উৎপাদকে বিশ্লেষণ

১৪৫ টি প্রশ্ন

একই বিষয়ের সব টপিক

ক) (a + 1) (a - 5) (a - 4) খ) (a - 1) (a + 5) (a + 4) গ) (a + 1) (a - 5) (a + 4) ঘ) (a + 1) (a + 5) (a - 4)

ব্যাখ্যা (Explanation)

প্রদত্ত রাশি: a³ - 21a - 20

ভ্যানিশিং মেথড (Vanishing method) বা উৎপাদক উপপাদ্য অনুযায়ী, a = -1 হলে রাশিটির মান শূন্য হয়। [(-1)³ - 21(-1) - 20 = -1 + 21 - 20 = 0]। তাই (a + 1) প্রদত্ত রাশিটির একটি উৎপাদক।

এখন রাশিটিকে বিশ্লেষণ করে পাই:
a³ - 21a - 20
= a³ + a² - a² - a - 20a - 20
= a²(a + 1) - a(a + 1) - 20(a + 1)
= (a + 1)(a² - a - 20)

এখন (a² - a - 20) অংশটিকে মিডল টার্ম (Middle term) ব্রেক করতে হবে:
= (a + 1)(a² - 5a + 4a - 20)
= (a + 1){a(a - 5) + 4(a - 5)}
= (a + 1) (a - 5) (a + 4)

-p² + 2p + 35 কে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করুন।

ক) - (p - 7) (p + 5) খ) (p - 7) (p + 5) গ) - (p + 7) (p - 5) ঘ) (p + 7) (p - 5)

ব্যাখ্যা (Explanation)

প্রদত্ত রাশি: -p² + 2p + 35

প্রথমে রাশিটি থেকে মাইনাস (-) চিহ্ন কমন নিয়ে পাই:
= -(p² - 2p - 35)

এখন বন্ধনীর ভেতরের অংশটিকে মিডল টার্ম (Middle term) করতে হবে। ৩৫ কে ভেঙে এমন দুটি সংখ্যা বের করতে হবে যাদের গুণফল ৩৫ এবং বিয়োগফল ২ হয় (যেমন: ৭ ও ৫)।
= -(p² - 7p + 5p - 35)
= -{p(p - 7) + 5(p - 7)}
= - (p - 7) (p + 5)

a³ - 9b³ + (a + b)³ এর একটি উৎপাদক নিচের কোনটি?

ক) a + b খ) a + 2b গ) 2a + b ঘ) a - b

ব্যাখ্যা (Explanation)

প্রদত্ত রাশি: a³ - 9b³ + (a + b)³

এখানে, -9b³ কে ভেঙে আমরা -b³ এবং -8b³ লিখতে পারি, যাতে সূত্র প্রয়োগ করা সহজ হয়।
= a³ - b³ + (a + b)³ - 8b³

এখন উৎপাদকের সূত্র x³ - y³ = (x - y)(x² + xy + y²) ব্যবহার করে প্রথম দুটি পদ এবং শেষের দুটি পদকে আলাদাভাবে সাজাই:
= (a - b)(a² + ab + b²) + (a + b)³ - (2b)³

এবার দ্বিতীয় অংশে একই সূত্র প্রয়োগ করে পাই:
= (a - b)(a² + ab + b²) + {(a + b) - 2b} {(a + b)² + (a + b)(2b) + (2b)²}
= (a - b)(a² + ab + b²) + (a - b) (a² + 2ab + b² + 2ab + 2b² + 4b²)
= (a - b)(a² + ab + b²) + (a - b)(a² + 4ab + 7b²)

এখন উভয় পদ থেকে সাধারণ উৎপাদক (a - b) কমন নিয়ে পাই:
= (a - b) (a² + ab + b² + a² + 4ab + 7b²)
= (a - b) (2a² + 5ab + 8b²)

সুতরাং, উৎপাদকগুলোর মধ্যে একটি হলো a - b।

a⁴ + 64b⁴ এর উৎপাদক কোনটি?

