একই বিষয়ের সব টপিক

• সরল সমীকরণ
• ঘন জ্যামিতি
• পরিমিতি
• এলিগেশন ও মিশ্রণ
• নৌকা ও স্রোত
• ট্রেন
• সরল ও যৌগিক মুনাফা
• রেখা ও কোণ
• বহুভুজ ও পীথাগোরাসের উপপাদ্য
• অসমতা
• সমান্তর ও গুণোওর ধারা
• অন্যান্য
• ত্রিভুজ
• বীজগাণিতিক সূত্রাবলী এবং প্রয়োগ
• বাস্তব সংখ্যা
• সূচক ও লগারিদম
• সম্ভাব্যতা
• পরিমাপ
• সাধারণ সমস্যা
• গড়
• বর্গ ও বর্গমূল
• ঐকিক নিয়ম
• চতুর্ভুজের পরিসীমা ও ক্ষেত্রফল
• ত্রিকোণমিতি ও এর প্রয়োগ
• রম্বস
• বৃত্ত
• চতুর্ভুজ
• দিক ও দূরত্ব
• সরলীকরণ
• সমাধান
• ফাংশন ও অন্বয়
• সেট ও ভেনচিত্র
• বিন্যাস ও সমাবেশ
• অনুপাত ও সমানুপাত
• উৎপাদকে বিশ্লেষণ
• ল সা গু ও গ সা গু
• সময় দূরত্ব ও গতিবেগ
• ধারা
• সুদকষা
• ভগ্নাংশ
• লাভ-ক্ষতি
• শতকরা
• সংখ্যা

১

একটি চৌবাচ্চার দৈর্ঘ্য ৩ মিটার, প্রস্থ ২ মিটার এবং উচ্চতা ৪ মিটার হলে, চৌবাচ্চাটির আয়তন কত ঘনমিটার?

ক) ৯ ঘনমিটার খ) ২৪ ঘনমিটার গ) ২৬ ঘনমিটার ঘ) ৪৮ ঘনমিটার

ব্যাখ্যা (Explanation)

আমরা জানি, আয়তাকার চৌবাচ্চার আয়তনের সূত্র = দৈর্ঘ্য × প্রস্থ × উচ্চতা।
দেওয়া আছে,
চৌবাচ্চাটির দৈর্ঘ্য = ৩ মিটার
চৌবাচ্চাটির প্রস্থ = ২ মিটার
চৌবাচ্চাটির উচ্চতা = ৪ মিটার

অতএব, চৌবাচ্চাটির আয়তন = (৩ × ২ × ৪) ঘনমিটার
= ২৪ ঘনমিটার

* সঠিক উত্তর: অপশন 2: ২৪ ঘনমিটার
সোর্সঃ খাইরুল বেসিক গণিত

২

একটি সমবৃত্তভূমিক বেলনের ভূমির ব্যাসার্ধ r এবং উচ্চতা h হলে উহার আয়তন কত?

ক) 2πrh খ) 1/3πr²h গ) 2πr(r+h) ঘ) πr²h

ব্যাখ্যা (Explanation)

দেওয়া আছে,
সমবৃত্তভূমিক বেলনটির ভূমির ব্যাসার্ধ = r
উচ্চতা = h

আমরা জানি, সমবৃত্তভূমিক বেলনের আয়তন = ভূমির ক্ষেত্রফল × উচ্চতা।
যেহেতু বেলনের ভূমি একটি বৃত্ত, তাই ভূমির ক্ষেত্রফল = πr²

∴ সমবৃত্তভূমিক বেলনটির আয়তন = πr² × h = πr²h

৩

একটি বাক্সের দৈর্ঘ্য ২ মিটার, প্রস্থ ১ মিটার ৫০ সে.মি.এবং উচ্চতা ১ মিটার। বাক্সটির আয়তন কত?

ক) ৩ ঘন সে.মি. খ) ২ ঘন মিটার গ) ৩ ঘন মিটার ঘ) ৪ ঘন মিটার

Job Solutions

ব্যাখ্যা (Explanation)

বাক্সের দৈর্ঘ্য = ২ মিটার
বাক্সের প্রস্থ = ১.৫০ মিটার
          
বাক্সের উচ্চতা = ১ মিটার

বাক্সটির আয়তন = (২ × ১.৫ × ১) ঘন মিটার
                    = ৩ ঘন মিটার

৪

একটি ঘনকের আয়তন 343x³ ঘন একক। এর ধার কত?

