দেয়া আছে,
শার্ট ও ট্রাউজারের লিখিত মূল্যের অনুপাত = 1 : 2

শার্টের উপর ছাড় = 40%
মোট ছাড় = 30%

সমাধান:
ধরি,
শার্টের লিখিত মূল্য = 100 টাকা
তাহলে, ট্রাউজারের লিখিত মূল্য = 200 টাকা

⇒ মোট লিখিত মূল্য = 100 + 200 = 300 টাকা

এখন, শার্টে 40% ছাড় মানে বিক্রয়মূল্য = 100 - 40% × 100 = 100 - 40 = 60 টাকা

ধরি, ট্রাউজারের ছাড় = x%
তাহলে ট্রাউজারের বিক্রয়মূল্য = 200 - x% × 200 = 200(1 - x/100)

মোট ছাড় 30%, অর্থাৎ মোট বিক্রয়মূল্য = 70% × 300 = 210 টাকা

অতএব,
60 + 200(1 - x/100) = 210
⇒ 60 + 200 - 2x = 210
⇒ 260 - 2x = 210
⇒ 2x = 50
⇒ x = 25

অতএব, ট্রাউজারের উপর ছাড় = 25%

মনে করি, 
পিতার বর্তমান বয়স = x বছর 
∴ পুত্রের বর্তমান বয়স = (১২০ - x) বছর 

প্রশ্নমতে, 
x = ৩ (১২০ - x) 
বা, x = ৩৬০ - ৩x 
বা, x + ৩x = ৩৬০ 
বা, ৪x = ৩৬০ 
বা, x = ৩৬০/৪ 
∴ x = ৯০ 

∴ পিতার বর্তমান বয়স = ৯০ বছর।

১ম রাশি = ৮
২য় রাশি = ১৬ 
৩য় রাশি = ১৮
৪র্থ রাশি = ? 

আমরা জানি,
১ম রাশি × ৪র্থ রাশি = ২য় রাশি × ৩য় রাশি 
৮ × ৪র্থ রাশি = ১৬ × ১৮
∴ ৪র্থ রাশি = (১৬ × ১৮)/৮ = ৩৬

আমরা জানি,

n সংখ্যক স্বাভাবিক সংখ্যার সমষ্টি = n(n + 1)/2
সুতরাং প্রথম ১৫ টি স্বাভাবিক সংখ্যার যোগফল
= ১৫(১৫ + ১)/২
= (১৫ × ১৬)/২
= ২৪০/২
= ১২০

তেল : পানি = ৭ : ৩
অনুপাত রাশির যোগফল = ৭ + ৩ = ১০ 

মিশ্রণে তেলের পরিমাণ = ৪৫ × (৭/১০) = ৩১.৫ লিটার ।
মিশ্রণে পানির পরিমাণ = ৪৫ × (৩/১০) = ১৩.৫ লিটার 

অতিরিক্ত পানি মেশানোর পর,
তেল : পানি = ৩ : ৭

ধরি,
মেশানোর পর মিশ্রণের পরিমাণ হয় x লিটার 

শর্তমতে,
তেলের পরিমাণ = x এর (৩/১০) = ৩১.৫ লিটার 
বা, x = (৩১.৫ × ১০)/৩ লিটার 
∴ x = ১০৫ লিটার  

নতুন মিশ্রণে পানির পরিমাণ = ১০৫ - ৩১.৫ লিটার 
= ৭৩.৫ লিটার 

অতিরিক্ত পানি মেশাতে হবে (৭৩.৫ - ১৩.৫) লিটার 
= ৬০ লিটার

দেওয়া আছে, 
গয়নার ওজন = ১২৮ গ্রাম 
অনুপাতের যোগফল = ৩ + ১ = ৪ 
∴ সোনার পরিমাণ = (১২৮ × ৩)/৪ = ৯৬ গ্রাম 
∴ তামার পরিমাণ = (১২৮ × ১)/৪ = ৩২ গ্রাম 

ধরি, 
সোনা মেশাতে হবে = ক গ্রাম 

প্রশ্নমতে, 
৯৬ + ক : ৩২ = ৭ : ২ 
বা, (৯৬ + ক)/৩২ = ৭ / ২
বা, ১৯২ + ২ক = ২২৪
বা, ২ক = ২২৪ - ১৯২
বা, ২ক = ৩২ গ্রাম
∴ ক = ১৬ গ্রাম

