ভগ্নাংশ

০.১৫ (১ ও ৫ এর ওপর পৌনঃপুনিক বিন্দু যুক্ত) কে সাধারণ ভগ্নাংশে প্রকাশ করলে কত হবে?

ক) ৩/২০ খ) ৫/৩৩ গ) ১/৬ ঘ) ৫/৯৯

ব্যাখ্যা (Explanation)

পৌনঃপুনিক দশমিক সংখ্যাকে সাধারণ ভগ্নাংশে প্রকাশ করার নিয়ম হলো, দশমিকের পর যতটি অঙ্কের উপর পৌনঃপুনিক বিন্দু থাকে, হরে ততটি ৯ বসে।
প্রদত্ত সংখ্যাটি হলো ০.১৫ (১ ও ৫ এর উপর পৌনঃপুনিক বিন্দু)।
* এখানে দশমিকের পর ২টি অঙ্ক (১ ও ৫)-এর উপর পৌনঃপুনিক বিন্দু আছে, তাই হরে ২টি ৯ (অর্থাৎ ৯৯) বসবে।
* লবে পৌনঃপুনিকযুক্ত অঙ্ক ১৫ বসবে।
সুতরাং, ০.১৫ (পৌনঃপুনিক) = ১৫/৯৯
এখন, লব ও হরকে ৩ দ্বারা ভাগ (লঘিষ্ঠ) করে পাই: (১৫ ÷ ৩) / (৯৯ ÷ ৩) = ৫/৩৩
সঠিক উত্তর: অপশন 2: ৫/৩৩

একটি অপ্রকৃত ভগ্নাংশের লব ও হরের পার্থক্য ১ এবং তাদের সমষ্টি ৭ হলে, ভগ্নাংশটি কত?

ক) ৩/৪ খ) ৫/২ গ) ৪/৩ ঘ) ৭/৬

ব্যাখ্যা (Explanation)

ধরি, অপ্রকৃত ভগ্নাংশটির লব x এবং হর y।
আমরা জানি, অপ্রকৃত ভগ্নাংশের লব সবসময় হরের চেয়ে বড় হয় (x > y)।

প্রথম শর্তানুসারে, লব ও হরের পার্থক্য: x - y = ১ ......... (১)
দ্বিতীয় শর্তানুসারে, লব ও হরের সমষ্টি: x + y = ৭ ......... (২)

সমীকরণ (১) ও (২) যোগ করে পাই:
(x - y) + (x + y) = ১ + ৭
বা, 2x = ৮
বা, x = ৮/২
অতএব, x = ৪ (লব = ৪)

এখন, x-এর মান (২) নং সমীকরণে বসিয়ে পাই:
৪ + y = ৭
বা, y = ৭ - ৪
অতএব, y = ৩ (হর = ৩)

সুতরাং, নির্ণেয় অপ্রকৃত ভগ্নাংশটি = লব/হর = ৪/৩।

অপশন টেস্ট পদ্ধতি:
* অপশন ৩-এ দেওয়া ভগ্নাংশটি ৪/৩, যেখানে লব (৪) > হর (৩), অর্থাৎ এটি একটি অপ্রকৃত ভগ্নাংশ।
* লব ও হরের পার্থক্য = ৪ - ৩ = ১।
* লব ও হরের সমষ্টি = ৪ + ৩ = ৭।

* সঠিক উত্তর: অপশন 3 (৪/৩)

সোর্সঃ খাইরুল বেসিক গণিত

যেসব দশমিক ভগ্নাংশের মান সমান থাকে, সেগুলোকে কী ধরনের দশমিক ভগ্নাংশ বলা হয়?

ক) সদৃশ দশমিক ভগ্নাংশ খ) সমতুল দশমিক ভগ্নাংশ গ) সাধারণ দশমিক ভগ্নাংশ ঘ) আবৃত্ত দশমিক ভগ্নাংশ

ব্যাখ্যা (Explanation)

যেসব দশমিক ভগ্নাংশের মান সমান থাকে, সেগুলোকে সমতুল দশমিক ভগ্নাংশ বলা হয়।

ব্যাখ্যা:
কোনো দশমিক ভগ্নাংশের শেষ অংকের ডানপাশে এক বা একাধিক শূন্য (0) বসাল বা ডানপাশের শূন্য তুলে নিলে ভগ্নাংশের মূল মানের কোনো পরিবর্তন হয় না। অর্থাৎ, যেসব দশমিক ভগ্নাংশের প্রকাশের রূপ ভিন্ন মনে হলেও তাদের প্রকৃত মান একই থাকে, সেগুলোকে সমতুল দশমিক ভগ্নাংশ বলে।

উদাহরণস্বরূপ:
0.5 = 5/10 = 1/2
0.50 = 50/100 = 1/2
0.500 = 500/1000 = 1/2

এখানে 0.5, 0.50 এবং 0.500 প্রতিটি ভগ্নাংশের সরলীকৃত মান 1/2 এর সমান। সুতরাং, এরা পরস্পর সমতুল দশমিক ভগ্নাংশ।

অন্যান্য অপশনগুলোর বিবরণ:
* সদৃশ দশমিক ভগ্নাংশ: যেসব দশমিক ভগ্নাংশের দশমিক বিন্দুর পর অংকের সংখ্যা সমান থাকে (যেমন: 0.45 এবং 0.89)।
* সাধারণ দশমিক ভগ্নাংশ: যেকোনো সাধারণ দশমিক সংখ্যা।
* আবৃত্ত দশমিক ভগ্নাংশ: দশমিক বিন্দুর পর এক বা একাধিক অংক বারবার আসতে থাকলে (যেমন: 0.333...)।

* সঠিক উত্তর: অপশন 2: সমতুল দশমিক ভগ্নাংশ
সোর্সঃ খাইরুল বেসিক গণিত

দশমিক বিন্দুর পর সমান সংখ্যক অংক বিশিষ্ট দশমিক ভগ্নাংশগুলোকে কী বলে?