ক) 2 খ) 3x গ) 5x ঘ) 7x

ব্যাখ্যা (Explanation)

প্রশ্নমতে, a³ = 343x³

           ⇒ a³ = (7x)³

         ∴ a = 7x

৫

একটি সমবৃত্তভূমিক কোণকের বক্রপৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল ২২০ বর্গ সে.মি., এর ভূমির ব্যাসার্ধ ৫ সে.মি. হলে, হেলানো উচ্চতা নির্ণয় করুন।

ক) ১২ সে.মি. খ) ১৪ সে.মি. গ) ১৬ সে.মি. ঘ) ১৮ সে.মি.

ব্যাখ্যা (Explanation)

দেওয়া আছে,
কোণকের ভূমির ব্যাসার্ধ r = ৫ সে.মি.

ধরি,
কোণকের হেলানো উচ্চতা l সে.মি.
∴ কোণকের বক্রপৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল= πrl বর্গসে.মি.

প্রশ্নমতে,
πrl = ২২০
⇒ (২২/৭) × ৫ × l = ২২০
⇒ l = (২২০ × ৭)/(২২ × ৫)
∴ l = ১৪

∴ কোণকটির হেলানো উচ্চতা ১৪ সে.মি.

৬

বায়ু পানির তুলনায় ০.০০১২৯ গুণ ভারী। যে ঘরের দৈর্ঘ্য, প্রস্থ ও উচ্চতা যথাক্রমে ১৬ মিটার, ১২ মিটার ও ৪ মিটার, তাতে কত কিলোগ্রাম বায়ু আছে?

ক) ৯৯০.৭২ কিলোগ্রাম খ) ৭৬৮.৪০ কিলোগ্রাম গ) ৮৬৪.৩২ কিলোগ্রাম ঘ) ১০২৪.৫৬ কিলোগ্রাম

ব্যাখ্যা (Explanation)

দেওয়া আছে,
দৈর্ঘ্য = ১৬ মিটার
প্রস্থ = ১২ মিটার
উচ্চতা = ৪ মিটার

সুতরাং, ঘরের আয়তন = ১৬ মিটার × ১২ মিটার × ৪ মিটার
= ৭৬৮ ঘনমিটার

আমরা জানি,
১ ঘনমিটার পানির ওজন = ১০০০ কিলোগ্রাম।
তাহলে ৭৬৮ ঘনমিটার পানির ওজন = ৭৬৮ ঘনমিটার × ১০০০ কিলোগ্রাম/ঘনমিটার
= ৭৬৮০০০ কিলোগ্রাম

যেহেতু বায়ু পানির তুলনায় ০.০০১২৯ গুণ ভারী, তাহলে ওই ঘরের বাতাসের ওজন = ৭৬৮০০০ কিলোগ্রাম × ০.০০১২৯
= ৯৯০.৭২ কিলোগ্রাম

৭

একটি সিলিন্ডারের ব্যাসার্ধ ৫ ইঞ্চি এবং আয়তন ১৫০π ঘন ইঞ্চি হলে এর উষ্ণতা কত?

ক) 5 in খ) 6 in গ) 7 in ঘ) 8 in

ব্যাখ্যা (Explanation)

আমরা জানি,
সিলিন্ডারের আয়তন =πr²h
প্রশ্নমতে,πr²h=150π
       or,π5²h=150π [r=5 in]
       or,25πh=150π
                h=6 in

৮

একটি চৌবাচ্চার দৈর্ঘ্য ৩ মিটার, প্রস্থ ২ মিটার ও উচ্চতা ৪ মিটার হলে চৌবাচ্চার পানি ধারণ ক্ষমতা হবে:

ক) ২৪০০ কেজি খ) ২৪০০০ কেজি গ) ২৪০০ ঘন সে.মি. ঘ) ২৪০০ লিটার

Job Solutions

ব্যাখ্যা (Explanation)

চৌবাচ্চার আয়তন = দৈর্ঘ্য × প্রস্থ × উচ্চতা
         = ৩ × ২ × ৪
         = ২৪ ঘন মিটার

১ ঘন মিটার = ১০০০ লিটার
⇒ ২৪ ঘন মিটার = ২৪ × ১০০০ = ২৪০০০ লিটার

১ লিটার পানির ওজন = ১ কেজি
⇒ ২৪০০০ লিটার পানির ওজন = ২৪০০০ কেজি

৯

একটি সমবৃত্তভূমিক বেলনের ব্যাস ৮ সে.মি. এবং উচ্চতা ৬ সে.মি.। বেলনটির বক্রপৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল কত হবে?

