রেখা ও কোণ

দেয়াল ঘড়িতে সন্ধ্যা ৬টা বাজে। ঘণ্টা ও মিনিটের কাঁটার মধ্যকার কোণটি কত ডিগ্রি?

ক) ৯০° খ) ১২০° গ) ১৫০° ঘ) ১৮০°

ব্যাখ্যা (Explanation)

সন্ধ্যা ৬টার সময় মিনিটের কাঁটা থাকে ১২-এর ঘরে এবং ঘণ্টার কাঁটা থাকে ঠিক বিপরীত দিকে অর্থাৎ ৬-এর ঘরে।
তাদের মধ্যকার ব্যবধান = ৬টি ঘর।
আমরা জানি, প্রতি ঘণ্টার ঘরের কোণ ৩০ ডিগ্রি।
অতএব, কোণ হবে = ৬ * ৩০ ডিগ্রি = ১৮০ ডিগ্রি।

ঘড়িতে যখন সকাল ৯টা বাজে, তখন ঘণ্টার কাঁটা ও মিনিটের কাঁটার মধ্যবর্তী কোণ কত ডিগ্রি হবে?

ক) ৪৫° খ) ৬০° গ) ৭৫° ঘ) ৯০°

ব্যাখ্যা (Explanation)

ঘড়ির ডায়ালটি মোট ৩৬০ ডিগ্রির। ঘড়িতে ১২টি ঘণ্টার ঘর থাকে।
সুতরাং, প্রতি ঘণ্টার ঘরের মধ্যবর্তী কোণ = ৩৬০ / ১২ = ৩০ ডিগ্রি।
সকাল ৯টার সময় মিনিটের কাঁটা থাকে ১২-এর ঘরে এবং ঘণ্টার কাঁটা থাকে ৯-এর ঘরে।
তাদের মধ্যে ব্যবধান হলো (১২ - ৯) = ৩টি ঘর।
অতএব, কোণ হবে = ৩ * ৩০ ডিগ্রি = ৯০ ডিগ্রি।

রেখার বৈশিষ্ট্য কোনটি?

ক) কেবল দৈর্ঘ্য আছে খ) দৈর্ঘ্য ও প্রস্থ আছে গ) দৈর্ঘ্য, প্রস্থ ও উচ্চতা আছে ঘ) কোনো মাত্রা নেই

Job Solutions

ব্যাখ্যা (Explanation)

⇒ সঠিক উত্তর: কেবল দৈর্ঘ্য আছে।
⇒ জ্যামিতির ভাষায়, যার কেবল দৈর্ঘ্য আছে, কিন্তু কোনো প্রস্থ বা বেধ (উচ্চতা) নেই, তাকে রেখা (Line) বলে।
⇒ একটি বিন্দুর চলার পথকেই রেখা বলা হয়। যেহেতু এর শুধু একটি মাত্রা (দৈর্ঘ্য) থাকে, তাই রেখাকে একমাত্রিক (One-dimensional) বলা হয়।

অন্যদিকে,
⇒ অপশন B: যার দৈর্ঘ্য ও প্রস্থ আছে, তাকে 'তল' (Surface) বলে। যেমন- একটি কাগজের পৃষ্ঠা (দ্বিমাত্রিক)।
⇒ অপশন C: যার দৈর্ঘ্য, প্রস্থ ও উচ্চতা তিনটিই আছে, তাকে 'ঘনবস্তু' (Solid) বলে। যেমন- একটি ইট বা বই (ত্রিমাত্রিক)।
⇒ অপশন D: যার কোনো মাত্রা (দৈর্ঘ্য, প্রস্থ, উচ্চতা) নেই, শুধু অবস্থান আছে, তাকে 'বিন্দু' (Point) বলে (শূন্যমাত্রিক)।

সুতরাং, জ্যামিতিক সংজ্ঞানুসারে রেখার একমাত্র বৈশিষ্ট্য হলো এর কেবল দৈর্ঘ্য আছে।

একটি তলের মাত্রা কয়টি?

ক) এক খ) তিন গ) চার ঘ) দুই

ব্যাখ্যা (Explanation)

- একটি তল (Plane)-এর দুইটি মাত্রা থাকে — দৈর্ঘ্য ও প্রস্থ।
- অতএব, তলকে দ্বিমাত্রিক পৃষ্ঠ বলা হয়।

বিপ্রতীপ কোণগুলোর পারস্পরিক সম্পর্ক কী?

