কোন ক্ষুদ্রতম সংখ্যা দ্বারা ৪৬০৮ কে ভাগ করলে পূর্ণবর্গ পাওয়া যাবে?
Solution
Correct Answer: Option A
আমরা জানি,
পূর্ণবর্গ সংখ্যা হতে হলে সংখ্যাটিকে তার উৎপাদকগুলোর জোড়ায় জোড়ায় থাকতে হবে। প্রথমে আমরা $৪৬০৮$ সংখ্যাটিকে মৌলিক গুনণীয়কে বিশ্লেষণ করে পাই,
$২ \mid \underline{৪৬০৮}$
$২ \mid \underline{২৩০৪}$
$২ \mid \underline{১১৫২}$
$২ \mid \underline{ ৫৭৬}$
$২ \mid \underline{ ২৮৮}$
$২ \mid \underline{ ১৪৪}$
$২ \mid \underline{ ৭২}$
$২ \mid \underline{ ৩৬}$
$২ \mid \underline{ ১৮}$
$৩ \mid \underline{ ৯}$
$৩$
$\therefore$ $৪৬০৮ = ২ \times ২ \times ২ \times ২ \times ২ \times ২ \times ২ \times ২ \times ২ \times ৩ \times ৩$
$= (২ \times ২) \times (২ \times ২) \times (২ \times ২) \times (২ \times ২) \times ২ \times (৩ \times ৩)$
এখানে দেখা যাচ্ছে যে, মৌলিক গুণনীয়ক ২ জোড়াবিহীন অবস্থায় আছে। যদি সংখ্যাটিকে ২ দ্বারা ভাগ করা হয়, তবে ভাগফল একটি পূর্ণবর্গ সংখ্যা হবে।
শর্টকাট টেকনিক (পরীক্ষার জন্য):
অপশন টেস্ট বা ভাগের মাধ্যমে দ্রুত উত্তর বের করা যায়।
১) $৪৬০৮ \div ২ = ২৩০৪$ (যার শেষে $৪$ আছে এবং এটি পূর্ণবর্গ হতে পারে। $৪৮^২ = ২৩০৪$)
২) $৪৬০৮ \div ৩ = ১৫৩৬$ (শেষে $৬$ আছে, কিন্তু এটি পূর্ণবর্গ নয়। $৩৯^২ = ১৫২১$, $৪০^২ = ১৬০০$)
৩) $৪৬০৮ \div ৪ = ১১৫২$ (এটি ২৩০৪ এর অর্ধেক, পূর্ণবর্গ নয়)
৪) $৪৬০৮ \div ৫ =$ পূর্ণসংখ্যা নয়।
সুতরাং, ২ দ্বারা ভাগ করলেই পূর্ণবর্গ সংখ্যা পাওয়া যায়।
পূর্ণবর্গ সংখ্যা হতে হলে সংখ্যাটিকে তার উৎপাদকগুলোর জোড়ায় জোড়ায় থাকতে হবে। প্রথমে আমরা $৪৬০৮$ সংখ্যাটিকে মৌলিক গুনণীয়কে বিশ্লেষণ করে পাই,
$২ \mid \underline{৪৬০৮}$
$২ \mid \underline{২৩০৪}$
$২ \mid \underline{১১৫২}$
$২ \mid \underline{ ৫৭৬}$
$২ \mid \underline{ ২৮৮}$
$২ \mid \underline{ ১৪৪}$
$২ \mid \underline{ ৭২}$
$২ \mid \underline{ ৩৬}$
$২ \mid \underline{ ১৮}$
$৩ \mid \underline{ ৯}$
$৩$
$\therefore$ $৪৬০৮ = ২ \times ২ \times ২ \times ২ \times ২ \times ২ \times ২ \times ২ \times ২ \times ৩ \times ৩$
$= (২ \times ২) \times (২ \times ২) \times (২ \times ২) \times (২ \times ২) \times ২ \times (৩ \times ৩)$
এখানে দেখা যাচ্ছে যে, মৌলিক গুণনীয়ক ২ জোড়াবিহীন অবস্থায় আছে। যদি সংখ্যাটিকে ২ দ্বারা ভাগ করা হয়, তবে ভাগফল একটি পূর্ণবর্গ সংখ্যা হবে।
শর্টকাট টেকনিক (পরীক্ষার জন্য):
অপশন টেস্ট বা ভাগের মাধ্যমে দ্রুত উত্তর বের করা যায়।
১) $৪৬০৮ \div ২ = ২৩০৪$ (যার শেষে $৪$ আছে এবং এটি পূর্ণবর্গ হতে পারে। $৪৮^২ = ২৩০৪$)
২) $৪৬০৮ \div ৩ = ১৫৩৬$ (শেষে $৬$ আছে, কিন্তু এটি পূর্ণবর্গ নয়। $৩৯^২ = ১৫২১$, $৪০^২ = ১৬০০$)
৩) $৪৬০৮ \div ৪ = ১১৫২$ (এটি ২৩০৪ এর অর্ধেক, পূর্ণবর্গ নয়)
৪) $৪৬০৮ \div ৫ =$ পূর্ণসংখ্যা নয়।
সুতরাং, ২ দ্বারা ভাগ করলেই পূর্ণবর্গ সংখ্যা পাওয়া যায়।
Practice More Questions on Our App!
Download our app for free and access thousands of MCQ questions with detailed solutions