ক) ৬০৩.২ বর্গ সে.মি. খ) ৩০১.৬ বর্গ সে.মি. গ) ১৫০.৭ বর্গ সে.মি. ঘ) ৭৫.৪ বর্গ সে.মি.

Job Solutions

ব্যাখ্যা (Explanation)

দেওয়া তথ্য:
বেলনের ব্যাস = ৮ সে.মি.
বেলনের ব্যাসার্ধ (r) = ৮ ÷ ২ = ৪ সে.মি.
বেলনের উচ্চতা (h) = ৬ সে.মি.

বেলনের বক্রপৃষ্ঠের ক্ষেত্রফলের সূত্র:
বক্রপৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল = 2πrh
গণনা:
বক্রপৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল = 2πrh
= 2 × π × ৪ × ৬
= 2 × π × ২৪
= 48π
π = 3.14159... ব্যবহার করে:
= 48 × 3.14159
≈ 150.796
≈ 150.8 বর্গ সে.মি.
এটি প্রায় ১৫০.৭ বর্গ সে.মি. এর কাছাকাছি।
অতএব, বেলনটির বক্রপৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল ১৫০.৭ বর্গ সে.মি.

১০

A cubic metal block weighs 6 lb. A new cubic metal block is made from the same metal, but the length of each side is twice that of the first block. What is the weight of the new metal block?

ক) 12 lb খ) 24 lb গ) 48 lb ঘ) 36 lb

Job Solutions

ব্যাখ্যা (Explanation)

ধরি, প্রথম কিউবিক মেটাল ব্লকের প্রতিটি বাহুর দৈর্ঘ্য L₁

তাহলে এর আয়তন V₁ = L₁³
​
প্রথম ব্লকের ওজন W₁ = 6 lb

এখন, নতুন কিউবিক মেটাল ব্লকের প্রতিটি বাহুর দৈর্ঘ্য প্রথম ব্লকের দ্বিগুণ।
অর্থাৎ, নতুন ব্লকের প্রতিটি বাহুর দৈর্ঘ্য L₂ = 2L₁

নতুন ব্লকের আয়তন V₂ =L₂³
​=(2L₁)³
= 8L₁³
​
আমরা দেখতে পাচ্ছি, V₂ = 8V₁
এর মানে হলো, দ্বিতীয় ব্লকটির আয়তন প্রথম ব্লকটির আয়তনের ৮ গুণ।

যেহেতু উভয় ব্লক একই ধাতু দিয়ে তৈরি, তাদের ঘনত্ব একই।

প্রথম ব্লকের ওজন W₁ =ঘনত্ব × V₁
​
দ্বিতীয় ব্লকের ওজন W₂ = ঘনত্ব × V₂

আমরা জানি V₂ = 8V₁,
তাই, W₂ = ঘনত্ব × 8V₁
বা, ​W₂ = 8 × (ঘনত্ব × V₁)
বা, W₂ = 8 × W1
​যেহেতু W₁ =6 lb,
বা, W₂ = 8 × 6 lb
বা, W₂ =48 lb

অতএব, নতুন মেটাল ব্লকের ওজন হবে 48 পাউন্ড।
​

১১

১৬ মিটার ব্যাসার্ধ বিশিষ্ট একটি কাঁচের গোলক গলিয়ে ২ মিটার ব্যাসার্ধের কতটি গোলক তৈরি করা যাবে?