ক) (a² - 4ab + 8b²) (a² + 4ab - 8b²) খ) (a² + 4ab + 8b²) (a² - 4ab + 8b²) গ) (a² + 4ab + 8b²) (a² + 4ab - 8b²) ঘ) (a² - 4ab - 8b²) (a² + 4ab + 8b²)

ব্যাখ্যা (Explanation)

প্রদত্ত রাশি: a⁴ + 64b⁴

প্রথমে রাশিটিকে বর্গের আকারে সাজিয়ে লিখি যাতে সূত্র প্রয়োগ করা যায়:
= (a²)² + (8b²)²

এখন অনুসিদ্ধান্ত x² + y² = (x + y)² - 2xy প্রয়োগ করে পাই:
= (a² + 8b²)² - 2(a²)(8b²)
= (a² + 8b²)² - 16a²b²

এবার 16a²b² কে (4ab)² আকারে সাজাই:
= (a² + 8b²)² - (4ab)²

এখন এটি x² - y² = (x + y)(x - y) সূত্রের আকার ধারণ করেছে। সূত্রটি প্রয়োগ করে পাই:
= (a² + 8b² + 4ab) (a² + 8b² - 4ab)

সবশেষে, পদগুলোকে ঘাতের ক্রমানুসারে সাজিয়ে লিখলে পাই:
= (a² + 4ab + 8b²) (a² - 4ab + 8b²)

27x⁴ + 8xy³ এর উৎপাদক বিশ্লেষণ কোনটি?

ক) x(3x + 2y)(9x^2 + 6xy + 4y^2) খ) x(3x − 2y)(9x^2 − 6xy + 4y^2) গ) 3x(9x^3 + 8y^3) ঘ) x(3x + 2y)(9x^2 − 6xy + 4y^2)

ব্যাখ্যা (Explanation)

27x⁴ + 8xy³
= x(27x³ + 8y³ )
= x{(3x)³ + (2y)³}
= x(3x + 2y){(3x)² - 3x.2y + (2y)²}
= x(3x + 2y)(9x² - 6xy + 4y² )

9x² + 18x - 40 কে উৎপাদকে বিশ্লেষণ কোনটি?

ক) (3x + 10)(3x - 4) খ) (9x + 40)(x - 1) গ) (3x - 10)(3x + 4) ঘ) (x + 10)(9x - 4)

ব্যাখ্যা (Explanation)

9x² + 18x - 40
= 9x² + 30x - 12x - 40
= 3x(3x + 10) - 4(3x + 10)
= (3x + 10)(3x - 4)

(a² - b²) (x² - y²) + 4abxy এর উৎপাদক কত?

ক) (ax + by + ay + bx) (ax + by - ay - bx) খ) (ax + by + ay - bx) (ax + by - ay + bx) গ) (ax - by + ay + bx) (ax - by - ay + bx) ঘ) (ax - by + ay + bx) (ax + by - ay + bx)

ব্যাখ্যা (Explanation)

(a² - b²) (x² - y²) + 4abxy
= a²x² − a²y² − b²x² + b²y² + 4abxy
= a²x² + b²y² + 2abxy − a²y² − b²x² + 2abxy
= a²x² + b²y² + 2abxy − (a²y² + b²x² - 2abxy)
= (ax + by)² - (ay − bx)²
= [(ax + by) + (ay − bx)] [(ax + by) − (ay − bx)]
= (ax + by + ay − bx) (ax + by − ay + bx)

f(x) = x³ + kx² - 6x - 9, k এর মান কত হলে f(3) = 0 হবে?

ক) 1 খ) -1 গ) 2 ঘ) 0

Job Solutions

ব্যাখ্যা (Explanation)

f(x) = x³+ kx²- 6x - 9

f(3) = 3³+k.3²- (6.3) - 9

= 27 + 9k - 18 - 9

= 9k

এখন, f(3) = 0

বা, 9k = 0

∴ k = 0

18x⁴y - 8xy⁴ এর উৎপাদক নির্ণয় করো

ক) (9x³ - 4y³) খ) 4xy(3x³ - 2y³) গ) 2xy(9x³ - 4y³) ঘ) xy(9x³ - 4y³)

ব্যাখ্যা (Explanation)

18x⁴y - 8xy⁴
= 2xy(9x³) - 2xy(4y³)
= 2xy(9x³ - 4y³)

প্রথম ৩০টি প্রশ্নের ব্যাখ্যা ওয়েবসাইটে; সবগুলোর সম্পূর্ণ ব্যাখ্যা পেতে অ্যাপ ইন্সটল করুন।

অ্যাপ ইন্সটল করুন

x²−(a+b)x+ab এর উৎপাদক নির্ণয় করুন।

ক) (x+a)(x−b) খ) (x+a)(x+b) গ) (x−a)(x+b) ঘ) (x−a)(x−b)

Job Solutions

ব্যাখ্যা (Explanation)

= x²−(a+b)x+ab
= x²−ax−bx+ab
= x(x−a)−b(x−a)
= (x−a)(x−b)

x⁴−5x²+4 এর উৎপাদক কোনটি?