ক) অসদৃশ দশমিক ভগ্নাংশ খ) সদৃশ দশমিক ভগ্নাংশ গ) সীমাবদ্ধ দশমিক ভগ্নাংশ ঘ) আবৃত্ত দশমিক ভগ্নাংশ

ব্যাখ্যা (Explanation)

দশমিক বিন্দুর পর সমান সংখ্যক অংক বিশিষ্ট দশমিক ভগ্নাংশগুলোকে সদৃশ দশমিক ভগ্নাংশ বলে ।

ব্যাখ্যা:
১. সদৃশ দশমিক ভগ্নাংশ: দুই বা ততধিক দশমিক ভগ্নাংশের দশমিক বিন্দুর পর অংক সংখ্যা সমান থাকলে সেগুলোকে সদৃশ দশমিক ভগ্নাংশ বলা হয় । যেমন: ২.৪৫ এবং ৩.৭৮ (এখানে উভয় ভগ্নাংশে দশমিকের পর ২টি করে অংক রয়েছে)।
২. অসদৃশ দশমিক ভগ্নাংশ: দশমিক বিন্দুর পর অংক সংখ্যা সমান না থাকলে সেগুলোকে অসদৃশ দশমিক ভগ্নাংশ বলে। যেমন: ২.৪ এবং ৩.৭৮৫।
৩. সীমাবদ্ধ দশমিক ভগ্নাংশ: দশমিক বিন্দুর পর অংক সংখ্যা সসীম বা নির্দিষ্ট হলে তাকে সীমাবদ্ধ (বা সসীম) দশমিক ভগ্নাংশ বলে। যেমন: ১.২৫।
৪. আবৃত্ত দশমিক ভগ্নাংশ: দশমিক বিন্দুর পর কোনো অংক বা অংকগুচ্ছ বারবার পুনরাবৃত্তি হতে থাকলে তাকে আবৃত্ত (বা পৌনঃপুনিক) দশমিক ভগ্নাংশ বলে। যেমন: ০.৩৩৩... বা ০.৩।

সুতরাং, দশমিক বিন্দুর পর সমান সংখ্যক অংক বিশিষ্ট দশমিক ভগ্নাংশগুলোকে সদৃশ দশমিক ভগ্নাংশ বলা হয় ।
* সঠিক উত্তর: অপশন ২: সদৃশ দশমিক ভগ্নাংশ
সোর্সঃ খাইরুল বেসিক গণিত

পূর্ণসংখ্যার সাথে একটি প্রকৃত ভগ্নাংশ যুক্ত থাকলে তাকে কোন ধরনের ভগ্নাংশ বলা হয়?

ক) প্রকৃত ভগ্নাংশ খ) মিশ্র ভগ্নাংশ গ) অপ্রকৃত ভগ্নাংশ ঘ) যৌগিক ভগ্নাংশ

ব্যাখ্যা (Explanation)

যে ভগ্নাংশে একটি পূর্ণসংখ্যার সাথে একটি প্রকৃত ভগ্নাংশ যুক্ত থাকে, তাকে মিশ্র ভগ্নাংশ বলা হয়।

ভগ্নাংশের প্রধান প্রকারভেদগুলোর ব্যাখ্যা নিম্নে দেওয়া হলো:
* প্রকৃত ভগ্নাংশ: যে ভগ্নাংশের লব, হরের চেয়ে ছোট হয় তাকে প্রকৃত ভগ্নাংশ বলে (যেমন: ৪/৭)।
* অপ্রকৃত ভগ্নাংশ: যে ভগ্নাংশের লব, হরের চেয়ে বড় হয় তাকে অপ্রকৃত ভগ্নাংশ বলে (যেমন: ১৫/১১)।
* মিশ্র ভগ্নাংশ: যে ভগ্নাংশে পূর্ণসংখ্যার সাথে একটি প্রকৃত ভগ্নাংশ যুক্ত থাকে তাকে মিশ্র ভগ্নাংশ বলে (যেমন: ৬ ৪/৭)। এখানে ৬ হলো একটি পূর্ণসংখ্যা এবং ৪/৭ হলো একটি প্রকৃত ভগ্নাংশ।

সুতরাং, পূর্ণসংখ্যার সাথে প্রকৃত ভগ্নাংশ যুক্ত থাকলে তা মিশ্র ভগ্নাংশ গঠন করে।
* সঠিক উত্তর: অপশন ২: মিশ্র ভগ্নাংশ
সোর্সঃ খাইরুল বেসিক গণিত

কোনো ভগ্নাংশের লব শূন্য (০) হলে উক্ত ভগ্নাংশের মান কত হয়?