ক) 256 খ) 512 গ) 1024 ঘ) 128

ব্যাখ্যা (Explanation)

আমরা জানি, গোলকের আয়তন V = (4/3)πr³ , যেখানে r হলো গোলকের ব্যাসার্ধ।
বড় কাঁচের গোলকের ব্যাসার্ধ (R) = ১৬ মিটার।
বড় গোলকের আয়তন V_B = (4/3)π16³

ছোট গোলকের ব্যাসার্ধ (r) = ২ মিটার।
ছোট গোলকের আয়তন V_S = (4/3)π2³

গোলকের সংখ্যা N = V_B / V_S
= (4/3)π16³ / (4/3)π2³
= 16³ / 2³
= 4096/8
= 512 ​

১২

ব্যাস 16 সে.মি. এবং উচ্চতা 2 সে.মি. বিশিষ্ট একটি সিলিন্ডার গলিয়ে 12টি সমব্যাসার্ধ বিশিষ্ট গোলক তৈরি করলে প্রতিটি গোলকের ব্যাসার্ধ কত হবে?

ক) 2.5 সে.মি. খ) 2 সে.মি. গ) 3 সে.মি. ঘ) 1.5 সে.মি.

ব্যাখ্যা (Explanation)

সিলিন্ডারের ব্যাস = 16 সেমি
⇒ ব্যাসার্ধ = 16 ÷ 2 = 8 সেমি
সিলিন্ডারের উচ্চতা = 2 সেমি

সিলিন্ডারের আয়তন (V) = π × r² × h
= π × 8² × 2
= π × 64 × 2
= 128π ঘন সেমি

ধরি, প্রতিটি গোলকের ব্যাসার্ধ = r সেমি
⇒ প্রতিটি গোলকের আয়তন = (4/3)πr³
⇒ 12টি গোলকের আয়তন = 12 × (4/3)πr³ = 16πr³

প্রশ্ন অনুযায়ী,
সিলিন্ডারের আয়তন = ১২টি গোলকের মোট আয়তন
⇒ 128π = 16πr³
⇒ r³ = 128π ÷ 16π = 8
⇒ r = ∛8 = 2

১৩

দুটি গোলকের আয়তনের অনুপাত ৮ : ২৭। তাদের ক্ষেত্রফলের অনুপাত কত?

ক) ৪ : ৯ খ) ২ : ৩ গ) ৪ : ৫ ঘ) ৫ : ৬

Job Solutions প্রাইমারি

ব্যাখ্যা (Explanation)

প্রথম গোলকের আয়তন = 4/3 πr³₁
দ্বিতীয় গোলকের আয়তন =  4/3πr³₂

প্রশ্নমতে, r³₁/r³₂=8/27
বা,r³₁/r³₂=2³/3³
বা,r₁/r₂=2/3

4πr²₁/4πr²₂= 4/9 [গোলকের ক্ষেত্রফল =4πr²]
অতএব ,এদের অনুপাত 4:9

১৪

একটি সিলিন্ডারের বৃত্তীয় তলের ব্যাসার্ধ ২ সে মি এবং উচ্চতা ৬ সে মি হলে, উহার তলগুলির মোট ক্ষেত্রফল কত?

ক) ১৬π বর্গ সেমি খ) ৩২π বর্গ সেমি গ) ৩৬π বর্গ সেমি ঘ) ৪৮π বর্গ সেমি

বিসিএস

ব্যাখ্যা (Explanation)

দেওয়া আছে
সিলিন্ডারের ব্যাসার্ধ, r = ২ সে.মি.
উচ্চতা, h = ৬ সে.মি.

আমরা জানি,
সিলিন্ডারের সমগ্র তলের ক্ষেত্রফল = 2πr(r + h)
= ২π × ২(২ + ৬)
= ২π × ১৬
= ৩২π বর্গ সে.মি.

১৫

কোনো সমকোণী ত্রিভুজের দুইটি বাহুর দৈর্ঘ্য 5 সে.মি. এবং 3.5 সে.মি.। একে বৃহত্তর বাহুর চতুর্দিকে ঘোরালে যে ঘনবস্তু উৎপন্ন হয় তার আয়তন কত? 

ক) 60.11 ঘন সে.মি. খ) 64.14 ঘন সে.মি. গ) 65 ঘন সে.মি. ঘ) 67.34 ঘন সে.মি.

ব্যাখ্যা (Explanation)

সমকোণী ত্রিভুজের 5 সে.মি. বাহুর চতুর্দিকে ত্রিভুজটি ঘোরালে 3.5 সে.মি. ব্যাসার্ধ ও 5 সে.মি. উচ্চতা বিশিষ্ট সমবৃত্তভুমিক কোণক তৈরি হবে।

ধরি, সমবৃত্তভুমিক কোণকের ব্যাসার্ধ r সে.মি. এবং উচ্চতা h একক।

সুতরাং, r = 3.5 সে.মি. , h = 5 সে.মি.

