x2-11x+30 এবংx3-4x2-2x-15 . এর গ.সা.গু কত?
Solution
Correct Answer: Option A
নিচে গাণিতিক সমস্যাটির বিস্তারিত ব্যাখ্যা দেওয়া হলো:
১ম রাশি: $x^2 - 11x + 30$
$= x^2 - 6x - 5x + 30$ [মিডল টার্ম ফ্যাক্টর করে]
$= x(x - 6) - 5(x - 6)$
$= (x - 6)(x - 5)$
২য় রাশি: $x^3 - 4x^2 - 2x - 15$
এটি একটি ত্রিঘাত রাশি, তাই এটিকে ভাগশেষ উপপাদ্য (Vanishing Method) ব্যবহার করে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করতে হবে।
ধরি, $f(x) = x^3 - 4x^2 - 2x - 15$
এখন $x = 5$ বসালে,
$f(5) = (5)^3 - 4(5)^2 - 2(5) - 15$
$= 125 - 4(25) - 10 - 15$
$= 125 - 100 - 10 - 15$
$= 125 - 125$
$= 0$
যেহেতু $x = 5$ বসালে রাশিটির মান শূন্য হয়, তাই (x - 5) রাশিটির একটি উৎপাদক।
এখন,
$x^3 - 4x^2 - 2x - 15$
$= x^3 - 5x^2 + x^2 - 5x + 3x - 15$
$= x^2(x - 5) + x(x - 5) + 3(x - 5)$
$= (x - 5)(x^2 + x + 3)$
গ.সা.গু নির্ণয়:
১ম রাশি ও ২য় রাশির সাধারণ উৎপাদক হলো $(x - 5)$। আমরা জানি, গ.সা.গু হলো রাশিগুলোর সাধারণ মৌলিক উৎপাদকগুলোর গুণফল।
$\therefore$ নির্ণেয় গ.সা.গু = x - 5
শর্টকাট টেকনিক (পরীক্ষার হলের জন্য):
অপশন টেস্ট মেথড ব্যবহার করে খুব দ্রুত উত্তর বের করা যায়। গ.সা.গু মানে হলো সেই রাশি যা দ্বারা মূল রাশিগুলোকে ভাগ করলে ভাগশেষ শূন্য হবে। অর্থাৎ, অপশনগুলোর মান শূন্য ধরে যে $x$ এর মান পাওয়া যায়, তা মূল রাশিতে বসালে রাশির মান শূন্য হবে।
অপশন ১: x - 5
ধরি, $x - 5 = 0 \Rightarrow x = 5$
১ম রাশিতে $x=5$ বসিয়ে পাই: $5^2 - 11(5) + 30 = 25 - 55 + 30 = 55 - 55 = 0$ (মিলেছে)
২য় রাশিতে $x=5$ বসিয়ে পাই: $5^3 - 4(5^2) - 2(5) - 15 = 125 - 100 - 10 - 15 = 0$ (মিলেছে)
যেহেতু দুটি রাশিতেই মান শূন্য এসেছে, তাই x - 5 সঠিক উত্তর।
অপশন ২: x - 6
ধরি, $x - 6 = 0 \Rightarrow x = 6$
১ম রাশি: $6^2 - 11(6) + 30 = 36 - 66 + 30 = 0$ (মিলেছে)
২য় রাশি: $6^3 - 4(6^2) - 2(6) - 15 = 216 - 144 - 12 - 15 = 45 \neq 0$ (মিলে নাই)
তাই এটি সঠিক নয়।
১ম রাশি: $x^2 - 11x + 30$
$= x^2 - 6x - 5x + 30$ [মিডল টার্ম ফ্যাক্টর করে]
$= x(x - 6) - 5(x - 6)$
$= (x - 6)(x - 5)$
২য় রাশি: $x^3 - 4x^2 - 2x - 15$
এটি একটি ত্রিঘাত রাশি, তাই এটিকে ভাগশেষ উপপাদ্য (Vanishing Method) ব্যবহার করে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করতে হবে।
ধরি, $f(x) = x^3 - 4x^2 - 2x - 15$
এখন $x = 5$ বসালে,
$f(5) = (5)^3 - 4(5)^2 - 2(5) - 15$
$= 125 - 4(25) - 10 - 15$
$= 125 - 100 - 10 - 15$
$= 125 - 125$
$= 0$
যেহেতু $x = 5$ বসালে রাশিটির মান শূন্য হয়, তাই (x - 5) রাশিটির একটি উৎপাদক।