ক) ১ খ) ০ গ) অসংজ্ঞায়িত ঘ) অসীম

ব্যাখ্যা (Explanation)

যেকোনো ভগ্নাংশকে লব/হর আকারে প্রকাশ করা হয় ।
যদি কোনো ভগ্নাংশের লব ০ (শূন্য) হয় এবং হর যেকোনো অ-শূন্য সংখ্যা a (যেখানে a ≠ ০) হয়, তবে ভগ্নাংশটির রূপ হয় ০/a ।
গাণিতিক নিয়ম অনুযায়ী, শূন্য (০)-কে যেকোনো অ-শূন্য সংখ্যা দ্বারা ভাগ করলে ভাগফল সর্বদা ০ হয়, অর্থাৎ ০/a = ০ ।
উল্লেখ্য, যদি কোনো ভগ্নাংশের হর ০ হয়, তবে তার মান অসংজ্ঞায়িত হয়; কিন্তু লব ০ হলে মান সর্বদাই ০ হয় ।

* সুতরাং, কোনো ভগ্নাংশের লব শূন্য (০) হলে উক্ত ভগ্নাংশের মান হবে ০ ।
* সঠিক উত্তর: অপশন ২ (০)

সোর্সঃ খাইরুল বেসিক গণিত

০.৩২ (উভয় অংকের উপর পৌনঃপুনিক বিন্দু) কে সাধারণ ভগ্নাংশে প্রকাশ করলে কত হবে?

ক) ৩২/৯০ খ) ৩২/৯৯ গ) ৮/২৫ ঘ) ২৯/৯০

ব্যাখ্যা (Explanation)

দেওয়া আছে: প্রদত্ত পৌনঃপুনিক দশমিক সংখ্যাটি হলো ০.৩২ (এখানে ৩ এবং ২ উভয় অংকের উপর পৌনঃপুনিক বিন্দু রয়েছে) ।
পৌনঃপুনিক দশমিক সংখ্যাকে সাধারণ ভগ্নাংশে রূপান্তর করার পদ্ধতি:
১. হরের মান নির্ণয়: দশমিকের পর যতগুলো অংকের ওপর পৌনঃপুনিক চিহ্ন থাকে, হরে ঠিক ততগুলো ৯ বসাতে হয় । এখানে দশমিকের পর ৩ ও ২ — এই ২টি অংকের ওপরই পৌনঃপুনিক বিন্দু রয়েছে, তাই হরে ৯৯ বসবে ।
২. লবের মান নির্ণয়: পৌনঃপুনিক সহ পূর্ণ সংখ্যাটি থেকে পৌনঃপুনিকহীন অংশ বাদ দিলে লব পাওয়া যায় । এখানে পৌনঃপুনিক বাদে কোনো অংক না থাকায় লবে ৩২ বসবে (৩২ - ০ = ৩২) ।
৩. ভগ্নাংশে প্রকাশ: অতএব, নির্ণেয় সাধারণ ভগ্নাংশ = ৩২/৯৯ ।
* সঠিক উত্তর: অপশন 2: ৩২/৯৯ ।
সোর্সঃ খাইরুল বেসিক গণিত

০.৩ (৩ এর উপর পৌনঃপুনিক বিন্দু) কে সাধারণ ভগ্নাংশে প্রকাশ করলে কোনটি হবে?

ক) ৩/১০ খ) ১/৩ গ) ১/৩০ ঘ) ৩/৯৯

ব্যাখ্যা (Explanation)

পৌনঃপুনিক দশমিক সংখ্যাকে সাধারণ ভগ্নাংশে প্রকাশ করার নিয়ম হলো, দশমিকের পর যতটি অঙ্কের উপর পৌনঃপুনিক বিন্দু থাকে, হরে ততটি ৯ বসে ।
প্রদত্ত সংখ্যাটি হলো ০.৩ (৩ এর উপর পৌনঃপুনিক বিন্দু) ।
* এখানে দশমিকের পর কেবল ১টি অঙ্ক (৩)-এর উপর পৌনঃপুনিক বিন্দু আছে, তাই হরে ১টি ৯ বসবে ।
* লবে পৌনঃপুনিকযুক্ত অঙ্ক ৩ বসবে ।
সুতরাং, ০.৩ (পৌনঃপুনিক) = ৩/৯ ।
এখন, লব ও হরকে ৩ দ্বারা ভাগ (লঘিষ্ঠ) করে পাই: (৩ ÷ ৩) / (৯ ÷ ৩) = ১/৩ ।
* সঠিক উত্তর: অপশন 2: ১/৩

সোর্সঃ খাইরুল বেসিক গণিত

একটি প্রকৃত ভগ্নাংশের লব ও হরের অন্তর ১; লব থেকে ২ বিয়োগ এবং হরের সাথে ২ যোগ করলে ভগ্নাংশটি ১/৬ হয়। ভগ্নাংশটি কত?

ক) ২/৩ খ) ৪/৫ গ) ৩/৪ ঘ) ৫/৬

ব্যাখ্যা (Explanation)

ধরি, প্রকৃত ভগ্নাংশটির লব = x
যেহেতু প্রকৃত ভগ্নাংশে হর লবের চেয়ে বড় হয় এবং লব ও হরের অন্তর ১, তাই হর = x + ১
সুতরাং মূল ভগ্নাংশটি হলো: x/(x + ১)

প্রশ্নমতে, লব থেকে ২ বিয়োগ এবং হরের সাথে ২ যোগ করলে নতুন ভগ্নাংশটি ১/৬ হয়।
অতএব, (x - ২)/(x + ১ + ২) = ১/৬
বা, (x - ২)/(x + ৩) = ১/৬

এখন আড়াআড়ি গুণন বিধি প্রয়োগ করে পাই:
৬ × (x - ২) = ১ × (x + ৩)
বা, ৬x - ১২ = x + ৩

এখন পক্ষান্তর বিধি প্রয়োগ করে পাই:
বা, ৬x - x = ৩ + ১২
বা, ৫x = ১৫
বা, x = ১৫/৫
অতএব, x = ৩

সুতরাং, ভগ্নাংশটির লব = ৩ এবং হর = ৩ + ১ = ৪
অতএব, নির্ণেয় ভগ্নাংশটি হলো: ৩/৪

সংক্ষিপ্ত পদ্ধতি (অপশন টেস্ট):
অপশন ৩ (৩/৪) যাচাই করি:
* লব ৩ থেকে ২ বিয়োগ করলে হয়: ৩ - ২ = ১
* হর ৪ এর সাথে ২ যোগ করলে হয়: ৪ + ২ = ৬
নতুন ভগ্নাংশটি দাঁড়ায় ১/৬, যা প্রদত্ত শর্ত পূরণ করে।

* সঠিক উত্তর: ৩/৪
সোর্সঃ খাইরুল বেসিক গণিত

কত টাকার ৩/৫ অংশ, ৩০ টাকার ১/২ অংশের সমান?

