1+3+5+ -------+ 2x-1 কত?
Solution
Correct Answer: Option D
প্রদত্ত ধারাটি হলো: 1 + 3 + 5 + ....... + (2x − 1)
এটি একটি সমান্তর ধারা (Arithmetic Progression) যার:
১ম পদ, a = 1
সাধারণ অন্তর, d = 3 − 1 = 2
শেষ পদ = (2x − 1)
আমরা জানি, সমান্তর ধারার n তম পদ = a + (n − 1)d
ধরি, ধারাটিতে পদ সংখ্যা = n
প্রশ্নমতে, শেষ পদটি হলো n তম পদ।
সুতরাং, a + (n − 1)d = 2x − 1
বা, 1 + (n − 1)2 = 2x − 1
বা, 1 + 2n − 2 = 2x − 1
বা, 2n − 1 = 2x − 1
বা, 2n = 2x
বা, n = x [উভয় পক্ষকে 2 দ্বারা ভাগ করে]
অর্থাৎ, ধারাটিতে মোট x সংখ্যক পদ রয়েছে।
আমরা জানি, সমান্তর ধারার সমষ্টি, $ S_n = \frac{n}{2}\{2a + (n - 1)d\} $
এখানে পদ সংখ্যা n এর বদলে x বসিয়ে পাই,
ধারাটির সমষ্টি = $ \frac{x}{2}\{2 \times 1 + (x - 1)2\} $
= $ \frac{x}{2}\{2 + 2x - 2\} $
= $ \frac{x}{2} \times 2x $ [ব্র্যাকেটের ভেতরের +2 এবং -2 কাটা যায়]
= $ x \times x $
= x2
শুধুমাত্র শেষ পদ জানা থাকলে সমষ্টির আরেকটি সূত্র ব্যবহার করা যায়:
সমষ্টি = $ \frac{n}{2} (\text{প্রথম পদ} + \text{শেষ পদ}) $
= $ \frac{x}{2} (1 + 2x - 1) $
= $ \frac{x}{2} (2x) $
= x2
শর্টকাট টেকনিক:
প্রথম n সংখ্যক বিজোড় স্বাভাবিক সংখ্যার সমষ্টি সব সময় n2 হয়।
এখানে ধারাটি হলো: 1 + 3 + 5 + ....... + (2x − 1)
এটি প্রথম x সংখ্যক বিজোড় সংখ্যার ধারা।
যেমন:
x = 1 হলে, সমষ্টি = 1 = 12
x = 2 হলে, সমষ্টি = 1 + 3 = 4 = 22
x = 3 হলে, সমষ্টি = 1 + 3 + 5 = 9 = 32
সুতরাং, x সংখ্যক পদের জন্য সমষ্টি হবে = x2
এটি একটি সমান্তর ধারা (Arithmetic Progression) যার:
১ম পদ, a = 1
সাধারণ অন্তর, d = 3 − 1 = 2
শেষ পদ = (2x − 1)
আমরা জানি, সমান্তর ধারার n তম পদ = a + (n − 1)d
ধরি, ধারাটিতে পদ সংখ্যা = n
প্রশ্নমতে, শেষ পদটি হলো n তম পদ।
সুতরাং, a + (n − 1)d = 2x − 1
বা, 1 + (n − 1)2 = 2x − 1
বা, 1 + 2n − 2 = 2x − 1
বা, 2n − 1 = 2x − 1
বা, 2n = 2x
বা, n = x [উভয় পক্ষকে 2 দ্বারা ভাগ করে]
অর্থাৎ, ধারাটিতে মোট x সংখ্যক পদ রয়েছে।
আমরা জানি, সমান্তর ধারার সমষ্টি, $ S_n = \frac{n}{2}\{2a + (n - 1)d\} $
এখানে পদ সংখ্যা n এর বদলে x বসিয়ে পাই,