ক) (x+4) খ) (x-3) গ) (x+1) ঘ) (x+3)

ব্যাখ্যা (Explanation)

x⁴−5x²+4
=(x²)²−5(x²)+4
ধরি, x²=a
তাহলে, a²−5a+4
=a²−4a−a+4
=a(a−4)−1(a−4)
=(a−4)(a−1)

a এর মান x² বসিয়ে পাই, =(x²−4)(x²−1)
=(x²−2²)(x²−1²)
=(x−2)(x+2)(x−1)(x+1)

(2x+3) নিচের কোনটির উৎপাদক?

ক) x² − 2x − 5 খ) 6x² − x − 4 গ) 5x² − 3x − 6 ঘ) 2x² − x − 6

ব্যাখ্যা (Explanation)

2x² − x −6
= 2x² − 4x + 3x − 6
= 2x(x−2)+ 3(x−2)
= (2x+3)(x−2)

ax² + (ab - 1)x - b এর উৎপাদকে বিশ্লেষণ কী?

ক) (x + b)(ax + 1) খ) (x + b)(ax - 1) গ) (x - b)(ax - 1) ঘ) (x - b)(ax + 1)

ব্যাখ্যা (Explanation)

ax² + (ab - 1)x - b
= ax² + abx − x − b
= ax(x + b) − 1(x + b)
= (x + b)(ax - 1)

m³ + 8m²n + 19mn² + 12n³ এর উৎপাদক নিচের কোনটি?

ক) (m + 5n) খ) (3m + n) গ) (m + 2n) ঘ) (m + 3n)

ব্যাখ্যা (Explanation)

m³ + 8m²n + 19mn² + 12n³

= m³ + m²n + 7m²n + 7mn² + 12mn² + 12n³

= m²(m + n) + 7mn(m + n) + 12n²(m + n)

= (m + n)(m² + 7mn + 12n²)

= (m + n)(m² + 3mn + 4mn + 12n²)

= (m + n){m(m + 3n) + 4n(m + 3n)}

= (m + n)(m + 3n)(m + 4n)

9x²- 9x - 4 এর উৎপাদক কোনটি?

ক) (3x + 1) (3x + 4) খ) (3 + x) (3x - 4) গ) (3x + 1 ) (3x - 4) ঘ) (3x + 1) (4x + 3)

Job Solutions

ব্যাখ্যা (Explanation)

9x²- 9x - 4
= 9x² - 12x + 3x - 4
= 3x(3x - 4) + 1(3x - 4)
= (3x - 4) (3x + 1)

2b²c² + 2c²a² + 2a²b² - a⁴ - b⁴ - c⁴ এর একটি উৎপাদক-

ক) (- a - b + c) খ) (a - b - c) গ) (b - c - a) ঘ) (a + b - c)

ব্যাখ্যা (Explanation)

2b²c² + 2c²a² + 2a²b² - a⁴ - b⁴ - c⁴
= 4b²c² - (a⁴ + b⁴ + c⁴ + 2b²c² - 2c²a² - 2a²b²)
= (2bc)² - (a² - b² - c²)²
= (2bc + a² - b² - c²) (2bc - a² + b² + c²)
= (a² - b² - c² + 2bc) (- a² + b² + c² + 2bc)
= [a² - (b - c)²] [(b + c)² - a²]
= (a + b - c) (a - b + c) (b + c + a) (b + c - a)
= (a + b - c) (a - b + c) (a + b + c) (- a + b + c)

14(x + z)² - 29(x + z)(x + 1) - 15(x + 1)² এর উৎপাদকে বিশ্লেষণ কোনটি?