ক) ১৫ টাকা খ) ২৫ টাকা গ) ২০ টাকা ঘ) ১৮ টাকা

ব্যাখ্যা (Explanation)

ধরি, অজানা টাকার পরিমাণ = x টাকা।
প্রথমে, ৩০ টাকার ১/২ অংশ বের করি: ৩০ × ১/২ = ১৫ টাকা।
এখন, সমীকরণ গঠন করে পাই:
x এর ৩/৫ = ১৫
বা, x × (৩/৫) = ১৫
বা, ৩x/৫ = ১৫
বা, পক্ষান্তর বিধি অনুযায়ী: ৩x = ১৫ × ৫
বা, ৩x = ৭৫
বা, x = ৭৫/৩
অতএব, x = ২৫

সুতরাং, ২৫ টাকার ৩/৫ অংশ, ৩০ টাকার ১/২ অংশের সমান।
* সঠিক উত্তর: অপশন 2: ২৫ টাকা
সোর্সঃ খাইরুল বেসিক গণিত

কোনো সম্পত্তির ২/৭ অংশ কাউকে দান করলে, আর কত অংশ অবশিষ্ট থাকে?

ক) ৩/৭ অংশ খ) ৫/৭ অংশ গ) ২/৫ অংশ ঘ) ৭/৫ অংশ

ব্যাখ্যা (Explanation)

ধরি, সম্পূর্ণ সম্পত্তির পরিমাণ = ১ অংশ।
সম্পত্তি থেকে দান করা হলো = ২/৭ অংশ।

অতএব, অবশিষ্ট সম্পত্তি = (১ - ২/৭) অংশ
= (৭ - ২)/৭ অংশ
= ৫/৭ অংশ।

সহজ শর্টকাট নিয়ম:
ভগ্নাংশের ক্ষেত্রে হর দ্বারা মোট অংশ বোঝানো হয়। এখানে হর ৭ হওয়ায় মোট সম্পত্তিকে ৭ ভাগ ধরা হলে, তার ২ ভাগ দান করা হয়েছে।
ফলে অবশিষ্ট থাকে (৭ - ২) = ৫ ভাগ, অর্থাৎ ৫/৭ অংশ।

* সঠিক উত্তর: অপশন 2: ৫/৭ অংশ
সোর্সঃ খাইরুল বেসিক গণিত

০.১৫ কে সাধারণ ভগ্নাংশে প্রকাশ করলে কোনটি পাওয়া যাবে?

ক) ১/১৫ খ) ৩/২০ গ) ৩/৫০ ঘ) ১৫/২০

ব্যাখ্যা (Explanation)

দেওয়া আছে, দশমিক সংখ্যাটি হলো: ০.১৫
একটি দশমিক সংখ্যা-কে সাধারণ ভগ্নাংশ-এ প্রকাশ করার নিয়ম হলো দশমিক তুলে দিয়ে লব হিসেবে সংখ্যাটি লেখা এবং হর হিসেবে দশমিক বিন্দুর জন্য ১ ও দশমিকের পর যতটি অংক থাকে ততটি ০ বসানো।
এখানে দশমিকের পর ২টি অংক (১ ও ৫) থাকায় হর হবে ১০০।
অতএব, ০.১৫ = ১৫/১০০
এখন লব (১৫) এবং হর (১০০)-কে ৫ দ্বারা ভাগ করে লঘিষ্ঠ রূপ-এ প্রকাশ করলে পাই:
(১৫ ÷ ৫) / (১০০ ÷ ৫) = ৩/২০
অতএব, নির্ণেয় সাধারণ ভগ্নাংশটি হলো ৩/২০।
* সঠিক উত্তর: অপশন 2 (৩/২০)
সোর্সঃ খাইরুল বেসিক গণিত

যে ভগ্নাংশের লব হরের চেয়ে ছোট, তাকে কোন ধরনের ভগ্নাংশ বলা হয়?

ক) অপ্রকৃত ভগ্নাংশ খ) প্রকৃত ভগ্নাংশ গ) মিশ্র ভগ্নাংশ ঘ) দশমিক ভগ্নাংশ

ব্যাখ্যা (Explanation)

সাধারণ ভগ্নাংশে দুটি অংশ থাকে: ওপরের অংশকে লব এবং নিচের অংশকে হর বলা হয়।
যে ভগ্নাংশের লব হরের চেয়ে ছোট হয় (লব < হর), তাকে প্রকৃত ভগ্নাংশ বলা হয়। যেমন: ২/৩, ৩/৪, ৪/৫ ইত্যাদি।

অন্যান্য অপশনগুলোর পরিচয়:
* অপ্রকৃত ভগ্নাংশ: যে ভগ্নাংশের লব হরের চেয়ে বড় বা সমান হয় (লব ≥ হর)। যেমন: ৩/২, ৫/৪ ইত্যাদি।
* মিশ্র ভগ্নাংশ: পূর্ণ সংখ্যার সাথে প্রকৃত ভগ্নাংশ যুক্ত থাকে। যেমন: ১ ½।
* দশমিক ভগ্নাংশ: যে ভগ্নাংশকে দশমিক বিন্দু ব্যবহার করে প্রকাশ করা হয়। যেমন: ০.৫, ০.২৫ ইত্যাদি।

অতএব, যে ভগ্নাংশের লব হরের চেয়ে ছোট, তাকে প্রকৃত ভগ্নাংশ বলে।
* সঠিক উত্তর: প্রকৃত ভগ্নাংশ

সোর্সঃ খাইরুল বেসিক গণিত

একাধিক প্রকৃত ভগ্নাংশের লব ও হরের পার্থক্য সমান হলে, কোনটি বৃহত্তম ভগ্নাংশ হবে?