∴ সোনা মেশাতে হবে = ১৬ গ্রাম।

এটি অ্যালিগেশন (Alligation) পদ্ধতিতে সমাধান করা যায়।

প্রশ্ন: ৩০ টাকা/কেজি ও ৪০ টাকা/কেজি চাল মিশিয়ে ৩৩ টাকা/কেজি পেতে হবে।

Step 1: পার্থক্য বের করি
(৪০ – ৩৩) = ৭
(৩৩ – ৩০) = ৩

Step 2: অনুপাত বসাই
৩০ টাকা চাল : ৪০ টাকা চাল = ৭ : ৩

উত্তর: ৭:৩ অনুপাতে মেশাতে হবে

দুটি সংখ্যার যোগফল ৪২ এবং তাদের অনুপাত ৪:৩। আমাদের বড় সংখ্যাটি নির্ণয় করতে হবে।

হিসাব:
- ধরি, সংখ্যা দুটি ৪x এবং ৩x (অনুপাত ৪:৩ অনুযায়ী)।
- যোগফল দেওয়া আছে: ৪x + ৩x = ৪২
- অর্থাৎ, ৭x = ৪২
- তাহলে, x = ৪২ ÷ ৭ = ৬
- বড় সংখ্যাটি = ৪x = ৪ × ৬ = ২৪
- ছোট সংখ্যাটি = ৩x = ৩ × ৬ = ১৮

যাচাই: ২৪ + ১৮ = ৪২ এবং তাদের অনুপাত ২৪:১৮ = ৪:৩, যা সঠিক।


উত্তর বড় সংখ্যাটি ২৪

- ১৬ গ্রাম গহনায় সোনা : তামা = ৩ : ১
- অর্থাৎ মোট অনুপাতের যোগফল = ৩ + ১ = ৪ ভাগ।

- ১৬ গ্রাম = ৪ ভাগ।
- তাহলে, ১ ভাগ = ১৬ ÷ ৪ = ৪ গ্রাম।

- সোনার পরিমাণ = ৩ ভাগ = ৩ × ৪ = ১২ গ্রাম।

এই সমস্যাটি সমাধানের জন্য, আমরা অনুপাতের ধারণা ব্যবহার করতে পারি। পিতা ও পুত্রের বয়সের অনুপাত ৭:২ এর অর্থ হলো, পিতার বয়স যদি ৭ ভাগ হয়, তবে পুত্রের বয়স হবে ২ ভাগ।

এখানে, পিতার বয়স ৪২ বছর দেওয়া আছে, যা অনুপাতের ৭ ভাগের সমান। সুতরাং, ১ ভাগের মান হলো ৪২ ÷ ৭ = ৬ বছর।

যেহেতু পুত্রের বয়স অনুপাতের ২ ভাগ, তাই পুত্রের বয়স হবে ২ × ৬ = ১২ বছর। 

অতএব, সঠিক উত্তর হলো ১২ বছর।

দেয়া আছে,

১ম জনঃ২য় জনঃ৩য় জন = ১/২ঃ১/৩ঃ১/৪ = ৬ঃ৪ঃ৩ [ ১২ দ্বারা গুণ করে ]

অনুপাতের রাশিগুলোর যোগফল = ৬+৪+৩ = ১৩ 

∴ প্রথম জন পাবে = ১৩০ × ৬/১৩ = ৬০ টাকা 

ধরি, 
পুত্রের বয়স = x বছর 
তাহলে, 
পিতার বয়স = ২x + ৪ বছর। 

প্রশ্নমতে, 
২x + ৪ = ৬৪ 
বা, ২x = ৬৪ - ৪
বা, ২x = ৬০ 
বা, x = ৬০/২ 
∴ x = ৩০ 

∴ পুত্রের বয়স = ৩০ বছর ।

ধরি,
মোটর গাড়ির দাম = 3x টাকা
টেলিভিশনের দাম = 2x টাকা

প্রশ্নানুযায়ী, মোটর গাড়ির দাম টেলিভিশনের চাইতে ৬০০০ টাকা বেশি।
সুতরাং, 3x − 2x = 6000
বা, x = 6000