ক) (- 10x + 7z + 3) (3x + 2z - 5) খ) (10x + 7z + 3) ( - 3x + 2z - 5) গ) (10x - 7z + 3) ( - 3x + 2z - 5) ঘ) (10x + 7z + 3) ( 3x + 2z - 5)

ব্যাখ্যা (Explanation)

ধরি, (x + z) = a এবং (x + 1) = b

∴ প্রদত্ত রাশি = 14a² - 29ab - 15b²

= 14a² - 35ab + 6ab - 15b²

= 7a (2a - 5b) + 3b (2a - 5b)

= (7a + 3b) (2a - 5b)

a ও b এর মান বসিয়ে পাই,

= {7(x + z) + 3(x + 1)} {2(x + z) - 5(x + 1)}

= (7x + 7z + 3x + 3) (2x + 2z - 5x - 5)

= (10x + 7z + 3) (- 3x + 2z - 5)

= (10x + 7z + 3) ( - 3x + 2z - 5)

একটি গাড়ি চলাচলের গতি v(t) = t² - 4t - 5 সমীকরণটি দ্বারা নির্ধারিত হয়। v(t) = 0 হলে গাড়িটি কত সময়ে থেমে যাবে?

ক) 3 খ) 5 গ) 8 ঘ) 20

ব্যাখ্যা (Explanation)

প্রদত্ত সমীকরণ: t² - 4t - 5 = 0

উৎপাদকে বিশ্লেষণ করি:
t² - 4t - 5 = 0
t² - 5t + t - 5 = 0
t(t - 5) + 1(t - 5) = 0
(t - 5)(t + 1) = 0

এখন,
t - 5 = 0
⇒ t = 5

t + 1 = 0
⇒ t = -1 (সময় নেগেটিভ হতে পারে না)

সুতরাং, গাড়িটি 5 সেকেন্ডে থেমে যাবে।

একটি রকেট একটি নির্দিষ্ট উচ্চতায় পৌঁছানোর সময় t² + 5t - 24 সমীকরণটি পূরণ করে। রকেটটি কত সময়ে সেই উচ্চতায় পৌঁছাবে?

ক) 2 খ) 3 গ) 5 ঘ) 8

ব্যাখ্যা (Explanation)

প্রদত্ত সমীরকরণ: t² + 5t - 24

উৎপাদকে বিশ্লেষণ করি:
⟹ t² + 5t - 24 = 0
⟹ t² + 8t - 3t - 24 = 0
⟹ t(t + 8) - 3(t + 8) = 0
⟹ (t + 8)(t - 3) = 0

এখন,
t + 8 = 0
⟹ t = -8(সময় নেগেটিভ হতে পারে না)

t - 3 = 0
⟹ t = 3
সুতরাং, রকেটটি 3 সেকেন্ডে সেই উচ্চতায় পৌঁছাবে

নিজের প্রস্তুতি যাচাই করুন — অ্যাপে লাইভ পরীক্ষা দিয়ে মেরিট লিস্টে নিজের অবস্থান দেখুন।

অ্যাপ ইন্সটল করুন

p⁴ - q⁴ এর উৎপাদক হচ্ছে-

ক) (p³ + q³)(p + q) খ) (p² + q²)(p - q) গ) (p² + q²)(p + q)(p - q) ঘ) (p² - q²)(p² - q²)

ব্যাখ্যা (Explanation)

p⁴ - q⁴
= (p²)² - (q²)²
= (p² + q²)(p² - q²)
= (p² + q²)(p + q)(p - q)

2y² + 5y - 3 এর উৎপাদকে বিশ্লেষিত রূপ কোনটি?

ক) (2y + 1)(y + 3) খ) (2y - 1)(y - 3) গ) (2y + 1)(y - 3) ঘ) (2y - 1)(y + 3)

ব্যাখ্যা (Explanation)

2y² + 5y - 3
= 2y² + 6y - y - 3
= 2y(y + 3) - 1(y + 3)
= (2y - 1)(y + 3)

a² - 3ab - 40b² এর একটি উৎপাদক (a + 5b) হলে অপরটি হবে-

ক) (a - 6b) খ) (a - 7b) গ) (a - 8b) ঘ) (a - 5b)

ব্যাখ্যা (Explanation)

a² - 3ab - 40b²
= a² - 8ab + 5ab - 40b²
= a(a - 8b) + 5b(a - 8b)
=(a - 8b) (a + 5b)

নিচের কোনটি a³ - 6a² + 11a - 6 এর একটি উৎপাদক নয়?

ক) (a - 2) খ) (a - 1) গ) (a - 4) ঘ) (a - 3)

ব্যাখ্যা (Explanation)

a³ - 6a² + 11a - 6
= a³ - a² - 5a² + 5a + 6a - 6
= a²(a - 1) - 5a(a - 1) + 6(a - 1)
= (a - 1)(a² - 5a + 6)
= (a - 1) (a² - 3a - 2a + 6)
= (a - 1) {a(a - 3) - 2(a - 3)}
= (a - 1)(a - 2)(a - 3)

নিচের কোন বহুপদীর একটি উৎপাদক (a - 3)?