ক) যে ভগ্নাংশের লব সবচেয়ে ছোট খ) যে ভগ্নাংশের লব সবচেয়ে বড় গ) যে ভগ্নাংশের হর সবচেয়ে বড় ঘ) সবগুলো ভগ্নাংশের মান সমান হবে

ব্যাখ্যা (Explanation)

একাধিক প্রকৃত ভগ্নাংশ (যে ভগ্নাংশের লব, হর অপেক্ষা ছোট) এর লব ও হরের পার্থক্য সমান হলে, যে ভগ্নাংশের লব সবচেয়ে বড় সেই ভগ্নাংশটি বৃহত্তম হয় ।
বিষয়টি সহজ একটি উদাহরণের সাহায্যে বুঝে নেওয়া যাক।
ধরি, কয়েকটি প্রকৃত ভগ্নাংশ হলো: 1/2, 2/3, 3/4 এবং 4/5 ।
এখানে প্রতিটি ভগ্নাংশের লব ও হরের পার্থক্য নির্ণয় করি:
* 1/2 এর ক্ষেত্রে পার্থক্য: 2 - 1 = 1
* 2/3 এর ক্ষেত্রে পার্থক্য: 3 - 2 = 1
* 3/4 এর ক্ষেত্রে পার্থক্য: 4 - 3 = 1
* 4/5 এর ক্ষেত্রে পার্থক্য: 5 - 4 = 1
দেখা যাচ্ছে, প্রতিটি ভগ্নাংশের লব ও হরের পার্থক্য সমান (1)।
এখন ভগ্নাংশগুলোর দশমিক মান বের করে তুলনা করি:
* 1/2 = 0.5
* 2/3 = 0.67
* 3/4 = 0.75
* 4/5 = 0.8
প্রাপ্ত মানগুলো থেকে দেখা যাচ্ছে, 0.8 হলো সবচেয়ে বড় মান এবং এটি এসেছে 4/5 ভগ্নাংশটি থেকে।
4/5 ভগ্নাংশের লব (4) অন্যান্য ভগ্নাংশের লব (1, 2, 3) অপেক্ষা বড়।
অতএব, লব ও হরের পার্থক্য সমান থাকলে যে ভগ্নাংশের লব সবচেয়ে বড়, তার মানও সবচেয়ে বড় হয় ।
* সঠিক উত্তর: অপশন 2: যে ভগ্নাংশের লব সবচেয়ে বড়
সোর্সঃ খাইরুল বেসিক গণিত

দুটি ভগ্নাংশ তুলনা করার সময় প্রথম ভগ্নাংশের লব ও দ্বিতীয় ভগ্নাংশের হরের গুণফল যদি দ্বিতীয় ভগ্নাংশের লব ও প্রথম ভগ্নাংশের হরের গুণফল অপেক্ষা বড় হয়, তবে কোনটি বড়?

ক) দ্বিতীয় ভগ্নাংশটি বড় খ) ভগ্নাংশ দুটি পরস্পর সমান গ) প্রথম ভগ্নাংশটি বড় ঘ) ভগ্নাংশ দুটির পার্থক্য অপরিবর্তিত

ব্যাখ্যা (Explanation)

ধরি, দুটি ভগ্নাংশ হলো a/b এবং c/d।
ভগ্নাংশ দুটির তুলনা করার জন্য আড়াআড়ি গুণন নিয়ম (Cross-multiplication) প্রয়োগ করা হয়:
* প্রথম ভগ্নাংশের লব (a) ও দ্বিতীয় ভগ্নাংশের হর (d)-এর গুণফল = a × d ।
* দ্বিতীয় ভগ্নাংশের লব (c) ও প্রথম ভগ্নাংশের হর (b)-এর গুণফল = c × b ।

আড়াআড়ি গুণনের মূল নিয়ম হলো, গুণ করার সময় যে ভগ্নাংশের লব নিয়ে গুণ করা হয়, প্রাপ্ত গুণফলটি সেই ভগ্নাংশের প্রতিনিধি মান নির্দেশ করে ।
১. a × d গুণফলে প্রথম ভগ্নাংশের লব (a) রয়েছে, তাই a × d হলো প্রথম ভগ্নাংশ (a/b)-এর মান ।
২. c × b গুণফলে দ্বিতীয় ভগ্নাংশের লব (c) রয়েছে, তাই c × b হলো দ্বিতীয় ভগ্নাংশ (c/d)-এর মান ।

প্রশ্নমতে, প্রথম ভগ্নাংশের লব ও দ্বিতীয় ভগ্নাংশের হরের গুণফল (a × d) > দ্বিতীয় ভগ্নাংশের লব ও প্রথম ভগ্নাংশের হরের গুণফল (c × b)।
যেহেতু প্রথম ভগ্নাংশের মান প্রকাশকারী গুণফলটি বড়, তাই প্রথম ভগ্নাংশটি দ্বিতীয় ভগ্নাংশ অপেক্ষা বড় হবে ।