∴ কোণকের আয়তন = (1/3) × πr²h 
                       = (1/3) × 3.1416 × (3.5)² × 5 
                       = 64.14 ঘন সে.মি. 

১৬

একটি সমবৃত্তভুমিক বেলনের উচ্চতা 10 সে.মি. এবং ভুমির ব্যাসার্ধ 7 সে.মি. হলে, এর সম্পূর্ণ পৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল কত? 

ক) 721 বর্গমিটার খ) 735 বর্গমিটার গ) 748 বর্গমিটার ঘ) 750 বর্গমিটার

ব্যাখ্যা (Explanation)

মনে করি,
সমবৃত্তভূমিক বেলনের উচ্চতা h = 10 সে.মি. এবং ভূমির ব্যাসার্ধ 7 সে.মি.
আমরা জানি,
সমগ্র পৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল 2πr(r +  h)
= 2 × (22/7) × 7 (7 + 10) বর্গমিটার
= 44 × 17 বর্গমিটার
= 748 বর্গমিটার

১৭

৪ সে.মি. ব্যাসের একটি লৌহ গোলককে পিটিয়ে ২/৩ সে.মি. পুরু একটি বৃত্তাকার লৌহপাত প্রস্তুত করা হলো। ঐ পাতের ব্যাসার্ধ কত? 

ক) ৪ সে.মি.  খ) ৬ সে.মি. গ) ৯ সে.মি. ঘ) ১২ সে.মি.

ব্যাখ্যা (Explanation)

দেওয়া আছে,
গোলকের ব্যাসার্ধ, r = 2 সে.মি. [ ব্যাস 4 সে.মি.]
∴ গোলকের ঘনফল = (4/3)πr³ ঘন একক
= (4/3) × π × 8 ঘন সে.মি.
= (32/3)π ঘন সে.মি.

ধরি,
লৌহ পাতের ব্যাসার্ধ = R সে. মি.
∴  বৃত্তাকার লৌহপাতের ক্ষেত্রফল = πR² বর্গ সে.মি.

লৌহপাত 2/3 সে.মি. পুরু
∴ বৃত্তাকার লৌহপাতের ঘনফল = πR² × (2/3) = (2/3)πR² ঘন সে.মি.

শর্তানুসারে,(2/3)πR² = (32/3)π
⇒ R² = 16
∴ R = 4
∴ নির্ণেয় ব্যাসার্ধ = 4 সে.মি.

১৮

4 একক ধারবিশিষ্ঠ একটি ঘনকের দুইটি কর্নের সমষ্টি কত একক?

ক) √3 খ) 4√3 গ) 8√3 ঘ) 16√3

ব্যাখ্যা (Explanation)

দেওয়া আছে,
ঘনকের একটি ধার বা বাহুর দৈর্ঘ্য (a) = 4 একক

আমরা জানি,
ঘনকের যেকোনো কর্ণের দৈর্ঘ্য = √3 × a (বা a√3)
অতএব, একটি কর্ণের দৈর্ঘ্য = 4√3 একক।
যেহেতু ঘনকের প্রতিটি কর্ণের দৈর্ঘ্য সমান হয়, তাই এমন দুইটি কর্ণের দৈর্ঘ্যের সমষ্টি হবে:
= (4√3 + 4√3) একক
= 8√3 একক।

১৯

একটি বইয়ের দৈর্ঘ্য ২৫ সেমি এবং প্রস্থ ১৮ সেমি। বইটির পৃষ্ঠা সংখ্যা ২০০ এবং প্রতি পাতা কাগজের পুরুত্ব ০.১ মিমি হলে, বইটির আয়তন নির্ণয় কর।

ক) ২৫০ ঘন সে.মি খ) ৩৫০ ঘন সে.মি গ) ৪৫০ ঘন সে.মি ঘ) ৫৫০ ঘন সে.মি

Job Solutions

ব্যাখ্যা (Explanation)

দেওয়া আছে,
বইটির দৈর্ঘ্য = ২৫ সে.মি.
বইটির প্রস্থ = ১৮ সে.মি.

