উৎপাদকে বিশ্লেষণ (145 টি প্রশ্ন )
 Back to Subject Page   All Topics
i
ব্যাখ্যা (Explanation):
প্রদত্ত রাশি: a³ - 21a - 20

ভ্যানিশিং মেথড (Vanishing method) বা উৎপাদক উপপাদ্য অনুযায়ী, a = -1 হলে রাশিটির মান শূন্য হয়। [(-1)³ - 21(-1) - 20 = -1 + 21 - 20 = 0]। তাই (a + 1) প্রদত্ত রাশিটির একটি উৎপাদক।

এখন রাশিটিকে বিশ্লেষণ করে পাই:
a³ - 21a - 20
= a³ + a² - a² - a - 20a - 20
= a²(a + 1) - a(a + 1) - 20(a + 1)
= (a + 1)(a² - a - 20)

এখন (a² - a - 20) অংশটিকে মিডল টার্ম (Middle term) ব্রেক করতে হবে:
= (a + 1)(a² - 5a + 4a - 20)
= (a + 1){a(a - 5) + 4(a - 5)}
= (a + 1) (a - 5) (a + 4)
i
ব্যাখ্যা (Explanation):
প্রদত্ত রাশি: -p² + 2p + 35

প্রথমে রাশিটি থেকে মাইনাস (-) চিহ্ন কমন নিয়ে পাই:
= -(p² - 2p - 35)

এখন বন্ধনীর ভেতরের অংশটিকে মিডল টার্ম (Middle term) করতে হবে। ৩৫ কে ভেঙে এমন দুটি সংখ্যা বের করতে হবে যাদের গুণফল ৩৫ এবং বিয়োগফল ২ হয় (যেমন: ৭ ও ৫)।
= -(p² - 7p + 5p - 35)
= -{p(p - 7) + 5(p - 7)}
= - (p - 7) (p + 5)
i
ব্যাখ্যা (Explanation):
প্রদত্ত রাশি: a3 - 9b3 + (a + b)3

এখানে, -9b3 কে ভেঙে আমরা -b3 এবং -8b3 লিখতে পারি, যাতে সূত্র প্রয়োগ করা সহজ হয়।
= a3 - b3 + (a + b)3 - 8b3

এখন উৎপাদকের সূত্র x3 - y3 = (x - y)(x2 + xy + y2) ব্যবহার করে প্রথম দুটি পদ এবং শেষের দুটি পদকে আলাদাভাবে সাজাই:
= (a - b)(a2 + ab + b2) + (a + b)3 - (2b)3

এবার দ্বিতীয় অংশে একই সূত্র প্রয়োগ করে পাই:
= (a - b)(a2 + ab + b2) + {(a + b) - 2b} {(a + b)2 + (a + b)(2b) + (2b)2}
= (a - b)(a2 + ab + b2) + (a - b) (a2 + 2ab + b2 + 2ab + 2b2 + 4b2)
= (a - b)(a2 + ab + b2) + (a - b)(a2 + 4ab + 7b2)

এখন উভয় পদ থেকে সাধারণ উৎপাদক (a - b) কমন নিয়ে পাই:
= (a - b) (a2 + ab + b2 + a2 + 4ab + 7b2)
= (a - b) (2a2 + 5ab + 8b2)

সুতরাং, উৎপাদকগুলোর মধ্যে একটি হলো a - b।
i
ব্যাখ্যা (Explanation):
প্রদত্ত রাশি: a4 + 64b4

প্রথমে রাশিটিকে বর্গের আকারে সাজিয়ে লিখি যাতে সূত্র প্রয়োগ করা যায়:
= (a2)2 + (8b2)2

এখন অনুসিদ্ধান্ত x2 + y2 = (x + y)2 - 2xy প্রয়োগ করে পাই:
= (a2 + 8b2)2 - 2(a2)(8b2)
= (a2 + 8b2)2 - 16a2b2

এবার 16a2b2 কে (4ab)2 আকারে সাজাই:
= (a2 + 8b2)2 - (4ab)2

এখন এটি x2 - y2 = (x + y)(x - y) সূত্রের আকার ধারণ করেছে। সূত্রটি প্রয়োগ করে পাই:
= (a2 + 8b2 + 4ab) (a2 + 8b2 - 4ab)

সবশেষে, পদগুলোকে ঘাতের ক্রমানুসারে সাজিয়ে লিখলে পাই:
= (a2 + 4ab + 8b2) (a2 - 4ab + 8b2)
i
ব্যাখ্যা (Explanation):
27x4 + 8xy3
= x(27x3 + 8y3 )
= x{(3x)3 + (2y)3}
= x(3x + 2y){(3x)2 - 3x.2y + (2y)2}
= x(3x + 2y)(9x2 - 6xy + 4y2 )
i
ব্যাখ্যা (Explanation):
9x2 + 18x - 40
= 9x2 + 30x - 12x - 40
= 3x(3x + 10) - 4(3x + 10)
= (3x + 10)(3x - 4)
i
ব্যাখ্যা (Explanation):
(a2 - b2) (x2 - y2) + 4abxy
= a2x2 − a2y2 − b2x2 + b2y2 + 4abxy
= a2x2 + b2y2 + 2abxy − a2y2 − b2x2 + 2abxy
= a2x2 + b2y2 + 2abxy − (a2y2 + b2x2 - 2abxy)
= (ax + by)2 - (ay − bx)2
= [(ax + by) + (ay − bx)] [(ax + by) − (ay − bx)]
= (ax + by + ay − bx) (ax + by − ay + bx)
i
ব্যাখ্যা (Explanation):