ক) পরস্পর সম্পূরক খ) পরস্পর সমান গ) পরস্পর পূরক ঘ) পরস্পর অসমান

ব্যাখ্যা (Explanation)

- দুইটি সরল রেখা একে অপরকে ছেদ করলে যে বিপরীতমুখী কোণ দুটি সৃষ্টি হয়, তাদের বিপ্রতীপ কোণ বলে।
- এই বিপ্রতীপ কোণ দুটি সর্বদা পরস্পর সমান হয়।

দুটি অনুরূপ কোণের একটির মান ৫০° হলে, অপরটির মান কত?

ক) ১৩০° খ) ৫০° গ) ৪০° ঘ) ১০০°

ব্যাখ্যা (Explanation)

অনুরূপ কোণ কী?
যখন দুটি সমান্তরাল সরলরেখাকে অন্য একটি সরলরেখা ছেদ করে, তখন ছেদকের একই পাশে যে কোণগুলো তৈরি হয়, তাদের অনুরূপ কোণ বলে।

গুরুত্বপূর্ণ নিয়ম:
অনুরূপ কোণগুলো সবসময় একে অপরের সমান হয়।

প্রশ্ন অনুযায়ী:
দুটি অনুরূপ কোণের মধ্যে একটির মান দেওয়া আছে ৫০°।

নিয়ম অনুযায়ী, অপর কোণটির মানও একই হতে হবে।
সুতরাং, অপর কোণটির মানও হবে ৫০°।

সূক্ষ্মকোণের মান কত?

ক) ৯০° খ) ৯০° থেকে বড় কিন্তু ১৮০° থেকে ছোট গ) ০° থেকে বড় কিন্তু ৯০° থেকে ছোট ঘ) ১৮০°

ব্যাখ্যা (Explanation)

যে কোণের মান ০° (শূন্য ডিগ্রি) থেকে বড় কিন্তু ৯০° (নব্বই ডিগ্রি) থেকে ছোট, তাকে সূক্ষ্মকোণ বলা হয়। যেমন: ৩০°, ৪৫°, ৬০°, ৮৯° ইত্যাদি সবই সূক্ষ্মকোণ।

দুটি বিপ্রতীপ কোণের একটির মান ৬০ ডিগ্রী হলে অপরটির মান কত?

ক) ৬০ ডিগ্রী খ) ১২০ ডিগ্রী গ) ৩০ ডিগ্রী ঘ) ৩০০ ডিগ্রী

ব্যাখ্যা (Explanation)

যখন দুটি সরলরেখা একে অপরকে ছেদ করে, তখন ছেদবিন্দুর বিপরীত পাশে যে কোণগুলো তৈরি হয়, তাদের বিপ্রতীপ কোণ বলে। বিপ্রতীপ কোণগুলো সবসময় পরস্পর সমান হয়।

যেহেতু একটি কোণের মান ৬০ ডিগ্রী, তাই তার বিপ্রতীপ কোণটির মানও ৬০ ডিগ্রী হবে।

দুটি সমান্তরাল সরলরেখাকে একটি ছেদক ছেদ করলে ছেদকের একই পাশের অন্তঃস্থ কোণদ্বয়ের সমষ্টি কত?

ক) ৯০ ডিগ্রী খ) ৩৬০ ডিগ্রী গ) সমান ঘ) ১৮০ ডিগ্রী

ব্যাখ্যা (Explanation)

- দুটি সমান্তরাল সরলরেখাকে যদি আরেকটি সরলরেখা (ছেদক) ছেদ করে, তাহলে ছেদকের একই দিকে এবং সমান্তরাল রেখা দুটির ভেতরের দিকে যে দুটি কোণ তৈরি হয়, তাদের অন্তঃস্থ কোণ বলে।
- এই অন্তঃস্থ কোণ দুটির যোগফল বা সমষ্টি সবসময় ১৮০ ডিগ্রী (বা দুই সমকোণ) হয়। এদেরকে সম্পূরক কোণও বলা হয়।

In the figure above, (a+b+c)/(s+t+u)=?

ক) 1/2 খ) 1/3 গ) 2/3 ঘ) 1

ব্যাখ্যা (Explanation)

Here,
u = a + b
t = a + c
s = b + c

∴ s + t + u = b + c + a + c + a + b = 2(a + b + c)

Here,
(a + b + c)/(s + t + u)
= (a + b + c)/{2(a + b + c)}
= 1/2

একটি কোণ তার সম্পূরক কোণ এর এক পঞ্চমাংশ হলে কোণটি কত?