ক) a³ + a - 24 খ) 3a² + 2a - 31 গ) a³ - 4a + 3 ঘ) a³ + 3a - 36

ব্যাখ্যা (Explanation)

a = 3 হলে,
a³ - 4a + 3
= 3³ - 4 × 3 + 3
= 27 - 12 + 3
= 18 ≠ 0

a³ + a - 24
= 3³ + 3 - 24
= 27 + 3 - 24
= 6 ≠ 0

a³ + 3a - 36
=3³ + 3 × 3 - 36
= 27 + 9 - 36
= 0

3a² + 2a - 31
= (3 × 3²) + (2 × 3) - 31
= 27 + 6 - 31
= 2 ≠ 0

∴ (a - 3), a³ + 3a - 36 এর একটি উৎপাদক।

xa² - 144xb² এর উৎপাদক কোনটি?

ক) 2b - a খ) a - 2b গ) x ঘ) a + 2b

ব্যাখ্যা (Explanation)

xa² - 144xb²
= x (a² - 144b²)
= x {a² - (12b)²}
= x (a + 12b) (a - 12b)

16x² - 25y² - 8xz + 10yz এর একটি উৎপাদক কোনটি?

ক) 4x - 5y খ) 4x + 7y গ) 5x - 4y ঘ) 4x + 5y

ব্যাখ্যা (Explanation)

16x² - 25y² - 8xz + 10yz
= (4x)² - (5y)² - 2z(4x - 5y)
= (4x + 5y) (4x - 5y) - 2z(4x - 5y)
= (4x - 5y) (4x + 5y - 2z)

3^2x - 3^x - 72 = 0 হলে, x- এর মান কত?

ক) 2 খ) 3 গ) 6 ঘ) 8

ব্যাখ্যা (Explanation)

3^2x - 3^x - 72 = 0
⇒ (3^x)² - 3^x - 72 = 0
⇒ (3^x)² - 9 . 3^x + 8 . 3^x - 72 = 0
⇒ 3^x(3^x - 9) + 8(3^x - 9) = 0
⇒ (3^x - 9) (3^x + 8) = 0
[3^x + 8 ≠ 0]
⇒ 3^x - 9 = 0
⇒ 3^x = 9
∴ x = 3

5 - 4x - x² এবং x² + x - 20 এর মধ্যে সাধারণ উৎপাদক কোনটি?

ক) x - 5 খ) x + 5 গ) x + 4 ঘ) x - 4

ব্যাখ্যা (Explanation)

5 - 4x - x²
= - x² - 4x + 5
= - x² - 5x + x + 5
= - x(x + 5) + 1(x + 5)
= (x + 5) (1 - x)

আবার,
x² + x - 20
= x² + 5x - 4x - 20
= x(x + 5) - 4 (x + 5)
= (x + 5) (x - 4)

∴ 5 - 4x - x² এবং x² + x - 20 এর মধ্যে সাধারণ উৎপাদক (x + 5)

যদি 16x - 3y + 4x - 7y = 0 হয়, তবে y/x ?

ক) 1 খ) 2 গ) 3 ঘ) 4

ব্যাখ্যা (Explanation)

16x - 3y + 4x - 7y = 0
বা, 20x - 10y = 0
বা, 20x = 10y
বা, y/x = 20/10
∴ y/x = 2

এই টপিকের সব প্রশ্ন ব্যাখ্যাসহ, ভুল-সঠিক-বুকমার্ক আলাদা করে রিভিশন — অ্যাপে।

অ্যাপ ইন্সটল করুন

x⁴ + 6x² - 7 এর উৎপাদক গুলো হলো-

ক) (x² + 7)(x + 2)(x - 2) খ) (x² - 7)(x + 1)(x - 1) গ) (x² + 7)(x + 1)(x - 1) ঘ) (x² - 7)(x - 1)(x - 1)

ব্যাখ্যা (Explanation)

x⁴ + 6x² - 7
= (x²)² + 2.x².3 + 3² - 9 - 7
= (x² + 3)² - 4²
= (x² + 3 + 4)(x² + 3 - 4)
= (x² + 7)(x² - 1)
= (x² + 7) (x² - 1²⁾
= (x² + 7)(x + 1)(x - 1)

সঠিক উত্তর: ০ ভুল উত্তর: ০