f(x) = x3 + kx2 - 6x - 9

f(3) = 33 +k.32 - (6.3) - 9

     = 27 + 9k - 18 - 9

    = 9k

এখন, f(3) = 0

     বা, 9k = 0

     বা, 9k = 0

    ∴  k = 0
i
ব্যাখ্যা (Explanation):
18x⁴y - 8xy⁴
= 2xy(9x³) - 2xy(4y³)
= 2xy(9x³ - 4y³)

এখানে প্রথম ৩০টি প্রশ্নের ব্যাখ্যা দেখতে পারবেন, বাকি সব প্রশ্নের সম্পূর্ণ ব্যাখ্যা পেতে এখনই অ্যাপ ইন্সটল করুন।

Install App
i
ব্যাখ্যা (Explanation):
= x2−(a+b)x+ab
= x2−ax−bx+ab
= x(x−a)−b(x−a)
= (x−a)(x−b)
i
ব্যাখ্যা (Explanation):
x4−5x2+4
=(x2)2−5(x2)+4
ধরি, x2=a
তাহলে, a2−5a+4
=a2−4a−a+4
=a(a−4)−1(a−4)
=(a−4)(a−1)

a এর মান x2 বসিয়ে পাই, =(x2−4)(x2−1)
=(x2−22)(x2−12)
=(x−2)(x+2)(x−1)(x+1)
i
ব্যাখ্যা (Explanation):
2x2 − x −6
= 2x2 − 4x + 3x − 6
= 2x(x−2)+ 3(x−2)
= (2x+3)(x−2)
i
ব্যাখ্যা (Explanation):
ax2 + (ab - 1)x - b
= ax2 + abx − x − b
= ax(x + b) − 1(x + b)
= (x + b)(ax - 1)
i
ব্যাখ্যা (Explanation):
m³ + 8m²n + 19mn² + 12n³

= m³ + m²n + 7m²n + 7mn² + 12mn² + 12n³

= m²(m + n) + 7mn(m + n) + 12n²(m + n)

= (m + n)(m² + 7mn + 12n²)

= (m + n)(m² + 3mn + 4mn + 12n²)

= (m + n){m(m + 3n) + 4n(m + 3n)}

= (m + n)(m + 3n)(m + 4n)
i
ব্যাখ্যা (Explanation):
9x2 - 9x - 4
= 9x2 - 12x + 3x - 4
= 3x(3x - 4) + 1(3x - 4)
= (3x - 4) (3x + 1)
i
ব্যাখ্যা (Explanation):
2b²c² + 2c²a² + 2a²b² - a⁴ - b⁴ - c⁴
= 4b²c² - (a⁴ + b⁴ + c⁴ + 2b²c² - 2c²a² - 2a²b²)
= (2bc)² - (a² - b² - c²)²
= (2bc + a² - b² - c²) (2bc - a² + b² + c²)
= (a² - b² - c² + 2bc) (- a² + b² + c² + 2bc)
= [a² - (b - c)²] [(b + c)² - a²]
= (a + b - c) (a - b + c) (b + c + a) (b + c - a)
= (a + b - c) (a - b + c) (a + b + c) (- a + b + c)
i
ব্যাখ্যা (Explanation):
ধরি, (x + z) = a এবং (x + 1) = b

∴ প্রদত্ত রাশি = 14a² - 29ab - 15b²

= 14a² - 35ab + 6ab - 15b²

= 7a (2a - 5b) + 3b (2a - 5b)

= (7a + 3b) (2a - 5b)

a ও b এর মান বসিয়ে পাই,

= {7(x + z) + 3(x + 1)} {2(x + z) - 5(x + 1)}

= (7x + 7z + 3x + 3) (2x + 2z - 5x - 5)

= (10x + 7z + 3) (- 3x + 2z - 5)

= (10x + 7z + 3) ( - 3x + 2z - 5)
i
ব্যাখ্যা (Explanation):
প্রদত্ত সমীকরণ: t² - 4t - 5 = 0

উৎপাদকে বিশ্লেষণ করি:
t² - 4t - 5 = 0
t² - 5t + t - 5 = 0
t(t - 5) + 1(t - 5) = 0
(t - 5)(t + 1) = 0

এখন,
t - 5 = 0
⇒ t = 5

t + 1 = 0
⇒ t = -1 (সময় নেগেটিভ হতে পারে না)

সুতরাং, গাড়িটি 5 সেকেন্ডে থেমে যাবে।
i
ব্যাখ্যা (Explanation):
প্রদত্ত সমীরকরণ: t² + 5t - 24

