একটি গুণোত্তর শ্রেণীর প্রথম ছয়টি পদের যোগফল তার প্রথম তিনটি পদের যোগফলের নয় গুণ। সাধারণ অনুপাত হবে--
Solution
Correct Answer: Option A
মনে করি,
গুণোত্তর ধারার প্রথম পদ = $a$
সাধারণ অনুপাত = $r$
আমরা জানি,
গুণোত্তর ধারার প্রথম n পদের সমষ্টি, $S_n = \frac{a(r^n - 1)}{r - 1}$ ; যখন r > 1
প্রশ্নমতে,
প্রথম ৬টি পদের যোগফল = ৯ × প্রথম ৩টি পদের যোগফল
বা, $S_6 = 9 \times S_3$
বা, $\frac{a(r^6 - 1)}{r - 1} = 9 \times \frac{a(r^3 - 1)}{r - 1}$
বা, $(r^3)^2 - 1^2 = 9(r^3 - 1)$ [উভয় পক্ষ থেকে $\frac{a}{r - 1}$ বাদ দিয়ে এবং $r^6$ কে $(r^3)^2$ লিখে]
বা, $(r^3 - 1)(r^3 + 1) = 9(r^3 - 1)$ [সূত্র: $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$]
বা, $r^3 + 1 = 9$ [উভয় পক্ষ থেকে $(r^3 - 1)$ ভাগ করে]
বা, $r^3 = 9 - 1$
বা, $r^3 = 8$
বা, $r^3 = 2^3$
$\therefore r = 2$
সুতরাং, সাধারণ অনুপাত ২।
শর্টকাট টেকনিক:
এই ধরণের অংকের ক্ষেত্রে (যেখানে $S_{2n} = k \times S_n$) সাধারণ অনুপাত বের করার সূত্র হলো:
$r^n + 1 = k$
এখানে, $n = 3$ (কারণ প্রথম ৩টি পদের কথা বলা আছে এবং ৬টি পদ তার দ্বিগুণ অর্থাৎ $2n$)
এবং $k = 9$ (নয় গুণ বলা আছে)
সুতরাং,
$r^3 + 1 = 9$
বা, $r^3 = 8$
বা, $r = 2$
গুণোত্তর ধারার প্রথম পদ = $a$
সাধারণ অনুপাত = $r$
আমরা জানি,
গুণোত্তর ধারার প্রথম n পদের সমষ্টি, $S_n = \frac{a(r^n - 1)}{r - 1}$ ; যখন r > 1
প্রশ্নমতে,
প্রথম ৬টি পদের যোগফল = ৯ × প্রথম ৩টি পদের যোগফল
বা, $S_6 = 9 \times S_3$
বা, $\frac{a(r^6 - 1)}{r - 1} = 9 \times \frac{a(r^3 - 1)}{r - 1}$
বা, $(r^3)^2 - 1^2 = 9(r^3 - 1)$ [উভয় পক্ষ থেকে $\frac{a}{r - 1}$ বাদ দিয়ে এবং $r^6$ কে $(r^3)^2$ লিখে]
বা, $(r^3 - 1)(r^3 + 1) = 9(r^3 - 1)$ [সূত্র: $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$]
বা, $r^3 + 1 = 9$ [উভয় পক্ষ থেকে $(r^3 - 1)$ ভাগ করে]
বা, $r^3 = 9 - 1$
বা, $r^3 = 8$
বা, $r^3 = 2^3$
$\therefore r = 2$
সুতরাং, সাধারণ অনুপাত ২।
শর্টকাট টেকনিক:
এই ধরণের অংকের ক্ষেত্রে (যেখানে $S_{2n} = k \times S_n$) সাধারণ অনুপাত বের করার সূত্র হলো:
$r^n + 1 = k$
এখানে, $n = 3$ (কারণ প্রথম ৩টি পদের কথা বলা আছে এবং ৬টি পদ তার দ্বিগুণ অর্থাৎ $2n$)
এবং $k = 9$ (নয় গুণ বলা আছে)
সুতরাং,
$r^3 + 1 = 9$
বা, $r^3 = 8$
বা, $r = 2$
অ্যাপ/ওয়েবসাইটে রুটিনভিত্তিক নিয়মিত লাইভ পরীক্ষা হচ্ছে।
পরীক্ষা – ১১৩
কোর্স নামঃ
১৯ তম শিক্ষক নিবন্ধন - লেকচারশীট ভিত্তিক।
টপিকসঃ
গণিত
বৃত্ত ও ঘনবস্তু
বৃত্ত ও ঘনবস্তু
পরীক্ষা শুরুঃ ৩য় ব্যাচ শুরু ৫ নভেম্বর, ২০২৫।
রুটিন দেখুন
ব্যাচ-১/পরীক্ষা- ৫১
কোর্স নামঃ
সাধারণ জ্ঞান ৭০ মার্ক বেসিক ভিউ বই থেকে
টপিকসঃ
বাংলাদেশ বিষয়াবলি
বাংলাদেশের শিল্প ও বাণিজ্য: basic Terms of Trade, বাংলাদেশের অর্থনীতির সাথে জড়িত আন্তর্জাতিক সম্প্রদায়, বাণিজ্য মন্ত্রণালয়, আমদানি-রপ্তানি, BEZA, বিনিয়োগ তথ্য (পেইজ: ৭৯০-৮০২)
বাংলাদেশের শিল্প ও বাণিজ্য: basic Terms of Trade, বাংলাদেশের অর্থনীতির সাথে জড়িত আন্তর্জাতিক সম্প্রদায়, বাণিজ্য মন্ত্রণালয়, আমদানি-রপ্তানি, BEZA, বিনিয়োগ তথ্য (পেইজ: ৭৯০-৮০২)
৯০০ পেইজের সম্পূর্ণ বই শেষ করা হবে।
রুটিন দেখুন
পরীক্ষা – ৩৯
কোর্স নামঃ
প্রাইমারি প্রধান শিক্ষক নিয়োগ প্রস্তুতি (২য় ব্যাচ)
টপিকসঃ
বাংলা সাহিত্য সম্পূর্ণ সিলেবাস (১০০ মার্ক)
৫ ফেব্রুয়ারি থেকে শুরু।
রুটিন দেখুন
পরীক্ষা-২৫
কোর্স নামঃ
৫১ তম বিসিএস প্রস্ততি - ২৩৬ দিনে সম্পূর্ণ সিলিবাস।
টপিকসঃ
পরীক্ষা-২৩ ও পরীক্ষা-২৪ এর সিলেবাস থেকে (৫০টি প্রশ্ন)
১০ ফেব্রুয়ারি, ২০২৬
রুটিন দেখুন
Practice More Questions on Our App!
Download our app for free and access thousands of MCQ questions with detailed solutions