ক) 90° খ) 60° গ) 45° ঘ) 30°

ব্যাখ্যা (Explanation)

আমরা জানি যে, দুটি কোণের সমষ্টি ১৮০° হলে তাদের একে অপরের সম্পূরক কোণ (Supplementary Angle) বলা হয়।

ধরি, কোণটি হল x ডিগ্রী।
তাহলে, এর সম্পূরক কোণ হবে (১৮০−x) ডিগ্রী।

প্রশ্নানুযায়ী, কোণটি তার সম্পূরক কোণের এক পঞ্চমাংশ।
অর্থাৎ, x = (১৮০−x)/৫
বা, ৫x = ১৮০−x
বা, ৫x+x = ১৮০
বা, ৬x = ১৮০
বা, x = ১৮০/৬
বা, x = ৩০

সুতরাং, কোণটি হলো ৩০ ডিগ্রী।

বেলা ২:৩০ মিনিটের সময় ঘণ্টার কাঁটা ও মিনিটের কাঁটার পার্থক্য কত ডিগ্রি?

ক) ১০৫° খ) ১৫° গ) ১১৫° ঘ) ১১০°

Job Solutions

ব্যাখ্যা (Explanation)

৯০° কোণের সম্পূরক কোণ কত ডিগ্রি?

ক) ২৭০° খ) ০° গ) ৯০° ঘ) ১৮০°

Job Solutions

ব্যাখ্যা (Explanation)

- দুটি কোণের সমষ্টি ১৮০° হলে, তাদেরকে একে অপরের সম্পূরক কোণ (Supplementary Angles) বলা হয়।
এখন,
A+B = ১৮০°
বা, ৯০°+B = ১৮০°
বা, B = ১৮০° − ৯০°
বা, B = ৯০°

দুইটি কোণের যোগফল এক সমকোণের সমান হলে, একটি কোণ অপরটির___।

ক) পূরক খ) সম্পূরক গ) সন্নিহিত ঘ) বিপ্রিতীপ

Job Solutions

ব্যাখ্যা (Explanation)

দুইটি কোণের পরিমাপের সমষ্টি এক সমকোণ হলে কোণ দুইটি একটি অপরটির পূরক কোণ। অর্থাৎ দুটি পূরক কোণের সমষ্টি = ৯০°

180° এর চেয়ে বড় কিন্তু 360° এর চেয়ে ছোট কোণকে কি কোণ বলে?

ক) প্রবৃদ্ধ কোণ খ) সূক্ষ্মকোণ গ) পূরক কোণ ঘ) সমকোণ

Job Solutions

ব্যাখ্যা (Explanation)

180° এর চেয়ে বড় কিন্তু 360° এর চেয়ে ছোট কোণকে প্রবৃদ্ধ কোণ বলা হয়।

একটি কোণের পরিমাণ ৮০ ডিগ্রী হলে একে কি কোণ বলে?

ক) স্থূলকোণ খ) সূক্ষ্মকোণ গ) সমকোণ ঘ) সরলকোণ

Job Solutions

ব্যাখ্যা (Explanation)

৯০ডিগ্রী এর চেয়ে ছোট কোণকে সুক্ষ্মকোণ বলে।

দুটি সমান্তরাল রেখা কয়টি বিন্দুতে ছেদ করে?

ক) ৪ খ) ২ গ) ৮ ঘ) কোনটিই নয়

ব্যাখ্যা (Explanation)

- দুটি সরল রেখার মধ্যবর্তী দূরত্ব যখন সর্বদা একই থাকে তখন একটিকে অপরটির সমান্তরাল রেখা বলা হয়।
- দুটি সমান্তরাল রেখা কখনও পরস্পর ছেদ করে না।

কোন ত্রিভুজের তিনটি বাহুকে বর্ধিত করলে উৎপন্ন বহিঃস্থ কোণ তিনটির সমষ্টি কত হবে?

ক) ১৮০° খ) ২৭০° গ) ৩৬০° ঘ) ৫০০°

Job Solutions প্রাইমারি শিক্ষক নিবন্ধন

ব্যাখ্যা (Explanation)

বহিঃস্থ কোণ তিনটির সমষ্টি,
= ∠ACD + ∠BAE + ∠CBF
= 180° - γ + 180° - α + 180° - β
= 540° - (α + β + γ)
= 540° - 180°
= 360°

কোন ত্রিভুজের তিনটি বাহু বর্ধিত করলে উত্‍পন্ন বহি:স্থ তিনটি কোণের পরিমাণ কত ডিগ্রী?