একটি সহজ উদাহরণের মাধ্যমে বিষয়টি বোঝা যাক:
প্রথম ভগ্নাংশ 3/4 এবং দ্বিতীয় ভগ্নাংশ 2/5 বিবেচনা করি।
* প্রথমটির লব × দ্বিতীয়টির হর = 3 × 5 = 15
* দ্বিতীয়টির লব × প্রথমটির হর = 2 × 4 = 8
যেহেতু 15 > 8, সুতরাং 3/4 > 2/5। অর্থাৎ প্রথম ভগ্নাংশটি বড়।

* সঠিক উত্তর: অপশন 3: প্রথম ভগ্নাংশটি বড়

সোর্সঃ খাইরুল বেসিক গণিত

একাধিক ভগ্নাংশের লব সমান হলে, নিচের কোনটি সত্য?

ক) যে ভগ্নাংশের হর যত বড়, সেই ভগ্নাংশটি তত বড় খ) যে ভগ্নাংশের হর যত বড়, সেই ভগ্নাংশটি তত ছোট গ) যে ভগ্নাংশের হর যত ছোট, সেই ভগ্নাংশটি তত ছোট ঘ) ভগ্নাংশগুলোর হরের মানের ওপর ভগ্নাংশের মান নির্ভর করে না

ব্যাখ্যা (Explanation)

একাধিক ভগ্নাংশের লব সমান হলে যে ভগ্নাংশের হর যত বড়, সেই ভগ্নাংশটি মানগতভাবে তত ছোট হয় ।
বাস্তবে কোনো নির্দিষ্ট পরিমাণ বস্তুকে যত বেশি ভাগে ভাগ করা হবে, তার প্রতিটি ভাগের পরিমাণ তত ছোট হয়ে যাবে ।
উদাহরণস্বরূপ:
ধরি দুটি ভগ্নাংশ ১/২ এবং ১/৪, যাদের উভয়ের লব সমান (১) ।
এখানে ১/২ ভগ্নাংশটির মান হলো ০.৫।
অন্যদিকে ১/৪ ভগ্নাংশটির মান হলো ০.২৫।
যেহেতু ০.৫ > ০.২৫, তাই ১/২ > ১/৪ ।
দেখা যাচ্ছে, হর ২ থেকে বড় হয়ে ৪ হওয়ায় ভগ্নাংশের মান ১/২ থেকে কমে ছোট হয়ে ১/৪ হয়েছে ।
অতএব, একাধিক ভগ্নাংশের লব সমান হলে যে ভগ্নাংশের হর যত বড়, সেই ভগ্নাংশটি তত ছোট ।
সঠিক উত্তর: অপশন ২ (যে ভগ্নাংশের হর যত বড়, সেই ভগ্নাংশটি তত ছোট)
সোর্সঃ খাইরুল বেসিক গণিত

সমহর বিশিষ্ট একাধিক ভগ্নাংশের মধ্যে কোনটি বৃহত্তম ভগ্নাংশ হবে?

ক) যে ভগ্নাংশটির লব সবচেয়ে ছোট খ) যে ভগ্নাংশটির লব ও হর সমান গ) যে ভগ্নাংশটির লব সবচেয়ে বড় ঘ) যে ভগ্নাংশটির লব ধনাত্মক কিন্তু বিজোড়

ব্যাখ্যা (Explanation)

যে ভগ্নাংশগুলোর হর একই বা সমান, সেগুলোকে সমহর বিশিষ্ট ভগ্নাংশ বলা হয়।
সমহর বিশিষ্ট একাধিক ভগ্নাংশের ক্ষেত্রে হর নির্দিষ্ট থাকায় যে ভগ্নাংশটির লব যত বড়, তার মানও তত বড় হয়।
তাই সমহর বিশিষ্ট ভগ্নাংশগুলোর মধ্যে যে ভগ্নাংশটির লব সবচেয়ে বড়, সেটিই বৃহত্তম ভগ্নাংশ হবে।

উদাহরণস্বরূপ: ৩/৮ এবং ৫/৮ দুটি সমহর বিশিষ্ট ভগ্নাংশ। এখানে উভয় ভগ্নাংশের হর ৮; কিন্তু দ্বিতীয়টির লব (৫), প্রথমটির লব (৩) অপেক্ষা বড় (৫ > ৩)। তাই ৫/৮ > ৩/৮।
* সঠিক উত্তর: অপশন ৩: যে ভগ্নাংশটির লব সবচেয়ে বড়
সোর্সঃ খাইরুল বেসিক গণিত

দুটি ভগ্নাংশের ভাগের ক্ষেত্রে ভাগ চিহ্নকে গুণ চিহ্নে রূপান্তর করলে দ্বিতীয় ভগ্নাংশটির কী পরিবর্তন ঘটে?