উৎপাদকে বিশ্লেষণ করি:
⟹ t² + 5t - 24 = 0
⟹ t² + 8t - 3t - 24 = 0
⟹ t(t + 8) - 3(t + 8) = 0
⟹ (t + 8)(t - 3) = 0

এখন,
t + 8 = 0
⟹ t = -8(সময় নেগেটিভ হতে পারে না)

t - 3 = 0
⟹ t = 3
সুতরাং, রকেটটি 3 সেকেন্ডে সেই উচ্চতায় পৌঁছাবে

এখানে প্রথম ৩০টি প্রশ্নের ব্যাখ্যা দেখতে পারবেন, বাকি সব প্রশ্নের সম্পূর্ণ ব্যাখ্যা পেতে এখনই অ্যাপ ইন্সটল করুন।

Install App
i
ব্যাখ্যা (Explanation):
 p⁴ - q⁴
= (p²)² - (q²)²
= (p² + q²)(p² - q²)
= (p² + q²)(p + q)(p - q)
i
ব্যাখ্যা (Explanation):
2y² + 5y - 3
= 2y² + 6y - y - 3
= 2y(y + 3) - 1(y + 3)
= (2y - 1)(y + 3)
i
ব্যাখ্যা (Explanation):
a2 - 3ab - 40b2
= a2 - 8ab + 5ab - 40b2
= a(a - 8b) + 5b(a - 8b)
=(a - 8b) (a + 5b)
i
ব্যাখ্যা (Explanation):
a3 - 6a2 + 11a - 6
= a3 - a2 - 5a2 + 5a + 6a - 6
= a2(a - 1) - 5a(a - 1) + 6(a - 1)
= (a - 1)(a2 - 5a + 6)
= (a - 1) (a2 - 3a - 2a + 6)
= (a - 1) {a(a - 3) - 2(a - 3)}
= (a - 1)(a - 2)(a - 3)
i
ব্যাখ্যা (Explanation):
a = 3 হলে,
a3 - 4a + 3
= 33 - 4 × 3 + 3
= 27 - 12 + 3
= 18 ≠ 0

a3 + a - 24
= 33 + 3 - 24
= 27 + 3 - 24
= 6 ≠ 0

a3 + 3a - 36
=33 + 3 × 3 - 36
= 27 + 9 - 36
= 0

3a2 + 2a - 31
= (3 × 32) + (2 × 3) - 31
= 27 + 6 - 31
= 2 ≠ 0

∴ (a - 3), a3 + 3a - 36 এর একটি উৎপাদক।
i
ব্যাখ্যা (Explanation):
xa2 - 144xb2 
= x (a2 - 144b2)
= x {a2 - (12b)2}
= x (a + 12b) (a - 12b)
i
ব্যাখ্যা (Explanation):
16x2 - 25y2 - 8xz + 10yz
= (4x)2 - (5y)2 - 2z(4x - 5y)
= (4x + 5y) (4x - 5y) - 2z(4x - 5y)
= (4x - 5y) (4x + 5y - 2z)
i
ব্যাখ্যা (Explanation):
32x - 3x - 72 = 0
⇒ (3x)2 - 3x - 72 = 0
⇒ (3x)2 - 9 . 3x + 8 . 3x - 72 = 0
⇒ 3x(3x - 9) + 8(3x - 9) = 0
⇒ (3x - 9) (3x + 8) = 0
[3x + 8 ≠ 0]
⇒ 3x - 9 = 0
⇒ 3x = 9
∴ x = 3
i
ব্যাখ্যা (Explanation):
5 - 4x - x2
= - x2 - 4x + 5
= - x2 - 5x + x + 5
= - x(x + 5) + 1(x + 5)
= (x + 5) (1 - x)

আবার,
x2 + x - 20
= x2 + 5x - 4x - 20
= x(x + 5) - 4 (x + 5)
= (x + 5) (x - 4)

∴ 5 - 4x - x2 এবং x2 + x - 20 এর মধ্যে সাধারণ উৎপাদক  (x + 5)
i
ব্যাখ্যা (Explanation):
16x - 3y + 4x - 7y = 0
বা, 20x - 10y = 0
বা, 20x = 10y
বা, y/x = 20/10
∴  y/x = 2

এখানে প্রথম ৩০টি প্রশ্নের ব্যাখ্যা দেখতে পারবেন, বাকি সব প্রশ্নের সম্পূর্ণ ব্যাখ্যা পেতে এখনই অ্যাপ ইন্সটল করুন।

Install App
i
ব্যাখ্যা (Explanation):
x4 + 6x2 - 7
= (x2)2 + 2.x2.3 + 32 - 9 - 7
= (x2 + 3)2 - 42
= (x2 + 3 + 4)(x2 + 3 - 4)
= (x2 + 7)(x2 - 1)
= (x2 + 7) (x2 - 12)
= (x2 + 7)(x + 1)(x  - 1)
সঠিক উত্তর: 0 | ভুল উত্তর: 0