ক) 150° খ) 360° গ) 180° ঘ) 270°

প্রাইমারি

ব্যাখ্যা (Explanation)

ধরি, ABC একটি ত্রিভুজ।
এই ত্রিভুজের তিনটি কোণ যথাক্রমে: ∠A, ∠B, ∠C।
প্রতিটি বাহু বর্ধিত করলে একটি করে বহিঃস্থ কোণ তৈরি হয়, যা প্রতিটি অভ্যন্তরীণ কোণের সম্পূরক।
অর্থাৎ:

বাহু BC বর্ধিত করলে ∠A-এর বহিঃস্থ কোণ = 180° − ∠A
বাহু AC বর্ধিত করলে ∠B-এর বহিঃস্থ কোণ = 180° − ∠B
বাহু AB বর্ধিত করলে ∠C-এর বহিঃস্থ কোণ = 180° − ∠C

তাহলে, তিনটি বহিঃস্থ কোণের যোগফল:
= (180° − ∠A) + (180° − ∠B) + (180° − ∠C)
= 3×180° − (∠A + ∠B + ∠C)
= 540° − 180° [কারণ ত্রিভুজের তিনটি কোণের সমষ্টি = 180°]
= 360°

অতএব, সঠিক উত্তর: 360°

৬৫° পূরক কোণের পরিমাণ কত?

ক) ১৩৫° খ) ১২৫° গ) ২৫° ঘ) ৩৫°

প্রাইমারি

ব্যাখ্যা (Explanation)

দুটি কোণের সমষ্টি ৯০° হলে একটি কোণ অপরটির পূরক কোণ।
∴ একটি কোণ ৬৫° হলে,
অপর কোণটি হবে = (৯০ - ৬৫)°
= ২৫° ।

একটি কোণের মান তার সম্পূরক কোণের মানের অর্ধেকের সমান।কোনটির মান কত?

ক) ৩০º খ) ৬০º গ) ৯০º ঘ) ১২০º

Job Solutions বিসিএস

ব্যাখ্যা (Explanation)

x° + 2x°=180° [ সম্পূরক কোণ তাই 180 ]
or, 3x°=180°
∴ x=180/3=60°

একটি ব্লেন্ডারের ব্লেড প্রতি সেকেন্ডে ৪০ বার ঘোরে। ০.৫ সেকেন্ডে ব্লেডটি কত ডিগ্রি ঘুরবে?

ক) ৯২১° খ) ১৬০০° গ) ৩৬০০° ঘ) ৭২০০°

ব্যাখ্যা (Explanation)

১ সেকেন্ডে ঘুড়ে = ৪০ বার
০.৫ বা, (১/২) সেকেন্ডে ঘুড়ে = ৪০ × ০.৫ = ২০ বার

এখানে,

১ বারে ঘুড়ে = ৩৬০°

২০ বারে ঘুড়ে =৩৬০° × ২০ = ৭২০০°

একটি সরলরেখার সাথে আর একটি রেখাংশ মিলিত হয়ে যে সন্নিহিত কোণ উৎপন্ন হয় তাদের সমষ্টি কত হবে?

ক) ৯০° খ) ১৬০° গ) ১৮০° ঘ) ১২০°

Job Solutions প্রাইমারি

ব্যাখ্যা (Explanation)

এক্ষেত্রে একই সরলরেখায় সন্নিহিত কোণগুলোর সাধারন বিন্দু থাকে, বা সমরৈখিক যুগল কোণ হয় যাদের সমষ্টি ১৮০°

এখানে CD রেখার সাথে AB মিলিত হয়ে ∠ABC ও ∠ ABD উৎপন্ন করেছে,

∠ABC + ∠ ABD = এক সরলকোণ বা ১৮০°

xy লেখচিত্র সমীকরণ y = (−1/2)x + 3 এর রেখা যদি (c,−c) লেখবিন্দুর মধ্যে দিয়ে গেলে c এর মান কত?

ক) -6 খ) 2 গ) -3 ঘ) 3

ব্যাখ্যা (Explanation)

y = (-1/2)x + 3
⇒ -c = (-1/2)c + 3
⇒ -c + (1/2)c = 3
⇒ - (1/2)c = 3
⇒ c = -6

১৫টি বিন্দুর মধ্যে ৬টি সমরেখ। প্রদত্ত বিন্দুগুলো দিয়ে কয়টি সরলরেখা আঁকা যাবে?