বইটিতে পৃষ্ঠা আছে ২০০টি।
আমরা জানি, ২ পৃষ্ঠায় ১ পাতা হয়।
তাহলে, বইটিতে পাতা আছে = ২০০ ÷ ২ = ১০০টি।

প্রতি পাতা কাগজের পুরুত্ব = ০.১ মি.মি.
সুতরাং, ১০০ পাতা কাগজের মোট পুরুত্ব = ১০০ × ০.১ মি.মি. = ১০ মি.মি.
যেহেতু ১০ মি.মি. = ১ সে.মি., তাই বইটির মোট পুরুত্ব বা উচ্চতা = ১ সে.মি.

অতএব, বইটির আয়তন = দৈর্ঘ্য × প্রস্থ × উচ্চতা
= (২৫ × ১৮ × ১) ঘন সে.মি.
= ৪৫০ ঘন সে.মি.

২০

Find the surface area of a 10 cm x 4 cm x 3 cm brick

ক) 48 sq. cm খ) 124 sq. cm গ) 164 sq. cm ঘ) 180 sq. cm

ব্যাখ্যা (Explanation)

ধরা যাক, ইটের দৈর্ঘ্য (l) = 10 সেমি, প্রস্থ (w) = 4 সেমি, এবং উচ্চতা (h) = 3 সেমি।

পৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল নির্ণয়ের সূত্রটি হলো A = 2(lw + lh + wh)
= 2((10 সেমি × 4 সেমি)+(10 সেমি × 3 সেমি)+(4 সেমি × 3 সেমি))
= 2(40 বর্গ সেমি + 30 বর্গ সেমি + 12 বর্গ সেমি)
= 2(82 বর্গ সেমি)
= 164 বর্গ সেমি

২১

একটি ঘনক আকৃতির বস্তুর পৃষ্ঠতলের ক্ষেত্রফল ২৪০০ বর্গ সে.মি. হলে, এর কর্ণের দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর।

ক) ৩৫.৬৪১ সে. মি. খ) ৩৬.৬৪১ সে. মি. গ) ৩২.৬৪১ সে. মি. ঘ) ৩৪.৬৪১ সে. মি.

Job Solutions

ব্যাখ্যা (Explanation)

মনে করি, ঘনকের এক বাহুর দৈর্ঘ্য 'a' সে.মি.।
আমরা জানি, ঘনকের ৬টি তল আছে এবং প্রতিটি তল একটি বর্গক্ষেত্র।
সুতরাং, ঘনকের পৃষ্ঠতলের ক্ষেত্রফল = ৬ × (এক বাহুর দৈর্ঘ্য)² = 6a²

প্রশ্নমতে,
6a² = ২৪০০
বা, a² = ২৪০০ / ৬
বা, a² = ৪০০
বা, a = √৪০০
সুতরাং, a = ২০ সে.মি.

এখন, ঘনকের কর্ণের দৈর্ঘ্য নির্ণয়ের সূত্র হলো = a√3
কর্ণের দৈর্ঘ্য = ২০√3 সে.মি.
= ২০ × ১.৭৩২ (যেখানে √3 ≈ ১.৭৩২)
= ৩৪.৬৪ সে.মি. (প্রায়)

২২

কোনো ঘনকের পৃষ্ঠতলের কর্ণের দৈর্ঘ্য 6√2 সে.মি. হলে, এর আয়তন নিচের কোনটি?

ক) \(12\sqrt 2 \)  ঘন সে. মি. খ) \(24\sqrt 2 \)  ঘন সে. মি. গ) 216 ঘন সে. মি. ঘ) 10.392 ঘন সে. মি.

ব্যাখ্যা (Explanation)

ঘনকের এক পৃষ্ঠের (বর্গাকার তলের) কর্ণের দৈর্ঘ্য = √2 × a

প্রশ্নমতে,
√2 × a = 6√2
উভয় পক্ষ থেকে √2 বাদ দিলে পাই,
a = 6 সে.মি.

ঘনকের আয়তন = a³
= (6)³
= 216 ঘন সে.মি.

২৩

আয়তাকার ঘনবস্তুর দৈর্ঘ্য, প্রস্থ ও উচ্চতা সমান হলে, তাকে কী বলা হয় ?

