একটি গুণোত্তর শ্রেণীর প্রথম ছয়টি পদের যোগফল তার প্রথম তিনটি পদের যোগফলের নয় গুণ। সাধারণ অনুপাত হবে--
Solution
Correct Answer: Option A
মনে করি,
গুণোত্তর ধারার প্রথম পদ = $a$
সাধারণ অনুপাত = $r$
আমরা জানি,
গুণোত্তর ধারার প্রথম n পদের সমষ্টি, $S_n = \frac{a(r^n - 1)}{r - 1}$ ; যখন r > 1
প্রশ্নমতে,
প্রথম ৬টি পদের যোগফল = ৯ × প্রথম ৩টি পদের যোগফল
বা, $S_6 = 9 \times S_3$
বা, $\frac{a(r^6 - 1)}{r - 1} = 9 \times \frac{a(r^3 - 1)}{r - 1}$
বা, $(r^3)^2 - 1^2 = 9(r^3 - 1)$ [উভয় পক্ষ থেকে $\frac{a}{r - 1}$ বাদ দিয়ে এবং $r^6$ কে $(r^3)^2$ লিখে]
বা, $(r^3 - 1)(r^3 + 1) = 9(r^3 - 1)$ [সূত্র: $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$]
বা, $r^3 + 1 = 9$ [উভয় পক্ষ থেকে $(r^3 - 1)$ ভাগ করে]
বা, $r^3 = 9 - 1$
বা, $r^3 = 8$
বা, $r^3 = 2^3$
$\therefore r = 2$
সুতরাং, সাধারণ অনুপাত ২।
শর্টকাট টেকনিক:
এই ধরণের অংকের ক্ষেত্রে (যেখানে $S_{2n} = k \times S_n$) সাধারণ অনুপাত বের করার সূত্র হলো:
$r^n + 1 = k$
এখানে, $n = 3$ (কারণ প্রথম ৩টি পদের কথা বলা আছে এবং ৬টি পদ তার দ্বিগুণ অর্থাৎ $2n$)
এবং $k = 9$ (নয় গুণ বলা আছে)
সুতরাং,
$r^3 + 1 = 9$
বা, $r^3 = 8$
বা, $r = 2$
গুণোত্তর ধারার প্রথম পদ = $a$
সাধারণ অনুপাত = $r$
আমরা জানি,
গুণোত্তর ধারার প্রথম n পদের সমষ্টি, $S_n = \frac{a(r^n - 1)}{r - 1}$ ; যখন r > 1
প্রশ্নমতে,
প্রথম ৬টি পদের যোগফল = ৯ × প্রথম ৩টি পদের যোগফল
বা, $S_6 = 9 \times S_3$
বা, $\frac{a(r^6 - 1)}{r - 1} = 9 \times \frac{a(r^3 - 1)}{r - 1}$
বা, $(r^3)^2 - 1^2 = 9(r^3 - 1)$ [উভয় পক্ষ থেকে $\frac{a}{r - 1}$ বাদ দিয়ে এবং $r^6$ কে $(r^3)^2$ লিখে]
বা, $(r^3 - 1)(r^3 + 1) = 9(r^3 - 1)$ [সূত্র: $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$]
বা, $r^3 + 1 = 9$ [উভয় পক্ষ থেকে $(r^3 - 1)$ ভাগ করে]
বা, $r^3 = 9 - 1$
বা, $r^3 = 8$
বা, $r^3 = 2^3$
$\therefore r = 2$
সুতরাং, সাধারণ অনুপাত ২।
শর্টকাট টেকনিক:
এই ধরণের অংকের ক্ষেত্রে (যেখানে $S_{2n} = k \times S_n$) সাধারণ অনুপাত বের করার সূত্র হলো:
$r^n + 1 = k$
এখানে, $n = 3$ (কারণ প্রথম ৩টি পদের কথা বলা আছে এবং ৬টি পদ তার দ্বিগুণ অর্থাৎ $2n$)
এবং $k = 9$ (নয় গুণ বলা আছে)
সুতরাং,
$r^3 + 1 = 9$
বা, $r^3 = 8$
বা, $r = 2$
Practice More Questions on Our App!
Download our app for free and access thousands of MCQ questions with detailed solutions