ক) দ্বিতীয় ভগ্নাংশটি অপরিবর্তিত থাকে (লব ও হর একই স্থানে থাকে) খ) দ্বিতীয় ভগ্নাংশটি ঋণাত্মক হয়ে যায় (চিহ্নের পরিবর্তন ঘটে) গ) দ্বিতীয় ভগ্নাংশটি উল্টে যায় (লব ও হরের স্থান পরিবর্তন হয়) ঘ) দ্বিতীয় ভগ্নাংশটির মান দ্বিগুণ হয় (লবের মান দ্বিগুণ বৃদ্ধি পায়)

ব্যাখ্যা (Explanation)

দুটি ভগ্নাংশের ভাগের ক্ষেত্রে প্রথম ভগ্নাংশটিকে অপরিবর্তিত রেখে ভাগ (÷) চিহ্নকে গুণ (×) চিহ্নে পরিবর্তন করলে দ্বিতীয় ভগ্নাংশটির লব ও হর পরস্পর স্থান পরিবর্তন করে বা উল্টে যায় ।
গাণিতিক নিয়ম অনুযায়ী, কোনো ভগ্নাংশকে অন্য একটি ভগ্নাংশ দিয়ে ভাগ করার অর্থ হলো প্রথম ভগ্নাংশটিকে দ্বিতীয় ভগ্নাংশটির গুণাত্মক বিপরীত (Reciprocal) ভগ্নাংশ দ্বারা গুণ করা ।

উদাহরণস্বরূপ:
ধরি, দুটি ভগ্নাংশ হলো ৪/৭ এবং ৮/২১।
এখন, ৪/৭ ÷ ৮/২১ = ৪/৭ × ২১/৮ ।
এখানে ভাগ (÷) চিহ্নটি গুণ (×) চিহ্নে পরিবর্তিত হওয়ায় দ্বিতীয় ভগ্নাংশ ৮/২১ উল্টে গিয়ে ২১/৮ হয়েছে, অর্থাৎ দ্বিতীয় ভগ্নাংশটির লব ৮ নিচে হরে এবং হর ২১ উপরে লবে চলে এসেছে ।

* সঠিক উত্তর: দ্বিতীয় ভগ্নাংশটি উল্টে যায় (লব ও হরের স্থান পরিবর্তন হয়) ।
সোর্সঃ খাইরুল বেসিক গণিত

০.০০০০০১ x ২/৫ = ?

ক) ০.০০০০০২ খ) ০.০০০০০৪ গ) ০.০০০০০০৪ ঘ) ০.০০০০০০৫

Job Solutions

ব্যাখ্যা (Explanation)

0.000001 = 1/1,000,000

(1/1,000,000) × (2/5)
= 2/5,000,000
= 0.0000004

নিচের কোন ভগ্নাংশটি বৃহত্তম?

ক) ২/৫ খ) ১/২ গ) ৩/৫ ঘ) ৪/৯

Job Solutions

ব্যাখ্যা (Explanation)

ভগ্নাংশগুলোকে তুলনা করার সবচেয়ে সহজ উপায় হলো সেগুলোকে দশমিকে রূপান্তর করা।
A) ২/৫ = ০.৪
B) ১/২ = ০.৫
C) ৩/৫ = ০.৬
D) ৪/৯ = ০.৪৪...

দশমিক মানগুলো তুলনা করলে আমরা দেখতে পাই যে ০.৬ সবচেয়ে বড়। সুতরাং, ৩/৫ ভগ্নাংশটি বৃহত্তম।

Evan's music album sold the number of 5/6 copies as Afnan's album. If Afnan's album sold at least 1,500 copies, how many copies of Evan's album could be sold?

ক) 1250 খ) 1500 গ) 1350 ঘ) 1000

ব্যাখ্যা (Explanation)

ধরা যাক,
আফনানের অ্যালবামের বিক্রি হওয়া কপির সংখ্যা = A
ইভানের অ্যালবামের বিক্রি হওয়া কপির সংখ্যা = E
প্রশ্ন অনুযায়ী,
E = 5/6 × A
আরও বলা হয়েছে যে আফনানের অ্যালবাম কমপক্ষে ১৫০০ কপি বিক্রি হয়েছে। এর মানে A≥১৫০০।
এখন, ইভানের অ্যালবাম কত কপি বিক্রি হতে পারে তা নির্ণয় করতে, আমরা A-এর সর্বনিম্ন মান (১৫০০) ব্যবহার করব।
সুতরাং,
E = 5/6 × 1500
বা, E = 5 × 250
বা, E = 1250

যেহেতু আফনানের অ্যালবাম কমপক্ষে ১৫০০ কপি বিক্রি হয়েছে, ইভানের অ্যালবাম কমপক্ষে ১২৫০ কপি বিক্রি হয়েছে। প্রদত্ত বিকল্পগুলির মধ্যে ১২৫০ হলো সর্বনিম্ন সম্ভাব্য সংখ্যা।
সুতরাং, ইভানের অ্যালবাম ১২৫০ কপি বিক্রি হতে পারে।

০.৪ × ০.৬ × ০.২ ÷ (০.২ × ০.৩ × ০.০১) এর মান কত?

ক) ২০ খ) ৫০ গ) ১০ ঘ) ৩০

রমজান সাহেব তার মাসিক আয় থেকে প্রতি মাসে ২/৫ অংশ বাড়ি ভাড়ায়, ৩/৮ অংশ খাওয়া খরচে ও ১/২০ অংশ অন্যান্য কাজে ব্যয় করেন। মাসের শেষে তিনি ৭০০ টাকা ব্যাংকে জমা দিতে পারেন। তার মাসিক আয় কত ?

ক) ৩০০০ টাকা খ) ৩৫০০ টাকা গ) ৪০০০ টাকা ঘ) ৪৫০০ টাকা

If three-fifths of one-sixth of a number is 14, then five ninths of that number is?

ক) 36 খ) 28 গ) 32 ঘ) 78

ব্যাখ্যা (Explanation)

প্রথমে, আমাদের মূল সংখ্যাটি বের করতে হবে।

ধরি, মূল সংখ্যাটি হল x।

দেওয়া আছে: সংখ্যাটির এক-ষষ্ঠাংশের তিন-পঞ্চমাংশ = 14

গাণিতিকভাবে:
(3/5) × (1/6) × x = 14

সরলীকরণ করি:
(3/30) × x = 14
(1/10) × x = 14
x = 14 × 10 = 140

এখন, আমাদের বের করতে হবে: সংখ্যাটির পাঁচ-নবমাংশ

(5/9) × x = (5/9) × 140 = (5 × 140)/9 = 700/9 = 77.77...