ধারাটির সমষ্টি = $ \frac{x}{2}\{2 \times 1 + (x - 1)2\} $
= $ \frac{x}{2}\{2 + 2x - 2\} $
= $ \frac{x}{2} \times 2x $ [ব্র্যাকেটের ভেতরের +2 এবং -2 কাটা যায়]
= $ x \times x $
= x2
শুধুমাত্র শেষ পদ জানা থাকলে সমষ্টির আরেকটি সূত্র ব্যবহার করা যায়:
সমষ্টি = $ \frac{n}{2} (\text{প্রথম পদ} + \text{শেষ পদ}) $
= $ \frac{x}{2} (1 + 2x - 1) $
= $ \frac{x}{2} (2x) $
= x2
শর্টকাট টেকনিক:
প্রথম n সংখ্যক বিজোড় স্বাভাবিক সংখ্যার সমষ্টি সব সময় n2 হয়।
এখানে ধারাটি হলো: 1 + 3 + 5 + ....... + (2x − 1)
এটি প্রথম x সংখ্যক বিজোড় সংখ্যার ধারা।
যেমন:
x = 1 হলে, সমষ্টি = 1 = 12
x = 2 হলে, সমষ্টি = 1 + 3 = 4 = 22
x = 3 হলে, সমষ্টি = 1 + 3 + 5 = 9 = 32
সুতরাং, x সংখ্যক পদের জন্য সমষ্টি হবে = x2
অ্যাপ/ওয়েবসাইটে রুটিনভিত্তিক নিয়মিত লাইভ পরীক্ষা হচ্ছে।
পরীক্ষা – ১১৩
কোর্স নামঃ
১৯ তম শিক্ষক নিবন্ধন - লেকচারশীট ভিত্তিক।
টপিকসঃ
গণিত
বৃত্ত ও ঘনবস্তু
বৃত্ত ও ঘনবস্তু
পরীক্ষা শুরুঃ ৩য় ব্যাচ শুরু ৫ নভেম্বর, ২০২৫।
রুটিন দেখুন
ব্যাচ-১/পরীক্ষা- ৫১
কোর্স নামঃ
সাধারণ জ্ঞান ৭০ মার্ক বেসিক ভিউ বই থেকে
টপিকসঃ
বাংলাদেশ বিষয়াবলি
বাংলাদেশের শিল্প ও বাণিজ্য: basic Terms of Trade, বাংলাদেশের অর্থনীতির সাথে জড়িত আন্তর্জাতিক সম্প্রদায়, বাণিজ্য মন্ত্রণালয়, আমদানি-রপ্তানি, BEZA, বিনিয়োগ তথ্য (পেইজ: ৭৯০-৮০২)
বাংলাদেশের শিল্প ও বাণিজ্য: basic Terms of Trade, বাংলাদেশের অর্থনীতির সাথে জড়িত আন্তর্জাতিক সম্প্রদায়, বাণিজ্য মন্ত্রণালয়, আমদানি-রপ্তানি, BEZA, বিনিয়োগ তথ্য (পেইজ: ৭৯০-৮০২)
৯০০ পেইজের সম্পূর্ণ বই শেষ করা হবে।
রুটিন দেখুন
পরীক্ষা – ৩৯
কোর্স নামঃ
প্রাইমারি প্রধান শিক্ষক নিয়োগ প্রস্তুতি (২য় ব্যাচ)
টপিকসঃ
বাংলা সাহিত্য সম্পূর্ণ সিলেবাস (১০০ মার্ক)
৫ ফেব্রুয়ারি থেকে শুরু।
রুটিন দেখুন
পরীক্ষা-২৫
কোর্স নামঃ
৫১ তম বিসিএস প্রস্ততি - ২৩৬ দিনে সম্পূর্ণ সিলিবাস।
টপিকসঃ
পরীক্ষা-২৩ ও পরীক্ষা-২৪ এর সিলেবাস থেকে (৫০টি প্রশ্ন)
১০ ফেব্রুয়ারি, ২০২৬
রুটিন দেখুন
Practice More Questions on Our App!
Download our app for free and access thousands of MCQ questions with detailed solutions