ১১ ও ১৩

শর্টকাট টেকনিক:
তালিকায় যে সংখ্যাগুলো সবচেয়ে বেশিবার দেখা যাচ্ছে, সেগুলোই প্রচুরক। এখানে ১১ এবং ১৩ উভয়েই দুইবার করে আছে, বাকি সব একবার করে। তাই প্রচুরক ১১ ও ১৩।

২৬

দুই অংক বিশিষ্ট একটি সংখ্যার অংকদ্বয় স্থান বিনিময় করলে 54 বৃদ্ধি পায়।অংক দুটির যোগফল 12 হলে সংখ্যাটি কত?

ক)    57 খ)    75 গ)    39 ঘ)    93

ব্যাখ্যা (Explanation)

সংখ্যাটির একক স্থানীয় অঙ্কটি = $x$
এবং দশক স্থানীয় অঙ্কটি = $y$
$\therefore$ সংখ্যাটি = $10y + x$
অঙ্কদ্বয় স্থান বিনিময় করলে গঠিত নতুন সংখ্যাটি = $10x + y$

১ম শর্তমতে,
স্থান বিনিময়কৃত সংখ্যাটি মূল সংখ্যা অপেক্ষা 54 বেশি।
$(10x + y) - (10y + x) = 54$
বা, $10x + y - 10y - x = 54$
বা, $9x - 9y = 54$
বা, $9(x - y) = 54$
বা, $x - y = \frac{54}{9}$
$\therefore x - y = 6$ .................... (i)

২য় শর্তমতে,
অঙ্ক দুটির যোগফল 12.
$\therefore x + y = 12$ ................... (ii)

এখন, সমীকরণ (i) ও (ii) যোগ করে পাই,
$x - y + x + y = 6 + 12$
বা, $2x = 18$
বা, $x = \frac{18}{2}$
$\therefore x = 9$

এখন, (ii) নং সমীকরণে $x$-এর মান বসিয়ে পাই,
$9 + y = 12$
বা, $y = 12 - 9$
$\therefore y = 3$
$\therefore$ নির্ণেয় সংখ্যাটি = $10y + x$
= $10 \times 3 + 9$
= $30 + 9$
= 39

বিকল্প ও শর্টকাট পদ্ধতি (অপশন টেস্ট):
প্রশ্নে বলা আছে অংকদ্বয়ের যোগফল 12 এবং স্থান বিনিময় করলে সংখ্যাটি 54 বৃদ্ধি পাবে (অর্থাৎ ছোট সংখ্যা থেকে বড় হবে)।

অপশন ৩ (39) যাচাই করি:
অংকদ্বয়ের যোগফল: $3 + 9 = 12$ (শর্ত পূরণ হয়েছে)
স্থান বিনিময় করলে সংখ্যাটি হয়: 93
পার্থক্য: $93 - 39 = 54$ (শর্ত পূরণ হয়েছে)
যেহেতু 39 সংখ্যাটি সব শর্ত পূরণ করে, তাই সঠিক উত্তর 39।

২৭

    স্বাভাবিক সংখ্যার সেটের ক্ষুদ্রতম সদস্য হলো –

ক)    ২ খ)    ১ গ)    ৩ ঘ)    ০

Job Solutions

২৮

অঙ্ক কত প্রকার?

ক) ১ খ) ২ গ) ৩ ঘ) ৪

২৯

যদি ৫+৩=২৮ ৯+১=৮১০ ২+১=১৩ হয় তবে ৫+৪=?

ক) ১৮ খ) ১৯ গ) ২০ ঘ) ২১

ব্যাখ্যা (Explanation)

প্রদত্ত গাণিতিক সমস্যাটি একটি লজিক্যাল প্যাটার্ন অনুসরণ করছে। এখানে দুইটি সংখ্যার যোগফল নির্ণয় করতে প্রথমে সংখ্যাদুটোর বিয়োগফল এবং এরপর তাদের যোগফল পাশাপাশি বসিয়ে ফলাফল তৈরি করা হয়েছে।

১ম রাশি: $5 + 3 = 28$
দেখুন, প্রথমে সংখ্যা দুটির বিয়োগফল $5 - 3 = 2$
এরপর সংখ্যা দুটির যোগফল $5 + 3 = 8$
উভয় ফলাফল পাশাপাশি বসালে পাওয়া যায়: $28$
২য় রাশি: $9 + 1 = 810$
একইভাবে, প্রথমে বিয়োগফল $9 - 1 = 8$
এরপর যোগফল $9 + 1 = 10$
উভয় ফলাফল পাশাপাশি বসালে পাওয়া যায়: $810$
৩য় রাশি: $2 + 1 = 13$
বিয়োগফল $2 - 1 = 1$
যোগফল $2 + 1 = 3$
উভয় ফলাফল পাশাপাশি বসালে পাওয়া যায়: $13$

অতএব, নির্ণেয় রাশি: $5 + 4 = ?$
প্রথমে সংখ্যা দুটির বিয়োগফল $5 - 4 = 1$
এরপর সংখ্যা দুটির যোগফল $5 + 4 = 9$
উভয় ফলাফল পাশাপাশি বসালে পাই: $19$
সুতরাং, সঠিক উত্তর ১৯।


শর্টকাট টেকনিক:
প্রথম অংশ = (১ম সংখ্যা - ২য় সংখ্যা)
দ্বিতীয় অংশ = (১ম সংখ্যা + ২য় সংখ্যা)
তাই, উত্তর = $(5 - 4)$ এবং $(5 + 4)$ পাশাপাশি বসালে হয় $19$।

৩০

৪০ সংখ্যাটি হতে ১১ কম । গাণিতিক আকারে প্রকাশ করলে কী হবে?

ক) a+১১=৪০ খ) a+৪০=১১ গ) a=৪০+১১ ঘ) a=৪০+১

বিসিএস

ব্যাখ্যা (Explanation)

প্রশ্নটি হলো: 'a সংখ্যাটি ৪০ হতে ১১ কম'।
এখানে প্রশ্নের ভাষাগত গঠনটি একটু বিভ্রান্তিকর এবং এর সঠিক উত্তর হিসেবে 'a = 40 + 11' দেওয়া হয়েছে। সাধারণত 'কম' বলতে বিয়োগ বোঝায় (a = 40 - 11)।
তবে, প্রদত্ত উত্তর অনুযায়ী প্রশ্নটির অর্থ দাঁড়ায়: '৪০ সংখ্যাটি a হতে ১১ কম'।

গাণিতিক শর্তমতে,
৪০ = a - ১১
বা, a - ১১ = ৪০
বা, a = ৪০ + ১১
অর্থাৎ, সংখ্যাটি (a) ৪০ এর চেয়ে ১১ বেশি, তাই ৪০ সংখ্যাটি a থেকে ১১ কম।
সুতরাং, প্রদত্ত উত্তর অনুযায়ী সঠিক গাণিতিক রূপ: a = 40 + 11.