সুতরাং, সংখ্যাটির পাঁচ-নবমাংশ হল 77.77.

0.5 + 0.05 + 0.005 × 0.5 × 0.05 × 0.005 = কত?

ক) 0.550000325 খ) 0.550000625 গ) 0.550000525 ঘ) 0.550000425

প্রাইমারি

ব্যাখ্যা (Explanation)

0.5 + 0.05 + 0.005 × 0.5 × 0.05 × 0.005
= 0.5 + 0.05 + 0.000000625
= 0.550000625

নিচের ভগ্নাংশগুলোর মধ্যে কোনটি ক্ষুদ্রতম?

ক) ৩/৫ খ) ৩/৭ গ) ৪/৯ ঘ) ৫/১১

Job Solutions প্রাইমারি

ব্যাখ্যা (Explanation)

৩ ÷ ৫ = ০.৬০
৩ ÷ ৭ ≈ ০.৪২৮৬
৪ ÷ ৯ ≈ ০.৪৪৪৪
৫ ÷ ১১ ≈ ০.৪৫৪৫

নিচের ভগ্নাংশগুলোর মধ্যে কোনটি ক্ষুদ্রতম?

ক) 2/3 খ) 3/4 গ) 4/5 ঘ) 5/7

প্রাইমারি

ব্যাখ্যা (Explanation)

দেওয়া আছে,
ভগ্নাংশগুলো হলো: ২/৩, ৩/৪, ৪/৫ এবং ৫/৭

ভগ্নাংশগুলোকে দশমিক সংখ্যারূপে প্রকাশ করে পাই,
২/৩ = .৬৬৬...
৩/৪ = .৭৫০
৪/৫ = .৮০০
৫/৭ = .৭১৪...

প্রাপ্ত দশমিক মানগুলো তুলনা করে পাই,
.৬৬৬... < .৭১৪... < .৭৫০ < .৮০০
অতএব, ২/৩ < ৫/৭ < ৩/৪ < ৪/৫

সুতরাং, ক্ষুদ্রতম ভগ্নাংশটি হলো ২/৩।

বিকল্প পদ্ধতি (শর্টকাট টেকনিক):
দ্রুত বের করার জন্য আমরা আড়গুণ বা বজ্রগুণ পদ্ধতি ব্যবহার করতে পারি।
১ম ধাপ: প্রথম দুটি ভগ্নাংশ ২/৩ ও ৩/৪ এর মধ্যে তুলনা করি,
২ × ৪ = ৮ এবং ৩ × ৩ = ৯
যেহেতু ৮ < ৯, তাই ২/৩ < ৩/৪। (ছোটটি রাখলাম)
২য় ধাপ: এবার ২/৩ এবং পরের ভগ্নাংশ ৪/৫ এর মধ্যে তুলনা করি,
২ × ৫ = ১০ এবং ৩ × ৪ = ১২
যেহেতু ১০ < ১২, তাই ২/৩ < ৪/৫। (ছোটটি রাখলাম)
৩য় ধাপ: সবশেষে ২/৩ এবং ৫/৭ এর মধ্যে তুলনা করি,
২ × ৭ = ১৪ এবং ৩ × ৫ = ১৫
যেহেতু ১৪ < ১৫, তাই ২/৩ < ৫/৭।

যেহেতু সবক্ষেত্রেই ২/৩ ছোট, তাই নির্ণেয় ক্ষুদ্রতম ইল ২/৩।

(0.01)² – এর মান কোন ভগ্নাংশটির সমান?

ক) 1/10 খ) 1/100 গ) 1/1000 ঘ) 1/10000

Job Solutions প্রাইমারি

ব্যাখ্যা (Explanation)

(0.01)² = .0001 = 1/10000

5/12 , 6/13, 11/24 এবং 3/8 এর মধ্যে বড় ভগ্নাংশটি-

ক) 5/12 খ) 6/13 গ) 11/24 ঘ) 3/8

Job Solutions

ব্যাখ্যা (Explanation)

দশমিক রূপে রূপান্তর করে তুলনা:

5 ÷ 12 = 0.4167
6 ÷ 13 ≈ 0.4615
11 ÷ 24 ≈ 0.4583
3 ÷ 8 = 0.375

তুলনা:
0.375 < 0.4167 < 0.4583 < 0.4615

সবচেয়ে বড় ভগ্নাংশ: 6/13

.১×.০১×.০০১ = ?

ক) ১.০০০১ খ) .১০০০১ গ) .০০০০১ ঘ) ০.০০০০০১

Job Solutions বিসিএস

ব্যাখ্যা (Explanation)

.১×.০১×.০০১

= ১/১০ × ১/১০০ × ১/১০০০

= ১/১০০০০০০

= ০.০০০০০১

প্রথম ৩০টি প্রশ্নের ব্যাখ্যা ওয়েবসাইটে; সবগুলোর সম্পূর্ণ ব্যাখ্যা পেতে অ্যাপ ইন্সটল করুন।

নিজের প্রস্তুতি যাচাই করুন — অ্যাপে লাইভ পরীক্ষা দিয়ে মেরিট লিস্টে নিজের অবস্থান দেখুন।

এই টপিকের সব প্রশ্ন ব্যাখ্যাসহ, ভুল-সঠিক-বুকমার্ক আলাদা করে রিভিশন — অ্যাপে।