1+3+5+ -------+ 2x-1 কত?
Solution
Correct Answer: Option D
প্রদত্ত ধারাটি হলো: 1 + 3 + 5 + ....... + (2x − 1)
এটি একটি সমান্তর ধারা (Arithmetic Progression) যার:
১ম পদ, a = 1
সাধারণ অন্তর, d = 3 − 1 = 2
শেষ পদ = (2x − 1)
আমরা জানি, সমান্তর ধারার n তম পদ = a + (n − 1)d
ধরি, ধারাটিতে পদ সংখ্যা = n
প্রশ্নমতে, শেষ পদটি হলো n তম পদ।
সুতরাং, a + (n − 1)d = 2x − 1
বা, 1 + (n − 1)2 = 2x − 1
বা, 1 + 2n − 2 = 2x − 1
বা, 2n − 1 = 2x − 1
বা, 2n = 2x
বা, n = x [উভয় পক্ষকে 2 দ্বারা ভাগ করে]
অর্থাৎ, ধারাটিতে মোট x সংখ্যক পদ রয়েছে।
আমরা জানি, সমান্তর ধারার সমষ্টি, $ S_n = \frac{n}{2}\{2a + (n - 1)d\} $
এখানে পদ সংখ্যা n এর বদলে x বসিয়ে পাই,
ধারাটির সমষ্টি = $ \frac{x}{2}\{2 \times 1 + (x - 1)2\} $
= $ \frac{x}{2}\{2 + 2x - 2\} $
= $ \frac{x}{2} \times 2x $ [ব্র্যাকেটের ভেতরের +2 এবং -2 কাটা যায়]
= $ x \times x $
= x2
শুধুমাত্র শেষ পদ জানা থাকলে সমষ্টির আরেকটি সূত্র ব্যবহার করা যায়:
সমষ্টি = $ \frac{n}{2} (\text{প্রথম পদ} + \text{শেষ পদ}) $
= $ \frac{x}{2} (1 + 2x - 1) $
= $ \frac{x}{2} (2x) $
= x2
শর্টকাট টেকনিক:
প্রথম n সংখ্যক বিজোড় স্বাভাবিক সংখ্যার সমষ্টি সব সময় n2 হয়।
এখানে ধারাটি হলো: 1 + 3 + 5 + ....... + (2x − 1)
এটি প্রথম x সংখ্যক বিজোড় সংখ্যার ধারা।
যেমন:
x = 1 হলে, সমষ্টি = 1 = 12
x = 2 হলে, সমষ্টি = 1 + 3 = 4 = 22
x = 3 হলে, সমষ্টি = 1 + 3 + 5 = 9 = 32
সুতরাং, x সংখ্যক পদের জন্য সমষ্টি হবে = x2
এটি একটি সমান্তর ধারা (Arithmetic Progression) যার:
১ম পদ, a = 1
সাধারণ অন্তর, d = 3 − 1 = 2
শেষ পদ = (2x − 1)
আমরা জানি, সমান্তর ধারার n তম পদ = a + (n − 1)d
ধরি, ধারাটিতে পদ সংখ্যা = n
প্রশ্নমতে, শেষ পদটি হলো n তম পদ।
সুতরাং, a + (n − 1)d = 2x − 1
বা, 1 + (n − 1)2 = 2x − 1
বা, 1 + 2n − 2 = 2x − 1
বা, 2n − 1 = 2x − 1
বা, 2n = 2x
বা, n = x [উভয় পক্ষকে 2 দ্বারা ভাগ করে]
অর্থাৎ, ধারাটিতে মোট x সংখ্যক পদ রয়েছে।
আমরা জানি, সমান্তর ধারার সমষ্টি, $ S_n = \frac{n}{2}\{2a + (n - 1)d\} $
এখানে পদ সংখ্যা n এর বদলে x বসিয়ে পাই,
ধারাটির সমষ্টি = $ \frac{x}{2}\{2 \times 1 + (x - 1)2\} $
= $ \frac{x}{2}\{2 + 2x - 2\} $
= $ \frac{x}{2} \times 2x $ [ব্র্যাকেটের ভেতরের +2 এবং -2 কাটা যায়]
= $ x \times x $
= x2
শুধুমাত্র শেষ পদ জানা থাকলে সমষ্টির আরেকটি সূত্র ব্যবহার করা যায়:
সমষ্টি = $ \frac{n}{2} (\text{প্রথম পদ} + \text{শেষ পদ}) $
= $ \frac{x}{2} (1 + 2x - 1) $
= $ \frac{x}{2} (2x) $
= x2
শর্টকাট টেকনিক:
প্রথম n সংখ্যক বিজোড় স্বাভাবিক সংখ্যার সমষ্টি সব সময় n2 হয়।
এখানে ধারাটি হলো: 1 + 3 + 5 + ....... + (2x − 1)
এটি প্রথম x সংখ্যক বিজোড় সংখ্যার ধারা।
যেমন:
x = 1 হলে, সমষ্টি = 1 = 12
x = 2 হলে, সমষ্টি = 1 + 3 = 4 = 22
x = 3 হলে, সমষ্টি = 1 + 3 + 5 = 9 = 32
সুতরাং, x সংখ্যক পদের জন্য সমষ্টি হবে = x2
Practice More Questions on Our App!
Download our app for free and access thousands of MCQ questions with detailed solutions