একটি স্কুলে ছাত্রদের ড্রিল করবার সময় ৮, ১০ এবং ১২ সারিতে সাজানো যায়। আবার বর্গাকারেও সাজানো যায়। ঐ স্কুলে কমপক্ষে কতজন ছাত্র আছে?
Solution
Correct Answer: Option A
স্কুলের ছাত্রদের ৮, ১০ ও ১২ সারিতে সাজানো যায়, এর অর্থ হলো ছাত্রসংখ্যা ৮, ১০ ও ১২ দ্বারা বিভাজ্য। অর্থাৎ ছাত্রসংখ্যা হবে ৮, ১০ ও ১২ এর লসাগু (LCM)।
এখন, ৮, ১০ এবং ১২ এর লসাগু নির্ণয় করি:
২ | ৮, ১০, ১২
-------------
২ | ৪, ৫, ৬
-------------
২, ৫, ৩
$\therefore$ নির্ণেয় লসাগু = ২ × ২ × ২ × ৫ × ৩ = ১২০
কিন্তু প্রশ্নে বলা হয়েছে যে, ছাত্রদের আবার বর্গাকারেও সাজানো যায়। অর্থাৎ ছাত্রসংখ্যা অবশ্যই একটি পূর্ণবর্গ সংখ্যা হতে হবে। ১২০ সংখ্যাটি পূর্ণবর্গ নয়।
লসাগু ১২০ কে মৌলিক উৎপাদকে বিশ্লেষণ করে পাই:
১২০ = ২ × ২ × ২ × ৩ × ৫
এখানে, উৎপাদক ২ আছে ৩টি এবং ৩ ও ৫ আছে ১টি করে।
পূর্ণবর্গ সংখ্যা হওয়ার জন্য প্রতিটি উৎপাদক জোড়ায় জোড়ায় থাকতে হয়।
এখানে, (২ × ২) জোড়ায় আছে, কিন্তু একটি ২, একটি ৩ এবং একটি ৫ জোড়াবিহীন অবস্থায় আছে।
সংখ্যাটিকে পূর্ণবর্গ করতে হলে কমপক্ষে আরও একটি করে ২, ৩ ও ৫ দ্বারা গুণ করতে হবে।
$\therefore$ নির্ণেয় ক্ষুদ্রতম পূর্ণবর্গ সংখ্যা = ১২০ × ২ × ৩ × ৫
= ৩৬০০
সুতরাং, ঐ স্কুলে কমপক্ষে ৩৬০০ জন ছাত্র আছে।
শর্টকাট টেকনিক:
যেহেতু ছাত্রদের বর্গাকারে সাজানো যায়, তাই উত্তরটি অবশ্যই একটি পূর্ণবর্গ সংখ্যা হবে।
অপশনগুলোর দিকে লক্ষ করি:
১) ৩৬০০ (এটি ৬০ এর বর্গ, পূর্ণবর্গ সংখ্যা)
২) ২৪০০ (পূর্ণবর্গ নয়)
৩) ১২০০ (পূর্ণবর্গ নয়)
৪) ৩০০০ (পূর্ণবর্গ নয়)
এখানে একমাত্র ৩৬০০ সংখ্যাটিই পূর্ণবর্গ সংখ্যা। তাই সঠিক উত্তর নিশ্চিতভাবে ৩৬০০।
এখন, ৮, ১০ এবং ১২ এর লসাগু নির্ণয় করি:
২ | ৮, ১০, ১২
-------------
২ | ৪, ৫, ৬
-------------
২, ৫, ৩
$\therefore$ নির্ণেয় লসাগু = ২ × ২ × ২ × ৫ × ৩ = ১২০
কিন্তু প্রশ্নে বলা হয়েছে যে, ছাত্রদের আবার বর্গাকারেও সাজানো যায়। অর্থাৎ ছাত্রসংখ্যা অবশ্যই একটি পূর্ণবর্গ সংখ্যা হতে হবে। ১২০ সংখ্যাটি পূর্ণবর্গ নয়।
লসাগু ১২০ কে মৌলিক উৎপাদকে বিশ্লেষণ করে পাই:
১২০ = ২ × ২ × ২ × ৩ × ৫
এখানে, উৎপাদক ২ আছে ৩টি এবং ৩ ও ৫ আছে ১টি করে।
পূর্ণবর্গ সংখ্যা হওয়ার জন্য প্রতিটি উৎপাদক জোড়ায় জোড়ায় থাকতে হয়।
এখানে, (২ × ২) জোড়ায় আছে, কিন্তু একটি ২, একটি ৩ এবং একটি ৫ জোড়াবিহীন অবস্থায় আছে।
সংখ্যাটিকে পূর্ণবর্গ করতে হলে কমপক্ষে আরও একটি করে ২, ৩ ও ৫ দ্বারা গুণ করতে হবে।
$\therefore$ নির্ণেয় ক্ষুদ্রতম পূর্ণবর্গ সংখ্যা = ১২০ × ২ × ৩ × ৫
= ৩৬০০
সুতরাং, ঐ স্কুলে কমপক্ষে ৩৬০০ জন ছাত্র আছে।
শর্টকাট টেকনিক:
যেহেতু ছাত্রদের বর্গাকারে সাজানো যায়, তাই উত্তরটি অবশ্যই একটি পূর্ণবর্গ সংখ্যা হবে।
অপশনগুলোর দিকে লক্ষ করি:
১) ৩৬০০ (এটি ৬০ এর বর্গ, পূর্ণবর্গ সংখ্যা)
২) ২৪০০ (পূর্ণবর্গ নয়)
৩) ১২০০ (পূর্ণবর্গ নয়)
৪) ৩০০০ (পূর্ণবর্গ নয়)
এখানে একমাত্র ৩৬০০ সংখ্যাটিই পূর্ণবর্গ সংখ্যা। তাই সঠিক উত্তর নিশ্চিতভাবে ৩৬০০।
Practice More Questions on Our App!
Download our app for free and access thousands of MCQ questions with detailed solutions