ক) ৮৯টি খ) ৯১টি গ) ৯৫টি ঘ) ১০১টি

ব্যাখ্যা (Explanation)

সরলরেখা তৈরি করতে মোট বিন্দু লাগে ২টি।
১৫টি বিন্দু দিয়ে সরলরেখা আঁকা যায় ^১৫C_২ = ১০৫টি

এখানে, ৬টি বিন্দু সমরেখ তাই তাদের দিয়ে আলাদা বা বিচ্ছিন্ন রেখা পাওয়া যায়না।
৬টি বিন্দু দিয়ে সরলরেখা হত ^৬C_২ = ১৫টি; যা মোট থেকে বাদ যাবে।
এবং ৬টি বিন্দু একটি সরলরেখা গঠন করে তাই ১ যোগ হবে।

∴ মোট সরলরেখা হবে = (১০৫ - ১৫ + ১)টি
= ৯১টি

'ক' এর সম্পূরক কোণ, তার পূরক কোণের দ্বিগুণের থেকে ১০° বেশি হলে, 'ক' এর মান কত?

ক) ১৮° খ) ১০° গ) ৮° ঘ) ২৫°

ব্যাখ্যা (Explanation)

ক এর সম্পূরক কোণ = ১৮০° - ক
ক এর পূরক কোণ = ৯০° - ক

প্রশ্নমতে,
১৮০° - ক = ২(৯০° - ক) + ১০°
বা, ১৮০° - ক = ১৮০° - ২ক + ১০°
∴ ক = ১০°

একটি কোণ তার পূরক কোণ অপেক্ষা ২৬° বেশি হলে, কোণটির মান কত?

ক) ৫০° খ) ৫৫° গ) ৫৮° ঘ) ৬৭°

ব্যাখ্যা (Explanation)

ধরি,
কোণটির মান = x
তাহলে, এর পূরক কোণ = ৯০° - x

প্রশ্নমতে,
x - ২৬ = ৯০ - x
⇒ ২x = ৯০ + ২৬
⇒ x = ১১৬/২
∴ x = ৫৮°

কোনটি স্থূলকোণ?

ক) ৪৫º খ) ১৬০º গ) ১৮০º ঘ) ৯০º

ব্যাখ্যা (Explanation)

-৯০° অপেক্ষা বড় এবং ১৮০° অপেক্ষা ছোট কোণকে স্থুলকোণ বলে।

-অন্যভাবে বললে, এক সমকোণ অপেক্ষা বড় এবং দুই সমকোণ অপেক্ষা ছোট কোণকে স্থুলকোণ বলে।

১০৭º কোণের বিপ্রতীপ কোণের পরিমাণ কত?

ক) ৫৩º খ) ৭৩º গ) ১০৭º ঘ) ৩৭º

ব্যাখ্যা (Explanation)

- দুটি সরলরেখা পরস্পরকে ছেদ করলে ছেদ বিন্দুতে যে চারটি কোণ উৎপন্ন হয় তাদের যে কোনো একটি কোণকে তার বিপরীত কোণের বিপ্রতীপ কোণ বলে।
- বিপ্রতীপ কোণদ্বয় পরস্পর সমান। সুতরাং ৩৭° কোণের বিপ্রতীপ কোণের পরিমাণ হবে ১০৭°।

দুইটি রশ্মি দ্বারা উৎপন্ন কোণ ৯০°। দুই সরলকোণ হতে উক্ত কোণ বিয়োগ করলে কি কোণ উৎপন্ন হবে?

ক) সমকোণ খ) প্রবৃদ্ধকোণ গ) স্থূলকোণ ঘ) সূক্ষ্মকোণ

ব্যাখ্যা (Explanation)

আমরা জানি,
১ সরলকোণ = ১৮০°
২ সরলকোণ = ৩৬০°

এখন,
৩৬০° – ৯০° = ২৭০° যা প্রবৃদ্ধকোণ ।

• ১৮০ ডিগ্রি এর চেয়ে বড় এবং ৩৬০ ডিগ্রি এর চেয়ে ছোট কোণকে প্রবৃদ্ধ কোণ বলে।

প্রথম ৩০টি প্রশ্নের ব্যাখ্যা ওয়েবসাইটে; সবগুলোর সম্পূর্ণ ব্যাখ্যা পেতে অ্যাপ ইন্সটল করুন।

নিজের প্রস্তুতি যাচাই করুন — অ্যাপে লাইভ পরীক্ষা দিয়ে মেরিট লিস্টে নিজের অবস্থান দেখুন।

এই টপিকের সব প্রশ্ন ব্যাখ্যাসহ, ভুল-সঠিক-বুকমার্ক আলাদা করে রিভিশন — অ্যাপে।