এখন, টেলিভিশনের দাম = 2x = 12000 টাকা

ধরি, সংখ্যা দুটি হলো 3x এবং 7x।

প্রশ্ন অনুযায়ী,
3x+7x = 1620
⇒ 10x = 1620
⇒ x = 1620/10
⇒ ​x = 162

প্রথম সংখ্যা = 3x = 3×162 = 486
দ্বিতীয় সংখ্যা = 7x = 7×162 = 1134

ধরি ,
মনির ,তপন ও রবিনের আয় যথাক্রমে ২০% , ১৫% ,১২%
প্রশ্নমতে  ২০x=১২০
              ∴ x= ৬
সুতরাং রবিনের আয় ১২x=১২ × ৬ =৭২ টাকা

গহনার ওজন = ২৫ গ্রাম
সোনা : তামা = ৩ : ২
⇒ অনুপাতের যোগফল = ৩ + ২ = ৫

∴ সোনার পরিমাণ = (২৫ × ৩)/৫ = ১৫ গ্রাম
∴ তামার পরিমাণ = (২৫ × ২)/৫ = ১০ গ্রাম

ধরি, অতিরিক্ত x গ্রাম সোনা মেশাতে হবে।

তাহলে নতুন সোনার পরিমাণ = (১৫ + x)
তামার পরিমাণ = ১০

প্রশ্নমতে,
(x + ১৫) : ১০ = ৫ : ১

⇒ (x + ১৫)/১০ = ৫/১
⇒ x + ১৫ = ৫০
⇒ x = ৫০ − ১৫
⇒ x = ৩৫

প্রথম বন্ধুর স্কুলে যাওয়ার সময় = ১৮ মিনিট
তিন বন্ধুর স্কুলে যাওয়ার সময়ের অনুপাত = ২ : ৩ : ৪

প্রথম বন্ধুর অনুপাতিক ভাগ হল ২।
সুতরাং, অনুপাতের ২ ভাগ = ১৮ মিনিট

তাহলে, অনুপাতের ১ ভাগ = ১৮ / ২ = ৯ মিনিট

দ্বিতীয় বন্ধুর অনুপাতিক ভাগ হল ৩।
দ্বিতীয় বন্ধুর স্কুলে পৌঁছাতে সময় লাগে = ৩ * ৯ মিনিট = ২৭ মিনিট

তৃতীয় বন্ধুর অনুপাতিক ভাগ হল ৪।
তৃতীয় বন্ধুর স্কুলে পৌঁছাতে সময় লাগে = ৪ * ৯ মিনিট = ৩৬ মিনিট

সুতরাং, বাকি দুই বন্ধুর স্কুলে পৌঁছাতে সময় লাগে ২৭ মিনিট ও ৩৬ মিনিট।

ধরি, সংখ্যা দুটি যথাক্রমে x ও y যেখানে, x > y 

  প্রশ্নমতে, 

            x - y = (x  + y) 2/3 

       বা, x - y = (2x + 2y)/3 

       বা, 3x - 3y = 2x + 2y 

       বা, 3x - 2x = 2y + 3y 

       বা, x = 5y 

       বা, x/y = 5 

            x:y = 5 : 1 

অপুর বর্তমান বয়স = ৪ বছর
মীরার বর্তমান বয়স = ৪ × ৪ = ১৬ বছর

ধরি, x বছর পর মীরার বয়স অপুর বয়সের দ্বিগুণ হবে

x বছর পর,
অপুর বয়স = ৪ + x বছর
মীরার বয়স = ১৬ + x বছর

শর্ত অনুযায়ী,
মীরার বয়স = অপুর বয়সের দ্বিগুণ
সুতরাং,
১৬ + x = ২(৪ + x)
বা, ১৬ + x = ৮ + ২x
বা, ১৬ - ৮ = ২x - x
বা, ৮ = x

মীরার বয়স = ১৬ + ৮ = ২৪ বছর

ধরি, পুত্রের বর্তমান বয়স = x বছর
∴ পিতার বর্তমান বয়স = x + 24 বছর

৪ বছর পর:
পুত্রের বয়স = x + 4 বছর
পিতার বয়স = (x + 24) + 4 = x + 28 বছর

শর্তানুসারে:
x + 28 = 2(x + 4)
⇒ x + 28 = 2x + 8
⇒ 28 - 8 = 2x - x
⇒ x= 20 

ধরি , বর্তমানে রহিমে বয়স ৩x বছর এবং করিমের বয়স ৪x  বছর।
সুতরাং তাদের মোট বয়স ৩x +৪x =৭x
শর্তমতে , ৩x - ১০ = ১/২  × ( ৪x - ১০ )
             ৬x - ২০ =৪x - ১০
    বা,     ২x=১০
  ∴ x =৫
  ∴ তাদের মোট বয়স = ৭ × ৫ =৩৫ বছর ।