ক)  আয়তাক্ষেত্র  খ)  ঘনক  গ)  ত্রিভুজ  ঘ)  ট্রাপিজিয়াম 

ব্যাখ্যা (Explanation)

আমরা জানি, তিন জোড়া সমান্তরাল আয়তাকার সমতল বা পৃষ্ঠ দ্বারা আবদ্ধ ঘনবস্তুকে আয়তাকার ঘনবস্তু বলে। আয়তাকার ঘনবস্তুর তিনটি মাত্রা থাকে; যথা: দৈর্ঘ্য, প্রস্থ ও উচ্চতা।
যখন কোনো আয়তাকার ঘনবস্তুর দৈর্ঘ্য, প্রস্থ ও উচ্চতা সমান হয়, তখন তাকে ঘনক (Cube) বলা হয়। অর্থাৎ, ঘনক হলো এমন একটি বিশেষ ধরনের আয়তাকার ঘনবস্তু যার ৬টি পৃষ্ঠই পরস্পর সর্বসম বর্গাকার ক্ষেত্র।
ধরি, একটি আয়তাকার ঘনবস্তুর,
দৈর্ঘ্য = a একক
প্রস্থ = b একক
এবং উচ্চতা = c একক
শর্তানুসারে, আয়তাকার ঘনবস্তুটি ঘনক হবে যদি a = b = c হয়।

ঘনকের কিছু গুরুত্বপূর্ণ বৈশিষ্ট্য:
১. এর ১২টি ধার বা বাহু পরস্পর সমান।
২. এর ৬টি তলের প্রতিটিই একটি বর্গক্ষেত্র।
৩. ঘনকের সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল = 6a² বর্গ একক।
৪. ঘনকের আয়তন = a³ ঘন একক।

২৪

একটি আয়তাকার ঘনবস্তুর দৈর্ঘ্য, প্রস্থ ও উচ্চতা যথাক্রমে 30 সে. মি. 20 সে. মি. ও 12 সে. মি. এর আয়তন নিচের কোনটি ?

ক)  32  সে. মি.   খ)  62 ঘন  সে. মি.   গ)  7200 ঘন  সে. মি.   ঘ)  1100 ঘন  সে. মি.  

ব্যাখ্যা (Explanation)

দেওয়া আছে,
আয়তাকার ঘনবস্তুর দৈর্ঘ্য = 30 সে. মি.
আয়তাকার ঘনবস্তুর প্রস্থ = 20 সে. মি.
এবং আয়তাকার ঘনবস্তুর উচ্চতা = 12 সে. মি.

আমরা জানি,
আয়তাকার ঘনবস্তুর আয়তন = দৈর্ঘ্য × প্রস্থ × উচ্চতা
= (30 × 20 × 12) ঘন সে. মি.
= (600 × 12) ঘন সে. মি.
= 7200 ঘন সে. মি.
$\therefore$ নির্ণেয় আয়তন 7200 ঘন সে. মি.

শর্টকাট টেকনিক:
আয়তন বের করতে তিনটি মাত্রাকে সরাসরি গুণ করে দিন।
30 × 20 × 12 = 30 × 240 = 7200
দ্রুত গুণ করার নিয়ম: শূন্যগুলো বাদ দিয়ে সাধারণ সংখ্যাগুলো গুণ করুন (3 × 2 × 12 = 72) এবং শেষে মোট শূন্যের সংখ্যা (এখানে 2 টি) বসিয়ে দিন। উত্তর: 7200।

২৫

একটি গোলকের ব্যাসার্ধ ৫ সে.মি. হলে এর পৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল কত?

ক) ৮০ বর্গ সে. মি. খ) ১০০ বর্গ সে. মি. গ) ২০০ বর্গ সে. মি. ঘ) ৩১৪.২৪ বর্গ সে. মি.

ব্যাখ্যা (Explanation)

দেওয়া আছে, ব্যাসার্ধ (r) = ৫ সে.মি.
এখানে, A = পৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল

গোলকের পৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল নির্ণয়ের সূত্র হলো,
A = 4πr²
= 4 × π × (5)²
= 100π
= 3.1414 × 100
= 314.14
সবচেয়ে কাছাকাছি উত্তরটি হলো ৩১৪.২৪ বর্গ সে. মি.।

২৬

আয়তাকার ঘনবস্তুর দৈর্ঘ্য, প্রস্থ ও উচ্চতা যথাক্রমে a, b ও c হলে এর কর্ণ নিচের কোনটি?