এখন,
$x^3 - 4x^2 - 2x - 15$
$= x^3 - 5x^2 + x^2 - 5x + 3x - 15$
$= x^2(x - 5) + x(x - 5) + 3(x - 5)$
$= (x - 5)(x^2 + x + 3)$
গ.সা.গু নির্ণয়:
১ম রাশি ও ২য় রাশির সাধারণ উৎপাদক হলো $(x - 5)$। আমরা জানি, গ.সা.গু হলো রাশিগুলোর সাধারণ মৌলিক উৎপাদকগুলোর গুণফল।
$\therefore$ নির্ণেয় গ.সা.গু = x - 5
শর্টকাট টেকনিক (পরীক্ষার হলের জন্য):
অপশন টেস্ট মেথড ব্যবহার করে খুব দ্রুত উত্তর বের করা যায়। গ.সা.গু মানে হলো সেই রাশি যা দ্বারা মূল রাশিগুলোকে ভাগ করলে ভাগশেষ শূন্য হবে। অর্থাৎ, অপশনগুলোর মান শূন্য ধরে যে $x$ এর মান পাওয়া যায়, তা মূল রাশিতে বসালে রাশির মান শূন্য হবে।
অপশন ১: x - 5
ধরি, $x - 5 = 0 \Rightarrow x = 5$
১ম রাশিতে $x=5$ বসিয়ে পাই: $5^2 - 11(5) + 30 = 25 - 55 + 30 = 55 - 55 = 0$ (মিলেছে)
২য় রাশিতে $x=5$ বসিয়ে পাই: $5^3 - 4(5^2) - 2(5) - 15 = 125 - 100 - 10 - 15 = 0$ (মিলেছে)
যেহেতু দুটি রাশিতেই মান শূন্য এসেছে, তাই x - 5 সঠিক উত্তর।
অপশন ২: x - 6
ধরি, $x - 6 = 0 \Rightarrow x = 6$
১ম রাশি: $6^2 - 11(6) + 30 = 36 - 66 + 30 = 0$ (মিলেছে)
২য় রাশি: $6^3 - 4(6^2) - 2(6) - 15 = 216 - 144 - 12 - 15 = 45 \neq 0$ (মিলে নাই)
তাই এটি সঠিক নয়।
অ্যাপ/ওয়েবসাইটে রুটিনভিত্তিক নিয়মিত লাইভ পরীক্ষা হচ্ছে।
পরীক্ষা – ১১৩
কোর্স নামঃ
১৯ তম শিক্ষক নিবন্ধন - লেকচারশীট ভিত্তিক।
টপিকসঃ
গণিত
বৃত্ত ও ঘনবস্তু
বৃত্ত ও ঘনবস্তু
পরীক্ষা শুরুঃ ৩য় ব্যাচ শুরু ৫ নভেম্বর, ২০২৫।
রুটিন দেখুন
ব্যাচ-১/পরীক্ষা- ৫১
কোর্স নামঃ
সাধারণ জ্ঞান ৭০ মার্ক বেসিক ভিউ বই থেকে
টপিকসঃ
বাংলাদেশ বিষয়াবলি
বাংলাদেশের শিল্প ও বাণিজ্য: basic Terms of Trade, বাংলাদেশের অর্থনীতির সাথে জড়িত আন্তর্জাতিক সম্প্রদায়, বাণিজ্য মন্ত্রণালয়, আমদানি-রপ্তানি, BEZA, বিনিয়োগ তথ্য (পেইজ: ৭৯০-৮০২)
বাংলাদেশের শিল্প ও বাণিজ্য: basic Terms of Trade, বাংলাদেশের অর্থনীতির সাথে জড়িত আন্তর্জাতিক সম্প্রদায়, বাণিজ্য মন্ত্রণালয়, আমদানি-রপ্তানি, BEZA, বিনিয়োগ তথ্য (পেইজ: ৭৯০-৮০২)
৯০০ পেইজের সম্পূর্ণ বই শেষ করা হবে।
রুটিন দেখুন
পরীক্ষা – ৩৯
কোর্স নামঃ
প্রাইমারি প্রধান শিক্ষক নিয়োগ প্রস্তুতি (২য় ব্যাচ)
টপিকসঃ
বাংলা সাহিত্য সম্পূর্ণ সিলেবাস (১০০ মার্ক)
৫ ফেব্রুয়ারি থেকে শুরু।
রুটিন দেখুন
পরীক্ষা-২৫
কোর্স নামঃ
৫১ তম বিসিএস প্রস্ততি - ২৩৬ দিনে সম্পূর্ণ সিলিবাস।
টপিকসঃ
পরীক্ষা-২৩ ও পরীক্ষা-২৪ এর সিলেবাস থেকে (৫০টি প্রশ্ন)
১০ ফেব্রুয়ারি, ২০২৬
রুটিন দেখুন
Practice More Questions on Our App!
Download our app for free and access thousands of MCQ questions with detailed solutions