দেওয়া আছে,
ক : খ = ৫ : ৪
ক : গ = ৬ : ৫

৫, ৬ এর ল সা গু = ৩০

তাহলে,
ক : খ = ৫ : ৪ = ৫×৬ : ৪×৬ = ৩০ : ২৪
ক : গ = ৬ : ৫ = ৬×৫ : ৫×৫ = ৩০ : ২৫

অর্থাৎ,
ক : খ : গ = ৩০ : ২৪ : ২৫

গ : খ = ২৫ : ২৪

সঠিক উত্তর: ২৫ : ২৪

 

সমাধানঃ ধরি, ক-এর বর্তমান বয়স = ৩x

       খ-এর বর্তমান বয়স = ৪x

১০ বছর আগে ক-এর বয়স = (৩x -১০) বছর

১০ বছর আগে খ-এর বয়স  = (৪x -১০) বছর

প্রশ্নমতে,

(৪x – ১০) = (৩x – ১০)*২

বা, ৪x – ১০ = ৬x – ২০

বা, ২x = ১০

বা, x = ৫

ক-এর বর্তমান বয়স = ৩ ×৫ =১৫

খ-এর বর্তমান বয়স = ৪x৫=২০

বর্তমানে তাদের মোট বয়স = ১৫+২০ = ৩৫ বছর

দেওয়া আছে,
ক : খ = ৩ : ৪
ক : গ = ৫ : ৬

৩ এবং ৫ এর লঘু গুণক (LCM) = ১৫

তাহলে,
ক : খ = ৩ : ৪ = ৩×৫ : ৪×৫ = ১৫ : ২০
ক : গ = ৫ : ৬ = ৫×৩ : ৬×৩ = ১৫ : ১৮

অতএব,
ক : খ : গ = ১৫ : ২০ : ১৮

তাহলে,
গ : খ = ১৮ : ২০

সুতরাং, গ : খ = ১৮ : ২০

- অনুপাত (Ratio) হলো দুটি সংখ্যার মধ্যে সম্পর্ক বোঝাতে ব্যবহৃত একটি রাশি, যা সাধারণত ভগ্নাংশের আকারে প্রকাশ করা হয়।

উদাহরণ:
- যদি একটি ক্লাসে ছেলে ও মেয়ের সংখ্যা ৩ এবং ৪ হয়, তাহলে ছেলে-মেয়ের অনুপাত = ৩/৪।

- অনুপাত সবসময় দুইটি সংখ্যার তুলনা করে দেখায়।

অতএব, অনুপাত একটি ভগ্নাংশের আকারে প্রকাশ করা যায়।

দেওয়া আছে,

ধরি,

পুত্রের বর্তমান বয়স x বছর

∴ পিতার " " ৫x "

তিন বছর বাদে পিতার বয়স = (৫x+৩) বছর

এবং তিন " " " = (x+৩) "

প্রশ্নমতে, ৫x+৩ = (x+৩)×৪

বা, ৫x+৩ = ৪x+১২

বা, ৫x–৪x = ১২-৩

বা, x = ৯ বছর

অতএব, পিতার বর্তমান বয়স = (৫×৯) = ৪৫ বছর

পুত্রের বর্তমান বয়স = ৯ বছর [x এর মান বসিয়ে]

দেওয়া আছে
qp = 36

36 এর উৎপাদকগুলো হলো: 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36 

এখন
p/q = 3/12 = 1/4
p/q = 4/9
p/q = 2/18 = 1/9
p/q = 1/36
p/q = 6/6 = 1

p/q = 1/2 কোনভাবেই হতে পারে না।

মনেকরি,

বৃহস্পতি বাদে অন্য দিনে আয় = x টাকা

বৃহস্পতি বাদে অন্য ৬ দিনে আয় = ৬x টাকা


আবার, বৃহস্পতি বারে আয় = ৩x টাকা

মোট আয় = ৬x + ৩x = ৯x টাকা

তাহলে, বৃহস্পতি বারের আয় সমগ্র সপ্তাহের আয় এর = ৩x/৯x = ১/৩ অংশ