ক) b² + c² খ) a² + b² + c² গ) 2(ab + bc + ca) ঘ) √(a² + b² + c²)

ব্যাখ্যা (Explanation)

আমরা জানি, একটি আয়তাকার ঘনবস্তু (Cuboid) হলো একটি ত্রিমাত্রিক বস্তু যার দৈর্ঘ্য, প্রস্থ এবং উচ্চতা রয়েছে। ঘনবস্তুর কর্ণ হলো তার বিপরীত দুটি শীর্ষবিন্দুর মধ্যবর্তী দূরত্ব।

যদি একটি আয়তাকার ঘনবস্তুর দৈর্ঘ্য (l), প্রস্থ (w) এবং উচ্চতা (h) হয়, তবে তার কর্ণের (d) দৈর্ঘ্য নির্ণয়ের সূত্রটি হলো: কর্ণের দৈর্ঘ্য, d = √(l² + w² + h²)

প্রশ্নে প্রদত্ত মান: দৈর্ঘ্য (l) = a প্রস্থ (w) = b উচ্চতা (h) = c

মান বসিয়ে পাই: কর্ণের দৈর্ঘ্য = √(a² + b² + c²)

উত্তর: সুতরাং, আয়তাকার ঘনবস্তুর কর্ণ হবে √(a² + b² + c²)।

২৭

একটি আয়তাকার ঘনবস্তুর দৈর্ঘ্য, প্রস্থ ও উচ্চতা যথাক্রমে ৪০ সে. মি. ৩০ সে. মি. ও ১৮ সে. মি. হলে এর সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল নিচের কোনটি?

ক) ৮৮ বর্গ সে. মি. খ) ১৭৬ বর্গ সে. মি. গ) ৪৯২০ বর্গ সে. মি. ঘ) ২১৬০০ বর্গ সে. মি.

ব্যাখ্যা (Explanation)

দেওয়া আছে,
দৈর্ঘ্য = 40 সে.মি.
প্রস্থ = 30 সে.মি.
উচ্চতা = 18 সে.মি.

একটি আয়তাকার ঘনবস্তুর সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল = 2(দৈর্ঘ্য × প্রস্থ + দৈর্ঘ্য × উচ্চতা + প্রস্থ × উচ্চতা)
= 2(40 × 30 + 40 × 18 + 30 × 18)
= 2(1200 + 720 + 540)
= 2(2460)
= 4920
সুতরাং, আয়তাকার ঘনবস্তুর সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল = 4920 বর্গ সে.মি.

২৮

যদি কোন ঘনকের ধারগুলোর যোগফল ৬ একক হয় । তবে, তার আয়তন কত ? 

ক) 1/8  ঘন একক   খ) 1/4  ঘন একক   গ) 1/2  ঘন একক   ঘ) 8  ঘন একক  

২৯

কোনো ঘনকের এক বাহুর দৈর্ঘ্য ৫ সে. মি. হলে, তার সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল কত ? 

ক)  ২০০ বর্গ সে. মি.  খ)  ১৫০ বর্গ সে. মি.  গ)  ১০০ বর্গ সে. মি.  ঘ)  ১২৫ বর্গ সে. মি. 

৩০

কোন ঘনকের এক বাহুর দৈর্ঘ্য ১৮ সে. মি. হলে, তার কর্ণের দৈর্ঘ্য কত ?

ক)  \(18\sqrt 2 \) সে. মি.   খ)  \(18\sqrt 3 \) সে. মি.   গ)  27 সে. মি.  ঘ)  9 সে. মি.  

ব্যাখ্যা (Explanation)

দেওয়া আছে,
ঘনকের এক বাহুর দৈর্ঘ্য, a = 18 সে. মি.

আমরা জানি,
ঘনকের কর্ণের দৈর্ঘ্য = √3 × এক বাহুর দৈর্ঘ্য
= √3 × a
= √3 × 18
= 18√3
∴ ঘনকের কর্ণের দৈর্ঘ্য = 18√3 সে. মি.

শর্টকাট টেকনিক:
যেকোনো ঘনকের কর্ণের দৈর্ঘ্য বের করতে চাইলে প্রদত্ত বাহুর দৈর্ঘ্যের সাথে শুধু √3 গুণ করে দিলেই উত্তর পাওয়া যাবে।
এখানে বাহুর দৈর্ঘ্য 18, তাই কর্ণের দৈর্ঘ্য হবে 18√3।