xy কে দুটি বর্গের অন্তরফলরূপে প্রকাশ করলে কি পাওয়া যাবে?

আমরা জানি,
(x + y)² = x² + 2xy + y² ......(i)
(x - y)² = x² - 2xy + y² ......(ii)

ধাপ-১: সমীকরণ (i) থেকে (ii) বিয়োগ করে পাই,
(x + y)² - (x - y)² = (x² + 2xy + y²) - (x² - 2xy + y²)
বা, (x + y)² - (x - y)² = x² + 2xy + y² - x² + 2xy - y²
বা, (x + y)² - (x - y)² = 4xy
বা, 4xy = (x + y)² - (x - y)²
ধাপ-২: উভয় পক্ষকে 4 দিয়ে ভাগ করে পাই,
xy = {(x + y)² - (x - y)²} / 4
বা, xy = (x + y)²/4 - (x - y)²/4 [উভয় অংশকে আলাদা করে]
বা, xy = {(x + y)/2}² - {(x - y)/2}²
সুতরাং, xy কে দুটি বর্গের অন্তরফলরূপে প্রকাশ করলে পাওয়া যায় {(x+y)/2}² - {(x-y)/2}²।

শর্টকাট টেকনিক:
বীজগণিতের মৌলিক সূত্রগুলোর মধ্যে একটি হলো ab = {(a+b)/2}² - {(a-b)/2}²। এখানে a ও b এর জায়গায় যথাক্রমে x ও y বিবেচনা করলেই সরাসরি উত্তরটি পাওয়া যায়। এই সূত্রটি মূলত "দুটি রাশির গুণফলকে তাদের যোগফল ও বিয়োগফলের বর্গের অন্তরফল হিসেবে প্রকাশ" করার জন্যই ব্যবহৃত হয়। পরীক্ষার হলে সরাসরি সূত্রটি প্রয়োগ করলেই সময় বাঁচবে।